《（全國(guó)通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.1 合情推理與演繹推理 2.1.1 合情推理學(xué)案 新人教A版選修2-2》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國(guó)通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.1 合情推理與演繹推理 2.1.1 合情推理學(xué)案 新人教A版選修2-2（17頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2．1.1　合情推理 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.2.了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用． 知識(shí)點(diǎn)一　歸納推理 思考　(1)銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導(dǎo)電，猜想：一切金屬都能導(dǎo)電． (2)統(tǒng)計(jì)學(xué)中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計(jì)總體． 以上屬于什么推理？ 答案　屬于歸納推理． 梳理　(1)定義：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納)． (2)特征：由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理． 知識(shí)點(diǎn)二　類比推理 思考　科學(xué)家對(duì)火星進(jìn)行研究

2、，發(fā)現(xiàn)火星與地球有許多類似的特征：(1)火星也是繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)、繞軸自轉(zhuǎn)的行星；(2)有大氣層，在一年中也有季節(jié)更替；(3)火星上大部分時(shí)間的溫度適合地球上某些已知生物的生存，等等．由此，科學(xué)家猜想：火星上也可能有生命存在．他們使用了什么樣的推理？ 答案　類比推理． 梳理　(1)定義：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理． (2)特征：由特殊到特殊的推理． 知識(shí)點(diǎn)三　合情推理 思考　歸納推理與類比推理有何區(qū)別與聯(lián)系？ 答案　區(qū)別：歸納推理是由特殊到一般的推理；而類比推理是由個(gè)別到個(gè)別的推理或是由特殊到特殊的推理． 聯(lián)系

3、：在前提為真時(shí)，歸納推理與類比推理的結(jié)論都可真可假． 梳理　(1)定義：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理．通俗地說(shuō)，合情推理就是合乎情理的推理． (2)推理的過(guò)程 ―→―→―→ 1．類比推理得到的結(jié)論可作為定理應(yīng)用．(　×　) 2．由個(gè)別到一般的推理為歸納推理．(　√　) 3．在類比時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適．(　×　) 類型一　歸納推理 例1　(1)觀察下列等式： 1＋1＝2×1， (2＋1)(2＋2)＝22×1×3， (3＋1)(

4、3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， … 照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_(kāi)____________________________________________________． (2)已知f(x)＝，設(shè)f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N*)，則f3(x)的表達(dá)式為_(kāi)_______，猜想fn(x)(n∈N*)的表達(dá)式為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用 答案　(1)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1) (2)　 解析　(1)觀察規(guī)律可知，左邊為n項(xiàng)的積，最小項(xiàng)和最大項(xiàng)

5、依次為(n＋1)，(n＋n)，右邊為連續(xù)奇數(shù)之積乘以2n，則第n個(gè)等式為(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)． (2)∵f(x)＝，∴f1(x)＝. 又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))， ∴f2(x)＝f1(f1(x))＝＝， f3(x)＝f2(f2(x))＝＝， f4(x)＝f3(f3(x))＝＝， f5(x)＝f4(f4(x))＝＝， ∴根據(jù)前幾項(xiàng)可以猜想fn(x)＝. 引申探究　 在本例(2)中，若把“fn(x)＝fn－1(fn－1(x))”改為“fn(x)＝f(fn－1(x))”，其他條件不變，試猜想fn(x) (n∈N*)的表達(dá)式

6、． 解　∵f(x)＝，∴f1(x)＝. 又∵fn(x)＝f(fn－1(x))， ∴f2(x)＝f(f1(x))＝＝， f3(x)＝f(f2(x))＝＝， f4(x)＝f(f3(x))＝＝. 因此，可以猜想fn(x)＝. 反思與感悟　(1)已知等式或不等式進(jìn)行歸納推理的方法 ①要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中項(xiàng)數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律； ②要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中結(jié)構(gòu)形成的特征； ③提煉出等式(或不等式)的綜合特點(diǎn)； ④運(yùn)用歸納推理得出一般結(jié)論． (2)數(shù)列中的歸納推理：在數(shù)列問(wèn)題中，常常用到歸納推理猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和． ①通過(guò)已知條件求出數(shù)列

7、的前幾項(xiàng)或前n項(xiàng)和； ②根據(jù)數(shù)列中的前幾項(xiàng)或前n項(xiàng)和與對(duì)應(yīng)序號(hào)之間的關(guān)系求解； ③運(yùn)用歸納推理寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式． 跟蹤訓(xùn)練1　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝3，滿足Sn＝6－2an＋1(n∈N*)． (1)求a2，a3，a4的值； (2)猜想an的表達(dá)式． 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　歸納推理在數(shù)列中的應(yīng)用 解　(1)因?yàn)閍1＝3，且Sn＝6－2an＋1(n∈N*)， 所以S1＝6－2a2＝a1＝3，解得a2＝， 又S2＝6－2a3＝a1＋a2＝3＋，解得a3＝， 又S3＝6－2a4＝a1＋a2＋a3＝3＋＋，解得a4＝. (2)由(1)知a1

8、＝3＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，…，猜想an＝(n∈N*)． 例2　有兩種花色的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是(　　) A．26 B．31 C．32 D．36 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　歸納推理在圖形中的應(yīng)用 答案　B 解析　有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)如下表： 圖案 1 2 3 … 個(gè)數(shù) 6 11 16 … 由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)依次組成一個(gè)以6為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，所以第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是6＋5×(6－1)＝31.故選B. 反思與感悟　歸納

9、推理在圖形中的應(yīng)用策略 跟蹤訓(xùn)練2　用火柴棒擺“金魚”，如圖所示： 按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為(　　) A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　歸納推理在圖形中的應(yīng)用 答案　C 解析　歸納“金魚”圖形的構(gòu)成規(guī)律知，后面“金魚”都比它前面的“金魚”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚頭部分，故各“金魚”圖形所用火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一首項(xiàng)為8，公差是6的等差數(shù)列，所以第n個(gè)“金魚”圖需要的火柴棒的根數(shù)為an＝8＋(n－1)×6＝6n＋2. 類型二　類比推理 例3　設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則

10、S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列，類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，________，________，成等比數(shù)列． 考點(diǎn)　類比推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的類比 答案　　 解析　由于等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類比性，且等差數(shù)列與和差有關(guān)，等比數(shù)列與積商有關(guān)，因此當(dāng)?shù)炔顢?shù)列依次每4項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列時(shí)，類比等比數(shù)列為依次每4項(xiàng)的積成等比數(shù)列．下面證明該結(jié)論的正確性： 設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，首項(xiàng)為b1， 則T4＝bq6，T8＝bq1＋2＋…＋7＝bq28， T12＝bq1＋2＋…＋11＝bq66， T16＝bq1＋

11、2＋…＋15＝bq120， ∴＝bq22，＝bq38， ＝bq54， 即2＝·T4，2＝·， 故T4，，，成等比數(shù)列． 反思與感悟　已知等差數(shù)列與等比數(shù)列有類似的性質(zhì)，在類比過(guò)程中也有一些規(guī)律，如下表所示的部分結(jié)論(其中d，q分別是公差和公比)： 等差數(shù)列 等比數(shù)列 定義 an－an－1＝d(n≥2) an÷an－1＝q(n≥2) 通項(xiàng)公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1 性質(zhì) 若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq 若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq 跟蹤訓(xùn)練3　若數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列，則有數(shù)列bn＝(n∈N*

12、)也是等差數(shù)列；類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：若數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，且cn>0，則有數(shù)列dn＝________(n∈N*)也是等比數(shù)列． 考點(diǎn)　類比推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的類比 答案　 解析　數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列，則有數(shù)列bn＝(n∈N*)也是等差數(shù)列．類比猜想：若數(shù)列{cn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當(dāng)dn＝時(shí)，數(shù)列{dn}也是等比數(shù)列． 例4　如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°.設(shè)a，b，c分別表示三條邊的長(zhǎng)度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想． 考點(diǎn)　類比推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　平

13、面幾何與立體幾何之間的類比 解　如題圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°.設(shè)a，b，c分別表示3條邊的長(zhǎng)度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2. 類似地，如圖所示，在四面體P－DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.設(shè)S1，S2，S3和S分別表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面積，相對(duì)于直角三角形的兩條直角邊a，b和1條斜邊c，圖中的四面體有3個(gè)“直角面”S1，S2，S3和1個(gè)“斜面”S.于是類比勾股定理的結(jié)構(gòu)，我們猜想S2＝S＋S＋S成立． 反思與感悟　(1)類比推理的一般步驟 (2)中學(xué)階段常見(jiàn)的類比知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列，向量與實(shí)數(shù)，空間與平面，圓與球等等

14、，比如平面幾何的相關(guān)結(jié)論類比到立體幾何的相關(guān)類比點(diǎn)如下 平面圖形 空間圖形 點(diǎn) 直線 直線 平面 邊長(zhǎng) 面積 面積 體積 三角形 四面體 線線角 面面角 跟蹤訓(xùn)練4　在長(zhǎng)方形ABCD中，對(duì)角線AC與兩鄰邊所成的角分別為α，β，cos2α＋cos2β＝1，則在立體幾何中，給出類比猜想并證明． 考點(diǎn)　類比推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　平面幾何與立體幾何之間的類比 解　在長(zhǎng)方形ABCD中， cos2α＋cos2β＝2＋2＝＝＝1. 于是類比到長(zhǎng)方體中，猜想其體對(duì)角線與共頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為α，β，γ， 則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1. 證明

15、如下： cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2＋2＋2 ＝＝＝1. 1．已知扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S＝，可推知扇形面積公式S扇等于(　　) A. B. C. D．不可類比 考點(diǎn)　類比推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　平面曲線的類比 答案　C 解析　扇形的弧類比三角形的底邊，扇形的半徑類比三角形的高，則S扇＝. 2．如圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排起來(lái)，那么第36顆珠子的顏色為(　　) A．白色 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　歸納推理在圖形中的應(yīng)用 答案　A 解析　由題圖知，

16、三白二黑周而復(fù)始相繼排列，根據(jù)36÷5＝7余1， 可得第36顆應(yīng)與第1顆珠子的顏色相同，即白色． 3．觀察下列各式： a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10等于(　　) A．28 B．76 C．123 D．199 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用 答案　C 解析　利用歸納法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3＋1＝4，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝

17、76，a10＋b10＝76＋47＝123，規(guī)律為從第三組開(kāi)始，其結(jié)果為前兩組結(jié)果的和． 4．在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類似地，在空間上，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的體積比為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　類比推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　平面幾何與立體幾何之間的類比 答案　1∶8 解析　設(shè)兩個(gè)正四面體的體積分別為V1，V2， 則V1∶V2＝S1h1∶S2h2＝S1h1∶S2h2＝1∶8. 5．按照?qǐng)D1、圖2、圖3的規(guī)律，第10個(gè)圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　歸納推理在圖形中的應(yīng)用 答案　40 解析

18、　圖1中的點(diǎn)數(shù)為4＝1×4， 圖2中的點(diǎn)數(shù)為8＝2×4， 圖3中的點(diǎn)數(shù)為12＝3×4，…， 所以圖10中的點(diǎn)數(shù)為10×4＝40. 1．合情推理主要包括歸納推理和類比推理．?dāng)?shù)學(xué)研究中，在得到一個(gè)新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向． 2．合情推理的過(guò)程概括為 ―→―→―→ 一、選擇題 1．下面使用類比推理，得出的結(jié)論正確的是(　　) A．若“a·3＝b·3，則a＝b”類比出“若a·0＝b·0，則a＝b” B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”類比出“(a·b)c＝ac·bc” C．“若(a＋b)c＝ac＋bc

19、”類比出“＝＋(c≠0)” D．“(ab)n＝anbn”類比出“(a＋b)n＝an＋bn” 考點(diǎn)　類比推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　類比推理的方法、形式和結(jié)論 答案　C 解析　顯然A，B，D不正確，只有C正確． 2.觀察圖形規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫上合適的圖形為(　　) A. B．△ C. D．○ 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　歸納推理在圖形中的應(yīng)用 答案　A 解析　觀察可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：①每行、每列中，方、圓、三角三種形狀均各出現(xiàn)一次，②每行、每列有兩陰影一空白，即得結(jié)果． 3．根據(jù)給出的數(shù)塔猜測(cè)123 456×9＋7等于(　　) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝11

20、1 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111 … A．1 111 110 B．1 111 111 C．1 111 112 D．1 111 113 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用 答案　B 解析　由數(shù)塔猜測(cè)應(yīng)是各位都是1的七位數(shù)， 即1 111 111. 4．類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可推出下列空間結(jié)論： ①垂直于同一條直線的兩條直線互相平行； ②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行； ③垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行； ④垂直于同一平面的兩

21、個(gè)平面互相平行． 則其中正確的結(jié)論是(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 考點(diǎn)　類比推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　平面幾何與立體幾何之間的類比 答案　B 解析　根據(jù)立體幾何中線面之間的位置關(guān)系及有關(guān)定理知，②③是正確的結(jié)論． 5．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)等于(　　) A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用 答案　D

22、解析　由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)．因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)， 故g(－x)＝－g(x)． 6．觀察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，根據(jù)以上式子可以猜想：1＋＋＋…＋小于(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用 答案　C 解析　觀察可以發(fā)現(xiàn)，第n(n≥2)個(gè)不等式左端有n＋1項(xiàng)，分子為1，分母依次為12,22,32，…，(n＋1)2；右端分母為n＋1，分子成等差數(shù)列，首項(xiàng)為3，公差為2，因此第n個(gè)不等式為1＋＋＋…＋<，所以當(dāng)n＝2 016時(shí)不等式為1＋＋＋…＋<. 7．

23、設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝，類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體A－BCD的四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球半徑為R，四面體A－BCD的體積為V，則R等于(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　類比推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　平面幾何與立體幾何之間的類比 答案　C 解析　設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個(gè)面的距離都是R，所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和． 則四面體的體積為V＝(S1＋S2＋S3＋S4)R， ∴R＝. 8．如圖，第n個(gè)圖形是由正n＋2邊形“擴(kuò)展”而來(lái)(n＝1,2,

24、3，…)，則第n個(gè)圖形中頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　) A．(n＋1)(n＋2) B．(n＋2)(n＋3) C．n2 D．n 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　歸納推理在圖形中的應(yīng)用 答案　B 解析　由已知中的圖形我們可以得到： 當(dāng)n＝1時(shí)，頂點(diǎn)共有12＝3×4(個(gè))， 當(dāng)n＝2時(shí)，頂點(diǎn)共有20＝4×5(個(gè))， 當(dāng)n＝3時(shí)，頂點(diǎn)共有30＝5×6(個(gè))， 當(dāng)n＝4時(shí)，頂點(diǎn)共有42＝6×7(個(gè))， …， 則第n個(gè)圖形共有頂點(diǎn)(n＋2)(n＋3)個(gè)， 故選B. 二、填空題 9．觀察下列等式： 12＝1； 12－22＝－3； 12－22＋32＝6； 12－22＋32－

25、42＝－10； …； 照此規(guī)律，第n個(gè)等式為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用 答案　12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2 ＝(－1)n＋1 解析　12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3， 12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …， 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2 ＝(－1)n＋1(1＋2＋3＋…＋n) ＝(－1)n＋1. 10．我們知道：周長(zhǎng)一定的所有矩形中，正方形的面積最大；周長(zhǎng)一定的所有矩形與圓中，圓的面積最大，將這些結(jié)論類比到空間，可以得到的結(jié)論是_

26、_______． 考點(diǎn)　類比推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　平面幾何與立體幾何之間的類比 答案　表面積一定的所有長(zhǎng)方體中，正方體的體積最大；表面積一定的所有長(zhǎng)方體和球中，球的體積最大 解析　平面圖形與立體圖形的類比：周長(zhǎng)→表面積，正方形→正方體，面積→體積，矩形→長(zhǎng)方體，圓→球． 11．二維空間中圓的一維測(cè)度(周長(zhǎng))l＝2πr，二維測(cè)度(面積)S＝πr2；三維空間中球的二維測(cè)度(表面積)S＝4πr2，三維測(cè)度(體積)V＝πr3；四維空間中“超球”的三維測(cè)度V＝8πr3，則猜想其四維測(cè)度W＝________. 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用 答案　2πr4 解析　∵

27、二維空間中圓的一維測(cè)度(周長(zhǎng))l＝2πr，二維測(cè)度(面積)S＝πr2，觀察發(fā)現(xiàn)S′＝l.三維空間中球的二維測(cè)度(表面積)S＝4πr2，三維測(cè)度(體積)V＝πr3，觀察發(fā)現(xiàn)V′＝S.∴四維空間中“超球”的三維測(cè)度V＝8πr3，猜想其四維測(cè)度W，則W′＝V＝8πr3，∴W＝2πr4. 12．如圖(甲)是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡(jiǎn)稱ICME－7)的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖(乙)的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把圖(乙)中的直角三角形依此規(guī)律繼續(xù)作下去，記OA1，OA2，…，OAn，…的長(zhǎng)度構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an

28、＝________. 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用 答案　 解析　根據(jù)OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1和圖(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a1＝OA1＝1，a2＝OA2＝＝＝，a3＝OA3＝＝＝，…，故可歸納推測(cè)出an＝. 13．圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)在點(diǎn)P(x0，y0)處切線的方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2，由此類比，橢圓＋＝1(a>b>0)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為_(kāi)_____________． 考點(diǎn)　類比推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　平面曲線之間的類比 答案　＋＝1 解析　

29、類比過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程，可合情推理： 橢圓＋＝1(a>b>0)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為＋＝1. 三、探究與拓展 14．正整數(shù)按下表的規(guī)律排列，則上起第2 017行，左起第2 018列的數(shù)應(yīng)為(　　) A．2 016×2 017 B．2 017×2 018 C．2 018×2 019 D．2 019×2 020 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　歸納推理在數(shù)陣(表)中的應(yīng)用 答案　B 解析　由給出的排列規(guī)律可知，第一列的每個(gè)數(shù)為所在行數(shù)的平方，而第一行的數(shù)則滿足列數(shù)減1的平方再加1，根據(jù)題意，左起第2 018列的第一個(gè)數(shù)為2 0172＋1，由連線規(guī)律可知，上起

30、第2 017行，左起第2 018列的數(shù)應(yīng)為2 0172＋2 017＝2 017×2 018. 15．已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有＝＋成立．那么在四面體A－BCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，說(shuō)明猜想是否正確，并給出理由． 考點(diǎn)　類比推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　平面幾何與立體幾何之間的類比 解　類比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想在四面體A－BCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD， 則＝＋＋. 猜想正確．理由如下： 如圖所示，連接BE，并延長(zhǎng)交CD于F，連接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A， ∴AB⊥平面ACD. 而AF?平面ACD，∴AB⊥AF. 在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴＝＋. 在Rt△ACD中，AF⊥CD， ∴＝＋. ∴＝＋＋，故猜想正確． 17