41、為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，
故上式不可能成立，導(dǎo)致矛盾．
故數(shù)列{bn}中任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列．
[備課札記](méi)
第3課時(shí) 數(shù)學(xué)歸納法(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)(理)106～107頁(yè))
理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題．
了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題．
1. (選修22P94習(xí)題7改編)用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋1)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證________．
答案：1＋＋<2
解析：∵ n∈N*，n>1，
42、∴ n取的第一個(gè)數(shù)為2，左端分母最大的項(xiàng)為＝.
2. (選修22P90練習(xí)3改編)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“2n>n2＋1對(duì)于n≥n0的自然數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取為_(kāi)_______．
答案：5
解析：當(dāng)n≤4時(shí)，2n≤n2＋1；當(dāng)n＝5時(shí)，25＝32>52＋1＝26，所以n0應(yīng)取為5.
3. (選修22P103復(fù)習(xí)題13改編)在數(shù)列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通過(guò)求a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式為_(kāi)_______________．
答案：an＝
解析：當(dāng)n＝2時(shí)，＋a2＝(2×3)a2，∴ a2＝；當(dāng)n＝3時(shí)，＋＋a3＝(3×5)a3，∴
43、 a3＝；當(dāng)n＝4時(shí)，＋＋＋a4＝(4×7)a4，∴ a4＝；故猜想an＝.
4. (選修22P103復(fù)習(xí)題14改編)比較nn＋1與(n＋1)n(n∈N*)的大小時(shí)會(huì)得到一個(gè)一般性的結(jié)論，用數(shù)學(xué)歸納法證明這一結(jié)論時(shí)，第一步要驗(yàn)證________．
答案：當(dāng)n＝3時(shí)，nn＋1＝34＞(n＋1)n＝43
解析：當(dāng)n＝1時(shí)，nn＋1＝1＞(n＋1)n＝2不成立；當(dāng)n＝2時(shí)，nn＋1＝8＞(n＋1)n＝9不成立；當(dāng)n＝3時(shí)，nn＋1＝34＞(n＋1)n＝43，結(jié)論成立．
5. (選修22P105本章測(cè)試13改編)已知a1＝，an＋1＝，則a2，a3，a4，a5的值分別為_(kāi)_________
44、______．由此猜想an＝________．
答案：，，，
解析：a2＝＝＝＝，同理a3＝＝＝，a4＝＝，a5＝＝，a1＝＝，符合以上規(guī)律．
故猜想an＝.
1. 由一系列有限的特殊現(xiàn)象得出一般性的結(jié)論的推理方法，通常叫做歸納法．
2. 對(duì)某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題常采用下面的方法來(lái)證明它們的正確性：先證明當(dāng)n取第1個(gè)值n0時(shí)，命題成立；然后假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥n0)時(shí)命題成立；證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立，這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．
3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)，其步驟如下：
(1) 歸納奠基：證明取第一個(gè)自然數(shù)n0時(shí)命題成立；
(2)
45、歸納遞推：假設(shè)n＝k(k∈N*，k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立；
(3) 由(1)(2)得出結(jié)論．[備課札記](méi)
, 1 證明等式)
, 1) 用數(shù)學(xué)歸納法證明：＋＋＋…＋＝(n∈N*)．
證明：① 當(dāng)n＝1時(shí)，
左邊＝＝，右邊＝＝，
左邊＝右邊，所以等式成立．
② 假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，即有
＋＋＋…＋＝，
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＋＋＋…＋＋
＝＋＝
＝＝＝.
所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立．
由①②可知，對(duì)于一切n∈N*等式都成立．
變式訓(xùn)練
用數(shù)學(xué)歸納法證明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋
46、(n∈N*)．
證明：① 當(dāng)n＝1時(shí)，等式左邊＝1－＝＝右邊，等式成立．
② 假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，有1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋＋…＋＋，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立．
由①②知，等式對(duì)任何n∈N*均成立．
, 2 證明不等式)
, 2) 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：＋＋＋…＋>1(n∈N*且n>1)．
證明：① 當(dāng)n＝2時(shí)，＋＋＝>1成立．
② 設(shè)n＝k時(shí)，＋＋＋…＋>1成立．
由于當(dāng)k>1時(shí)，k2－k－1>0，即k(2k＋1)>k2＋2k＋1，
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＋＋＋…
47、＋
＝(＋＋＋…＋)＋＋＋…＋－
>1＋＋＋…＋－
>1＋＋＋…＋－＝1＋－＝1.
綜合①②可知，原不等式對(duì)n∈N*且n>1恒成立．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋＋＋…＋<2－(n∈N*，n≥2)．
證明：① 當(dāng)n＝2時(shí)，1＋＝<2－＝，命題成立．
② 假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，即1＋＋＋…＋<2－.
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－，命題成立．
由①②知原不等式對(duì)n∈N*，n≥2恒成立．
, 3 數(shù)列問(wèn)題)
, 3) 數(shù)列{an}滿足Sn＝2n－an(n∈N*)．
(1) 計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)公式a
48、n；
(2) 證明(1)中的猜想．
(1) 解：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2－a1，∴ a1＝1；
當(dāng)n＝2時(shí)，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴ a2＝；
當(dāng)n＝3時(shí)，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴ a3＝；
當(dāng)n＝4時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴ a4＝.
由此猜想an＝(n∈N*)．
(2) 證明：① 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，結(jié)論成立．
② 假設(shè)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)，結(jié)論成立，即ak＝，那么n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，所以2ak＋1＝2＋ak.
所以ak＋1＝＝＝.所以
49、當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立．
由①②知猜想an＝(n∈N*)成立．
變式訓(xùn)練
在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*，λ>0)．
(1) 求a2，a3，a4；
(2) 猜想{an }的通項(xiàng)公式，并加以證明．
解：(1) a2＝2λ＋λ2＋2(2－λ)＝λ2＋22，
a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，
a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.
(2) 由(1)可猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(n－1)λn＋2n.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
① 當(dāng)n＝1，2，3，4時(shí)，等式顯然成立，
50、② 假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥4，k∈N*)時(shí)等式成立，即ak＝(k－1)·λk＋2k，
那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k＝λ(k－1)·λk＋λ2k＋λk＋1＋2k＋1－λ2k
＝(k－1)λk＋1＋λk＋1＋2k＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1，
所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，猜想成立．
由①②知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(n－1)λn＋2n(n∈N*，λ>0)．
, 4 綜合運(yùn)用)
, 4) 設(shè)集合M＝{1，2，3，…，n}(n∈N，n≥3)，記M的含有三個(gè)元素的子集個(gè)數(shù)為Sn，同時(shí)將每一個(gè)子集中的三個(gè)元素由小到大排列，取出中
51、間的數(shù)，所有這些中間的數(shù)的和記為T(mén)n.
(1) 分別求，，，的值；
(2) 猜想關(guān)于n的表達(dá)式，并加以證明．
解：(1) 當(dāng)n＝3時(shí)，M＝{1，2，3}，S3＝1，T3＝2，＝2；當(dāng)n＝4時(shí)，M＝{1，2，3，4}，S4＝4，T4＝2＋2＋3＋3＝10，＝，＝3，＝.
(2) 猜想＝.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
① 當(dāng)n＝3時(shí)，由(1)知猜想成立．
② 假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3)時(shí)，猜想成立，即＝，
而Sk＝C，所以Tk＝C.
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，易知Sk＋1＝C，
而當(dāng)集合M從{1，2，3，…，k}變?yōu)閧1，2，3，…，k，k＋1}時(shí)，Tk＋1在Tk的基礎(chǔ)上增加了1個(gè)2，2個(gè)3，
52、3個(gè)4，…，(k－1)個(gè)k，
所以Tk＋1＝Tk＋2×1＋3×2＋4×3＋…＋k(k－1)
＝C＋2(C＋C＋C＋…＋C)
＝C＋2(C＋C＋C＋…＋C)
＝C＋2C＝C＝Sk＋1，
即＝.
所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，猜想也成立．
綜上所述，猜想成立．
已知過(guò)一個(gè)凸多邊形的不相鄰的兩個(gè)端點(diǎn)的連線段稱為該凸多邊形的對(duì)角線．
(1) 分別求出凸四邊形，凸五邊形，凸六邊形的對(duì)角線的條數(shù)；
(2) 猜想凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)f(n)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．
解：(1) 凸四邊形的對(duì)角線條數(shù)為2條；凸五邊形的對(duì)角線條數(shù)為5條，凸六邊形的對(duì)角線條數(shù)為9條．
(2) 猜想：f(n)＝(n≥
53、3，n∈N*)．
證明如下：當(dāng)n＝3時(shí)，f(3)＝0成立；設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3)時(shí)猜想成立，即f(k)＝，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，考察k＋1邊形A1A2…AkAk＋1，
①k邊形A1A2…Ak中原來(lái)的對(duì)角線都是k＋1邊形中的對(duì)角線，且邊A1Ak也成為k＋1邊形中的對(duì)角線；
②在Ak＋1與A1，A2，…，Ak連結(jié)的k條線段中，除Ak＋1A1，Ak＋1Ak外，都是k＋1邊形中的對(duì)角線，共計(jì)有f(k＋1)＝f(k)＋1＋(k－2)＝＋1＋(k－2)＝＝＝＝(條)，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，猜想也成立．
綜上，得f(n)＝對(duì)任何n≥3，n∈N*都成立．
1. (2017·蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知fn(x)＝C
54、xn－C(x－1)n＋…＋(－1)kC(x－k)n＋…＋(－1)nC(x－n)n，其中x∈R，n∈N*，k∈N，k≤n.
(1) 試求f1(x)，f2(x)，f3(x)的值；
(2) 試猜測(cè)fn(x)關(guān)于n的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論．
解：(1) f1(x)＝Cx－C(x－1)＝x－x＋1＝1，
f2(x)＝Cx2－C(x－1)2＋C(x－2)2＝x2－2(x2－2x＋1)＋(x2－4x＋4)＝2，
f3(x)＝Cx3－C(x－1)3＋C(x－2)3－C(x－3)3＝x3－3(x－1)3＋3(x－2)3－(x－3)3＝6.
(2) 猜想：fn(x)＝n！.
證明：① 當(dāng)n＝1時(shí)，猜
55、想顯然成立；
② 假設(shè)n＝k時(shí)猜想成立，即fk(x)＝Cxk－C(x－1)k＋C(x－2)k＋…＋(－1)kC(x－k)k＝k！，
則n＝k＋1時(shí)，fk＋1(x)＝Cxk＋1－C(x－1)k＋1＋C(x－2)k＋1＋…＋(－1)k＋1C(x－k－1)k＋1＝xC·xk－(x－1)C(x－1)k＋(x－2)C(x－2)k＋…＋(－1)k(x－k)C(x－k)k＋(－1)k＋1C(x－k－1)k＋1＝x[Cxk－C(x－1)k＋C(x－2)k＋…＋(－1)kC·(x－k)k]＋[C(x－1)k－2C(x－2)k＋…＋(－1)k＋1·kC(x－k)k]＋(－1)k＋1C(x－k－1)k＋1
＝
56、x[Cxk－(C＋C)(x－1)k＋(C＋C)(x－2)k＋…＋(－1)k(C＋C)(x－k)k]＋(k＋1)[C(x－1)k－C(x－2)k＋…＋(－1)k＋1C(x－k)k]＋(－1)k＋1C(x－k－1)k＋1
＝x[Cxk－C(x－1)k＋C(x－2)k＋…＋(－1)kC(x－k)k]－x[C(x－1)k－C(x－2)k＋…＋(－1)k－1C(x－k)k＋(－1)kC(x－k－1)k]＋(k＋1)[C(x－1)k－C·(x－2)k＋…＋(－1)k＋1C(x－k)k＋(－1)kC(x－k－1)k]＝xk！－xk?。?k＋1)k！＝(k＋1)！.
∴ 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，猜想成立．
綜上
57、所述，猜想成立．
2. 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2，3，….
(1) 求a1，a2；
(2) 猜想數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式，并給出證明．
解：(1) 當(dāng)n＝1時(shí)，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，
于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝.
當(dāng)n＝2時(shí)，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－，
于是－a2－a2＝0，解得a2＝.
(2) 由題設(shè)知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即S－2Sn＋1－anSn＝0.
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1S
58、n－2Sn＋1＝0.?、?
由(1)得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.
由①可得S3＝.由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，….
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論．
(ⅰ) n＝1時(shí)已知結(jié)論成立.
(ⅱ) 假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)結(jié)論成立，即Sk＝，
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由①得Sk＋1＝，
即Sk＋1＝，故n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立．
綜上，由(ⅰ)、(ⅱ)可知Sn＝對(duì)所有正整數(shù)n都成立．
3. 已知x1，x2，…，xn∈R＋，且x1x2…xn＝1.
求證：(＋x1)(＋x2)…(＋xn)≥(＋1)n.
證明：(數(shù)學(xué)歸納法)① 當(dāng)n＝1時(shí)，＋x1＝＋1，不等式成立．
② 假設(shè)n＝
59、k時(shí)不等式成立，即(＋x1)(＋x2)…(＋xk)≥(＋1)k成立．
則n＝k＋1時(shí)，若xk＋1＝1，則命題成立；若xk＋1>1，則x1，x2，…，xk中必存在一個(gè)數(shù)小于1，不妨設(shè)這個(gè)數(shù)為xk，從而(xk－1)(xk＋1－1)<0，即xk＋xk＋1>1＋xkxk＋1.同理可得xk＋1<1時(shí)，xk＋xk＋1>1＋xkxk＋1.
所以(＋x1)(＋x2)…(＋xk)(＋xk＋1)
＝(＋x1)(＋x2)…[2＋(xk＋xk＋1)＋xkxk＋1]
≥(＋x1)(＋x2)…[2＋(1＋xkxk＋1)＋xkxk＋1]
＝(＋x1)(＋x2)…(＋xkxk＋1)(＋1)≥(＋1)k·(＋1)＝(
60、＋1)k＋1.
故n＝k＋1時(shí)，不等式也成立．
由①②及數(shù)學(xué)歸納法原理知原不等式成立．
4. 已知函數(shù)f0(x)＝x(sin x＋cos x)，設(shè)fn(x)為fn－1(x)的導(dǎo)數(shù)，n∈N*.
(1) 求f1(x)，f2(x)的表達(dá)式；
(2) 寫(xiě)出fn(x)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．
解：(1) 因?yàn)閒n(x)為fn－1(x)的導(dǎo)數(shù)，
所以f1(x)＝f0′(x)＝(sin x＋cos x)＋x(cos x－sin x)＝(x＋1)cos x＋(x－1)(－sin x)，
同理，f2(x)＝－(x＋2)sin x－(x－2)cos x.
(2) 由(1)得f3(x)＝f2
61、′(x)＝－(x＋3)cos x＋(x－3)sin x，
把f1(x)，f2(x)，f3(x)分別改寫(xiě)為
f1(x)＝(x＋1)sin＋(x－1)·cos，
f2(x)＝(x＋2)sin＋(x－2)·cos，
f3(x)＝(x＋3)sin＋(x－3)·cos，
猜測(cè)fn(x)＝(x＋n)sin＋(x－n)·cos(x＋) (*)．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上述等式．
① 當(dāng)n＝1時(shí)，由(1)知，等式(*)成立；
② 假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，等式(*)成立，
即fk(x)＝(x＋k)sin＋(x－k)cos.
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，fk＋1(x)＝fk′(x)
＝sin＋(x＋k)cos(
62、x＋)＋cos(x＋)＋(x－k)
＝(x＋k＋1)cos＋[x－(k＋1)]
＝[x＋(k＋1)]sin＋[x－(k＋1)]·cos，
即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式(*)成立．
綜上所述，當(dāng)n∈N*時(shí)，fn(x)＝(x＋n)·sin＋(x－n)cos成立．
1. 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.
(1) 求a1，a2，a3的值；
(2) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
解：(1) 由題意知S2＝4a3－20，∴ S3＝S2＋a3＝5a3－20.
又S3＝15，∴ a3＝7，S2＝4a3－20＝8.
又S2＝S1＋a2
63、＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7，
∴ a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3.
綜上知，a1＝3，a2＝5，a3＝7.
(2) 由(1)猜想an＝2n＋1，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
① 當(dāng)n＝1時(shí)，結(jié)論顯然成立；
② 假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，ak＝2k＋1，
則Sk＝3＋5＋7＋…＋(2k＋1)＝＝k(k＋2)．
又Sk＝2kak＋1－3k2－4k，
∴ k(k＋2)＝2kak＋1－3k2－4k，解得2ak＋1＝4k＋6，
∴ ak＋1＝2(k＋1)＋1，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立．
由①②知，?n∈N*，an＝2n＋1.
2. 由下列式子：
1>；
1＋＋>1；
64、
1＋＋＋＋＋＋>；
1＋＋＋…＋>2；
…
猜想第n個(gè)表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法給予證明．
解：可以猜得第n個(gè)式子是1＋＋＋＋…＋＞ (n≥1，n∈N)．
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
① 當(dāng)n＝1 時(shí)，1>；
② 假設(shè)當(dāng)n＝k(n≥1，n∈N)時(shí)，命題成立，即1＋＋＋＋…＋>.
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋＋＋…＋＋＋＋…＋>＋＋＋…＋,\s\do4(2k))
＞＋＋＋…＋,\s\do4(2k))
＝＋＝＋＝.
所以，對(duì)一切n≥1，n∈N命題都成立．
3. 已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*.
(1) 當(dāng)n＝1，2，3時(shí)，試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系；
(
65、2) 猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明．
解：(1) 當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝1，g(1)＝－＝1，所以f(1)＝g(1)；
當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝1＋＝，g(2)＝－＝，所以f(2)
66、切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立．
4. 已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿足：a0＝1，an＋1＝·an·(4－an)，n∈N.
(1) 求a1，a2；
(2) 證明：an0，∴ ak－ak＋1<0.
又ak＋1＝ak(4－ak)＝[4－(ak－2)2]<2.∴ n＝k＋1時(shí)命題成立．
由①②知，對(duì)一切n∈N都有an
2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過(guò)關(guān) 第七章 推理與證明學(xué)案
