4、|a-b|2}≤|a|2+|b|2
D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2
答案 D
3.(2017北京理,6,5分)設(shè)m,n為非零向量,則“存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
答案 A
4.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,12,5分)已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn),則·(+)的最小值是( )
A.-2 B.- C.- D.-1
答案 B
5.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥
5、b,則m=( )
A.-8 B.-6 C.6 D.8
答案 D
6.(2016天津,7,5分)已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F,使得DE=2EF,則·的值為( )
A.- B. C. D.
答案 B
7.(2016山東,8,5分)已知非零向量m,n滿足4|m|=3|n|,cos=.若n⊥(tm+n),則實(shí)數(shù)t的值為( )
A.4 B.-4 C. D.-
答案 B
8.(2015安徽,8,5分)△ABC是邊長(zhǎng)為2的
6、等邊三角形,已知向量a,b滿足=2a,=2a+b,則下列結(jié)論正確的是( )
A.|b|=1 B.a⊥b C.a·b=1 D.(4a+b)⊥
答案 D
9.(2015福建,9,5分)已知⊥,||=,||=t.若點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且=+,則·的最大值等于( )
A.13 B.15 C.19 D.21
答案 A
10.(2016浙江文,15,4分)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e為平面單位向量,則|a·e|+|b·e|的最大值是 .?
答案
11.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅲ文,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥
7、b,則m= .?
答案 2
12.(2017北京文,12,5分)已知點(diǎn)P在圓x2+y2=1上,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),O為原點(diǎn),則·的最大值為 .?
答案 6
13.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ理,13,5分)已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|= .?
答案 2
14.(2017山東理,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的單位向量.若e1-e2與e1+λe2的夾角為60°,則實(shí)數(shù)λ的值是 .?
答案
15.(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線段
8、BC和DC上,且=λ,=,則·的最小值為 .?
答案
16.(2015廣東,16,12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.
(1)若m⊥n,求tan x的值;
(2)若m與n的夾角為,求x的值.
解析 (1)因?yàn)閙⊥n,所以m·n=sin x-cos x=0.
即sin x=cos x,又x∈,所以tan x==1.
(2)易求得|m|=1,|n|==1.
因?yàn)閙與n的夾角為,
所以cos==.
則sin x-cos x=sin=.
又因?yàn)閤∈,所以x-∈.
所以x-=,解得x=.
教師用書專用(17—33)
1
9、7.(2016北京,4,5分)設(shè)a,b是向量,則“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
答案 D
18.(2015山東,4,5分)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a,∠ABC=60°,則·=( )
A.-a2 B.-a2 C.a2 D.a2
答案 D
19.(2014大綱全國(guó),4,5分)若向量a、b滿足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,則|b|=( )
A.2 B. C.1 D.
答案 B
20.(2015重慶,6,5分)若非零向量a,b滿足|a|=|b
10、|,且(a-b)⊥(3a+2b),則a與b的夾角為( )
A. B. C. D.π
答案 A
21.(2014四川,7,5分)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c與a的夾角等于c與b的夾角,則m=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案 D
22.(2014天津,8,5分)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,∠BAD=120°,點(diǎn)E,F分別在邊BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若·=1,·=-,則λ+μ=( )
A. B. C. D.
答案 C
23.(2014課標(biāo)Ⅱ,3,5分)設(shè)向量a,b滿足|a+b|=,|a-b|=,則
11、a·b=( )
A.1 B.2 C.3 D.5
答案 A
24.(2013陜西,3,5分)設(shè)a,b為向量,則“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
答案 C
25.(2013湖北,6,5分)已知點(diǎn)A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),則向量在方向上的投影為( )
A. B. C.- D.-
答案 A
26.(2014江蘇,12,5分)如圖,在平行四邊形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,·=2,
12、則·的值是 .?
答案 22
27.(2014安徽,15,5分)已知兩個(gè)不相等的非零向量a,b,兩組向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2個(gè)a和3個(gè)b排列而成.記S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4+x5·y5,Smin表示S所有可能取值中的最小值.則下列命題正確的是 (寫出所有正確命題的編號(hào)).?
①S有5個(gè)不同的值?、谌鬭⊥b,則Smin與|a|無(wú)關(guān)
③若a∥b,則Smin與|b|無(wú)關(guān)?、苋魘b|>4|a|,則Smin>0
⑤若|b|=2|a|,Smin=8|a|2,則a與b的夾角為
答案 ②④
28.(2013江西
13、,12,5分)設(shè)e1,e2為單位向量,且e1,e2的夾角為,若a=e1+3e2,b=2e1,則向量a在b方向上的射影為 .?
答案
29.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,13,5分)設(shè)向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m= .?
答案 -2
30.(2015湖北,11,5分)已知向量⊥,||=3,則·= .?
答案 9
31.(2013課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,13,5分)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為CD的中點(diǎn),則·= .?
答案 2
32.(2013課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,13,5分)已知兩個(gè)單位向量a,b的夾角為60°,c=ta+(1-t
14、)b.若b·c=0,則t= .?
答案 2
33.(2016江蘇,13,5分)如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),E,F是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn),·=4,·=-1,則·的值是 .?
答案
考點(diǎn)二 向量的綜合應(yīng)用
1.(2013浙江,7,5分)設(shè)△ABC,P0是邊AB上一定點(diǎn),滿足P0B=AB,且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P,恒有·≥·,則( )
A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°
C.AB=AC D.AC=BC
答案 D
2.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,3,5分)已知向量=,=,則∠ABC=( )
A.30° B.
15、45°
C.60° D.120°
答案 A
3.(2016四川,10,5分)在平面內(nèi),定點(diǎn)A,B,C,D滿足||=||=||,·=·=·=-2,動(dòng)點(diǎn)P,M滿足||=1,=,則||2的最大值是( )
A. B.
C. D.
答案 B
4.(2013湖南,6,5分)已知a,b是單位向量,a·b=0.若向量c滿足|c-a-b|=1,則|c|的取值范圍是( )
A.[-1,+1] B.[-1,+2]
C.[1,+1] D.[1,+2]
答案 A
5.(2017浙江,15,6分)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,則|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是
16、 .?
答案 4;2
6.(2016浙江,15,4分)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若對(duì)任意單位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤,則a·b的最大值是 .?
答案
7.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ文,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b與a垂直,則m= .?
答案 7
8.(2017江蘇,12,5分)如圖,在同一個(gè)平面內(nèi),向量,,的模分別為1,1,,與的夾角為α,且tan α=7,與的夾角為45°.若=m+n(m,n∈R),則m+n= .?
答案 3
教師用書專用(9—16)
9.(2015湖南,8,5分)已知點(diǎn)A,
17、B,C在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng),且AB⊥BC.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0),則|++|的最大值為( )
A.6 B.7
C.8 D.9
答案 B
10.(2013重慶,10,5分)在平面上,⊥,||=||=1,=+.若||<,則||的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 D
11.(2013福建,7,5分)在四邊形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),則該四邊形的面積為( )
A. B.2
C.5 D.10
答案 C
12.(2015江蘇,14,5分)設(shè)向量ak=cos,sin+cos(k=0,1,2,…,12),則(ak·ak+1)的值為
18、 .?
答案 9
13.(2014湖北,11,5分)設(shè)向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),則實(shí)數(shù)λ= .?
答案 ±3
14.(2013山東,15,4分)已知向量與的夾角為120°,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,則實(shí)數(shù)λ的值為 .?
答案
15.(2014江西,14,5分)已知單位向量e1與e2的夾角為α,且cos α=,向量a=3e1-2e2與b=3e1-e2的夾角為β,則cos β= .?
答案
16.(2013江蘇,15,14分)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β
19、<α<π.
(1)若|a-b|=,求證:a⊥b;
(2)設(shè)c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.
解析 (1)證明:由題意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2.
因?yàn)閍2=b2=|a|2=|b|2=1,
所以2-2a·b=2,即a·b=0,
故a⊥b.
(2)因?yàn)閍+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),所以
由此得,cos α=cos(π-β),由0<β<π,得0<π-β<π,又0<α<π,故α=π-β.代入sin α+sin β=1得,sin α=sin β=,而α>β,所以α=,β=.
三年模擬
A組 201
20、6—2018年模擬·基礎(chǔ)題組
考點(diǎn)一 平面向量的數(shù)量積
1.(2017浙江名校(杭州二中)交流卷三)已知向量a=(cos2A,-sin2A),b=,其中A為△ABC的最小內(nèi)角,且a·b=-,則角A等于 ( )
A. B.
C. D. 或
答案 C
2.(2017浙江紹興質(zhì)量調(diào)測(cè)(3月),8) 向量a,b滿足|a|=4,b·(a-b)=0.若|λa-b|的最小值為2(λ∈R),則a·b=( )
A.0 B.4 C.8 D.16
答案 C
3.(2018浙江杭州地區(qū)重點(diǎn)中學(xué)第一學(xué)期期中,12)在△ABC中,已知AB=,BC=,
21、AC=2,且O為△ABC的外心,則△ABC的面積為 ,·= .?
答案 ;-2
4.(2018浙江杭州二中期中,16)在半徑為1的扇形AOB中,∠AOB=60°,C為弧AB上的動(dòng)點(diǎn),AB與OC交于點(diǎn)P,則·的最小值是 .?
答案 -
考點(diǎn)二 向量的綜合應(yīng)用
5.(2017浙江名校(諸暨中學(xué))交流卷四,7)已知A,B是半徑為的☉O上的兩個(gè)點(diǎn),·=1,☉O所在平面上有一點(diǎn)C滿足|+-|=1,則向量的模的取值范圍是( )
A.[2-1,2+1] B.
C.[-1,+1] D.[-1,+1]
答案 C
6.(2018浙江名校協(xié)作體期初,1
22、2)已知在△ABC中,AB=3,BC=,AC=2,且O是△ABC的外心,則·= ,·= .?
答案 2;-
7.(2018浙江“七彩陽(yáng)光”聯(lián)盟期初聯(lián)考,16)若向量a,b滿足a2+a·b+b2=1,則|a+b|的最大值為 .?
答案
8.(2017浙江嘉興基礎(chǔ)測(cè)試,15)已知兩單位向量e1,e2的夾角為60°,若實(shí)數(shù)x,y滿足|xe1+2ye2|=,則x+2y的取值范圍是 .?
答案 [-2,2]
B組 2016—2018年模擬·提升題組
一、選擇題
1.(2018浙江9+1高中聯(lián)盟期中,10)如圖,點(diǎn)C在
23、以AB為直徑的圓上,其中AB=2,過(guò)A向點(diǎn)C處的切線作垂線,垂足為P,則·的最大值是( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
答案 B
2.(2018浙江重點(diǎn)中學(xué)12月聯(lián)考,10)已知三角形ABC,AB=2,BC=3,AC=4,點(diǎn)O為三角形ABC的內(nèi)心,記I1=·,I2=·,I3=·,則( )
A.I3
24、·b}取最小值時(shí),|c|=( )
A. B. C.1 D.
答案 A
4.(2016浙江名校(杭州二中)交流卷三,5)已知角A為△ABC的最小內(nèi)角,若向量a=(cos2A,sin2A),b=,則a·b的取值范圍是( )
A. B. C. D.
答案 C
二、填空題
5.(2018浙江浙東北聯(lián)盟期中,15)已知向量a,b,c滿足|a|=1,|b|=2,|c|=3,若b·c=0,0≤λ≤1,則|a-λb-(1-λ)c|的最大值為 ,最小值為 .?
答案 4;-1
6.(2017浙江寧波二模(5月),16)已知向量a,b滿足|b|=3,|a|=
25、2|b-a|,若|a+λb|≥3恒成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為 .?
答案 (-∞,-3]∪
C組 2016—2018年模擬·方法題組
方法1 平面向量數(shù)量積、向量長(zhǎng)度與夾角的解題策略
1.(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬卷一,15)已知△ABC的內(nèi)角A=60°,BC邊上的高AD=3,則的值是 .?
答案
方法2 平面向量應(yīng)用的解題策略
2.(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬卷四,17)已知非零向量a,b,c,滿足|a|=|b|=-2a·b=1,且a-c和b-c的夾角為120°,則(a+c)·(b+c)的最小值是 .?
答案 -
10
（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量與解三角形 5.2 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用學(xué)案
