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1、高中數(shù)學(xué) 知能基礎(chǔ)測(cè)試 新人教B版選修2-2 一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．) 1．曲線(xiàn)y＝x2－2x在點(diǎn) 處的切線(xiàn)的傾斜角為(　　) A．－1　　　 B．45°　　　 C．－45°　　　 D．135° [答案]　D [解析]　y′＝x－2，所以斜率k＝1－2＝－1，因此傾斜角為135°.故選D. 2．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(　　) A.′＝1＋ B．(log2x)′＝ C．(3x)′＝3x·log3e D．(x2cosx)′＝－2xsinx [答案]　B [解析]　′＝1－，所以A不正確；

2、(3x)′＝3xln3，所以C不正確；(x2cosx)′＝2xcosx＋x2·(－sinx)，所以D不正確；(log2x)′＝，所以B對(duì)．故選B. 3．如圖，一個(gè)正五角星薄片(其對(duì)稱(chēng)軸與水面垂直)勻速地升出水面，記t時(shí)刻五角星露出水面部分的圖形面積為S(t)(S(0)＝0)，則導(dǎo)函數(shù)y＝S′(t)的圖像大致為(　　) [答案]　A [解析]　由圖象知，五角星露出水面的面積的變化率是增→減→增→減，其中恰露出一個(gè)角時(shí)變化不連續(xù)，故選A. 4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍為(　　) A．－1

3、或a>2 D．a(chǎn)<－3或a>6 [答案]　D [解析]　f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6.因?yàn)閒(x)既有極大值又有極小值，所以Δ>0，即4a2－4×3×(a＋6)>0，即a2－3a－18>0，解得a>6或a<－3.故選D. 5．(xx·山東理，6)直線(xiàn)y＝4x與曲線(xiàn)y＝x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 [答案]　D [解析]　如圖所示 由解得或 ∴第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,8) 由定積分的幾何意義得S＝(4x－x3)dx＝(2x2－)|＝8－4＝4. 6．(xx·黃山模擬)已知f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2

4、，則x0＝(　　) A．e2 B．e C. D．ln2 [答案]　B [解析]　f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1， 由f′(x0)＝2，得lnx0＋1＝2，解得x0＝e. 7．(xx·北師大附中高二期中)函數(shù)y＝的導(dǎo)數(shù)為(　　) A．y′＝ B．y′＝ C．y′＝－ D．y′＝ [答案]　D [解析]　y′＝＝. 8．函數(shù)f(x)＝x3－2x＋3的圖象在x＝1處的切線(xiàn)與圓x2＋y2＝8的位置關(guān)系是(　　) A．相切 B．相交且過(guò)圓心 C．相交但不過(guò)圓心 D．相離 [答案]　C [解析]　切線(xiàn)方程為y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.圓心到直線(xiàn)的

5、距離為＝<2，所以直線(xiàn)與圓相交但不過(guò)圓心．故選C. 9．f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象可能是(　　) [答案]　D [解析]　由圖可知，當(dāng)b>x>a時(shí)，f′(x)>0，故在[a，b]上，f(x)為增函數(shù)．且又由圖知f′(x)在區(qū)間[a，b]上先增大后減小，即曲線(xiàn)上每一點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率先增大再減小，故選D. 10．曲線(xiàn)y＝ex在點(diǎn)(4，e2)處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為(　　) A.e2 B．4e2 C．2e2 D．e2 [答案]　D [解析]　∵y′＝e， ∴在點(diǎn)(4，e2)處的切線(xiàn)方程為y＝e2x－e2， 令x＝0得y

6、＝－e2，令y＝0得x＝2， ∴圍成三角形的面積為e2.故選D. 11．(xx·天門(mén)市調(diào)研)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f ′(x)＝a(x－b)2＋c的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的圖象可能是(　　) 　　　　　　 [答案]　D [解析]　由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)f(x)遞減，排除A，B；當(dāng)00，函數(shù)f(x)遞增．因此，當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得極小值，故選D. 12．(xx·泰安一中高二段測(cè))已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，若△ABC為銳角三角形，則一定成立的是(　　) A．f(sinA)>f(cosB) B．f(sinA

7、)f(sinB) D．f(cosA)0時(shí)，f ′(x)>0，即f(x)單調(diào)遞增，又△ABC為銳角三角形，則A＋B>，即>A>－B>0，故sinA>sin(－B)>0，即sinA>cosB>0，故f(sinA)>f(cosB)，選A. 二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分．將正確答案填在題中橫線(xiàn)上) 13．經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)且與曲線(xiàn)y＝相切的直線(xiàn)方程為_(kāi)_____________． [答案]　x＋y－2＝0 [解析]　設(shè)切點(diǎn)為，則＝－，解得x0＝1，所以切點(diǎn)為(1,1

8、)，斜率為－1，直線(xiàn)方程為x＋y－2＝0. 14．若函數(shù)f(x)＝在(0，＋∞)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． [答案]　a≥0 [解析]　f′(x)＝′＝a＋， 由題意得，a＋≥0對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立， 即a≥－，x∈(0，＋∞)恒成立．∴a≥0. 15．(xx·湖北重點(diǎn)中學(xué)高二期中聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋2a＋1的圖象經(jīng)過(guò)四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． [答案]　(－，－) [解析]　f ′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x－1)(x＋2)， 由f(x)的圖象經(jīng)過(guò)四個(gè)象限知，若a>0，則 此時(shí)無(wú)解；若a<

9、0，則 ∴－1時(shí)，此函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x0＝0時(shí)，m＝－3，當(dāng)x0＝1時(shí)，m＝

10、－2，∴當(dāng)－30)． (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f(x)在(0,1]上 的最大值為，求a的值． [解析]　函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,2)， f ′(x)＝－＋a， (1)當(dāng)a＝1時(shí)，f ′(x)＝，∴當(dāng)x∈(0，)時(shí)，f ′(x)>0，

11、當(dāng)x∈(，2)時(shí)，f ′(x)<0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，2)； (2)當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f ′(x)＝＋a>0， 即f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，故f(x)在(0,1]上的最大值為f(1)＝a，因此a＝. 18．(本題滿(mǎn)分12分)(xx·韶關(guān)市曲江一中月考)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得極值－2. (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值； (3)證明：對(duì)任意x1、x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|<4恒成立． [解析]　(1)∵f(x)是

12、R上的奇函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)， 即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d，∴d＝－d， ∴d＝0(或由f(0)＝0得d＝0)． ∴f(x)＝ax3＋cx，f ′(x)＝3ax2＋c， 又當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得極值－2， ∴即解得 ∴f(x)＝x3－3x. (2)f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f ′(x)＝0，得x＝±1， 當(dāng)－11時(shí)，f ′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增； ∴函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(－∞，－1)和(1，＋∞)；遞減區(qū)間為(－1,1)． 因此，f(

13、x)在x＝－1處取得極大值，且極大值為f(－1)＝2. (3)由(2)知，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上單調(diào)遞減，且f(x)在區(qū)間[－1,1]上的最大值為M＝f(－1)＝2.最小值為m＝f(1)＝－2.∴對(duì)任意x1、x2∈(－1,1)， |f(x1)－f(x2)|

14、 20．(本題滿(mǎn)分12分)已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)．若函數(shù)f(x)＝a·b在區(qū)間(－1,1)上是增函數(shù)，求t的取值范圍． [解析]　依定義f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，∴f′(x)＝－3x2＋2x＋t. 若f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)，則在(－1,1)上有f′(x)≥0.恒成立． ∵f′(x)≥0?t≥3x2－2x，由于g(x)＝3x2－2x的圖象是對(duì)稱(chēng)軸為x＝，開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，故要使t≥3x2－2x在區(qū)間(－1,1)上恒成立?t≥g(－1)，即t≥5. 而當(dāng)t≥5時(shí)，f′(x)在(－1,1)上滿(mǎn)足f′(x)>0， 即

15、f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)． 故t的取值范圍是t≥5. 21．(本題滿(mǎn)分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R. (1)若f(x)在x＝3處取得極值，求常數(shù)a的值； (2)若f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)，求a的取值范圍． [解析]　(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－a)(x－1)． 因f(x)在x＝3處取得極值， 所以f′(3)＝6(3－a)(3－1)＝0，解得a＝3. 經(jīng)檢驗(yàn)知當(dāng)a＝3時(shí)，x＝3為f(x)的極值點(diǎn)． (2)令f′(x)＝6(x－a)(x－1)＝0得x1＝a，x2＝1. 當(dāng)a<0時(shí)，若x∈(－

16、∞，a)∪(1，＋∞)，則f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，a)和(1，＋∞)上為增函數(shù)． 當(dāng)0≤a<1時(shí)，f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)． 當(dāng)a≥1時(shí)，若x∈(－∞，1)∪(a，＋∞)，則f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，1)和(a，＋∞)上為增函數(shù)，從而f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)． 綜上可知，當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)． 22．(本題滿(mǎn)分14分)設(shè)函數(shù)f(x)＝aex＋＋b(a>0)． (1)求f(x)在[0，＋∞)內(nèi)的最小值； (2)設(shè)曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線(xiàn)方程為y＝x，求a，b的值． [解析]　(1)f ′(x)

17、＝aex－， 當(dāng)f ′(x)>0，即x>－lna時(shí)，f(x)在(－lna，＋∞)上遞增； 當(dāng)f ′(x)<0，即x<－lna時(shí)，f(x)在(－∞，－lna)上遞減． ①當(dāng)00，f(x)在(0，－lna)上遞減，在(－lna，＋∞)上遞增，從而f(x)在[0，＋∞)上的最小值為f(－lna)＝2＋b； ②當(dāng)a≥1時(shí)，－lna≤0，f(x)在[0，＋∞)上遞增，從而f(x)在[0，＋∞)上的最小值為f(0)＝a＋＋b. (2)依題意f ′(2)＝ae2－＝， 解得ae2＝2或ae2＝－(舍去)． 所以a＝，代入原函數(shù)可得2＋＋b＝3， 即b＝. 故a＝，b＝.