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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 第57課 直線與圓的位置關(guān)系要點導(dǎo)學(xué) 直線與圓的位置關(guān)系 　(xx·重慶七校聯(lián)考)已知圓的方程為(x-1)2+y2=1,直線l的方程為3x+4y+m=0.若圓與直線相切,則實數(shù)m=　　　　. [答案]2或-8 [解析]因為直線與圓相切,所以=1Tm=-8或2. [精要點評]圓與直線的位置關(guān)系的判定方法主要兩種:(1) 利用圓心到直線的距離d與圓的半徑R的關(guān)系;(2) 利用一元二次方程根的判別式的符號. 　(xx·重慶卷)已知直線ax+y-2=0與圓C:(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B兩點,且△ABC為等邊三角形,那么實數(shù)a=　

2、　　　. [答案]4± [解析]由題設(shè)知圓心C到直線ax+y-2=0的距離為,所以=,解得a=4±. 圓的切線問題 　(xx·張家港模擬)已知圓C:(x-2)2+y2=1. (1) 求過點P(3,m)與圓C相切的切線方程; (2) 若點Q是直線x+y-6=0上的動點,過點Q作圓C的切線QA,QB,其中A,B為切點,求四邊形QACB面積的最小值及此時點Q的坐標. [解答](1) ①當m=0時,切線方程為x=3. ②當m≠0時,設(shè)切線方程為y-m=k(x-3), 所以=1,k=. 故切線方程為x=3或y-m=(x-3). (2) S四邊形QACB=2S△QAC=AC·AQ

3、=, 故當CQ最小即CQ垂直于直線x+y-6=0時,四邊形QACB的面積最小, CQmin==2,所以S四邊形QACB的最小值為, 此時CQ的方程為y=x-2,故Q(4,2). 　若過點P(3,1)作圓C:(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點分別為點A,B,則直線AB的方程為　　　　. [答案]2x+y-3=0 [解析]方法一:由點P(3,1),圓心C(1,0)可設(shè)過點P的圓C的切線方程為y-1=k(x-3),由題意得=1,解得k=0或,即切線方程為y=1或4x-3y-9=0. 聯(lián)立得一切點為(1,1), 又因為kPC==,所以kAB=-=-2, 即直線AB的方程為y-

4、1=-2(x-1),整理得2x+y-3=0. 方法二:點P(3,1),圓心C(1,0),則以PC為直徑的圓的方程為(x-3)(x-1)+y(y-1)=0,整理得x2-4x+y2-y+3=0, 聯(lián)立 ①-②得AB的方程為2x+y-3=0. 圓的弦長、弦心距和半徑關(guān)系問題 　(xx·衡水中學(xué)模擬)已知圓M:x2+y2-2x-4y-11=0被過點N(-1,1)的直線截得的弦長為4,求該直線的方程. [解答]圓M方程轉(zhuǎn)化為(x-1)2+(y-2)2=16,則M(1,2),r=4. 設(shè)過點N(-1,1)的所求直線為l. 當直線l的斜率k不存在時,l為x=-1,則交點A(-1,2-2)

5、,B(-1,2+2),滿足AB=4. 當直線l的斜率k存在時,設(shè)l的方程為y-1=k(x+1),即kx-y+k+1=0,則d==,則d2+=16,即d2==16-12=4,則k=-,此時,直線l的方程為y-1=-(x+1),即3x+4y-1=0. 綜上所述,直線l的方程為x=-1或3x+4y-1=0. 【題組強化·重點突破】 1. 在平面直角坐標系xOy中,直線3x+4y-5=0與圓x2+y2=4相交于A,B兩點,則弦AB的長為　　　　. [答案]2 [解析]圓心到直線的距離d==1,所以R2-d2=,即AB2=4(R2-d2)=12,所以AB=2. 2. 已知圓(x-4

6、)2+(y-1)2=5內(nèi)一點P(3,0),那么過點P的最短弦所在直線的方程為　　　　. [答案]x+y-3=0 [解析]設(shè)圓心為C,因為過點P(3,0)的最短弦垂直于PC,直線PC的斜率k=1,所以所求直線的斜率為-1,從而直線方程為x+y-3=0. 3. (xx·安徽示范高中聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中,圓C的方程為x2+y2=-2y+3,直線l經(jīng)過點(1,0)且與直線x-y+1=0垂直.若直線l與圓C交于A,B兩點,則△OAB的面積為　　　　. [答案]1 [解析]圓C的標準方程為x2+(y+1)2=4,圓心C為(0,-1),半徑為2,直線l的斜率為-1,則方程為x+y-1

7、=0,圓心C到直線l的距離d==,弦長AB=2=2,又坐標原點O到弦長AB的距離為,所以△OAB的面積為×2×=1. 4. 設(shè)點O為坐標原點,點C為圓(x-2)2+y2=3的圓心,且圓上有一點M(x,y)滿足·=0,則=　　　　. [答案]± [解析]因為·=0,所以O(shè)M⊥CM,所以O(shè)M是圓的切線,設(shè)OM的方程為y=kx,由=,得k=±,即=±. 含參數(shù)的圓的問題 　已知以點C(t∈R,t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O,A,與y軸交于點O,B,其中O為坐標原點. (1) 求證:△AOB的面積為定值; (2) 設(shè)直線2x+y-4=0與圓C交于點M,N,若OM=ON,求圓C的

8、方程. [思維引導(dǎo)](1) 將△AOB的面積表示為t的函數(shù)即可;(2) 將OM=ON轉(zhuǎn)化為原點O在MN的中垂線上,即設(shè)MN的中點為H,則CH⊥MN,然后求出t,再求出圓C的方程. [解答](1) 由題設(shè)知,圓C的方程為(x-t)2+=t2+,化簡得x2-2tx+y2-y=0,當y=0時,x=0或2t,則點A(2t,0).當x=0時,y=0或,則點B. 所以S△AOB=OA·OB=|2t|·=4為定值. (2) 因為OM=ON,所以原點O在MN的中垂線上.設(shè)MN的中點為H,則CH⊥MN,所以C,H,O三點共線, 則直線OC的斜率k===,所以t=2或t=-2, 則圓心C(2,1)或C

9、(-2,-1),所以圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5.由于當圓C的方程為(x+2)2+(y+1)2=5時,直線2x+y-4=0到圓心的距離d>r,此時不滿足直線與圓相交,故舍去. 所以圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5. 已知圓M的圓心M在y軸上,半徑為1,直線l:y=2x+2被圓M所截得的弦長為,且圓心M在直線l的下方. (1) 求圓M的方程; (2) 設(shè)點A(t,0),B(t+5,0)(-4≤t≤-1).若AC,BC是圓M的切線,求△ABC面積的最小值. [規(guī)范答題](1) 設(shè)M(0,b),由題設(shè)知,點M到直線l的距離是

10、=. (2分) 所以=,解得b=1或b=3. (4分) 因為圓心M在直線l的下方,所以b=1, 即所求圓M的方程為x2+(y-1)2=1.(6分) (2) 當直線AC,BC的斜率都存在,即-4

11、) 當直線AC,BC的斜率有一個不存在時, 即t=-4或t=-1時,易求得△ABC的面積為. 綜上,當t=-時,△ABC的面積取最小值. (16分) 1. “m=”是“直線y=x+m與圓x2+y2=1相切”的　　　　　　條件. [答案]充分不必要 [解析]因為直線與圓相切的充要條件是圓心到直線的距離等于半徑,得d==1Tm=±,所以“m=”是“直線y=x+m與圓x2+y2=1相切”的充分不必要條件. 2. (xx·黃岡中學(xué)模擬)已知曲線C:x2+y2-2x+2y=0,直線l:y+2=k(x-2),那么曲線C與直線l有　　　　個公共點. [答案]至少1個 [解析]曲

12、線C表示圓,圓心C(1,-1)到直線l的距離d==≤=r,所以C與l至少有1個公共點. 3. 已知直線ax-2by=2(a>0,b>0)過圓x2+y2-4x+2y+1=0的圓心,那么ab的最大值為　　　　. [答案] 4. (xx·浙江六校聯(lián)考)若直線y=kx與圓(x-2)2+y2=1的兩個交點關(guān)于直線2x+y+b=0對稱,則k=　　　　,b=　　　　. [答案]　-4 [解析]由題意可知2x+y+b=0過圓心(2,0),所以b=-4.又y=kx與2x+y+b=0互相垂直,所以k=. [溫馨提醒] 趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成《配套檢測與評估》中的練習(xí)(第113-114頁).