《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第13章 選修4-5 第2節(jié) 不等式的證明教學(xué)案 理 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第13章 選修4-5 第2節(jié) 不等式的證明教學(xué)案 理 北師大版（8頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二節(jié)　不等式的證明 [最新考綱]　通過一些簡(jiǎn)單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法． 1．基本不等式 定理1：對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)． 定理2：對(duì)任意兩個(gè)正數(shù)a，b，有≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)． 公理3：對(duì)任意三個(gè)正數(shù)a，b，c，有a3＋b3＋c3≥3abc，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào)． 定理4：對(duì)任意三個(gè)正數(shù)a，b，c，有≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立． 推廣：(一般形式的算術(shù)—幾何平均不等式)如果a1，a2，…，an為n個(gè)正數(shù)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時(shí)，等號(hào)成立． 2．柯西不等式 (1)柯

2、西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)，等號(hào)成立)． (2)柯西不等式的向量形式：設(shè)α，β是兩個(gè)向量，則|α||β|≥|α·β|，當(dāng)且僅當(dāng)α或β是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使α＝kβ(α，β為非零向量)時(shí)，等號(hào)成立． (3)柯西不等式的三角不等式：設(shè)x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R， 則＋≥. (4)柯西不等式的一般形式：設(shè)a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實(shí)數(shù)，則(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1,2，…，n)或存

3、在一個(gè)數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)時(shí)，等號(hào)成立． 3．不等式的證明方法 (1)比較法 ①作差法(a，b∈R)：a－b>0?a>b；a－b<0?a0，b>0)：>1?a>b；<1?a

4、即“執(zhí)果索因”的證明方法． (3)放縮法 證明不等式時(shí)，有時(shí)我們要把所證不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡(jiǎn)化不等式，從而達(dá)到證明的目的．這種方法稱為放縮法． (4)反證法的步驟 ①作出否定結(jié)論的假設(shè)； ②進(jìn)行推理，導(dǎo)出矛盾； ③否定假設(shè)，肯定結(jié)論. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)比較法最終要判斷式子的符號(hào)得出結(jié)論．(　　) (2)綜合法是從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法，它是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步推理，最后達(dá)到待證的結(jié)論．(　　) (3)分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法，是從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋求結(jié)論成立的必要條件，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或

5、已被證明的事實(shí)．(　　) (4)使用反證法時(shí)，“反設(shè)”不能作為推理的條件應(yīng)用．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．不等式：①x2＋3＞3x；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③＋≥2，其中恒成立的是(　　) A．①③　　　　　　 B．②③ C．①②③ D．①② D　[由①得x2＋3－3x＝2＋＞0，所以x2＋3＞3x；對(duì)于②，因?yàn)閍2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以不等式成立；對(duì)于③，因?yàn)楫?dāng)ab＜0時(shí)，＋－2＝＜0，即＋＜2，故選D.] 2．已知a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，則M，N的大

6、小關(guān)系為________． M≥N　[2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)． 因?yàn)閍≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0， 從而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.] 3．已知a，b，c是正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝1，則＋＋的最小值為________． 9　[∵a＋b＋c＝1， ∴＋＋ ＝3＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2 ＝3＋6＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立．] 4．設(shè)a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，則的最

7、小值為________． 　[根據(jù)柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)， 即m2＋n2≥5， 所以的最小值為.] 考點(diǎn)1　用綜合法與分析法證明不等式 　用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч?，用分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法．綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡(jiǎn)單、條理清楚，所以在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此可見，分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關(guān)系，可以開闊解題思路，開闊視野． 　1.已知x，y均為正數(shù)，且x>y，求證：2x＋≥2y＋3； [證明]　

8、因?yàn)閤>0，y>0，x－y>0， 2x＋－2y＝2(x－y)＋ ＝(x－y)＋(x－y)＋ ≥3＝3(當(dāng)且僅當(dāng)x－y＝1時(shí)，等號(hào)成立)，所以2x＋≥2y＋3. 2．設(shè)a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求證：a＋b＋c≥. [證明]　因?yàn)閍，b，c>0，所以要證a＋b＋c≥， 只需證明(a＋b＋c)2≥3. 即證a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3， 而ab＋bc＋ca＝1， 故需證明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)， 即證a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 而ab＋bc＋ca≤＋＋ ＝a2＋b2＋c2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等

9、號(hào)成立)成立， 所以原不等式成立． 3．(2019·全國(guó)卷Ⅰ)已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc＝1.證明： (1)＋＋≤a2＋b2＋c2； (2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24. [解]　(1)因?yàn)閍2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，且abc＝1，故有 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋. 所以＋＋≤a2＋b2＋c2. (2)因?yàn)閍，b，c為正數(shù)且abc＝1，故有 (a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3 ＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2)×(2)×(2) ＝24. 所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋

10、a)3≥24. 　(1)利用綜合法證明不等式時(shí)，常用的不等式有：① a2≥0；②|a|≥0；③a2＋b2≥2ab，它的變形形式又有(a＋b)2≥4ab，≥2等；④≥(a>0，b>0)，它的變形形式又有a＋≥2(a>0)，＋≥2(ab>0)，＋≤－2(ab<0)等． (2)用分析法證明不等式時(shí)，不要把“逆求”錯(cuò)誤地作為“逆推”，分析的過程是尋求結(jié)論成立的充分條件，而不一定是充要條件，同時(shí)要正確使用“要證”“只需證”這樣的“關(guān)鍵詞”． [教師備選例題] (2017·全國(guó)卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.證明： (1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2. [證明

11、]　(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a4＋b4－2a2b2)＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b) ≤2＋(a＋b)＝2＋， 所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2. 考點(diǎn)2　放縮法證明不等式 　(1)在不等式的證明中，“放”和“縮”是常用的證明技巧，常見的放縮方法有： ①變換分式的分子和分母，如<，>，<，>，上面不等式中k∈N＋，k>1； ②利用函數(shù)的單調(diào)性； ③利用結(jié)論，如“若00，則<”． (2)

12、使用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)證明不等式時(shí)，常與放縮法結(jié)合在一起應(yīng)用，利用放縮法時(shí)要目標(biāo)明確，通過添、拆項(xiàng)后，適當(dāng)放縮． 　(1)設(shè)a>0，<，|y－2|<，求證：|2x＋y－4|0，|x－1|<，可得|2x－2|<， 又|y－2|<， ∴|2x＋y－4|＝|(2x－2)＋(y－2)| ≤|2x－2|＋|y－2|<＋＝a. 即|2x＋y－4|

13、拆項(xiàng)放縮的技巧，放縮拆項(xiàng)時(shí)，不一定從第一項(xiàng)開始，須根據(jù)具體題型分別對(duì)待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰到好處． 　1.設(shè)n是正整數(shù)，求證： ≤ ＋＋…＋＜1. [證明]　由2n≥n＋k＞n(k＝1,2，…，n)，得 ≤ ＜. 當(dāng)k＝1時(shí)， ≤ ＜； 當(dāng)k＝2時(shí)， ≤ ＜； … 當(dāng)k＝n時(shí)， ≤ ＜， ∴＝ ≤ ＋＋…＋＜＝1. ∴原不等式成立． 2．若a，b∈R，求證：≤＋. [證明]　當(dāng)|a＋b|＝0時(shí)，不等式顯然成立． 當(dāng)|a＋b|≠0時(shí)， 由0＜|a＋b|≤|a|＋|b|? ≥ ， 所以＝ ≤ ＝＝＋ ≤ ＋. 考點(diǎn)3　柯西不等式的應(yīng)用

14、 　柯西不等式的解題策略 (1)利用柯西不等式證明不等式，先使用拆項(xiàng)重組、添項(xiàng)等方法構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，再使用柯西不等式解決有關(guān)問題． (2)利用柯西不等式求最值，實(shí)質(zhì)上就是利用柯西不等式進(jìn)行放縮，放縮不當(dāng)則等號(hào)可能不成立，因此一定不能忘記檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件. 　(2019·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1. (1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值； (2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，證明：a≤－3或a≥－1. [解]　(1)由于 [(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2 ＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋

15、1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)] ≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]， 故由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝－，z＝－時(shí)等號(hào)成立． 所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值為. (2)由于[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2 ＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)] ≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]， 故由已知得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝，z＝時(shí)

16、等號(hào)成立． 因此(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值為. 由題設(shè)知≥，解得a≤－3或a≥－1. 　利用柯西不等式證明不等式或求解某些含有約束條件的多變量的最值問題，解決的關(guān)鍵是構(gòu)造兩組數(shù)，并向柯西不等式的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化． 　1.已知a，b，c∈R，且滿足a＋2b＋3c＝6，求a2＋2b2＋3c2的最小值． [解]　由柯西不等式，得(1＋2＋3)(a2＋2b2＋3c2)≥(1·a＋·b＋·c)2. 得6(a2＋2b2＋3c2)≥(a＋2b＋3c)2＝36. 所以a2＋2b2＋3c2≥6. 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝，即a＝b＝c＝1時(shí)，上式等號(hào)成立．所以a2＋2b2＋3c2的最小值為6. 2．設(shè)x，y，z∈R，且＋＋＝1，求x＋y＋z的取值范圍． [解]　由柯西不等式，得 [42＋()2＋22] ≥2， 即25×1≥(x＋y＋z)2. 所以5≥|x＋y＋z|，所以－5≤x＋y＋z≤5. 即x＋y＋z的取值范圍是[－5,5]． 3．(2017·江蘇高考)已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，證明：ac＋bd≤8. [證明]　由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．因?yàn)閍2＋b2＝4，c2＋d2＝16， 所以(ac＋bd)2≤64， 因此ac＋bd≤8. 8