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(全國(guó)版)2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量 第1講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算學(xué)案

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1、 第1講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算 板塊一 知識(shí)梳理·自主學(xué)習(xí) [必備知識(shí)] 考點(diǎn)1 向量的有關(guān)概念 (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模. (2)零向量:長(zhǎng)度為0的向量,其方向是任意的. (3)單位向量:長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量. (4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共線向量. 規(guī)定:0與任一向量共線. (5)相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的向量. (6)相反向量:長(zhǎng)度相等且方向相反的向量. 考點(diǎn)2 向量的線性運(yùn)算 向量運(yùn)算 定義 法則(或幾何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 交換律: a+b=b+a

2、; 結(jié)合律: (a+b)+c= a+(b+c) 減法 求a與b的相反向量-b的和的運(yùn)算 a-b=a+(-b) 續(xù)表 向量運(yùn)算 定義 法則(或幾何意義) 運(yùn)算律 數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算 |λa|=|λ||a|, 當(dāng)λ>0時(shí),λa與a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa與a的方向相反;當(dāng)λ=0時(shí),λa=0 λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a= λa+μa; λ(a+b)= λa+λb 考點(diǎn)3 共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使b=λa. [必會(huì)結(jié)論] 1.一般地,首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從

3、第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量,即+++…+An-1An=.特別地,一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量. 2.若P為線段AB的中點(diǎn),O為平面內(nèi)任一點(diǎn),則=(+). [考點(diǎn)自測(cè)] 1.判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)向量不能比較大小,但向量的??梢员容^大?。?  ) (2)向量與有向線段是一樣的,因此可以用有向線段來(lái)表示向量.(  ) (3)=-.(  ) (4)向量a-b與b-a是相反向量.(  ) (5)向量與向量是共線向量,則A,B,C,D四點(diǎn)在一條直線上.(  ) (6)當(dāng)兩個(gè)非零向量a,b共線時(shí),一定有b=λa,反之成立.

4、(  ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)√ 2.[課本改編]如圖所示,在平行四邊形ABCD中,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(  ) A.= B.+= C.-= D.+=0 答案 C 解析 由-==-,故C錯(cuò)誤. 3.[課本改編]設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),+=2,則(  ) A.+=0 B.+=0 C.+=0 D.++=0 答案 B 解析 ∵+=2,∴P為AC的中點(diǎn),∴+=0.選B. 4.[2018·溫州模擬]已知a與b是兩個(gè)不共線向量,且向量a+λb與-(b-3a)共線,則λ=________. 答案?。? 解析 設(shè)a+

5、λb=k[-(b-3a)]=3ka-kb,∴1=3k,且λ=-k,∴λ=-. 5.[2015·北京高考]在△ABC中,點(diǎn)M,N滿足=2,=.若=x+y,則x=________;y=________. 答案 ?。? 解析 由題中條件得=+=+=+(-)=-=x+y,所以x=,y=-. 板塊二 典例探究·考向突破 考向 平面向量的概念 例 1 給出下列命題: ①若兩個(gè)向量相等,則它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同; ②若a與b共線,b與c共線,則a與c也共線; ③若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),則=,則ABCD為平行四邊形; ④a=b的充要條件是|a|=|b|且a∥b; ⑤已知λ,μ

6、為實(shí)數(shù),若λa=μb,則a與b共線. 其中真命題的序號(hào)是________. 答案?、? 解析?、馘e(cuò)誤,兩個(gè)向量起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同,則兩個(gè)向量相等;但兩個(gè)向量相等,不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn). ②錯(cuò)誤,若b=0,則a與c不一定共線. ③正確,因?yàn)椋?,所以||=||且∥;又A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),所以四邊形ABCD為平行四邊形. ④錯(cuò)誤,當(dāng)a∥b且方向相反時(shí),即使|a|=|b|,也不能得到a=b,所以|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要條件,而是必要不充分條件. ⑤錯(cuò)誤,當(dāng)λ=μ=0時(shí),a與b可以為任意向量,滿足λa=μb,但a與b不一定共線. 故填③. 觸類旁通 對(duì)于

7、向量的概念應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)向量的兩個(gè)特征:有大小,有方向,向量既可以用有向線段表示,字母表示,也可以用坐標(biāo)表示. (2)相等向量不僅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量則未必是相等向量. (3)向量與數(shù)量不同,數(shù)量可以比較大小,向量則不能,但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù),故可以比較大小. (4)向量是自由向量,所以平行向量就是共線向量,二者是等價(jià)的. 【變式訓(xùn)練1】 設(shè)a0為單位向量,下列命題中:①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量,則a=|a|·a0;②若a與a0平行,則a=|a|a0;③若a與a0平行且|a|=1,則a=a0.假命題的個(gè)數(shù)是(  ) A.0 B.1

8、 C.2 D.3 答案 D 解析 向量是既有大小又有方向的量,a與|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命題;若a與a0平行,則a與a0的方向有兩種情況:一是同向,二是反向,反向時(shí)a=-|a|a0,故②③也是假命題.綜上所述,假命題的個(gè)數(shù)是3. 考向 平面向量的線性運(yùn)算 命題角度1 向量加減法的幾何意義 例 2 [2017·全國(guó)卷Ⅱ]設(shè)非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,則(  ) A.a(chǎn)⊥b B.|a|=|b| C.a(chǎn)∥b D.|a|>|b| 答案 A 解析 解法一:∵|a+b|=|a-b|, ∴|a+b|2=|a-b|2. ∴a2+b2+2a

9、·b=a2+b2-2a·b. ∴a·b=0.∴a⊥b. 故選A. 解法二:利用向量加法的平行四邊形法則. 在?ABCD中,設(shè)=a,=b, 由|a+b|=|a-b|知||=||, 從而四邊形ABCD為矩形,即AB⊥AD,故a⊥b. 故選A. 命題角度2 向量的線性運(yùn)算 例 3 [2015·全國(guó)卷Ⅰ]設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),=3,則(  ) A.=-+ B.=- C.=+ D.=- 答案 A 解析?。剑剑剑?- )=-=-+.故選A. 命題角度3 利用向量的線性運(yùn)算求參數(shù) 例 4 [2018·唐山模擬]在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=3

10、0°,AB=2,BC=2,點(diǎn)E在線段CD上,若=+μ,則μ的取值范圍是________. 答案 0≤μ≤ 解析 由題意可求得AD=1,CD=,所以=2. ∵點(diǎn)E在線段CD上, ∴=λ(0≤λ≤1). ∵=+, 又=+μ=+2μ=+, ∴=1,即μ=.∵0≤λ≤1,∴0≤μ≤. 觸類旁通 平面向量線性運(yùn)算的一般規(guī)律 (1)用已知向量來(lái)表示另外一些向量是用向量解題的基本功,除利用向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算外,還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理. (2)在求向量時(shí),要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中,運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則,利用三角形中位線、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面

11、幾何的性質(zhì),把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來(lái)求解. 考向 共線向量定理的應(yīng)用 例 5 設(shè)e1,e2是兩個(gè)不共線的向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2. (1)求證:A,B,D三點(diǎn)共線; (2)若=3e1-ke2,且B,D,F(xiàn)三點(diǎn)共線,求k的值. 解 (1)證明:由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2, ∵=2e1-8e2,∴=2. 又∵與有公共點(diǎn)B, ∴A,B,D三點(diǎn)共線. (2)由(1)可知=e1-4e2, ∵=3e1-ke2,且B,D,F(xiàn)三點(diǎn)共線, ∴=λ(λ∈R), 即3e1-ke2=λe1-4

12、λe2,得解得k=12. 觸類旁通 怎樣用向量證明三點(diǎn)共線問(wèn)題 兩向量共線且有公共點(diǎn)(起點(diǎn)相同或終點(diǎn)相同,或一個(gè)向量的起點(diǎn)是另一個(gè)向量的終點(diǎn)),則可以得到三點(diǎn)共線;反之由三點(diǎn)共線也可得到向量共線. 【變式訓(xùn)練2】 已知O,A,B是不共線的三點(diǎn),且=m+n(m,n∈R). (1)若m+n=1,求證:A,P,B三點(diǎn)共線; (2)若A,P,B三點(diǎn)共線,求證:m+n=1. 證明 (1)若m+n=1, 則=m+(1-m)=+m(-), ∴-=m(-), 即=m,∴與共線. 又∵與有公共點(diǎn)B,∴A,P,B三點(diǎn)共線. (2)若A,P,B三點(diǎn)共線,存在實(shí)數(shù)λ,使=λ, ∴

13、-=λ(-). 又=m+n. 故有m+(n-1)=λ-λ, 即(m-λ)+(n+λ-1)=0. ∵O,A,B不共線,∴,不共線, ∴∴m+n=1. 核心規(guī)律 1.向量的加、減法運(yùn)算,要在所表達(dá)的圖形上多思考,多聯(lián)系相關(guān)的幾何圖形,比如平行四邊形、菱形、三角形等,可多記憶一些有關(guān)的結(jié)論. 2.對(duì)于向量共線定理及其等價(jià)定理,關(guān)鍵要理解向量a與b共線是指a與b所在的直線平行或重合. 3.要證明三點(diǎn)共線或直線平行都是先探索有關(guān)的向量滿足向量等式b=λa,再結(jié)合條件或圖形有無(wú)公共點(diǎn)證明幾何位置. 滿分策略 1.兩向量起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同,則兩向量相等;但兩相等向量,不一定有相

14、同的起點(diǎn)和終點(diǎn). 2.零向量和單位向量是兩個(gè)特殊的向量.它們的模確定,但方向不確定. 3.注意區(qū)分向量共線與向量所在的直線平行間的關(guān)系.向量與是共線向量,但A,B,C,D四點(diǎn)不一定在一條直線上. 4.向量共線的充要條件中要注意“a≠0”,否則λ可能不存在,也可能有無(wú)數(shù)個(gè). 板塊三 啟智培優(yōu)·破譯高考 易錯(cuò)警示系列6——向量線性運(yùn)算中的易錯(cuò)點(diǎn) [2018·鐵嶺模擬]已知△ABC和點(diǎn)M滿足++=0.若存在實(shí)數(shù)m使得+=m成立,則m=(  ) A.2 B.3 C.4 D.5 錯(cuò)因分析 本題主要考查向量的有關(guān)運(yùn)算以及向量運(yùn)算的幾何意義.求解該題時(shí)容易出現(xiàn)兩個(gè)問(wèn)題:一是不能根據(jù)

15、++=0分析出點(diǎn)M與△ABC之間的關(guān)系;二是不能靈活利用三角形的性質(zhì)和向量運(yùn)算的幾何意義找出,與之間的關(guān)系. 解析 解法一:由++=0,知點(diǎn)M為△ABC的重心,設(shè)點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn),則由向量加法,可知+=2. 由重心的性質(zhì),可知||=||, 而且與同向,故=, 所以=×(+)=(+), 所以+=3,m=3.故選B. 解法二:由已知得+++=m, 又∵+=-=,∴3=m, ∴m=3.故選B. 答案 B 答題啟示 進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí),要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中,選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基底或首尾相接的向量,運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來(lái)求解.充分利用相等向量、相反向量和線段的

16、比例關(guān)系,把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來(lái)求解. 跟蹤訓(xùn)練 在△ABC中,點(diǎn)D在邊CB的延長(zhǎng)線上,且=4=r-s,則s+r等于(  ) A.0 B. C. D.3 答案 C 解析 因?yàn)椋?,所以=.又因?yàn)椋剑裕?-)=-,所以r=s=,s+r=. 板塊四 模擬演練·提能增分 [A級(jí) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1.[2018·南京模擬]對(duì)于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案 A 解析 若a+b=0,則a=-b,所以a∥b;若a∥b,則a=λb,

17、a+b=0不一定成立,故前者是后者的充分不必要條件.故選A. 2.已知O,A,B,C為同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn),若2+=0,則向量等于(  ) A.- B.-+ C.2- D.-+2 答案 C 解析 因?yàn)椋剑?,=-,所?+=2(-)+(-)=-2+=0,所以=2-.故選C. 3.[2018·嘉興模擬]已知向量a與b不共線,且=λa+b,=a+μb,則點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)共線應(yīng)滿足 (  ) A.λ+μ=2 B.λ-μ=1 C.λμ=-1 D.λμ=1 答案 D 解析 若A,B,C三點(diǎn)共線,則=k,即λa+b=k(a+μb),所以λa+b=ka+μkb,所以λ=k,1=μ

18、k,故λμ=1.故選D. 4.設(shè)D,E,F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn),則+=(  ) A. B. C. D. 答案 A 解析 +=(+)+(+)=(+)=.故選A. 5.在四邊形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,則四邊形ABCD的形狀是(  ) A.矩形 B.平行四邊形 C.梯形 D.以上都不對(duì) 答案 C 解析 由已知得,=++=a+2b-4a-b-5a-3b=-8a-2b=2(-4a-b)=2,故∥.又因?yàn)榕c不平行,所以四邊形ABCD是梯形.故選C. 6.[2018·北京海淀期末]如圖,在正方形ABCD中,E為DC的中

19、點(diǎn),若=λ+μ,則λ+μ的值為(  ) A. B.- C.1 D.-1 答案 A 解析 因?yàn)镋為DC的中點(diǎn),所以=+=++=+,即=-+,所以λ=-,μ=1,所以λ+μ=.故選A. 7.[2018·綿陽(yáng)模擬]在等腰梯形ABCD中,=-2,M為BC的中點(diǎn),則=(  ) A.+ B.+ C.+ D.+ 答案 B 解析 因?yàn)椋剑?,所以=2.又M是BC的中點(diǎn),所以=(+)=(++)==+.故選B. 8.若點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且滿足|-|=|+-2|,則△ABC的形狀為________. 答案 直角三角形 解析 因?yàn)椋?=-+-=+,-==-,

20、所以|+|=|-|,即·=0,故⊥,△ABC為直角三角形. 9.[2018·江蘇模擬]設(shè)D,E分別是△ABC的邊AB,BC上的點(diǎn),AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2為實(shí)數(shù)),則λ1+λ2的值為________. 答案  解析?。剑剑剑?-)=-+,∵=λ1+λ2, ∴λ1=-,λ2=,故λ1+λ2=. 10.△ABC所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P,滿足++=,則△PBC與△ABC的面積之比是________. 答案  解析 因?yàn)椋剑裕剑?,所以=?=2,即P是AC邊的一個(gè)三等分點(diǎn),且PC=AC,由三角形的面積公式可知,==. [B級(jí) 知能提升] 1.

21、[2018·福建模擬]設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn),則+++等于(  ) A. B.2 C.3 D.4 答案 D 解析?。?+)+(+)=2+2=4.故選D. 2.在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),BE與AC相交于點(diǎn)F,若=m+n(m,n∈R),則的值為(  ) A.-2 B.- C.2 D. 答案 A 解析 設(shè)=a,=b,則=ma+nb,=-=b-a,由向量與共線可知存在實(shí)數(shù)λ,使得=λ,即ma+nb=λb-λa,又a與b不共線,則所以=-2.故選A. 3.[2018·泉州四校聯(lián)考]設(shè)e1,e2是不共

22、線的向量,若=e1-λe2,=2e1+e2,=3e1-e2,且A,B,D三點(diǎn)共線,則λ的值為________. 答案 2 解析 ∵=2e1+e2,=3e1-e2, ∴=-=(3e1-e2)-(2e1+e2)=e1-2e2,若A,B,D三點(diǎn)共線,則與共線,存在μ∈R使得=μ,即e1-λe2=μ(e1-2e2),由e1,e2是不共線的向量,得解得λ=2. 4.已知||=1,||=,∠AOB=90°,點(diǎn)C在∠AOB內(nèi),且∠AOC=30°.設(shè)=m+n(m,n∈R),求的值. 解 如圖所示,因?yàn)镺B⊥OA,設(shè)||=2,過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA于點(diǎn)D,CE⊥OB于點(diǎn)E,所以四邊形ODCE是矩形, =+=+. 因?yàn)閨|=2,∠COD=30°,所以||=1,||=. 又因?yàn)閨|=,||=1,所以=,=, =+,此時(shí)m=,n=,所以==3. 5.[2018·大同模擬]若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且滿足5=+3,求△ABM與△ABC的面積之比. 解 設(shè)AB的中點(diǎn)為D,如圖,連接MD,MC,由5=+3,得5=2+3?、伲? 即=+, 即+=1, 故C,M,D三點(diǎn)共線,又=+?、?, ①②聯(lián)立,得5=3,即在△ABM與△ABC中,邊AB上的高的比值為,所以△ABM與△ABC的面積的比值為. 13

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