《（通用版）2020高考數(shù)學一輪復習 1.3 簡單的邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞講義 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（通用版）2020高考數(shù)學一輪復習 1.3 簡單的邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞講義 理（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三節(jié)簡單的邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞 1．命題p∧q，p∨q，綈p的真假判斷? p q p∧q? p∨q? 綈p? 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 2．全稱量詞與存在量詞 量詞名稱 常見量詞 表示符號 全稱量詞 所有、一切、任意、全部、每一個等 ? 存在量詞 存在一個、至少有一個、有一個、某個、有些、某些等 ? 3．全稱命題與特稱命題 命題名稱 命題結構 命題簡記 全稱命題 對M中任意一個x，有p(x)成立 ?x∈M，p(x) 特稱命題 存在M中的

2、一個x0，使p(x0)成立 ?x0∈M，p(x0) 4．含有一個量詞的命題的否定 命題 命題的否定? ?x∈M，p(x) ?x0∈M，綈p(x0) ?x0∈M，p(x0) ?x∈M，綈p(x) 含有邏輯聯(lián)結詞的命題真假判斷口訣：p∨q→見真即真，p∧q→見假即假，p與綈p→真假相反． “p∧q”?“p且q”，“且”的數(shù)學含義是幾個條件同時滿足，“且”在集合中解釋為“交集”． “p∨q”?“p或q”，“或”的數(shù)學含義有三層意思：要么只是p，要么只是q，要么是p和q，即兩者中至少要有一個．“或”在集合中的解釋為“并集”． “綈p”?“非p”，“非”的含義有四條： ①“

3、非p”只否定p的結論； ②p與“非p”的真假必須相反； ③“非p”必須包含p的所有對立面； ④“非p”必須使用否定詞語．“非”在集合中的解釋為“補集”. 區(qū)別一般命題的否定與全(特)稱命題的否定，關鍵在于其否定的對象是不同的．全(特)稱命題否定的對象也有量詞． [小題查驗基礎] 一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”) (1)“全等三角形的面積相等”是特稱命題．(　　) (2)若命題p∧q為假命題，則命題p，q都是假命題．(　　) (3)“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”；“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”．(　　) (4)若命題p，q至少有一個是真命題，則p∨

4、q是真命題．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、選填題 1．若命題p：對任意的x∈R，都有x3－x2＋1＜0，則綈p為(　　) A．不存在x0∈R，使得x－x＋1＜0 B．存在x0∈R，使得x－x＋1＜0 C．對任意的x∈R，都有x3－x2＋1≥0 D．存在x0∈R，使得x－x＋1≥0 解析：選D　命題p：對任意的x∈R，都有x3－x2＋1＜0的否定綈p：存在x0∈R，使得x－x＋1≥0.故選D. 2．下列命題中的假命題是(　　) A．?x0∈R，log2x0＝0　　　　 B．?x∈R，x2>0 C．?x0∈R，cos x0＝1 D．?x∈R,2

5、x>0 解析：選B　對于A，令x＝1，成立；對于B，x＝0時，不成立；對于C，令x＝0，成立；對于D，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質知成立．故選B. 3．已知命題p：若x>y，則－x＜－y；命題q：若>，則x＜y.在命題①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命題是(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 解析：選C　由不等式的性質可知，命題p是真命題，命題q為假命題，故①p∧q為假命題；②p∨q為真命題；③綈q為真命題，則p∧(綈q)為真命題；④綈p為假命題，則(綈p)∨q為假命題．故②③是真命題． 4．命題“正方形都是矩形”的否定是_______________

6、_______________________． 答案：存在一個正方形，這個正方形不是矩形 5．已知命題p：“?x∈[0,1]，a≥ex”；命題q：“?x0∈R，使得x＋4x0＋a＝0”．若命題“p∧q”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為________． 解析：若命題“p∧q”是真命題，那么命題p，q都是真命題． 由?x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e； 由?x0∈R，使x＋4x0＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4. 則實數(shù)a的取值范圍為[e,4]． 答案：[e,4] 考點一 [師生共研過關] 含有邏輯聯(lián)結詞的命題真假判斷 [典例精析] (1)設

7、a，b，c是非零向量．已知命題p：若a·b＝0，b·c＝0，則a·c＝0；命題q：若a∥b，b∥c，則a∥c.則下列命題中真命題是(　　) A．p∨q　　　　　　　　　 B．p∧q C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q) (2)已知命題p1：函數(shù)y＝2x－2－x在R上為增函數(shù)， p2：函數(shù)y＝2x＋2－x在R上為減函數(shù)， 則在命題q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命題是(　　) A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4 [解析]　(1)由題意知命題p為假命題，命題q為真命題，所以p∨q為真命題．

8、故選A. (2)∵y＝2x在R上是增函數(shù)，y＝2－x在R上是減函數(shù)， ∴y＝2x－2－x在R上是增函數(shù)， ∴p1：函數(shù)y＝2x－2－x在R上為增函數(shù)是真命題． p2：函數(shù)y＝2x＋2－x在R上為減函數(shù)是假命題， 故q1：p1∨p2是真命題，q2：p1∧p2是假命題，q3：(綈p1)∨p2是假命題，q4：p1∧(綈p2)是真命題． 故真命題是q1，q4，故選C. [答案]　(1)A　(2)C [解題技法] 判斷含有邏輯聯(lián)結詞命題真假的3個步驟 [過關訓練] 　(2019·荊州調研)已知命題p：方程x2－2ax－1＝0有兩個實數(shù)根；命題q：函數(shù)f(x)＝x＋的最小值為4.

9、給出下列命題：①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨(綈q)，則其中真命題的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C　在方程x2－2ax－1＝0中，由于Δ＝4a2＋4>0，所以方程x2－2ax－1＝0有兩個實數(shù)根，即命題p是真命題；當x＜0時，f(x)＝x＋的值為負值，故命題q為假命題．所以p∨q，p∧(綈q)，(綈p)∨(綈q)是真命題，故選C. 考點二 [師生共研過關] 全(特)稱命題的否定及真假判斷 [典例精析] (1)命題“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　) A．?n∈N*，f(n)?N*且f(n)>n

10、 B．?n∈N*，f(n)?N*或f(n)>n C．?n0∈N*，f(n0)?N*且f(n0)>n0 D．?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)>n0 (2)下列四個命題： p1：?x0∈(0，＋∞)，x0＜x0； p2：?x0∈(0,1)，logx0>logx0； p3：?x∈(0，＋∞)，x>logx； p4：?x∈，x＜logx. 其中的真命題是(　　) A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 [解析]　(1)“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定為“f(n)?N*或f(n)>n”，全稱命題的否定為特稱命題，故選D. (2)對于p1

11、，由冪函數(shù)的單調性知當x∈(0，＋∞)時，總有x>x成立，故p1是假命題；對于p2，當x0＝時，有1＝log＝log>log成立，故p2是真命題；對于p3，結合指數(shù)函數(shù)y＝x與對數(shù)函數(shù)y＝logx在(0，＋∞)上的圖象，可以判斷p3是假命題；對于p4，結合指數(shù)函數(shù)y＝x與對數(shù)函數(shù)y＝logx在上的圖象可以判斷p4是真命題． [答案]　(1)D　(2)D [解題技法] 1．全稱命題與特稱命題真假判斷的方法 命題名稱 真假 判斷方法一 判斷方法二 全稱命題 真 所有對象使命題真 否定為假 假 存在一個對象使命題假 否定為真 特稱命題 真 存在一個對象使命題真 否

12、定為假 假 所有對象使命題假 否定為真 2.全稱命題與特稱命題的否定 (1)改寫量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結合命題的含義加上量詞，再對量詞進行改寫． (2)否定結論：對原命題的結論進行否定． [過關訓練] 1．已知命題p：?x0∈，使得cos x0≤x0，則綈p為(　　) A．?x0∈，使得cos x0>x0 B．?x0∈，使得cos x0＜x0 C．?x∈，總有cos x>x D．?x∈，總有cos x≤x 解析：選C　原命題是一個特稱命題，其否定是一個全稱命題，而“cos x≤x”的否定是“cos x>x”．故選C. 2．(2019·蕪湖、馬鞍山

13、聯(lián)考)已知命題p：?x0∈R，x0－2>lg x0，命題q：?x∈R，ex>x，則(　　) A．命題p∨q是假命題 B．命題p∧q是真命題 C．命題p∧(綈q)是真命題 D．命題p∨(綈q)是假命題 解析：選B　顯然，當x＝10時，x－2>lg x成立，所以命題p為真命題．設f(x)＝ex－x，則f′(x)＝ex－1，當x>0時，f′(x)>0，當x＜0時，f′(x)＜0，所以f(x)≥f(0)＝1>0，所以?x∈R，ex>x，所以命題q為真命題．故命題p∧q是真命題，故選B. 考點三 [師生共研過關] 根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍 [典例精析] 已知p：存在x0∈

14、R，mx＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0，若p或q為假命題，求實數(shù)m的取值范圍． [解]　依題意知p，q均為假命題，當p為假命題時，mx2＋1>0恒成立，則有m≥0；當q為真命題時，則有Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.因此由p，q均為假命題得 即m≥2. 所以實數(shù)m的取值范圍為[2，＋∞)． 　 1．(變條件)若本例條件中的“p或q為假命題”變?yōu)椤皃且q為真命題”，其他條件不變，則實數(shù)m的取值范圍為________． 解析：依題意，當p為真命題時，有m＜0； 當q為真命題時，有－2＜m＜2， 由可得－2＜m＜0. 所以實數(shù)m的取值范圍為(－2,0)． 答案：

15、(－2,0) 2．(變條件)若本例中的條件q變?yōu)椋捍嬖趚0∈R，x＋mx0＋1＜0，其他條件不變，則實數(shù)m的取值范圍為________． 解析：依題意，當q是真命題時，Δ＝m2－4>0， 所以m>2或m＜－2.由得0≤m≤2， 所以m的取值范圍是[0,2]． 答案：[0,2] [解題技法] 根據(jù)全(特)稱命題的真假求參數(shù)的思路 與全稱命題或特稱命題真假有關的參數(shù)取值范圍問題的本質是恒成立問題或有解問題．解決此類問題時，一般先利用等價轉化思想將條件合理轉化，得到關于參數(shù)的方程或不等式(組)，再通過解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或范圍． [過關訓練] 1．(2019·福建三校

16、聯(lián)考)若命題“?x0∈R，使得3x＋2ax0＋1＜0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－，) B．(－∞，－]∪[，＋∞) C．[－，] D．(－∞，－)∪(，＋∞) 解析：選C　命題“?x0∈R，使得3x＋2ax0＋1＜0”是假命題，即“?x∈R,3x2＋2ax＋1≥0”是真命題，故Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤ .故選C. 2．已知命題p：關于x的不等式ax>1(a>0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，命題q：函數(shù)y＝lg(ax2－x＋a)的定義域為R，如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，則實數(shù)a的取值范圍為________________． 解析：由關于x

17、的不等式ax>1(a>0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，知0＜a＜1； 由函數(shù)y＝lg(ax2－x＋a)的定義域為R， 知不等式ax2－x＋a>0的解集為R， 則解得a>. 因為p∨q為真命題，p∧q為假命題， 所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”， 故或 解得a≥1或0＜a≤， 故實數(shù)a的取值范圍是∪[1，＋∞)． 答案：∪[1，＋∞) 一、題點全面練 1．(2019·河南質量監(jiān)測)已知命題p：?x∈(1，＋∞)，x2＋16>

18、8x，則命題p的否定為(　　) A．綈p：?x∈(1，＋∞)，x2＋16≤8x B．綈p：?x∈(1，＋∞)，x2＋16＜8x C．綈p：?x0∈(1，＋∞)，x＋16≤8x0 D．綈p：?x0∈(1，＋∞)，x＋16＜8x0 解析：選C　全稱命題的否定為特稱命題，故命題p的否定綈p：?x0∈(1，＋∞)，x＋16≤8x0.故選C. 2．已知命題p：?x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，則(　　) A．p是假命題；綈p：?x∈R，log2(3x＋1)≤0 B．p是假命題；綈p：?x∈R，log2(3x＋1)>0 C．p是真命題；綈p：?x∈R，log2(3x＋1)≤0 D

19、．p是真命題；綈p：?x∈R，log2(3x＋1)>0 解析：選B　∵3x>0，∴3x＋1>1，則log2(3x＋1)>0，∴p是假命題，綈p：?x∈R，log2(3x＋1)>0.故選B. 3．下列命題中為假命題的是(　　) A．?x∈R，ex>0　　　　 B．?x∈N，x2>0 C．?x0∈R，ln x0＜1 D．?x0∈N*，sin＝1 解析：選B　對于選項A，由函數(shù)y＝ex的圖象可知，?x∈R，ex>0，故選項A為真命題；對于選項B，當x＝0時，x2＝0，故選項B為假命題；對于選項C，當x0＝時，ln＝－1＜1，故選項C為真命題；對于選項D，當x0＝1時，sin＝1，故選項D

20、為真命題．綜上知選B. 4．命題p：若sin x>sin y，則x>y；命題q：x2＋y2≥2xy. 下列命題為假命題的是(　　) A．p或q B．p且q C．q D．綈p 解析：選B　當x＝，y＝π時，滿足sin x>sin y，但x＜y，∴命題p是假命題，顯然命題q是真命題．∴p或q是真命題，p且q是假命題，q是真命題，綈p是真命題．故選B. 5．已知命題p：?x0∈N，使得x＜x；命題q：a，b∈R，若|a－1|＝|b－2|，則a－b＝－1.下列命題為真命題的是(　　) A．p B．綈q C．p∨q D．p∧q 解析：選B　由x3＜x2，得x2(x－1)＜0，解

21、得x＜0或0＜x＜1，在這個范圍內沒有自然數(shù)，所以命題p為假命題；若|a－1|＝|b－2|，則a－1＝b－2或a－1＝－b＋2，即a－b＝－1或a＋b＝3，故命題q為假命題．故綈q為真命題，p∨q與p∧q為假命題．故選B. 6．已知命題p：對任意x∈R，總有2x＜3x；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要條件．下列命題為真命題的是(　　) A．p∧q B．(綈p)∧(綈q) C．(綈p)∧q D．p∧(綈q) 解析：選B　由20＝30知，p為假命題；命題q：“x>1”不能推出“x>2”，但是“x>2”能推出“x>1”，所以“x>1”是“x>2”的必要不充分條件，故q為假命題．所以

22、(綈p)∧(綈q)為真命題．故選B. 7．(2019·佛山一模)已知命題p：?x0∈R，使sin x0＝；命題q：?x∈R，都有x2＋x＋1>0，給出下列結論： ①命題p∧q是真命題； ②命題p∧(綈q)是假命題； ③命題(綈p)∧q是真命題； ④命題(綈p)∨(綈q)是假命題． 其中正確的結論是(　　) A．②③ B．②④ C．③④ D．①②③ 解析：選A　∵>1，∴命題p是假命題．∵x2＋x＋1＝2＋≥>0，∴命題q是真命題．由真值表可以判斷p∧q為假，p∧(綈q)為假，(綈p)∧q為真，(綈p)∨(綈q)為真，所以只有②③正確，故選A. 8．(2019·南昌模擬)

23、設命題p：?x0∈(0，＋∞)，x0＋>3，命題q：?x∈(2，＋∞)，x2>2x，則下列命題為真命題的是(　　) A．p∧(綈q) B．(綈p)∧q C．p∧q D．(綈p)∨q 解析：選A　命題p：?x0∈(0，＋∞)，x0＋>3，當x0＝3時，3＋>3，命題為真．命題q：?x∈(2，＋∞)，x2>2x，當x＝4時，兩式相等，命題為假．則p∧(綈q)為真，故選A. 9．(2019·太原四校聯(lián)考)給出下列三個命題： p1：函數(shù)y＝ax＋x(a>0，且a≠1)在R上為增函數(shù)； p2：?a0，b0∈R，a－a0b0＋b＜0； p3：cos α＝cos β成立的一個充分不必要條件

24、是α＝2kπ＋β(k∈Z)． 則下列命題中的真命題為(　　) A．p1∨p2 B．p2∧p3 C．p1∨(綈p3) D．(綈p2)∧p3 解析：選D　對于p1，令f(x)＝ax＋x(a>0，且a≠1)，當a＝時，f(0)＝0＋0＝1，f(－1)＝－1－1＝1，所以p1為假命題；對于p2，因為a2－ab＋b2＝2＋b2≥0，所以p2為假命題；對于p3，因為cos α＝cos β?α＝2kπ±β(k∈Z)，所以p3是真命題．所以(綈p2)∧p3為真命題，故選D. 10．若命題“對?x∈R，kx2－kx－1＜0”是真命題，則k的取值范圍是________． 解析：“對?x∈R，kx2

25、－kx－1＜0”是真命題，當k＝0時，則有－1＜0；當k≠0時，則有k＜0且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k＜0，解得－4＜k＜0，綜上所述，實數(shù)k的取值范圍是(－4,0]． 答案：(－4,0] 二、專項培優(yōu)練 (一)易錯專練——不丟怨枉分 1．已知命題p：所有的指數(shù)函數(shù)都是單調函數(shù)，則綈p為(　　) A．所有的指數(shù)函數(shù)都不是單調函數(shù) B．所有的單調函數(shù)都不是指數(shù)函數(shù) C．存在一個指數(shù)函數(shù)，它不是單調函數(shù) D．存在一個單調函數(shù)，它不是指數(shù)函數(shù) 解析：選C　命題p：所有的指數(shù)函數(shù)都是單調函數(shù)，則綈p：存在一個指數(shù)函數(shù)，它不是單調函數(shù)． 2．若?x0∈，使得2x－λ

26、x0＋1＜0成立是假命題，則實數(shù)λ的取值范圍是(　　) A．(－∞，2] B．(2，3] C. D．{3} 解析：選A　因為?x0∈，使得2x－λx0＋1＜0成立是假命題，所以?x∈，使得2x2－λx＋1≥0恒成立是真命題，即?x∈，λ≤2x＋恒成立是真命題，令f(x)＝2x＋，則f′(x)＝2－，當x∈時，f′(x)＜0，當x∈時，f′(x)>0，所以f(x)≥f＝2，則λ≤2. 3．已知命題p：?x∈R，不等式ax2＋2x＋1＜0的解集為空集；命題q：f(x)＝(2a－5)x在R上滿足f′(x)＜0，若命題p∧(綈q)是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：因

27、為?x∈R，不等式ax2＋2x＋1＜0的解集為空集，所以當a＝0時，不滿足題意；當a≠0時，必須滿足解得a≥2.由f(x)＝(2a－5)x在R上滿足f′(x)＜0，可得函數(shù)f(x)在R上單調遞減，則0＜2a－5＜1，解得＜a＜3.若命題p∧(綈q)是真命題，則p為真命題，q為假命題，所以解得2≤a≤或a≥3，則實數(shù)a的取值范圍是∪[3，＋∞)． 答案：∪[3，＋∞) (二)素養(yǎng)專練——學會更學通 4．[邏輯推理]“p∨q為真”是“綈p為假”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　∵綈p為假，∴p為真，∴“p∨q為真

28、”，反之不成立，可能q為真，p為假，綈p為真．∴“p∨q為真”是“綈p為假”的必要不充分條件．故選B. 5．[數(shù)學抽象]在射擊訓練中，某戰(zhàn)士射擊了兩次，設命題p是“第一次射擊擊中目標”，命題q是“第二次射擊擊中目標”，則命題“兩次射擊中至少有一次沒有擊中目標”為真命題的充要條件是(　　) A．(綈p)∨(綈q)為真命題 B．p∨(綈q)為真命題 C．(綈p)∧(綈q)為真命題 D．p∨q為真命題 解析：選A　命題p是“第一次射擊擊中目標”，命題q是“第二次射擊擊中目標”，則命題綈p是“第一次射擊沒擊中目標”，命題綈q是“第二次射擊沒擊中目標”，故命題“兩次射擊中至少有一次沒有擊中目

29、標”為真命題的充要條件是(綈p)∨(綈q)為真命題，故選A. 6．[數(shù)學運算]給定命題p：對任意實數(shù)x都有ax2＋ax＋1>0成立；命題q：關于x的方程x2－x＋a＝0有實數(shù)根．如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍． 解：當p為真命題時，“對任意實數(shù)x都有ax2＋ax＋1>0成立”?a＝0或∴0≤a＜4. 當q為真命題時，“關于x的方程x2－x＋a＝0有實數(shù)根”?Δ＝1－4a≥0，∴a≤. ∵p∨q為真命題，p∧q為假命題，∴p，q一真一假． ∴若p真q假，則0≤a＜4，且a>，∴＜a＜4； 若p假q真，則即a＜0. 故實數(shù)a的取值范圍為(－∞，0)∪. 12