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1、2022年高二數(shù)學(xué)《數(shù)列的遞推公式》教學(xué)設(shè)計(jì)
一、內(nèi)容及其解析
（一）內(nèi)容：數(shù)列的遞推公式
（二）解析：這節(jié)課通過(guò)對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的正確理解，讓學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項(xiàng)公式的異同；會(huì)根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)；通過(guò)經(jīng)歷數(shù)列知識(shí)的感受及理解運(yùn)用的過(guò)程，作好探究性教學(xué).發(fā)揮學(xué)生的主體作用，提高學(xué)生的分析問(wèn)題以及解決問(wèn)題的能力.教學(xué)重點(diǎn) 根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng).教學(xué)難點(diǎn) 理解遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系.
二、目標(biāo)及其解析
1.了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項(xiàng)公式的異同；
2.會(huì)根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng).
1.經(jīng)歷
2、數(shù)列知識(shí)的感受及理解運(yùn)用的過(guò)程;
2.發(fā)揮學(xué)生的主體作用，作好探究性實(shí)驗(yàn);
3.理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.
三、問(wèn)題診斷分析
四、教學(xué)過(guò)程
問(wèn)題與題例
問(wèn)題：前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義，數(shù)列的通項(xiàng)公式的意義等內(nèi)容， 哪位同學(xué)能談一談什么叫數(shù)列的通項(xiàng)公式？
如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
問(wèn)題：你能舉例說(shuō)明嗎？
如數(shù)列0，1，2，3，…的通項(xiàng)公式為an=n-1(n∈N*);
1,1,1的通項(xiàng)公式為an=1(n∈N*,1≤n≤3);
1, , , ,…的通項(xiàng)公式為an= (n
3、∈N*).
問(wèn)題：通項(xiàng)公式是表示數(shù)列的很好的方法，同學(xué)們想一想還有哪些方法可以表示數(shù)列？
圖象法，我們可仿照函數(shù)圖象的畫(huà)法畫(huà)數(shù)列的圖形.具體方法是以項(xiàng)數(shù)n為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)an為縱坐標(biāo)，即以(n,an)為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中作出點(diǎn)(以前面提到的數(shù)列1, ,,,…為例，作出一個(gè)數(shù)列的圖象)，所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點(diǎn)，因?yàn)闄M坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在y軸的右側(cè)，而點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于數(shù)列的項(xiàng)數(shù).從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化的趨勢(shì).
-----------------遞推公式法
知識(shí)都來(lái)源于實(shí)踐，同時(shí)還要應(yīng)用于生活，用其來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題.下面同學(xué)們
4、來(lái)看右下圖：鋼管堆放示意圖(投影片).觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，看看能否建立它的一些數(shù)學(xué)模型.
模型一：自上而下
第1層鋼管數(shù)為4,即14＝1+3;
第2層鋼管數(shù)為5,即25＝2+3;
第3層鋼管數(shù)為6,即36＝3+3;
第4層鋼管數(shù)為7,即47＝4+3;
第5層鋼管數(shù)為8,即58＝5+3;
第6層鋼管數(shù)為9,即69＝6+3;
第7層鋼管數(shù)為10,即710＝7+3.
若用an表示鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且an=n+3(1≤n≤7).
問(wèn)題：同學(xué)們運(yùn)用每一層的鋼管數(shù)與其層數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律建立了數(shù)列模型，這完
5、全正確，運(yùn)用這一關(guān)系，會(huì)很快捷地求出每一層的鋼管數(shù).這會(huì)給我們的統(tǒng)計(jì)與計(jì)算帶來(lái)很多方便.讓同學(xué)們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？(啟發(fā)學(xué)生尋找規(guī)律)
模型二：上下層之間的關(guān)系
自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1,
即a1=4；a2=5=4+1=a1+1；a3=6=5+1=a2+1.
依此類(lèi)推：an=a n-1+1(2≤n≤7).
問(wèn)題：對(duì)于上述所求關(guān)系，同學(xué)們有什么樣的理解?
若知其第1項(xiàng)，就可以求出第二項(xiàng)，以此類(lèi)推，即可求出其他項(xiàng).
看來(lái)，這一關(guān)系也較為重要，我們把數(shù)列中具有這種遞推關(guān)系的式子叫做遞推公式.
[概念形成]
1.遞推公式定義：
6、
如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1(或前n項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.
注意：遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法.
如下列數(shù)字排列的一個(gè)數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89.
遞推公式為：a1=3,a2=5,an=an-1+a n-2(3≤n≤8).
2.數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應(yīng)與函數(shù)的表示法有聯(lián)系，函數(shù)的表示法有：列表法、圖象法、解析式法.相對(duì)于數(shù)列來(lái)說(shuō)也有相應(yīng)的這幾種表示方法：即列表法、圖象法、解析式法.
［例題］
【例1】 設(shè)數(shù)列{an}滿足.寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)
7、.
分析：題中已給出{an}的第1項(xiàng)即a1=1，題目要求寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)，因而只要再求出二到五項(xiàng)即可.這個(gè)遞推公式：an=1+我們將如何應(yīng)用呢?
這要將n的值2和a1=1代入這個(gè)遞推公式計(jì)算就可求出第二項(xiàng)，然后依次這樣進(jìn)行就可以了.
請(qǐng)大家計(jì)算一下!
解：據(jù)題意可知：a1=1,a2=1+ =2,a3=1+ =,a4=1+ =,a5=
設(shè)計(jì)意圖：掌握遞推公式很關(guān)鍵的一點(diǎn)就是其中的遞推關(guān)系，同學(xué)們要注意探究和發(fā)現(xiàn)遞推公式中的前項(xiàng)與后項(xiàng)，或前后幾項(xiàng)之間的關(guān)系.
【例2】 已知a1=2，an+1=2an，寫(xiě)出前5項(xiàng)，并猜想an.
分析：由例1的經(jīng)驗(yàn)我們先求前5項(xiàng).前5
8、項(xiàng)分別為2，4，8，16，32.
下面來(lái)猜想第n項(xiàng).
由a1=2，a2=2×2=22，a3=2×22=23觀察可得，猜想an=2n.
問(wèn)題：本題若改為求an是否還可這樣去解呢?
由a n+1=2an變形可得an=2a n-1，即，依次向下寫(xiě)，一直到第一項(xiàng)，然后將它們乘起來(lái)，就有…×，所以an=a1·2n-1=2n.
這種方法通常叫迭乘法，這種方法在已知遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)的問(wèn)題中是比較常用的方法，對(duì)應(yīng)的還有迭加法.
變式：已知a1=2，an+1=an-4,求an.
分析：此題與前例2比較，遞推式中的運(yùn)算改為了減法，同學(xué)們想一想如何去求解呢?
l 寫(xiě)出：a1=2
9、，a2=-2，a3=-6，a4=-10，…
觀察可得：an=2+(n-1)(n-4)=2-4(n-1).
l 解：由an+1-an=-4依次向下寫(xiě)，一直到第一項(xiàng)，然后將它們加起來(lái),
an-a n-1=-4
an-1-an-2=-4
an-2-an-3=-4
……
∴an=2-4(n-1).
［小結(jié)］
(1)數(shù)列的遞推公式是由初始值和相鄰幾項(xiàng)的遞推關(guān)系確定的，如果只有遞推關(guān)系而無(wú)初始值，那么這個(gè)數(shù)列是不能確定的.
例如，由數(shù)列{an}中的遞推公式an+1=2an+1無(wú)法寫(xiě)出數(shù)列{an}中的任何一項(xiàng)，若又知a1=1，則可以依次地寫(xiě)出a2=3,a3=7,a
10、4=15,….
(2)遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，由遞推公式可能求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，也可能求不出通項(xiàng)公式.
五、目標(biāo)檢測(cè)
1、根據(jù)各個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式，寫(xiě)出它的前五項(xiàng)，并歸納出通項(xiàng)公式.(投影片)
(1)a1＝0，an+1＝an＋(2n-1)(n∈N)；
(2)a1＝1，a n+1＝ (n∈N)；
(3)a1＝3，an+1＝3an-2(n∈N).
(讓學(xué)生思考一定時(shí)間后，請(qǐng)三位學(xué)生分別作答)
解：(1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9，a5＝16，∴an＝(n-1)2.
(2)a1＝1， a2＝，a3＝=，a4＝，a5＝ =，∴an＝.
(3
11、)a1＝3＝1+2×30，a2＝7＝1+2×31，a3＝19＝1+2×32，
a4＝55＝1+2×33，a5＝163＝1+2×34，∴an＝1＋2·3 n-1.
注：不要求學(xué)生進(jìn)行證明歸納出通項(xiàng)公式.
2、一只猴子爬一個(gè)8級(jí)的梯子，每次可爬一級(jí)或上躍二級(jí)，最多能上躍起三級(jí)，從地面上到最上一級(jí)，你知道這只猴子一共可以有多少種不同的爬躍方式嗎？
析：這題是一道應(yīng)用題，這里難在爬梯子有多種形式，到底是爬一級(jí)還是上躍二級(jí)等情況要分類(lèi)考慮周到.
爬一級(jí)梯子的方法只有一種.
爬一個(gè)二級(jí)梯子有兩種,即一級(jí)一級(jí)爬是一種，還有一次爬二級(jí)，所以共有兩種.
若設(shè)爬一個(gè)n級(jí)梯子的不同爬法有
12、an種,
則an=an-1+an-2+an-3(n≥4),
則得到a1=1,a2=2,a3=4及an=a n-1+an-2+an-3(n≥4)，就可以求得a8=81.
六、課堂小結(jié)
這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了數(shù)列的另一種給出方法，即遞推公式及其用法，要注意理解它與通項(xiàng)公式的區(qū)別，誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)？
通項(xiàng)公式反映的是項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，而遞推公式反映的是相鄰兩項(xiàng)(或n項(xiàng))之間的關(guān)系.
對(duì)于通項(xiàng)公式，只要將公式中的n依次取1，2，3…,即可得到相應(yīng)的項(xiàng).而遞推公式則要已知首項(xiàng)(或前n項(xiàng))，才可求得其他的項(xiàng).
(讓學(xué)生自己來(lái)總結(jié)，將所學(xué)的知識(shí)，結(jié)合獲取知識(shí)的過(guò)程與方法，進(jìn)行回顧與反思，從而達(dá)到三維目標(biāo)的整合.培養(yǎng)學(xué)生的概括能力和語(yǔ)言表達(dá)能力)
七、配餐練習(xí)
《優(yōu)化設(shè)計(jì)》2.1.2 《優(yōu)化作業(yè)》
2022年高二數(shù)學(xué)《數(shù)列的遞推公式》教學(xué)設(shè)計(jì)
