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1、2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第27講 平面向量應(yīng)用舉例練習(xí) 新人教A版 [考情展望]　1.用向量的方法解決某些簡單的平面幾何證明問題.2.與三角函數(shù)、解析幾何等知識交匯命題，體現(xiàn)向量運算的工具性． 一、向量在平面幾何中的應(yīng)用 1．平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題． 2．用向量解決常見平面幾何問題的技巧 問題類型 所用知識 公式表示 線平行、點共線、相似等問題 共線向量定理 a∥b?a＝λb ?x1y2－x2y1＝0(b≠0) 其中a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2) 垂直問

2、題 數(shù)量積的運算性質(zhì) a⊥b?a·b＝0 ?x1x2＋y1y2＝0 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a，b 為非零向量 夾角問題 數(shù)量積的定義 cos θ＝(θ為向量a，b的夾角) 二、向量在物理中的應(yīng)用 1．向量的加法、減法在力的分解與合成中的應(yīng)用． 2．向量在速度的分解與合成中的應(yīng)用． 3．向量的數(shù)量積在合力做功問題中的應(yīng)用：W＝f·s. 1．已知三個力f1，f2，f3作用于物體同一點，使物體處于平衡狀態(tài)，若f1＝(2,2)，f2＝(－2,3)，則|f3|為(　　) A．2.5　　　　B．4　　　　C．2　　　　D．5 【解析】 　由題意知f1

3、＋f2＋f3＝0，∴f3＝－(f1＋f2)＝(0，－5)， ∴|f3|＝5. 【答案】　D 2．已知O是△ABC所在平面上一點，若·＝·＝·，則O是△ABC的(　　) A．內(nèi)心 B．重心 C．外心 D．垂心 【解析】 　·＝·?·(－)＝0， ∴·＝0?OB⊥AC. 同理：OA⊥BC，OC⊥AB， ∴O是△ABC的垂心． 【答案】　D 3．若·＋2＝0，則△ABC為(　　) A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【解析】 　·＋2＝0可化為·(＋)＝0， 即·＝0，所以⊥.所以△ABC為直角三角形． 【答案】　D

4、 4．已知兩個力F1、F2的夾角為90°，它們的合力F的大小為10 N，合力與F1的夾角為60°，那么F1的大小為________． 【解析】 　如圖所示． |F1|＝|F|cos 60°＝10×＝5(N)． 【答案】　5 N 5．(xx·湖南高考)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，則BC＝(　　) A. B. C．2 D. 【解析】 　∵·＝1，且AB＝2， ∴1＝||||cos(π－B)，∴||cos B＝－. 在△ABC中，|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB||BC|cos B， 即9＝4＋|BC|2－2×2×.∴|BC|＝.

5、 【答案】　A 6．(xx·福建高考)在四邊形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，則該四邊形的面積為(　　) A. B．2 C．5 D．10 【解析】 　∵·＝(1,2)·(－4,2)＝－4＋4＝0， ∴⊥，∴S四邊形ABCD＝||·||＝××2＝5. 【答案】　C 考向一 [080]　向量在平面幾何中的應(yīng)用 　(1)(xx·長沙模擬)在△ABC中，已知向量與滿足·＝0，且·＝，則△ABC為(　　) A．等邊三角形　　　　　 B．直角三角形 C．等腰非等邊三角形 D．三邊均不相等的三角形 (2)(xx·濟(jì)南模擬)設(shè)a，b，c為同一平面內(nèi)具有相同起點

6、的任意三個非零向量，且a與b不共線，a⊥c，|a|＝|c|，則|b·c|的值一定等于(　　) A．以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積 B．以b，c為兩邊的三角形面積 C．以a，b為兩邊的三角形面積 D．以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積 (3)已知△ABC的三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，P為AB邊上任意一點，則·(－)的最大值為________． 【思路點撥】　(1)是單位向量，結(jié)合平行四邊形法則及·＝0分析AB與AC的關(guān)系，借助數(shù)量積的定義求∠CBA，進(jìn)而得出△ABC的形狀． (2)借助數(shù)量積的定義及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式求解． (3)可采用坐標(biāo)法和基向量法分別求解本題． 【嘗

7、試解答】　(1)因為·＝0，所以∠BAC的平分線垂直于BC，所以AB＝AC. 又·＝，所以cos∠BAC＝，即∠BAC＝，所以△ABC為等邊三角形． (2)依題意可得|b·c|＝|b||c|cos〈b，c〉 ＝|b||c|sin〈a，b〉 ＝S平行四邊形． ∴|b·c|的值一定等于以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積． (3) 法一　(坐標(biāo)法)以C為原點，建立平面直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)P點坐標(biāo)為(x，y)且0≤y≤3,0≤x≤4，則·(－)＝·＝(x，y)·(0,3)＝3y，當(dāng)y＝3時，取得最大值9. 法二　(基向量法)∵＝＋，－＝， ∴·(－)＝(＋)· ＝2＋·＝9－·

8、＝9－||·||·cos∠BAC ＝9－3||·cos∠BAC， ∵cos∠BAC為正且為定值， ∴當(dāng)||最小即||＝0時，·(－)取得最大值9. 【答案】　(1)A　(2)D　(3)9 規(guī)律方法1　1.向量在平面幾何中的三大應(yīng)用：一是借助運算判斷圖形的形狀，二是借助模、數(shù)量積等分析幾何圖形的面積；三是借助向量探尋函數(shù)的最值表達(dá)式，進(jìn)而求最值. 2.平面幾何問題的向量解法 (1)坐標(biāo)法,把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決. (2)基向量法,適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)

9、于設(shè)定未知量的方程來進(jìn)行求解. 對點訓(xùn)練　(1)已知點O，N，P在△ABC所在平面內(nèi)，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，則點O，N，P依次是△ABC的(　　) A．重心、外心、垂心　　　　 B．重心、外心、內(nèi)心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、內(nèi)心 (注：三角形的三條高線交于一點，此點稱為三角形的垂心) (2)(xx·課標(biāo)全國卷Ⅱ)已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則·＝________. 【解析】 　(1)∵||＝||＝||，即點O到A，B，C三點的距離相等，∴點O為△ABC的外心． 如圖，設(shè)D為BC邊的中心，則＋＝2， ∵＋＋＝0， ∴＋

10、2＝0， ∴＝2，∴A，D，N三點共線， ∴點N在BC邊的中線上． 同理，點N也在AB，AC邊的中線上，∴點N是△ABC的重心． ∵·＝·， ∴·－·＝0，∴·(－)＝0， ∴·＝0，∴⊥. 同理，⊥，⊥， ∴點P是△ABC的垂心． (2)如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB所在的直線為x軸，AD所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)， ∴＝(1,2)，＝(－2,2)， ∴·＝1×(－2)＋2×2＝2. 【答案】　(1)C　(2)2 考向二 [081]　向量在物理中的應(yīng)用 　(1)一質(zhì)點受到平面上的三個力F1、F2、

11、F3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分別為2和4，則F3的大小為(　　) A．2　　　　B．2　　　　C．2　　　　D．6 圖4－4－1 (2)如圖4－4－1所示，已知力F與水平方向的夾角為30°(斜向上)，F(xiàn)的大小為50 N，F(xiàn)拉著一個重80 N的木塊在摩擦因數(shù)μ＝0.02的水平平面上運動了20 m，問F、摩擦力f所做的功分別為多少？ 【思路點撥】　(1)利用F1＋F2＋F3＝0，結(jié)合向量模的求法求解． (2)力在位移上所做的功，是向量數(shù)量積的物理含義，要先求出力F，f和位移的夾角． 【嘗試解答】　(1)如圖所示，由已知得F

12、1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－(F1＋F2)． F＝F＋F＋2F1·F2 ＝F＋F＋2|F1||F2|cos 60°＝28. ∴|F3|＝2. 【答案】　A (2)設(shè)木塊的位移為s， 則F·s＝|F|·|s|cos 30°＝50×20×＝500 J， F在豎直方向上的分力大小為 |F|sin 30°＝50×＝25(N)， 所以摩擦力f的大小為|f|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)， 所以f·s＝|f|·|s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22 J. ∴F，f所做的功分別是500 J，－22 J． 規(guī)律方法2　1.物理學(xué)中的“功”可看作是向量的數(shù)量積

13、的原型. 2.應(yīng)善于將平面向量知識與物理有關(guān)知識進(jìn)行類比.例如，向量加法的平行四邊形法則可與物理中力的合成進(jìn)行類比，平面向量基本定理可與物理中力的分解進(jìn)行類比. 3.用向量方法解決物理問題的步驟：一是把物理問題中的相關(guān)量用向量表示；二是轉(zhuǎn)化為向量問題的模型，通過向量運算解決問題；三是將結(jié)果還原為物理問題.　 　考向三 [082]　向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用 　(xx·遼寧高考)設(shè)向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈. (1)若|a|＝|b|，求x的值； (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b，求f(x)的最大值． 【思路點撥】　分別表示兩向量的模，利用相等求

14、解x的值；利用數(shù)量積運算及輔助角公式化為一個角的一種函數(shù)求解． 【嘗試解答】　(1)由|a|2＝(sin x)2＋sin2 x＝4sin2x， |b|2＝cos2x＋sin2x＝1， 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1. 又x∈，從而sin x＝，所以x＝. (2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x ＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋， 當(dāng)x＝∈時，sin取最大值1. 所以f(x)的最大值為. 規(guī)律方法3　平面向量與三角函數(shù)結(jié)合的題目的解題思路通常是將向量的數(shù)量積與模經(jīng)過坐標(biāo)運算后轉(zhuǎn)化為三角問題，然后利用三角函數(shù)基本公式求解. 對點訓(xùn)練　已知O為坐

15、標(biāo)原點，向量＝(sin α，1)，＝(cos α，0)，＝(－sin α，2)，點P滿足＝. (1)記函數(shù)f(α)＝·，求函數(shù)f(α)的最小正周期； (2)若O、P、C三點共線，求|＋|的值． 【解】　(1)＝(cos α－sin α，－1)， 設(shè)＝(x，y)，則＝(x－cos α，y)， 由＝得x＝2cos α－sin α，y＝－1，故＝(2cos α－sin α，－1)． ＝(sin α－cos α，1)，＝(2sin α，－1)， ∴f(α)＝(sin α－cos α，1)·(2sin α，－1) ＝2sin2α－2sin αcos α－1 ＝－(sin 2α＋cos

16、2α) ＝－sin， ∴f(α)的最小正周期T＝π. (2)由O、P、C三點共線可得 (－1)×(－sin α)＝2×(2cos α－sin α)，得tan α＝， sin 2α＝＝＝， |＋|＝ ＝＝. 規(guī)范解答之七　平面向量與三角函數(shù)的交匯問題 求平面向量與三角函數(shù)的交匯問題的一般步驟：第一步：將向量間的關(guān)系式化成三角函數(shù)式；第二步：化簡三角函數(shù)式；第三步：求三角函數(shù)式的值或求角或分析三角函數(shù)式的性質(zhì)；第四步：明確表述結(jié)論． ————　[1個示范例]　————　[1個規(guī)范練]　———— 　　　(12分)(xx·江蘇高考)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(c

17、os β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a－b|＝，求證：a⊥b； (2)設(shè)c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值． 【規(guī)范解答】　(1)證明　由題意得|a－b|2＝2，2分 即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2. 又因為a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1， 所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.5分 (2)因為a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)， 所以7分 由此得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.9分 又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝si

18、n β＝，11分 而α＞β，所以α＝，β＝.12分 【名師寄語】　(1)熟練掌握平面向量的線性運算及數(shù)量積的運算是求解此類問題的前提. (2)解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問題，要利用平面向量的定義和運算法則準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式.在此基礎(chǔ)上運用三角函數(shù)的知識求解. (xx·煙臺模擬)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝. (1)求cos(α－β)的值； (2)若0＜α＜，－＜β＜0，且sin β＝－.求sin α. 【解】　(1)|a－b|＝，|a－b|2＝， a2－2ab＋b2＝， ∴2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝， ∴2－2cos(α－β)＝，即cos(α－β)＝. (2)sin α＝sin(α－β＋β)＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β， 又0＜α＜，－＜β＜0，則0＜α－β＜π， ∴sin(α－β)＝，cos β＝， ∴sin α＝×＋×＝.