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1、高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練九 第3講 分類討論思想 理 1．分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法．其基本思路是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實(shí)現(xiàn)解決原問題的思想策略．對問題實(shí)行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個(gè)已知條件，實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題)，優(yōu)化解題思路，降低問題難度． 2．分類討論的常見類型 (1)由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論．有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等． (2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論．有的數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論

2、不一致，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性等． (3)由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論．如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等． (4)由圖形的不確定性引起的分類討論．有的圖形類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限；點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等． (5)由參數(shù)的變化引起的分類討論．某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法． (6)由實(shí)際意義引起的討論．此類問題在應(yīng)用題中，特別是在解決排列、組合中的計(jì)數(shù)問題時(shí)常用

3、． 3．分類討論的原則 (1)不重不漏． (2)標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，層次要分明． (3)能不分類的要盡量避免或盡量推遲，決不無原則地討論． 4．解分類問題的步驟 (1)確定分類討論的對象，即對哪個(gè)變量或參數(shù)進(jìn)行分類討論． (2)對所討論的對象進(jìn)行合理的分類． (3)逐類討論，即對各類問題詳細(xì)討論，逐步解決． (4)歸納總結(jié)，將各類情況總結(jié)歸納. 熱點(diǎn)一　由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、運(yùn)算引起的分類討論 例1　(1)(xx·浙江)設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(f(a))≤2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． (2)在等比數(shù)列{an}中，已知a3＝，S3＝，則a1＝________. 答案

4、　(1)a≤　(2)或6 解析　(1)f(x)的圖象如圖，由圖象知，滿足f(f(a))≤2時(shí)，得f(a)≥－2，而滿足f(a)≥－2時(shí)，得a≤. (2)當(dāng)q＝1時(shí)，a1＝a2＝a3＝， S3＝3a1＝，顯然成立； 當(dāng)q≠1時(shí)，由題意，得 所以 由①②，得＝3，即2q2－q－1＝0， 所以q＝－或q＝1(舍去)． 當(dāng)q＝－時(shí)，a1＝＝6.綜上可知，a1＝或a1＝6. 思維升華　(1)由數(shù)學(xué)概念引起的討論要正確理解概念的內(nèi)涵與外延，合理進(jìn)行分類；(2)運(yùn)算引起的分類討論有很多，如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對數(shù)運(yùn)算中真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式兩邊

5、同乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等． 　(1)已知函數(shù)f(x)＝滿足f(a)＝3，則f(a－5)的值為(　　) A．log23 B. C. D．1 (2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝pn－1(p是常數(shù))，則數(shù)列{an}是(　　) A．等差數(shù)列 B．等比數(shù)列 C．等差數(shù)列或等比數(shù)列 D．以上都不對 答案　(1)C　(2)D 解析　(1)分兩種情況分析，①或者②，①無解，由②得，a＝7，所以f(a－5)＝22－3＋1＝，故選C. (2)∵Sn＝pn－1， ∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)， 當(dāng)p≠1且p≠0時(shí)，{an}是等比

6、數(shù)列； 當(dāng)p＝1時(shí)，{an}是等差數(shù)列； 當(dāng)p＝0時(shí)，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此時(shí){an}既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列． 熱點(diǎn)二　由圖形位置或形狀引起的討論 例2　(1)不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)有________個(gè)整點(diǎn)(把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn))． (2)設(shè)圓錐曲線T的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若曲線T上存在點(diǎn)P滿足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，則曲線T的離心率為________． 答案　(1)20　(2)或 解析　(1)畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖)． 結(jié)合圖中的可行域可知 x∈[－，2]，y∈[－2,5]． 由圖形及不等式組，知

7、 當(dāng)x＝－1時(shí)，1≤y≤2，有2個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)x＝0時(shí)，0≤y≤3，有4個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)x＝1時(shí)，－1≤y≤4，有6個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)x＝2時(shí)，－2≤y≤5，有8個(gè)整點(diǎn)； 所以平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)共有2＋4＋6＋8＝20(個(gè))． (2)不妨設(shè)|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，若該圓錐曲線為橢圓，則有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝；若該圓錐曲線是雙曲線，則有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a， |F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝. 所以圓錐曲線T的離心率為或. 思維升華　求解有關(guān)幾何問題時(shí)，由于幾何元素的形狀、位置變化的不確定

8、性，所以需要根據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類討論． 一般由圖形的位置或形狀變化引發(fā)的討論包括：二次函數(shù)對稱軸位置的變化；函數(shù)問題中區(qū)間的變化；函數(shù)圖象形狀的變化；直線由斜率引起的位置變化；圓錐曲線由焦點(diǎn)引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化． 　(1)已知變量x，y滿足的不等式組表示的是一個(gè)直角三角形圍成的平面區(qū)域，則實(shí)數(shù)k等于(　　) A．－ B. C．0 D．－或0 (2)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)．已知P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF1|>|PF2|，則的值為________． 答案　(1)D　(2)2或 解析　(1)不等式組表示的可

9、行域如圖(陰影部分)所示，由圖可知若不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形，只有直線y＝kx＋1與直線x＝0垂直(如圖①)或直線y＝kx＋1與直線y＝2x垂直(如圖②)時(shí)，平面區(qū)域才是直角三角形． 由圖形可知斜率k的值為0或－. (2)若∠PF2F1＝90°， 則|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2， ∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2， 解得|PF1|＝，|PF2|＝，∴＝. 若∠F2PF1＝90°， 則|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2 ＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2， 解得|PF1|＝4，|PF2|＝2， ∴＝2.綜上所述，＝2或.

10、熱點(diǎn)三　由參數(shù)引起的分類討論 例3　(xx·四川改編)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…為自然對數(shù)的底數(shù)． 設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值． 解　由f(x)＝ex－ax2－bx－1， 有g(shù)(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b. 所以g′(x)＝ex－2a. 因此，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，g′(x)∈[1－2a，e－2a]． 當(dāng)a≤時(shí)，g′(x)≥0， 所以g(x)在[0,1]上單調(diào)遞增， 因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b； 當(dāng)a≥時(shí)，g′(x)≤0，所以g(x)在[0,

11、1]上單調(diào)遞減， 因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b； 當(dāng)

12、一般地，遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對結(jié)果的影響進(jìn)行分類討論，此種題目為含參型，應(yīng)全面分析參數(shù)變化引起結(jié)論的變化情況，參數(shù)有幾何意義時(shí)還要考慮適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，分類要做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，不重不漏． 　已知函數(shù)g(x)＝(a∈R)，f(x)＝ln(x＋1)＋g(x)． (1)若函數(shù)g(x)過點(diǎn)(1,1)，求函數(shù)f(x)的圖象在x＝0處的切線方程； (2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性． 解　(1)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)過點(diǎn)(1,1)，所以1＝，解得a＝2，所以f(x)＝ln(x＋1)＋.由f′(x)＝＋＝，則f′(0)＝3，所以所求的切線的斜率為3.又f(0)＝0，所以切點(diǎn)為(

13、0,0)，故所求的切線方程為y＝3x. (2)因?yàn)閒(x)＝ln(x＋1)＋(x>－1)， 所以f′(x)＝＋＝. ①當(dāng)a≥0時(shí)，因?yàn)閤>－1，所以f′(x)>0， 故f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增． ②當(dāng)a<0時(shí)，由得－1－1－a， 故f(x)在(－1－a，＋∞)上單調(diào)遞增． 綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增； 當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在(－1，－1－a)上單調(diào)遞減， 在(－1－a，＋∞)上單調(diào)遞增． 分類討論思想的本質(zhì)是“化整為零，積零為整”．用分類討論的思維策略解

14、數(shù)學(xué)問題的操作過程：明確討論的對象和動(dòng)機(jī)→確定分類的標(biāo)準(zhǔn)→逐類進(jìn)行討論→歸納綜合結(jié)論→檢驗(yàn)分類是否完備(即分類對象彼此交集為空集，并集為全集)．做到“確定對象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，分類不重復(fù)、不遺漏”的分析討論． 常見的分類討論問題有： (1)集合：注意集合中空集?的討論． (2)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)中的底數(shù)a，一般應(yīng)分a>1和01的討論；等比數(shù)列中分公比q＝1和q≠1的討論． (4)三角函數(shù)：角的象限及函數(shù)值范圍的討論． (5)不等式

15、：解不等式時(shí)含參數(shù)的討論，基本不等式相等條件是否滿足的討論． (6)立體幾何：點(diǎn)線面及圖形位置關(guān)系的不確定性引起的討論； (7)平面解析幾何：直線點(diǎn)斜式中k分存在和不存在，直線截距式中分b＝0和b≠0的討論；軌跡方程中含參數(shù)時(shí)曲線類型及形狀的討論． (8)排列、組合、概率中的分類計(jì)數(shù)問題． (9)去絕對值時(shí)的討論及分段函數(shù)的討論等． 真題感悟 1．(xx·課標(biāo)全國Ⅱ)鈍角三角形ABC的面積是，AB＝1，BC＝，則AC等于(　　) A．5 B. C．2 D．1 答案　B 解析　∵S△ABC＝AB·BC·sin B＝×1×sin B＝， ∴sin B＝，∴B＝或.

16、 當(dāng)B＝時(shí)，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1＋2＋2＝5，所以AC＝，此時(shí)△ABC為鈍角三角形，符合題意； 當(dāng)B＝時(shí)，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1＋2－2＝1，所以AC＝1，此時(shí)AB2＋AC2＝BC2，△ABC為直角三角形，不符合題意．故AC＝. 2．(xx·安徽)“a≤0”是“函數(shù)f(x)＝|(ax－1)x|在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　C 解析　當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝|(ax－1)x|＝|x|在區(qū)

17、間(0，＋∞)上單調(diào)遞增； 當(dāng)a<0時(shí)，結(jié)合函數(shù)f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的圖象知函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，如圖(1)所示； 當(dāng)a>0時(shí)，結(jié)合函數(shù)f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的圖象知函數(shù)在(0，＋∞)上先增后減再增，不符合條件，如圖(2)所示． 所以，要使函數(shù)f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增只需a≤0. 即“a≤0”是“函數(shù)f(x)＝|(ax－1)x|在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增”的充要條件． 3．(xx·廣東)設(shè)集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中滿足

18、條件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素個(gè)數(shù)為(　　) A．60 B．90 C．120 D．130 答案　D 解析　在x1，x2，x3，x4，x5這五個(gè)數(shù)中，因?yàn)閤i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5，所以滿足條件1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3的可能情況有“①一個(gè)1(或－1)，四個(gè)0，有C×2種；②兩個(gè)1(或－1)，三個(gè)0，有C×2種；③一個(gè)－1，一個(gè)1，三個(gè)0，有A種；④兩個(gè)1(或－1)，一個(gè)－1(或1)，兩個(gè)0，有CC×2種；⑤三個(gè)1(或－1)，兩個(gè)0，有C×2種．故共有C×2＋C×2＋A＋CC×2＋C×2＝1

19、30(種)，故選D. 押題精練 1．已知函數(shù)f(x)＝為R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(0，＋∞) B．[－2,0) C．[－1,0) D．[－1，＋∞) 答案　C 解析　若a＝0，則f(x)在定義域的兩個(gè)區(qū)間內(nèi)都是常函數(shù)，不具備單調(diào)性；若a>0，函數(shù)f(x)在兩段上都是單調(diào)遞增的，要使函數(shù)在R上單調(diào)遞增，只要(a＋2)e0≤1，即a≤－1，與a>0矛盾，此時(shí)無解．若－2

20、0)． 2．等比數(shù)列{an}中，a3＝7，前3項(xiàng)之和S3＝21，則公比q的值是(　　) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或 答案　C 解析　當(dāng)公比q＝1時(shí)，a1＝a2＝a3＝7，S3＝3a1＝21，符合要求． 當(dāng)q≠1時(shí)，a1q2＝7，＝21，解之得，q＝－或q＝1(舍去)．綜上可知，q＝1或－. 3．拋物線y2＝4px (p>0)的焦點(diǎn)為F，P為其上的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OPF為等腰三角形，則這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 答案　C 解析　當(dāng)|PO|＝|PF|時(shí)，點(diǎn)P在線段OF的中垂線上，此時(shí)，點(diǎn)P的位置有兩個(gè)；當(dāng)|OP|

21、＝|OF|時(shí)，點(diǎn)P的位置也有兩個(gè)；對|FO|＝|FP|的情形，點(diǎn)P不存在．事實(shí)上，F(xiàn)(p,0)，若設(shè)P(x，y)，則|FO|＝p，|FP|＝，若＝p，則有x2－2px＋y2＝0，又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，當(dāng)x＝0時(shí)，不構(gòu)成三角形．當(dāng)x＝－2p(p>0)時(shí)，與點(diǎn)P在拋物線上矛盾．所以符合要求的點(diǎn)P一共有4個(gè)． 4．6位同學(xué)在畢業(yè)聚會(huì)活動(dòng)中進(jìn)行紀(jì)念品的交換，任意兩位同學(xué)之間最多交換一次，進(jìn)行交換的兩位同學(xué)互贈(zèng)一份紀(jì)念品．已知6位同學(xué)之間共進(jìn)行了13次交換，則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為(　　) A．1或3 B．1或4 C．2或3 D．2或4 答案　

22、D 解析　設(shè)6位同學(xué)分別用a，b，c，d，e，f表示． 若任意兩位同學(xué)之間都進(jìn)行交換共進(jìn)行15次交換，現(xiàn)共進(jìn)行了13次交換，說明有兩次交換沒有發(fā)生，此時(shí)可能有兩種情況： (1)由3人構(gòu)成的2次交換，如a－b和a－c之間的交換沒有發(fā)生，則收到4份紀(jì)念品的有b，c兩人． (2)由4人構(gòu)成的2次交換，如a－b和c－e之間的交換沒有發(fā)生，則收到4份紀(jì)念品的有a，b，c，e四人．故選D. 5．已知等差數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為－4. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝(4－an)qn－1 (q≠0，n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解　(1)設(shè)數(shù)列{a

23、n}的公差為d， 由已知，得解得 故an＝3－(n－1)＝4－n. (2)由(1)可得bn＝n·qn－1， 于是Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1. 若q≠1，將上式兩邊同乘q，得 qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn. 兩式相減，得(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1 ＝nqn－＝. 于是，Sn＝. 若q＝1，則Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝. 綜上，Sn＝ 6．已知函數(shù)f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1，試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性． 解　由題意知f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)， f′(x)＝＋2ax＝. ①當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． ②當(dāng)a≤－1時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減． ③當(dāng)－10； 當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0. 故f(x)在上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減． 綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； 當(dāng)a≤－1時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減； 當(dāng)－1