《（全國(guó)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 算法初步、復(fù)數(shù)、推理與證明 第2講 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國(guó)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 算法初步、復(fù)數(shù)、推理與證明 第2講 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入學(xué)案（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第2講　數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 板塊一　知識(shí)梳理·自主學(xué)習(xí) [必備知識(shí)] 考點(diǎn)1　復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 1．復(fù)數(shù)的概念 形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實(shí)數(shù)，若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)，若a＝0，b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)． 2．復(fù)數(shù)相等 a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． 3．共軛復(fù)數(shù) a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)． 4．復(fù)數(shù)的模 向量的模r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 考點(diǎn)2

2、　復(fù)數(shù)的幾何意義 考點(diǎn)3　復(fù)數(shù)的運(yùn)算 設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則 1．加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； 2．減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； 3．乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； 4．除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． [必會(huì)結(jié)論] 1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. 2．－b＋ai＝i(a＋bi)． 3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)． 4．i4n＋i4n＋1

3、＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)． [考點(diǎn)自測(cè)] 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)方程x2＋1＝0沒(méi)有解．(　　) (2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.(　　) (3)復(fù)數(shù)的模等于復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也等于復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模．(　　) (4)已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)＝1＋2i，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限．(　　) (5)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大?。?　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2．[2017·全國(guó)卷Ⅲ]復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z＝i(－2＋i)的點(diǎn)位于(

4、　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴復(fù)數(shù)z＝－1－2i所對(duì)應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)為Z(－1，－2)，位于第三象限． 故選C. 3．[2017·全國(guó)卷Ⅱ]＝(　　) A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i 答案　D 解析?。剑剑?－i. 故選D. 4．[2018·榆林模擬]設(shè)復(fù)數(shù)z＝－2＋i(i是虛數(shù)單位)，z的共軛復(fù)數(shù)為，則|(1＋z)·|等于(　　) A. B．2 C．5 D. 答案　D 解析　∵z＝－2＋i，∴＝－2－i， ∴|(1＋z)·|＝|(1－2＋

5、i)·(－2－i)|＝|3－i|＝＝，故選D. 5．[2017·江蘇高考]已知復(fù)數(shù)z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虛數(shù)單位，則z的模是________． 答案　 解析　∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i， ∴|z|＝＝. |z|＝|1＋i||1＋2i|＝×＝. 6．[2018·湖北高中聯(lián)考]已知復(fù)數(shù)z＝1＋i(i是虛數(shù)單位)，則－z2的共軛復(fù)數(shù)是________． 答案　1＋3i 解析?。瓃2＝－(1＋i)2＝－2i＝1－i－2i＝1－3i，其共軛復(fù)數(shù)是1＋3i. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 例　1　(1)[2017·全國(guó)

6、卷Ⅰ]下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是(　　) A．i(1＋i)2 B．i2(1－i) C．(1＋i)2 D．i(1＋i) 答案　C 解析　A項(xiàng)，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是純虛數(shù)．B項(xiàng)，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是純虛數(shù)．C項(xiàng)，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是純虛數(shù)．D項(xiàng)，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是純虛數(shù)．故選C. (2)[2017·天津高考]已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則a的值為_(kāi)_______． 答案?。? 解析　∵a∈R，＝＝＝－i為實(shí)數(shù)，∴－＝0，∴a＝－2. 觸類旁通 求解與復(fù)數(shù)概念相關(guān)問(wèn)題

7、的技巧 復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部有關(guān)，所以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根據(jù)題意列方程(組)求解． 【變式訓(xùn)練1】　(1)若復(fù)數(shù)z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是純虛數(shù)，則的虛部為(　　) A．－ B．－i C. D.i 答案　A 解析　由題意得所以a＝1，所以＝＝＝－i，根據(jù)虛部的概念，可得的虛部為－.故選A. (2)[2018·福州調(diào)研]已知m∈R，i為虛數(shù)單位，若>0，則m＝(　　) A．1 B. C. D．－2 答案　B 解析　由已知得＝＝ ，由

8、>0，可得1－2m＝0，則m＝，選B. 考向　復(fù)數(shù)的幾何意義 例　2　(1)[2017·北京高考]若復(fù)數(shù)(1－i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) 答案　B 解析　∵(1－i)(a＋i)＝a＋i－ai－i2＝a＋1＋(1－a)i， 又∵復(fù)數(shù)(1－i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，∴解得a＜－1.故選B. (2)[2018·貴陽(yáng)模擬]已知i為虛數(shù)單位，a為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)z＝在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在y軸上，則a＝________. 答案?。? 解析　z＝＝＝

9、，由a＋3＝0，得a＝－3. 觸類旁通 復(fù)數(shù)幾何意義的理解及應(yīng)用 復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，每一個(gè)復(fù)數(shù)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)點(diǎn)(有序?qū)崝?shù)對(duì))．復(fù)數(shù)的實(shí)部對(duì)應(yīng)著點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而虛部則對(duì)應(yīng)著點(diǎn)的縱坐標(biāo)，只要在復(fù)平面內(nèi)找到這個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)所表示的點(diǎn)，就可根據(jù)點(diǎn)的位置判斷復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部的取值． 【變式訓(xùn)練2】　(1)[2018·邯鄲?？糫已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z＝在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)a的值可以是(　　) A．－2 B．1 C．2 D．3 答案　A 解析　z＝＝＝，因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以解得－4

10、復(fù)數(shù)z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它們?cè)趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，若＝λ＋μ，(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值是________． 答案　1 解析　由條件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，＝(1，－1)，由＝λ＋μ，得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)， ∴解得∴λ＋μ＝1. 考向　復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算 命題角度1　復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算 例　3　[2017·山東高考]已知a∈R，i是虛數(shù)單位．若z＝a＋i，z·＝4，則a＝(　　) A．1或－1 B.或－ C．－ D. 答案　A 解析　依題意得(a＋i)(a－i)＝4，即a

11、2＋3＝4，∴a＝±1.故選A. 命題角度2　復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算 例　4　[2015·全國(guó)卷Ⅰ]設(shè)復(fù)數(shù)z滿足＝i，則|z|＝(　　) A．1 B. C. D．2 答案　A 解析　由題意知1＋z＝i－zi， 所以z＝＝＝i，所以|z|＝1. 命題角度3　復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算 例　5　[2018·紹興模擬]i是虛數(shù)單位，2018＋7＝________. 答案　0 解析　原式＝1009＋7＝1009＋i7＝i4×252＋1＋i3＝i－i＝0. 觸類旁通 復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算類似，需要注意in的運(yùn)算周期性． 【變式訓(xùn)練3】　[2018·香坊模擬]已知復(fù)數(shù)z＝＋，a∈R，

12、若復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于第四象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)>1 B．a(chǎn)<0 C．01.故選A. 核心規(guī)律 1．實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)．除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)． 2．設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，利用復(fù)數(shù)相等和相關(guān)性質(zhì)將復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的常用方法． 3．在復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算中，加、減、乘運(yùn)算按多項(xiàng)式運(yùn)算法則進(jìn)行，除法法則需分母實(shí)數(shù)化． 滿分策略 1．判定復(fù)數(shù)是不是實(shí)數(shù)，僅注意虛部等于0是不夠的，還需考慮

13、它的實(shí)部是否有意義． 2．注意復(fù)數(shù)和虛數(shù)是包含關(guān)系，不能把復(fù)數(shù)等同為虛數(shù)，如虛數(shù)不能比較大小，但說(shuō)兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小就不對(duì)了． 3．注意不能把實(shí)數(shù)集中的所有運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來(lái)．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 數(shù)學(xué)思想系列12——解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的實(shí)數(shù)化思想 [2018·金華模擬]已知z∈C，解方程z·－3i＝1＋3i. 解題視點(diǎn)　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，根據(jù)已知中恒等的條件，列出一組含a，b的方程，解方程組使問(wèn)題獲得解決． 解　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則(a＋b

14、i)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i. 根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得 解之得或∴z＝－1或z＝－1＋3i. 答題啟示　(1)復(fù)數(shù)問(wèn)題要把握一點(diǎn)，即復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化，這是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題最基本的思想方法. (2)本題求解的關(guān)鍵是先把z用復(fù)數(shù)的形式表示出來(lái)，再用待定系數(shù)法求解，這是常用的數(shù)學(xué)方法. (3)本題易錯(cuò)原因?yàn)橄氩坏嚼么ㄏ禂?shù)法，或不能將復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)方程求解. 跟蹤訓(xùn)練 [2018·金版創(chuàng)新]設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z＋||＝2＋i，則z＝(　　) A．－＋i B.＋i C．－－i D.－i 答案　B 解析　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R

15、)，由已知得a＋bi＋＝2＋i，由復(fù)數(shù)相等可得∴故z＝＋i，故選B. 板塊四　模擬演練·提能增分 [A級(jí)　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．[2017·全國(guó)卷Ⅲ]設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝2i，則|z|＝(　　) A. B. C. D．2 答案　C 解析　由(1＋i)z＝2i，得z＝＝1＋i， ∴|z|＝.故選C. ∵2i＝(1＋i)2， ∴由(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2，得z＝1＋i，∴|z|＝.故選C. 2．[2018·湖南模擬]已知＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 答案　D 解析　由＝1＋i，得z＝

16、＝＝ ＝－1－i. 3．[2018·江西模擬]已知復(fù)數(shù)z1＝cos23°＋isin23°和復(fù)數(shù)z2＝cos37°＋isin37°，則z1·z2為(　　) A.＋i B.＋i C.－i D.－i 答案　A 解析　z1·z2＝(cos23°＋isin23°)·(cos37°＋isin37°)＝cos60°＋isin60°＝＋i.故選A. 4．設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，z1＝2＋i，則＝(　　) A．1＋i B.＋i C．1＋i D．1＋i 答案　B 解析　因?yàn)閺?fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所

17、以＝＝＝＋i.故選B. 5．[2018·天津模擬]已知復(fù)數(shù)z滿足(i－1)(z－i3)＝2i(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)為(　　) A．i－1 B．1＋2i C．1－i D．1－2i 答案　B 解析　依題意可得z＝＋i3＝－i＝－(i－1)－i＝1－2i，其共軛復(fù)數(shù)為1＋2i，故選B. 6．已知a為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z＝(a2－1)＋(a＋1)i為純虛數(shù)，則＝(　　) A．1 B．0 C．1＋i D．1－i 答案　D 解析　z＝(a2－1)＋(a＋1)i為純虛數(shù)，則有a2－1＝0，a＋1≠0，得a＝1，則有＝＝＝1－i，選D. 7．[2018·郴州模擬]設(shè)z＝1－i

18、(i是虛數(shù)單位)，若復(fù)數(shù)＋z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為，則向量的模是(　　) A．1 B. C. D．2 答案　B 解析　z＝1－i(i是虛數(shù)單位)， 復(fù)數(shù)＋z2＝＋(1－i)2＝－2i＝1－i. 向量的模：＝.故選B. 8．[2018·溫州模擬]滿足＝i(i為虛數(shù)單位)的復(fù)數(shù)是________． 答案?。? 解析　由已知得z＋i＝zi，則z(1－i)＝－i， 即z＝＝＝＝－. 9．若＝1－bi，其中a，b都是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則|a＋bi|＝________. 答案　 解析　∵a，b∈R，且＝1－bi，則a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，∴∴

19、 ∴|a＋bi|＝|2－i|＝＝. 10．[2017·浙江高考]已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虛數(shù)單位)，則a2＋b2＝________，ab＝________. 答案　5　2 解析　(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi. 由(a＋bi)2＝3＋4i，得解得a2＝4，b2＝1. 所以a2＋b2＝5，ab＝2. [B級(jí)　知能提升] 1．[2018·成都模擬]已知復(fù)數(shù)z1＝2＋6i，z2＝－2i，若z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，線段AB的中點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 z，則|z|＝(　　) A. B．5 C．2 D．2 答案　A 解析　復(fù)數(shù)z1＝2＋6i

20、，z2＝－2i，若z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A(2,6)，B(0，－2)，線段AB的中點(diǎn)C(1，2)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z＝1＋2i，則|z|＝＝.故選A. 2．[2017·全國(guó)卷Ⅰ]設(shè)有下面四個(gè)命題 p1：若復(fù)數(shù)z滿足∈R，則z∈R； p2：若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R； p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則z1＝2； p4：若復(fù)數(shù)z∈R，則∈R. 其中的真命題為(　　) A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 答案　B 解析　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．

21、對(duì)于p1，若∈R，即＝∈R，則b＝0?z＝a＋bi＝a∈R，所以p1為真命題． 對(duì)于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，則ab＝0.當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，z＝a＋bi＝bi∈/ R，所以p2為假命題． 對(duì)于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，則a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i?a1＝a2，b1＝－b2.因?yàn)閍1b2＋a2b1＝0?/ a1＝a2，b1＝－b2，所以p3為假命題． 對(duì)于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，則b＝0?＝a－bi＝a∈R，所以p4為真命

22、題．故選B. 3．[2018·廈門(mén)模擬]已知復(fù)數(shù)z＝x＋yi，且|z－2|＝，則的最大值為_(kāi)_______． 答案　 解析　∵|z－2|＝＝， ∴(x－2)2＋y2＝3. 由圖可知max＝＝. 4．已知復(fù)數(shù)z＝bi(b∈R)，是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位． (1)求復(fù)數(shù)z； (2)若復(fù)數(shù)(m＋z)2所表示的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解　(1)因?yàn)閦＝bi(b∈R)， 所以＝＝＝＝＋i. 又因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以＝0，所以b＝－2，即z＝－2i. (2)因?yàn)閦＝－2i，m∈R，所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2＝(m2－4)－4mi，又因?yàn)閺?fù)數(shù)(m＋z)2所表示的點(diǎn)在第一象限，所以解得m<－2，即m∈(－∞，－2)． 5．若虛數(shù)z同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①z＋是實(shí)數(shù)；②z＋3的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)．這樣的虛數(shù)是否存在？若存在，求出z；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解　存在．設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)， 則z＋＝a＋bi＋ ＝a＋bi. 又z＋3＝a＋3＋bi實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，z＋是實(shí)數(shù)，根據(jù)題意有 因?yàn)閎≠0，所以 解得或 所以z＝－1－2i或z＝－2－i. 11