《（通用版）2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.7 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)講義 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（通用版）2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.7 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)講義 理（17頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第七節(jié)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 1．對(duì)數(shù) 概念 如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，logaN叫做對(duì)數(shù)式．其中常用對(duì)數(shù)：log10N?lg N；自然對(duì)數(shù)：logeN?ln N 性質(zhì) 對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：ax＝N?x＝logaN? loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N 運(yùn)算 loga(M·N)＝logaM＋logaN a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0 loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) 換底公式 換底公式：logab＝(a＞0，且a≠1，c＞

2、0，且c≠1，b＞0) 2．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 函數(shù) y＝logax(a＞0，且a≠1) a＞1 0＜a＜1 圖象特征 在y軸右側(cè)，過(guò)定點(diǎn)(1,0) 當(dāng)x逐漸增大時(shí)，圖象是上升的 當(dāng)x逐漸增大時(shí)，圖象是下降的 性質(zhì) 定義域 (0，＋∞) 值域 R 單調(diào)性 在(0，＋∞)上是增函數(shù) 在(0，＋∞)上是減函數(shù) 函數(shù)值變 化規(guī)律 當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0 當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0； 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0 當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0； 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞0 謹(jǐn)記運(yùn)算法則有關(guān)口訣 積的對(duì)數(shù)變加法；商的對(duì)數(shù)變減法；冪的乘方取對(duì)數(shù)，要把指數(shù)提到前.

3、 ①對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0)，且過(guò)點(diǎn)(a,1)，，函數(shù)圖象只在第一、四象限． ②在直線x＝1的右側(cè)，當(dāng)a＞1時(shí)，底數(shù)越大，圖象越靠近x軸；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，底數(shù)越小，圖象越靠近x軸，即“底大圖低”． ③函數(shù)y＝logax與y＝logx的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng). [熟記常用結(jié)論] 1．換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論 (1)logab＝；(2)logambn＝logab. 其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m≠0，n∈R. 2．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖，作直線y＝1，則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們

4、可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大． [小題查驗(yàn)基礎(chǔ)] 一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”) (1)函數(shù)y＝log2(x＋1)是對(duì)數(shù)函數(shù)．(　　) (2)log2x2＝2log2x.(　　) (3)當(dāng)x＞1時(shí)，logax＞0.(　　) (4)若MN＞0，則loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) (5)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 二、選填題 1．函數(shù)y＝lg|x|(　　) A．是偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增 B．是偶函數(shù)，在區(qū)間

5、(－∞，0)上單調(diào)遞減 C．是奇函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減 D．是奇函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增 解析：選B　y＝lg|x|是偶函數(shù)，由圖象知在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． 2．已知a＞0，a≠1，函數(shù)y＝ax與y＝loga(－x)的圖象可能是(　　) 解析：選B　函數(shù)y＝loga(－x)的圖象與y＝logax的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，符合條件的只有B. 3．函數(shù)y＝的定義域?yàn)開(kāi)_____． 解析：要使函數(shù)有意義，須滿足 解得＜x≤1. 答案： 4．函數(shù)y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的圖象恒過(guò)的定點(diǎn)是________． 解

6、析：當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的值為2，所以圖象恒過(guò)定點(diǎn)(2,2)． 答案：(2,2) 5．計(jì)算：log23·log34＋()log34＝________. 解析：log23·log34＋()＝·＋3＝2＋3log32＝2＋2＝4. 答案：4 [題組練透] 1．設(shè)loga2＝m，loga3＝n，則a2m＋n的值為_(kāi)_______． 解析：由已知得a2m＋n＝a2loga2＋loga3＝aloga4＋loga3＝aloga12＝12. 答案：12 2．已知log189＝a,18b＝5，則log3645＝________(用關(guān)于a，b的

7、式子表示)． 解析：因?yàn)?8b＝5，所以log185＝b，又log189＝a，于是log3645＝＝＝＝. 答案： 3．計(jì)算：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (2)； (3)(log32＋log92)·(log43＋log83)． 解：(1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52 ＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5 ＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2. (2)原式＝ ＝＝－. (3)原式＝log32·log43＋log32·log83＋log92·log43＋log92·log83

8、＝·＋·＋·＋· ＝＋＋＋＝. [名師微點(diǎn)] 對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路 (1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡(jiǎn)； (2)將同底對(duì)數(shù)的和、差、倍合并； (3)利用換底公式將不同底的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對(duì)數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用； (4)利用常用對(duì)數(shù)中的lg 2＋lg 5＝1. [典例精析] [例1]　(2019·合肥質(zhì)檢)函數(shù)y＝ln(2－|x|)的大致圖象為(　　) [解析]　令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|－2＜x＜2}，且f(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，排除選

9、項(xiàng)C、D.由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)y＝2－|x|的單調(diào)性知A正確． [答案]　A [例2]　當(dāng)0＜x≤時(shí)，4x＜logax，則a的取值范圍是(　　) A.　　　　　　　　　B. C．(1，) D．(，2) [解析]　易知0＜a＜1，函數(shù)y＝4x與y＝logax的大致圖象如圖，則由題意可知只需滿足loga＞4， 解得a＞，∴＜a＜1，故選B. [答案]　B 　　 1．(變條件)將例2中“4x＜logax”變?yōu)椤?x＝logax有解”，a的取值范圍為_(kāi)_________． 解析：若方程4x＝logax在上有解，則函數(shù)y＝4x與函數(shù)y＝logax的圖象在上有交點(diǎn)． 由圖象可知

10、解得0＜a≤，即a的取值范圍為. 答案： 2．(變條件)若例2變?yōu)椋阂阎坏仁絰2－logax＜0對(duì)x∈恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_________． 解析：由x2－logax＜0得x2＜logax，設(shè)f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈時(shí)，不等式x2＜logax恒成立，只需f1(x)＝x2在上的圖象在f2(x)＝logax圖象的下方即可． 當(dāng)a＞1時(shí)，顯然不成立； 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，如圖所示， 要使x2＜logax在x∈上恒成立，需f1≤f2， 所以有2≤loga，解得a≥，所以≤a＜1. 即實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 答案： 3．(變條件)若例2變?yōu)椋寒?dāng)0

11、＜x≤時(shí)，＜logax，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______． 解析：若＜logax在x∈上恒成立，則0＜a＜1，且y＝的圖象在y＝logax圖象的下方，如圖所示， 由圖象知 ＜loga， 所以解得＜a＜1. 即實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 答案： [解題技法] (1)識(shí)別對(duì)數(shù)函數(shù)圖象時(shí)，要注意底數(shù)a以1為分界：當(dāng)a＞1時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，是減函數(shù)．注意對(duì)數(shù)函數(shù)圖象恒過(guò)定點(diǎn)(1,0)，且以y軸為漸近線． (2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解． [過(guò)關(guān)訓(xùn)練] 1．若函數(shù)y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域?yàn)閧y|y≥1}，則函

12、數(shù)y＝loga|x|的圖象大致是(　　) 解析：選B　若函數(shù)y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域?yàn)閧y|y≥1}，則a＞1，故函數(shù)y＝loga|x|的圖象大致如圖所示．故選B. 2．設(shè)方程10x＝|lg(－x)|的兩個(gè)根分別為x1，x2，則(　　) A．x1x2＜0 B．x1x2＝0 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1 解析：選D　作出y＝10x與y＝|lg(－x)|的大致圖象，如圖． 顯然x1＜0，x2＜0. 不妨令x1＜x2，則x1＜－1＜x2＜0， 所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)， 此時(shí)10x1＜10x2， 即lg(－x1)

13、＜－lg(－x2)， 由此得lg(x1x2)＜0， 所以0＜x1x2＜1，故選D. [考法全析] 考法(一)　比較對(duì)數(shù)值的大小 [例1]　設(shè)a＝log3π，b＝log2，c＝log3，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)＞b＞c　　　　　　　 B．a(chǎn)＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a [解析]　因?yàn)閍＝log3π＞log33＝1，b＝log2＜log22＝1，所以a＞b；又＝＝(log23)2＞1，c＞0，所以b＞c.故a＞b＞c. [答案]　A 考法(二)　解簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)不等式 [例2]　設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)＞f(－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)

14、 A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) [解析]　由題意得 或 解得a＞1或－1＜a＜0.故選C. [答案]　C 考法(三)　對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用 [例3]　若函數(shù)f(x)＝log (－x2＋4x＋5)在區(qū)間(3m－2，m＋2)內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(　　) A. B. C. D. [解析]　由－x2＋4x＋5＞0，解得－1＜x＜5. 二次函數(shù)y＝－x2＋4x＋5的對(duì)稱(chēng)軸為x＝2.由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)f(x)＝log (－x2＋4x＋5)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2

15、,5)．要使函數(shù)f(x)＝log (－x2＋4x＋5)在區(qū)間(3m－2，m＋2)內(nèi)單調(diào)遞增，只需 解得≤m＜2. [答案]　C [規(guī)律探求] 看個(gè)性 考法(一)是利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較對(duì)數(shù)值的大?。Ｓ幸韵骂}型及求法： 考法(二)是直接考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)真數(shù)大于0；(2)底數(shù)a的值． 考法(三)考查與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，解決此類(lèi)問(wèn)題有以下三個(gè)步驟： (1)求出函數(shù)的定義域； (2)判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的大小關(guān)系，當(dāng)?shù)讛?shù)是含字母的代數(shù)式(包含單獨(dú)一個(gè)字母)時(shí)，若涉及其單調(diào)性，就必須對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論； (3)判斷內(nèi)層

16、函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性 找共性 無(wú)論題型如何變化，都是圍繞對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，變換不同的角度來(lái)應(yīng)用．考法(一)與考法(二)是對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的直接應(yīng)用，利用單調(diào)性來(lái)比較大小、解不等式；考法(三)是對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的遷移應(yīng)用，根據(jù)單調(diào)性來(lái)求參數(shù)的范圍，所以弄清對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，并注意有時(shí)需對(duì)底數(shù)字母參數(shù)進(jìn)行討論 [過(guò)關(guān)訓(xùn)練] 1．設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且2a＝loga，b＝logb，c＝log2c，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 解析：選A　∵a＞0，∴2a

17、＞1，∴l(xiāng)oga＞1，∴0＜a＜. ∵b＞0，∴0＜b＜1，∴0＜logb＜1，∴＜b＜1. ∵c＞0，∴c＞0，∴l(xiāng)og2c＞0，∴c＞1. ∴0＜a＜＜b＜1＜c，故選A. 2．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)a＝log0.20.3，b＝log20.3，則(　　) A．a(chǎn)＋b＜ab＜0 B．a(chǎn)b＜a＋b＜0 C．a(chǎn)＋b＜0＜ab D．a(chǎn)b＜0＜a＋b 解析：選B　∵a＝log0.20.3＞log0.21＝0，b＝log20.3＜log21＝0，∴ab＜0.∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，∴1＝log0.30.3＞log0.30.4＞log0.31＝

18、0， ∴0＜＜1，∴ab＜a＋b＜0. 3．若函數(shù)f(x)＝loga(x2－2x＋a)(a＞0，且a≠1)有最小值，則實(shí)數(shù)a的值等于________． 解析：令g(x)＝x2－2x＋a，則f(x)＝loga[g(x)]． ①若a＞1，由于函數(shù)f(x)有最小值， 則g(x)應(yīng)有最小值 ， 而g(x)＝x2－2x＋a＝(x－)2＋a－6， 當(dāng)x＝時(shí)，取最小值a－6， 因此有解得a＝9. ②若0＜a＜1，由于函數(shù)f(x)有最小值， 則g(x)應(yīng)有最大值， 而g(x)不存在最大值，不符合題意．綜上，實(shí)數(shù)a＝9. 答案：9 4．(2019·西安模擬)已知函數(shù)f(x)＝loga(

19、8－ax)(a＞0，且a≠1)，若f(x)＞1在區(qū)間[1,2]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______． 解析：當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)＞1等價(jià)于8－ax＞a在[1,2]上恒成立． 即a＜min＝，∴1＜a＜. 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(x)＞1等價(jià)于0＜8－ax＜a在[1,2]上恒成立，即a＞max且a＜min. 解得a＞4且a＜4，故不存在． 綜上可知，a的取值范圍為. 答案： 一、題點(diǎn)全面練 1．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的反

20、函數(shù)，且f(2)＝1，則f(x)＝(　　) A．log2x　　　　　　　　　 B. C．logx D．2x－2 解析：選A　由題意知f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)， ∵f(2)＝1，∴l(xiāng)oga2＝1，∴a＝2. ∴f(x)＝log2x. 2．如果logx＜logy＜0，那么(　　) A．y＜x＜1 B．x＜y＜1 C．1＜x＜y D．1＜y＜x 解析：選D　∵logx＜logy＜log1，∴x＞y＞1. 3．(2019·新鄉(xiāng)一模)若log2(log3a)＝log3(log4b)＝log4(log2c)＝1，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)＞b＞c

21、 B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．b＞c＞a 解析：選D　由log2(log3a)＝1，可得log3a＝2，故a＝32＝9；由log3(log4b)＝1，可得log4b＝3，故b＝43＝64；由log4(log2c)＝1，可得log2c＝4，故c＝24＝16.∴b＞c＞a.故選D. 4．(2019·鄭州模擬)設(shè)a＝log50.5，b＝log20.3，c＝log0.32，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a(chǎn)＜b＜c 解析：選B　a＝log50.5＞log50.2＝－1，b＝log20.3＜log20.5＝－1，c＝log0

22、.32＞log0.3＝－1，log0.32＝，log50.5＝＝＝.∵－1＜lg 0.2＜lg 0.3＜0，∴＜，即c＜a，故b＜c＜a.故選B. 5．(2019·長(zhǎng)春模擬)已知對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)＝logax是增函數(shù)，則函數(shù)f(|x|＋1)的圖象大致是(　　) 解析：選B　由函數(shù)f(x)＝logax是增函數(shù)知，a＞1.f(|x|＋1)＝loga(|x|＋1)＝由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象知選B. 6．(2018·肇慶二模)已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)，則(　　) A．f(x)是奇函數(shù)，且在(0,10)上是增函數(shù) B．f(x)是偶函數(shù)，且在(0,10)上是增函數(shù) C．f(x)

23、是奇函數(shù)，且在(0,10)上是減函數(shù) D．f(x)是偶函數(shù)，且在(0,10)上是減函數(shù) 解析：選D　由得x∈(－10,10)，故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－10,10)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．由于f(－x)＝lg(10－x)＋lg(10＋x)＝f(x)，故函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．而f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)＝lg(100－x2)，y＝100－x2在(0,10)上遞減，y＝lg x在(0,10)上遞增，故函數(shù)f(x)在(0,10)上遞減． 7．(2018·鄭州月考)已知2x＝72y＝A，且＋＝2，則A的值是________． 解析：由2x＝72y＝A得x＝log2A，y＝log7A

24、，則＋＝＋＝logA2＋2logA7＝logA98＝2，A2＝98. 又A＞0，故A＝＝7. 答案：7 8．已知函數(shù)f(x)＝|log 3x|，實(shí)數(shù)m，n滿足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值為2，則＝________. 解析：因?yàn)閒(x)＝|log3x|＝所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，可得則所以0＜m2＜m＜1，則f(x)在[m2,1)上單調(diào)遞減，在(1，n]上單調(diào)遞增，所以f(m2)＞f(m)＝f(n)，則f(x)在[m2，n]上的最大值為f(m2)＝－log3m2＝2，解得m＝，則

25、n＝3，所以＝9. 答案：9 9．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝loga(x＋1)(a＞0，且a≠1)． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)若－1＜f(1)＜1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：(1)當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0， 由題意知f(－x)＝loga(－x＋1)， 又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)． ∴當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝loga(－x＋1)， ∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝ (2)∵－1＜f(1)＜1，∴－1＜loga2＜1， ∴l(xiāng)oga＜loga2＜logaa. ①當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式等價(jià)于解得a＞2； ②當(dāng)

26、0＜a＜1時(shí)，原不等式等價(jià)于 解得0＜a＜. 綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為∪(2，＋∞)． 10．已知函數(shù)f(x)＝loga(3－ax)(a＞0，且a≠1)． (1)當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，函數(shù)f(x)恒有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：(1)∵a＞0且a≠1，設(shè)t(x)＝3－ax，則t(x)＝3－ax為減函數(shù)，當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，t(x)的最小值為3－2a， ∵當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)恒有意義，即x∈[0,2]時(shí)，3－ax＞0恒成立． ∴3－2

27、a＞0，∴a＜. 又a＞0且a≠1，∴0＜a＜1或1＜a＜， ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1)∪. (2)由(1)知函數(shù)t(x)＝3－ax為減函數(shù)． ∵f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)， ∴y＝logat在[1,2]上為增函數(shù)，∴a＞1， 當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，t(x)的最小值為3－2a，f(x)的最大值為f(1)＝loga(3－a)， ∴即 故不存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，并且最大值為1. 二、專(zhuān)項(xiàng)培優(yōu)練 (一)易錯(cuò)專(zhuān)練——不丟怨枉分 1．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在區(qū)間(－∞，1]上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為(　　) A

28、．[1,2) B．[1,2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 解析：選A　令函數(shù)g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，其圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x＝a，要使函數(shù)f(x)在(－∞，1]上單調(diào)遞減，則即解得1≤a＜2，即a∈[1,2)，故選A. 2．(2019·湛江模擬)已知loga＜1，那么a的取值范圍是________． 解析：∵loga＜1＝logaa，故當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y＝logax為減函數(shù)，0＜a＜；當(dāng)a＞1時(shí)，y＝logax為增函數(shù)，a＞，∴a＞1.綜上所述，a的取值范圍是∪(1，＋∞)． 答案：∪(1，＋∞) 3．函數(shù)f(x)＝log (x2－4)的單

29、調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_______． 解析：設(shè)t＝x2－4，因?yàn)閥＝logt在定義域上是減函數(shù)，所以求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)t＝x2－4的單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的定義域，可知所求區(qū)間為(－∞，－2)． 答案：(－∞，－2) (二)交匯專(zhuān)練——融會(huì)巧遷移 4．[與指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的交匯]已知x1＝log2，x2＝2，x3滿足x3＝log3x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是(　　) A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x1＜x2 解析：選A　由題意可知x3是函數(shù)y＝x與y＝log3x的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出

30、函數(shù)y＝x與y＝log3x的圖象，如圖所示，由圖象可知x3＞1，而x1＝log2＜0,0＜x2＝2＜1，所以x3＞x2＞x1.故選A. 5．[與數(shù)列的交匯]已知數(shù)列{an}滿足log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，則log2(a101＋a102＋…＋a110)＝________. 解析：∵log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)， ∴l(xiāng)og2an＋1－log2an＝1，即log2＝1，∴＝2. ∴數(shù)列{an}是公比q＝2的等比數(shù)列， 則a101＋a102＋…＋a110＝(a1＋a2＋a3＋…＋a10)q100＝2100， ∴l(xiāng)og

31、2(a101＋a102＋…＋a110)＝log22100＝100. 答案：100 (三)素養(yǎng)專(zhuān)練——學(xué)會(huì)更學(xué)通 6．[邏輯推理]設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，且log2x＝log3y＝log5z＞0，則，，的大小關(guān)系不可能是(　　) A.＜＜ B.＝＝ C.＜＜ D.＜＜ 解析：選D　設(shè)log2x＝log3y＝log5z＝k＞0， 可得x＝2k＞1，y＝3k＞1，z＝5k＞1. ∴＝2k－1，＝3k－1，＝5k－1. ①若0＜k＜1，則函數(shù)f(x)＝xk－1單調(diào)遞減， ∴＞＞； ②若k＝1，則函數(shù)f(x)＝xk－1＝1，∴＝＝； ③若k＞1，則函數(shù)f(x)＝xk－1單調(diào)

32、遞增， ∴＜＜. ∴，，的大小關(guān)系不可能是D. 7．[直觀想象]已知點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)B在曲線G：y＝ln x上，若線段AB與曲線M：y＝相交且交點(diǎn)恰為線段AB的中點(diǎn)，則稱(chēng)B為曲線G關(guān)于曲線M的一個(gè)關(guān)聯(lián)點(diǎn)．那么曲線G關(guān)于曲線M的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：選B　設(shè)B(x0，ln x0)，x0＞0，線段AB的中點(diǎn)為C，則C，又點(diǎn)C在曲線M上，故＝，即ln x0＝.此方程根的個(gè)數(shù)可以看作函數(shù)y＝ln x與y＝的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．畫(huà)出圖象(如圖)，可知兩個(gè)函數(shù)的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)．故選B. 8．[邏輯推理]若方程2log2x－log2(x－1)＝m＋1有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 解析：由題意知即x＞1，方程化簡(jiǎn)為log2＝m＋1，故＝2m＋1，即x2－2m＋1x＋2m＋1＝0，當(dāng)x＞1時(shí)，此方程有兩個(gè)不同的解，所以得m＞1. 答案：(1，＋∞) 17