5、 ( )
（A） （B） （C） （D）
12. 已知函數，把函數的零點按從小到大的順序排列成一個數列，則該數列的前n項的和,則＝ ( )
（A） （B） （C）55 （D）45
第II卷（非選擇題，共90分）
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）
13．若實數、滿足 且的最小值為3，則實數=
14．的展開式中一次項的系數為,則的系數為
6、
15．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，則△ABC的外接圓半徑r＝，將此結論類比到空間有________________________
16．給出以下四個命題：
①若函數的圖象關于點對稱，則的值為；
②若，則函數是以4為周期的周期函數；
③在數列中，，是其前項和，且滿足，則數列是等比數列；
④函數的最小值為2．
則正確命題的序號是 。
三、解答題（本大題共5小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）
17（本小題滿分12分）
已知數列
（I）求證數列是等差數列，并求數列的通項公
7、式；
（II）令， 求數列的前項和.
18. （本小題滿分12分）
底面為一個矩形，其中，。頂部線段平面，棱， ， 二面角的余弦值為，設是的中點，
（I） 證明：平面；
（II）求平面BEF和平面CEF所成銳二面角的余弦值.
19． （本小題滿分12分）
某高校在xx年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績共分五組，得到頻率分布表如下表所示。
（I）請求出①②位置相應的數字，填在答題卡相應位置上，并補全頻率分布直方圖；
（II）為了能選出最優(yōu)秀的學生，高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣的方
8、法抽取12人進入第二輪面試，求第3、4、5組中每組各抽取多少人進入第二輪的面試；假定考生“XXX”筆試成績?yōu)?78分，但不幸沒入選這100人中，那這樣的篩選方法對該生而言公平嗎？為什么？
（III）在（II）的前提下，學校決定在12人中隨機抽取3人接受“王教授”的面試，設第4組中被抽取參加“王教授”面試的人數為，求的分布列和數學期望．
20. （本小題滿分12分）
已知垂直平分線與交于Q點.
（I）求Q點的軌跡方程；
（II）已知點 A（-2,0）， 過點且斜率為（）的直線與Q點的軌跡相交于兩點，直線，分別交直線于
9、點,，線段的中點為，記直線的斜率為.求證:為定值.
21. （本小題滿分12分）
已知函數.
（I）若曲線在處的切線為，求的值；
（II）設，，證明：當時，的圖象始終在的圖象的下方；
（III）當時，設，（為自然對數的底數），表示導函數，求證：對于曲線上的不同兩點，，，存在唯一的，使直線的斜率等于．
請考生在22，23，24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號涂黑．
22．（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講
切線與圓切于點，圓內有一點滿足，
10、的平分線交圓于，，延長交圓于，延長交圓于，連接．
（Ⅰ）證明：//； （Ⅱ）求證：．
23.（本小題滿分10分）選修4—4：坐標系與參數方程
以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，已知點的直角坐標為（1，－5），點的極坐標為（4，），若直線過點，且傾斜角為，圓以為圓心，4為半徑.
（Ⅰ）求直線的參數方程和圓的極坐標方程；
（II）試判定直線與圓的位置關系.
24．（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
已知．
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）對于任意的，不等式恒成立，求的取值范圍．
數學
11、（理科）答案
一、選擇題：
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
D
C
D
A
C
A
B
C
A
D
二、填空題：
13．9/4； 14．39； 15．在三棱錐A—BCD中，若AB、AC、AD兩兩互相垂直，且AB＝a，AC＝b，AD＝c，則此三棱錐的外接球半徑R＝ 16①,②
三、解答題：
17.
18.解析：（1）平面，且平面，
又平面平面,
(線面平行的性質定理).
又是平行四形兩邊的中點，,,
12、
四點共面. ……………………… 2分
,,又，且,
平面. ……. 4分
(2)在平面內做的垂線，垂足為,則由第 (1)問可知：平面, 則平面ABCD平面,所以平面,
又因為， 則二面角的的平面角為…………..6分
在和中，
，
………………………………………………6分
過做邊的垂線，垂足為,連接,,
解法一 由作圖可知， ,
由第（1）問，，,
是要求二面角的平面角. …….9分
在中，,
，
，即二面角的余弦值是. ………….12分
解法二 以為坐標原點，以方向為軸正方向建立空間直角坐標系，則由
13、解法一知：，,,
則,,
設平面的一個法向量為，
則由
， ………………….9分
同理可求得設平面的一個法向量為:(也可根據對稱性求得)，
……………… 10分
于是有：，
根據法向量的方向，設二面角的平面角為，
則……………….12分
19．（1）由題意知，組頻率總和為，故第組頻率為，即①處的數字為；…1分
總的頻數為，因此第組的頻數為，即②處數字為 ……2分
頻率分布直方圖如下：
成績
頻率分布直方圖
……4分
14、
（2）第組共名學生，現抽取人，因此第組抽取的人數為：人，第組抽取的人數為：人，第組抽取的人數為：人. ……7分
公平：因為從所有的參加自主考試的考生中隨機抽取人，每個人被抽到的概率是相同的. ………………8分（只寫“公平”二字，不寫理由，不給分）
（3）的可能取值為
的分布列為：
……12分
19. 解：（1）已知的垂直平分線與交于Q點，
由于所以，即Q點是以為焦點的橢圓
15、 ………………2分
故所求Q點方程為. ……………3分
（1） 設過點（1,0），且斜率為（）的直線方程為，設點，點, ……4分
將直線方程代入橢圓： ，
整理得：， ……….5分
因為點在橢圓內，所以直線和橢圓都相交，恒成立，
且. ……………6分
直線的方程為，直線的方程為，
令，得點，點，
所以點的坐 ……8分
直線的斜率為
. ………10分
將代入上式得，
.
所以為定值. …………12分
21. 解析：(1)，此時，又，所以曲線在點處的切
16、線方程為，由題意得，，. ……… 2分
（2）則
在單調遞減，且
當時，即，
當時，的圖像始終在的圖象的下方. …………… 5分
（3） 由題，.
∵，∴，∴，
即， ………………………7分
設,則是關于的一次函數，
故要在區(qū)間證明存在唯一性，
只需證明在上滿足.下面證明之：
，，
為了判斷的符號，可以分別將看作自變量得到兩個新函數，
討論他們的最值：
，將看作自變量求導得，
是的增函數，
∵，∴；
同理：，將看作自變量求導得，
是的增函數，
∵，∴；
∴，
17、
∴函數在內有零點，……..11分
又，函數在是增函數，
∴函數在內有唯一零點，從而命題成立.…12分
請考生在22，23，24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號涂黑．
22．（Ⅰ）證明：∵切圓于，∴，
又∵，∴，
∴△△，∴，
又∵，∴
∴//.………………………………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）證明：連接，，
由，及，知△△，同理有△△，
∴，
∴.………………………………………………………………………………（10分
18、）
23、解：（Ⅰ）直線的參數方程（為參數）
點的直角坐標為（0，4）
圓方程 得 代入
得圓極坐標方程 ……………………………………………………（5分）
（II）直線的普通方程為
圓心M到的距離為
∴直線與圓相離. …………………………………………………………………（10分）
24.解：（Ⅰ）原不等式等價于
或
解得 或
∴不等式解為 （－1，+）.……………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）
設則
在（－3，0]上單調遞減，且 2
在（2，3）上單調遞增且2
∴在（－3，3）上 2
故時 不等式在（－3，3）上恒成立…………………………（10分）
2022年高三數學上學期第三次月考試題 理 新人教版
