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1、高中數學 綜合素質測試 新人教B版選修2-2 一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．) 1．(xx·江西理，1)是z的共軛復數．若z＋＝2，(z－)i＝2(i為虛數單位)，則z＝(　　) A．1＋i　 B．－1－i C．－1＋i D．1－i [答案]　D [解析]　本題考查復數、共軛復數的運算． 設z＝a＋bi，則＝a－bi. 由題設條件可得a＝1，b＝－1.選D. 2．若f(x)＝x2－2x－4lnx，則f′(x)＞0的解集為(　　) A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞)

2、D．(－1,0) [答案]　C [解析]　本題主要考查導數的概念及分式不等式的解法和對數的概念．因為f(x)＝x2－2x－4lnx， ∴f′(x)＝2x－2－＝>0， 即，解得x>2，故選C. 3．下列命題中正確的是(　　) A．復數a＋bi與c＋di相等的充要條件是a＝c且b＝d B．任何復數都不能比較大小 C．若＝，則z1＝z2 D．若|z1|＝|z2|，則z1＝z2或z1＝ [答案]　C [解析]　A選項未注明a，b，c，d∈R.實數是復數，實數能比較大?。畓1與z2的模相等，符合條件的z1，z2有無數多個，如單位圓上的點對應的復數的模都是1.故選C. 4．數列1

3、，，，，，，，，，，…，的前100項的和等于(　　) A．13 B．13 C．14 D．14 [答案]　A [解析]　從數列排列規(guī)律看，項有n個，故1＋2＋…＋n＝≤100.得n(n＋1)≤200，所以n≤13，當n＝13時，＝13×7＝91(個)，故前91項的和為13，從第92項開始到第100項全是，共9個，故前100項的和為13.故選A. 5．對一切實數x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，則實數a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2,2] C．[－2，＋∞) D．[0，＋∞) [答案]　C [解析]　用分離參數法可得a≥－(x≠0)，則|x|＋≥2，∴

4、a≥－2.當x＝0時，顯然成立． 6．曲線y＝ex在點(2，e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為(　　) A. B．2e2 C．e2 D． [答案]　D [解析]　y′＝(ex)′＝ex，曲線在點(2，e2)處的切線斜率為e2，因此切線方程為y－e2＝e2(x－2)，則切線與坐標軸交點為A(1,0)，B(0，－e2)， 所以：S△AOB＝×1×e2＝. 7．(xx·淄博市臨淄區(qū)檢測)已知函數f(x)＝x3－12x，若f(x)在區(qū)間(2m，m＋1)上單調遞減，則實數m的取值范圍是(　　) A．－1≤m≤1 B．－1

5、 [解析]　因為f ′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，令f ′(x)<0?－2

6、則f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3a(x－1)(x－3)，∴b＝－6a，c＝9a， ∴f(x)＝ax3－6ax2＋9ax，∵f(1)＝4，∴a＝1. ∴f(x)＝x3－6x2＋9x，故選B. 9．若xy是正實數，則2＋2的最小值是(　　) A．3 B． C．4 D． [答案]　C [解析]　因為xy是正實數，所以 2＋2＝x2＋＋＋y2＋＋ ＝＋＋≥1＋2＋1＝4，當且僅當x＝y(tǒng)＝±時，等號成立．故選C. 10．復數z滿足方程＝4，那么復數z在復平面內對應的點P組成的圖形為(　　) A．以(1，－1)為圓心，以4為半徑的圓 B．以(1，－1)為圓心，以2為半徑的圓

7、 C．以(－1,1)為圓心，以4為半徑的圓 D．以(－1,1)為圓心，以2為半徑的圓 [答案]　C [解析]　原方程可化為|z＋(1－i)|＝4，即|z－(－1＋i)|＝4，表示以(－1,1)為圓心，以4為半徑的圓．故選C. 11．已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在區(qū)間[－1,2]上是減函數，那么b＋c(　　) A．有最大值 B．有最大值－ C．有最小值 D．有最小值－ [答案]　B [解析]　由題意f′(x)＝3x2＋2bx＋c在[－1,2]上，f′(x)≤0恒成立． 所以， 即， 令b＋c＝z，b＝－c＋z， 如圖A是使得z最大的點， 最大值為b＋c＝－

8、6－＝－.故應選B. 12．已知函數f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸相切于點(1,0)，則f(x)的(　　) A．極大值為，極小值為0 B．極大值為0，極小值為－ C．極小值為－，極大值為0 D．極小值為0，極大值為 [答案]　A [解析]　由題設條件知， 所以 . 所以p＝2，q＝－1.所以f(x)＝x3－2x2＋x，進而可求得f(1)是極小值，f是極大值．故選A. 二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，將正確答案填在題中橫線上) 13．(xx·四川理，11)復數＝________. [答案]　－2i [解析]　本題考查了復數的運算． ＝＝－

9、2i. 14．(xx·陜西文，14)已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋， 則fxx(x)的表達式為________． [答案]　fxx(x)＝ [解析]　本題考查了函數的解析式． f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝＝，f3(x)＝f(f2(x))＝＝，…， fxx(x)＝. 15．定積分0sintcostdt＝________. [答案]　 [解析]　 0sintcostdt＝sin2tdt ＝(－cos2t) ＝×(1＋1)＝. 16．設曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸的

10、交點的橫坐標為xn，令an＝lgxn，則a1＋a2＋…＋a99的值為________． [答案]　－2 [解析]　本小題主要考查導數的幾何意義和對數函數的有關性質． ∵k＝y(tǒng)′|x＝1＝n＋1， ∴切線l：y－1＝(n＋1)(x－1)， 令y＝0，xn＝，∴an＝lg， ∴原式＝lg＋lg＋…＋lg ＝lg××…×＝lg＝－2. 三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本題滿分12分)已知函數f(x)＝.求證：對于任意不小于3的正整數n都有f(n)>成立． [解析]　要證f(n)>(n∈N*且n≥3)，只需證>，即證1－>1

11、－，也就是證明2n－1>2n. 下面用數學歸納法來證明2n－1>2n(n∈N*，且n≥3)． ①當n＝3時，左邊＝7，右邊＝6，左邊>右邊，不等式成立． ②假設當n＝k(k∈N*，且k≥3)時不等式成立，即2k－1>2k，則當n＝k＋1時，2k＋1－1＝2·2k－1＝2(2k－1)＋1>2·2k＋1＝2(k＋1)＋2k－1>2(k＋1)，故當n＝k＋1時，不等式也成立． 綜上所述，當n∈N*且n≥3時，2n－1>2n成立． 所以f(n)>(n∈N*且n≥3)成立． [說明]　對于2n－1>2n，還可以用二項式定理證明．由2n＝C＋C＋C＋…＋C＋C，有2n－C＝C＋C＋(C＋C＋…

12、＋C＋C)，即2n－1＝2n＋(C＋C＋…＋C＋C)，當n≥3時，C＋C＋…＋C＋C>0.所以2n－1>2n. 18．(本題滿分12分)一艘漁艇停泊在距岸9km處，今需派人送信給距漁艇3km處的海岸漁站，如果送信人步行每小時5km，船速每小時4km，問應在何處登岸再步行可以使抵達漁站的時間最??？ [解析]　如圖，設BC為海岸線，A為漁艇停泊處，C為漁站，D為海岸上一點， ∵AB＝9，AC＝3， BC＝＝15， 設CD＝x，由A到C所需時間為T， 則T＝x＋(0≤x≤15)， T′＝－ . 令T′＝0，解得x＝3. x<3時，T′<0，x>3時，T′>0，因此在x＝3處

13、取得極小值．又T(0)＝，T(15)＝，T(3)＝，比較可知T(3)最小． 答：在距漁站3km登岸可使抵達漁站的時間最?。? 19．(本題滿分12分)求同時滿足下列條件的所有復數z： (1)z＋是實數，且1

14、(2)知a＝1,2,3. ∴相應的b＝±3，±(舍)，±1. 因此，復數z為：1±3i或3±i. 20．(本題滿分12分)(xx·安徽理，18)設函數f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0. (1)討論f(x)在其定義域上的單調性； (2)當x∈[0,1]時，求f(x)取得最大值和最小值時的x的值． [解析]　(1)f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，f ′(x)＝1＋a－2x－3x2， 令f ′(x)＝0得x1＝， x2＝，x1x2時，f ′(x)<0；當x1

15、0，故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)內單調遞減，在(x1，x2)內單調遞增． (2)因為a>0，所以x1<0，x2>0， ①當a≥4時，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0,1]上單調遞增，所以f(x)在x＝0和x＝1處分別取得最小值和最大值． ②當0

16、． 21．(本題滿分12分)已知數列{an}滿足a1＝a，an＋1＝(n∈N*)． (1)求a2，a3，a4； (2)猜測數列{an}的通項公式，并用數學歸納法證明． [解析]　(1)由an＋1＝，可得a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝. (2)猜測an＝(n∈N*)． 下面用數學歸納法證明： ①當n＝1時，左邊＝a1＝a， 右邊＝＝a，猜測成立． ②假設當n＝k(k∈N*)時猜測成立， 即ak＝. 則當n＝k＋1時，ak＋1＝＝ ＝ ＝. 故當n＝k＋1時，猜測也成立． 由①，②可知，對任意n∈N*都有 an＝成立． 22．(本題滿分14分)設函數f(x)＝x

17、3－3ax＋b(a≠0)． (1)若曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處與直線y＝8相切，求a，b的值； (2)求函數f(x)的單調區(qū)間與極值點． [分析]　考查利用導數研究函數的單調性，極值點的性質，以及分類討論思想． [解析]　(1)f′(x)＝3x2－3a. 因為曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處與直線y＝8相切， 所以即 解得a＝4，b＝24. (2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)． 當a<0時，f′(x)>0，函數f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增，此時函數f(x)沒有極值點． 當a>0時，由f′(x)＝0得x＝±. 當x∈(－∞，－)時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增； 當x∈(－，)時，f′(x)<0，函數f(x)單調遞減； 當x∈(，＋∞)時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增． 此時x＝－是f(x)的極大值點，x＝是f(x)的極小值點．