《（江蘇專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 解析幾何學(xué)案 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 解析幾何學(xué)案 文（139頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第九章 解析幾何 第一節(jié)直線與方程 本節(jié)主要包括3個(gè)知識(shí)點(diǎn)： 1.直線的傾斜角與斜率、兩直線的位置關(guān)系； 2.直線的方程； 3.直線的交點(diǎn)、距離與對(duì)稱問題. 突破點(diǎn)(一)　直線的傾斜角與斜率、兩直線的位置關(guān)系 基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識(shí)的“源”與“流” 1．直線的斜率 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1≠x2，則l的斜率k＝. 2．直線的傾斜角 (1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線，把x軸所在的直線繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)過的最小正角稱為這條直線的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0.

2、 (2)范圍：直線l傾斜角的范圍是[0，π)． (3)直線l的傾斜角為α≠，則斜率k＝tan_α. 3．兩條直線平行與垂直的判定 (1)兩條直線平行： ①對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2. ②當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2. (2)兩條直線垂直： ①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1. ②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時(shí)，l1⊥l2. 考點(diǎn)貫通 抓高考命題的“形”與“神” 直線的傾斜角與斜率 1．直線都有傾斜角，但不一定都有

3、斜率，二者的關(guān)系具體如下： 斜率k k＝tan α＞0 k＝0 k＝tan α＜0 不存在 傾斜角α 銳角 0° 鈍角 90° 2.在分析直線的傾斜角和斜率的關(guān)系時(shí)，要根據(jù)正切函數(shù)k＝tan α的單調(diào)性，如圖所示： 當(dāng)α取值在內(nèi)，由0增大到時(shí)，k由0增大并趨向于正無窮大；當(dāng)α取值在內(nèi)，由增大到π(α≠π)時(shí)，k由負(fù)無窮大增大并趨近于0.解決此類問題，常采用數(shù)形結(jié)合思想． [例1]　(1)直線xsin α＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是________． (2)已知線段PQ兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P(－1,1)和Q(2,2)，若直線l：x＋my＋m＝0與線段PQ有交點(diǎn)，

4、則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． [解析]　(1)因?yàn)橹本€xsin α＋y＋2＝0的斜率k＝－sin α，又－1≤sin α≤1，所以－1≤k≤1.設(shè)直線xsin α＋y＋2＝0的傾斜角為θ，所以－1≤tan θ≤1，而θ∈[0，π)，故傾斜角的取值范圍是∪. (2) 如圖所示，直線l：x＋my＋m＝0過定點(diǎn)A(0，－1)，當(dāng)m≠0時(shí)，kQA＝，kPA＝－2，kl＝－.∴－≤－2或－≥.解得0＜m≤或－≤m＜0； 當(dāng)m＝0時(shí)，直線l的方程為x＝0，與線段PQ有交點(diǎn)． ∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為. [答案]　(1)∪　(2) [易錯(cuò)提醒] 直線傾斜角的范圍是[0，π)，而這個(gè)

5、區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時(shí)，要分與兩種情況討論．由正切函數(shù)圖象可以看出，當(dāng)α∈時(shí)，斜率k∈[0，＋∞)；當(dāng)α＝時(shí)，斜率不存在；當(dāng)α∈時(shí)，斜率k∈(－∞，0)．　　 兩直線的位置關(guān)系 兩直線平行或垂直的判定方法 (1)已知兩直線的斜率存在 ①兩直線平行?兩直線的斜率相等且坐標(biāo)軸上的截距不相等； ②兩直線垂直?兩直線的斜率之積為－1. (2)已知兩直線的斜率不存在 若兩直線的斜率不存在，當(dāng)兩直線在x軸上的截距不相等時(shí)，兩直線平行；否則兩直線重合． [例2]　已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b

6、的值． (1)l1⊥l2，且l1過點(diǎn)(－3，－1)； (2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等． [解]　(1)由已知可得l2的斜率存在，所以k2＝1－a. 若k2＝0，則1－a＝0，a＝1. 因?yàn)閘1⊥l2，直線l1的斜率k1必不存在，即b＝0. 又因?yàn)閘1過點(diǎn)(－3，－1)，所以－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)． 所以此種情況不存在，所以k2≠0. 即k1，k2都存在，因?yàn)閗2＝1－a，k1＝，l1⊥l2， 所以k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.① 又因?yàn)閘1過點(diǎn)(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0.② 由①②聯(lián)立，解得a＝2，b＝2. (2)因?yàn)閘2的

7、斜率存在，l1∥l2，所以直線l1的斜率存在， k1＝k2，即＝1－a.③ 又因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，且l1∥l2， 所以l1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即＝b，④ 聯(lián)立③④，解得或 所以a＝2，b＝－2或a＝，b＝2. [方法技巧] 已知兩直線一般方程的兩直線位置關(guān)系的表示 直線方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1與l2垂直的充要條件 A1A2＋B1B2＝0 l1與l2平行的充分條件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1與l2相交的充分條件 ≠(A2B2≠0) l1與l2重合的充分

8、條件 ＝＝(A2B2C2≠0) [提醒]　當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件． 能力練通 抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失” 1.直線2xcos α－y－3＝0α∈，的傾斜角的取值范圍是________． 解析：直線2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，因?yàn)棣痢?，所以≤cos α≤，因此k＝2·cos α∈[1， ]．設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tan θ∈[1， ]．又θ∈[0，π)，所以θ∈，即傾斜角的取值范圍是. 答案： 2.(2018·蘇北四市模擬)設(shè)P為曲線C：y

9、＝x2＋2x＋3上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處的切線傾斜角的取值范圍為，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為________． 解析：由題意知y′＝2x＋2，設(shè)P(x0，y0)，則k＝2x0＋2.因?yàn)榍€C在點(diǎn)P處的切線傾斜角的取值范圍為，則0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－. 答案： 3.(2018·蘇州調(diào)研)若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，則l1與l2間的距離為________． 解析：由題意知，直線l1，l2斜率均存在，因?yàn)閘1∥l2，所以＝≠，所以解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，所以l1與l2之間的距離d＝＝.

10、答案： 4.已知直線l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，若l1⊥l2，則a＝________. 解析：因?yàn)橹本€l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，l1⊥l2，所以2a(a＋1)＋(a＋1)(a－1)＝0，解得a＝或a＝－1. 答案：或－1 5.直線l過點(diǎn)P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為________． 解析： 如圖，∵kAP＝＝1， kBP＝＝－， ∴k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞)． 答案：(－∞，－ ]∪[1，＋∞) 6.(2018

11、·蘇北四市一模)已知a，b為正數(shù)，且直線ax＋by－6＝0與直線2x＋(b－3)y＋5＝0平行，則2a＋3b的最小值為________． 解析：由兩直線平行可得，a(b－3)－2b＝0，即2b＋3a＝ab，＋＝1.又a，b為正數(shù)，所以2a＋3b＝(2a＋3b)·＝13＋＋≥13＋2 ＝25，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝5時(shí)取等號(hào)，故2a＋3b的最小值為25. 答案：25 突破點(diǎn)(二)　直線的方程 基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識(shí)的“源”與“流” 直線方程的五種形式 形式 幾何條件 方程 適用范圍 點(diǎn)斜式 過一點(diǎn)(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 與x軸不垂直的直線 斜截式

12、 縱截距b，斜率k y＝kx＋b 與x軸不垂直的直線 兩點(diǎn)式 過兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 與x軸、y軸均不垂直的直線 截距式 橫截距a，縱截距b ＋＝1 不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線 一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有直線 考點(diǎn)貫通 抓高考命題的“形”與“神” 求直線方程 [例1]　(1)求過點(diǎn)A(1,3)，斜率是直線y＝－4x的斜率的的直線方程． (2)求經(jīng)過點(diǎn)A(－5,2)，且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程． (3)求過A(2,1)，B(m,3)兩點(diǎn)的直線l的方程． [解

13、]　(1)設(shè)所求直線的斜率為k，依題意k＝－4×＝－.又直線經(jīng)過點(diǎn)A(1,3)，因此所求直線方程為y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0. (2)當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求直線方程為＋＝1，將(－5,2)代入所設(shè)方程，解得a＝－，所以直線方程為x＋2y＋1＝0；當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為y＝kx，則－5k＝2，解得k＝－，所以直線方程為y＝－x，即2x＋5y＝0. 故所求直線方程為2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0. (3)①當(dāng)m＝2時(shí)，直線l的方程為x＝2； ②當(dāng)m≠2時(shí)，直線l的方程為＝， 即2x－(m－2)y＋m－6＝0. 因?yàn)閙＝2時(shí)，代入方程2x－(m－2)y＋m－6

14、＝0，即為x＝2， 所以直線l的方程為2x－(m－2)y＋m－6＝0. [易錯(cuò)提醒] (1)在求直線方程時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件． (2)對(duì)于點(diǎn)斜式、截距式方程使用時(shí)要注意分類討論思想的運(yùn)用(若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況；若采用截距式，應(yīng)先判斷截距是否為零)．　　 與直線方程有關(guān)的最值問題 [例2]　過點(diǎn)P(4,1)作直線l分別交x，y軸正半軸于A，B兩點(diǎn)． (1)當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，求直線l的方程； (2)當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時(shí)，求直線l的方程． [解]　設(shè)直線l：＋＝1(a＞0，b＞0)， 因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)P(4,1)，

15、所以＋＝1. (1)＋＝1≥2 ＝， 所以ab≥16，當(dāng)且僅當(dāng)a＝8，b＝2時(shí)等號(hào)成立， 所以當(dāng)a＝8，b＝2時(shí)，S△AOB＝ab最小，此時(shí)直線l的方程為＋＝1， 即x＋4y－8＝0. (2)因?yàn)椋?，a＞0，b＞0， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝5＋＋≥5＋2 ＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝6，b＝3時(shí)等號(hào)成立， 所以當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時(shí)，直線l的方程為x＋2y－6＝0. [方法技巧] 1．給定條件求直線方程的思路 (1)考慮問題的特殊情況，如斜率不存在的情況，截距等于零的情況． (2)在一般情況下準(zhǔn)確選定直線方程的形式，用待定系數(shù)法求出直線方程．

16、 (3)重視直線方程一般形式的應(yīng)用，因?yàn)樗哂袕V泛的適用性． 2．與直線有關(guān)的最值問題的解題思路 (1)借助直線方程，用y表示x或用x表示y. (2)將問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的函數(shù)． (3)利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求最值．　　 能力練通 抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失” 1.傾斜角為135°，在y軸上的截距為－1的直線方程是________． 解析：直線的斜率為k＝tan 135°＝－1，所以直線方程為y＝－x－1，即x＋y＋1＝0. 答案：x＋y＋1＝0 2.已知直線l過點(diǎn)(1,0)，且傾斜角為直線l0：x－2y－2＝0的傾斜角的2倍，則直線l的方程為_______

17、_． 解析：由題意可設(shè)直線l0，l的傾斜角分別為α，2α， 因?yàn)橹本€l0：x－2y－2＝0的斜率為，則tan α＝， 所以直線l的斜率k＝tan 2α＝＝＝， 所以由點(diǎn)斜式可得直線l的方程為y－0＝(x－1)， 即4x－3y－4＝0. 答案：4x－3y－4＝0 3.若直線ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)過點(diǎn)(1,1)，則該直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為________． 解析：∵直線ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)過點(diǎn)(1,1)， ∴a＋b＝ab，即＋＝1， ∴a＋b＝(a＋b) ＝2＋＋≥2＋2 ＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)上式等號(hào)成立． ∴直線在x軸，

18、y軸上的截距之和的最小值為4. 答案：4 4.若ab＞0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三點(diǎn)共線，則ab的最小值為________． 解析：根據(jù)A(a,0)，B(0，b)確定直線的方程為＋＝1，又C(－2，－2)在該直線上，故＋＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又ab＞0，故a＜0，b＜0. 根據(jù)基本不等式ab＝－2(a＋b)≥4，從而≤0(舍去)或≥4，故ab≥16，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝－4時(shí)取等號(hào)．即ab的最小值為16. 答案：16 5.△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(－3,0)，B(2,1)，C(－2，3)，求： (1)BC邊所在直線的方程； (2)BC邊上中線AD

19、所在直線的方程； (3)BC邊的垂直平分線DE所在直線的方程． 解：(1)因?yàn)橹本€BC經(jīng)過B(2,1)和C(－2,3)兩點(diǎn)， 由兩點(diǎn)式得BC的方程為＝， 即x＋2y－4＝0. (2)設(shè)BC邊的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)， 則x＝＝0，y＝＝2. BC邊的中線AD過點(diǎn)A(－3,0)，D(0,2)兩點(diǎn)， 由截距式得AD所在直線的方程為＋＝1， 即2x－3y＋6＝0. (3)由(1)知，直線BC的斜率k1＝－， 則BC的垂直平分線DE的斜率k2＝2. 由(2)知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2)． 由點(diǎn)斜式得直線DE的方程為y－2＝2(x－0)， 即2x－y＋2＝0. 突破點(diǎn)(三)

20、　直線的交點(diǎn)、距離與對(duì)稱問題 基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識(shí)的“源”與“流” 1．兩條直線的交點(diǎn) 2．三種距離 類型 條件 距離公式 兩點(diǎn)間的距離 點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離 |P1P2|＝ 點(diǎn)到直線的距離 點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離 d＝ 兩平行直線間的距離 兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離 d＝ 考點(diǎn)貫通 抓高考命題的“形”與“神” 交點(diǎn)問題 [例1]　(1)當(dāng)0＜k＜時(shí)，直線l1：kx－y＝k－1與直線l2：ky－x＝2k的交點(diǎn)在第________象限． (2

21、)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(3,1)，且被兩條平行直線l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的線段長為5，則直線l的方程為________． [解析]　(1)由得 又∵0＜k＜， ∴x＝＜0，y＝＞0， 故直線l1：kx－y＝k－1與直線l2：ky－x＝2k的交點(diǎn)在第二象限． (2)若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝3，此時(shí)與l1，l2的交點(diǎn)分別為A′(3，－4)，B′(3，－9)，截得的線段A′B′的長|A′B′|＝|－4＋9|＝5，符合題意．若直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為y＝k(x－3)＋1. 解方程組得A， 解方程組得B. 由|AB|＝5，得2＋2＝52

22、.解得k＝0，即所求的直線方程為y＝1. 綜上可知，所求直線l的方程為x＝3或y＝1. [答案]　(1)二　(2)x＝3或y＝1 [方法技巧] 1．兩直線交點(diǎn)的求法 求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩直線方程聯(lián)立組成的方程組，得到的方程組的解，即交點(diǎn)的坐標(biāo)． 2．求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法 求過兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．也可借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程，這樣能簡化解題過程．　　 距離問題 [例2]　(1)若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為_____

23、___． (2)已知A(4，－3)，B(2，－1)和直線l：4x＋3y－2＝0，若在坐標(biāo)平面內(nèi)存在一點(diǎn)P，使|PA|＝|PB|，且點(diǎn)P到直線l的距離為2，則P點(diǎn)坐標(biāo)為________． [解析]　(1)因?yàn)椋健?，所以兩直線平行， 將直線3x＋4y－12＝0化為6x＋8y－24＝0， 由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離， 即＝，所以|PQ|的最小值為. (2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，b)． ∵A(4，－3)，B(2，－1)， ∴線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，－2)． 而AB的斜率kAB＝＝－1， ∴線段AB的垂直平分線方程為y＋2＝x－3， 即x－y－5＝0.

24、 ∵點(diǎn)P(a，b)在直線x－y－5＝0上，∴a－b－5＝0.① 又點(diǎn)P(a，b)到直線l：4x＋3y－2＝0的距離為2， ∴＝2， 即4a＋3b－2＝±10，② 由①②聯(lián)立可得或 ∴所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，－4)或. [答案]　(1)　(2)(1，－4)或 [易錯(cuò)提醒] (1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|； (2)利用兩平行線間的距離公式要先把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等．　　 對(duì)稱問題 1．中心對(duì)稱問題的兩種類型及求解方法 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 若點(diǎn)M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對(duì)稱，則由中點(diǎn)

25、坐標(biāo)公式得進(jìn)而求解 直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 ①在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程； ②求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩對(duì)稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程 2．軸對(duì)稱問題的兩種類型及求解方法 點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱 若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱，由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2) 直線關(guān)于直線對(duì)稱 ①若直線與對(duì)稱軸平行，則在直線上取一點(diǎn)，求出該點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，然后用點(diǎn)斜式求解． ②若直線與對(duì)稱軸相交，則先求出交點(diǎn)，然后再取直線上一點(diǎn)，求

26、該點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，最后由兩點(diǎn)式求解 [例3]　(1)點(diǎn)P(3,2)關(guān)于點(diǎn)Q(1,4)的對(duì)稱點(diǎn)M的坐標(biāo)為________． (2)直線2x－y＋3＝0關(guān)于直線x－y＋2＝0對(duì)稱的直線方程是________． (3)已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)M(－3,4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為________． [解析]　(1)設(shè)M(x，y)，則 ∴x＝－1，y＝6，∴M(－1,6)． (2)設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)P(x，y)，則P關(guān)于x－y＋2＝0的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x0，y0)， 由得 由點(diǎn)P′(x0，y0)在直線2x－y＋3＝0上， ∴2

27、(y－2)－(x＋2)＋3＝0， 即x－2y＋3＝0. (3)設(shè)點(diǎn)M(－3,4)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對(duì)稱點(diǎn)為M′(a，b)，則反射光線所在直線過點(diǎn)M′， 所以 解得a＝1，b＝0. 又反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6)， 所以所求直線的方程為＝， 即6x－y－6＝0. [答案]　(1)(－1,6)　(2)x－2y＋3＝0　(3)6x－y－6＝0 [方法技巧] 解決兩類對(duì)稱問題的關(guān)鍵點(diǎn) 解決中心對(duì)稱問題的關(guān)鍵在于運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，而解決軸對(duì)稱問題，一般是轉(zhuǎn)化為求對(duì)稱點(diǎn)的問題，在求對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，關(guān)鍵是抓住兩點(diǎn)：一是兩對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；二是兩對(duì)稱點(diǎn)的中心在對(duì)稱軸上，即抓住“

28、垂直平分”，由“垂直”列出一個(gè)方程，由“平分”列出一個(gè)方程，聯(lián)立求解．　　 能力練通 抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失” 1.(2018·太倉期末)如果平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩點(diǎn)A(a－1，a＋1)，B(a，a)關(guān)于直線l對(duì)稱，那么直線l的方程為________． 解析：因?yàn)橹本€AB的斜率為＝－1， 所以直線l的斜率為1， 設(shè)直線l的方程為y＝x＋b，由題意知直線l過點(diǎn)， 所以＝＋b，解得b＝1， 所以直線l的方程為y＝x＋1，即x－y＋1＝0. 答案：x－y＋1＝0 2.若直線l1：x－2y＋m＝0(m＞0)與直線l2：x＋ny－3＝0之間的距離是，則m＋n＝________.

29、 解析：∵直線l1：x－2y＋m＝0(m＞0)與直線l2：x＋ny－3＝0之間的距離為，∴∴n＝－2，m＝2(負(fù)值舍去)．∴m＋n＝0. 答案：0 3.設(shè)m∈R，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x＋my＝0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx－y－m＋3＝0交于點(diǎn)P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是________． 解析：易求定點(diǎn)A(0,0)，B(1,3)．當(dāng)P與A和B均不重合時(shí)，因?yàn)镻為直線x＋my＝0與mx－y－m＋3＝0的交點(diǎn)，且易知兩直線垂直，則PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5(當(dāng)且僅當(dāng)|PA|＝|PB|＝時(shí)，等號(hào)成立)，故|PA|·|PB|的最

30、大值是5. 答案：5 4.若m＞0，n＞0，點(diǎn)(－m，n)關(guān)于直線x＋y－1＝0的對(duì)稱點(diǎn)在直線x－y＋2＝0上，那么＋的最小值等于________． 解析：由題意知(－m，n)關(guān)于直線x＋y－1＝0的對(duì)稱點(diǎn)為(1－n,1＋m)．則1－n－(1＋m)＋2＝0，即m＋n＝2.于是＋＝(m＋n)＝×≥×(5＋2×2)＝，當(dāng)且僅當(dāng)m＝，n＝時(shí)等號(hào)成立． 答案： 5.經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點(diǎn)P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程為________________． 解析：由方程組得即P(0,2)．∵l⊥l3，直線l3的斜率為，∴直線l的斜率

31、k1＝－，∴直線l的方程為y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0. 答案：4x＋3y－6＝0 6.已知點(diǎn)P(2，－1)． (1)求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為2的直線l的方程． (2)求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？ (3)是否存在過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解：(1)過點(diǎn)P的直線l與原點(diǎn)的距離為2，而點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，－1)，顯然，過P(2，－1)且垂直于x軸的直線滿足條件，此時(shí)l的斜率不存在，其方程為x＝2. 若斜率存在，設(shè)l的方程為y＋1＝k(x－2)， 即kx－y－2k－1＝0. 由已知得＝2，解得k＝.

32、 此時(shí)l的方程為3x－4y－10＝0. 綜上，可得直線l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0. (2)作圖可得過點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離最大的直線是過點(diǎn)P且與PO垂直的直線，如圖． 由l⊥OP，得klkOP＝－1，因?yàn)閗OP＝ －，所以kl＝－＝2. 由直線方程的點(diǎn)斜式得y＋1＝2(x－2)， 即2x－y－5＝0. 所以直線2x－y－5＝0是過點(diǎn)P且與原點(diǎn)O的距離最大的直線，最大距離為＝. (3)由(2)可知，過點(diǎn)P不存在到原點(diǎn)的距離超過的直線，因此不存在過點(diǎn)P且到原點(diǎn)的距離為6的直線． [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] 　　 重點(diǎn)保分課時(shí)——一練小題夯雙基，二練題點(diǎn)過高考　 [練基礎(chǔ)

33、小題——強(qiáng)化運(yùn)算能力] 1．直線x＋y＋1＝0的傾斜角是________． 解析：由直線的方程得直線的斜率為k＝－，設(shè)傾斜角為α，則tan α＝－，所以α＝. 答案： 2．(2018·常州期中)若直線l與直線y＝1，x＝7分別交于點(diǎn)P，Q，且線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則直線l的斜率為________． 解析：依題意，設(shè)點(diǎn)P(a,1)，Q(7，b)，則有解得a＝－5，b＝－3，從而可知直線l的斜率為＝－. 答案：－ 3．過點(diǎn)(1,0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是________． 解析：依題意，設(shè)所求的直線方程為x－2y＋a＝0，由于點(diǎn)(1,0)在所求直線上，

34、則1＋a＝0，即a＝－1，則所求的直線方程為x－2y－1＝0. 答案：x－2y－1＝0 4．已知直線3x＋4y－3＝0與直線6x＋my＋14＝0平行，則它們之間的距離是________． 解析：∵＝≠，∴m＝8，直線6x＋8y＋14＝0可化為3x＋4y＋7＝0，兩平行線之間的距離d＝＝2. 答案：2 5．(2018·徐州高三月考)已知平面上三條直線x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋ky＝0，如果這三條直線將平面劃分為六個(gè)部分，則實(shí)數(shù)k的取值集合________． 解析：若三條直線有兩條平行，另外一條與這兩條直線相交，則符合要求，此時(shí)k＝0或2；若三條直線交于一點(diǎn)，也符合要求，此時(shí)k

35、＝1，故實(shí)數(shù)k的取值集合為{0,1,2}． 答案：{0,1,2} [練?？碱}點(diǎn)——檢驗(yàn)高考能力] 一、填空題 1．已知直線l：ax＋y－2－a＝0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是________． 解析：由題意可知a≠0.當(dāng)x＝0時(shí)，y＝a＋2.當(dāng)y＝0時(shí)，x＝.故＝a＋2，解得a＝－2或a＝1. 答案：－2或1 2．設(shè)直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0 (a∈R), l在兩坐標(biāo)軸上截距相等，則l的方程為________． 解析：當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，該直線在x軸和y軸上的截距為0，∴a＝2，方程即為3x＋y＝0.當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，截距存在且均不為0.令x＝0，得y＝a

36、－2，令y＝0，得x＝，∴＝a－2，即a＋1＝1.∴a＝0，方程即為x＋y＋2＝0.綜上，l的方程為3x＋y＝0或x＋y＋2＝0. 答案：3x＋y＝0或x＋y＋2＝0 3．(2018·無錫一中高三模擬)已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A(－1，5)和B(0，－1)，若∠C的平分線所在的直線方程為2x－3y＋6＝0，則BC邊所在直線的方程為_____________． 解析：設(shè)A點(diǎn)關(guān)于直線2x－3y＋6＝0的對(duì)稱點(diǎn)為A′(x1，y1)，則 ∴解得即A′， ∵角平分線是角的兩邊的對(duì)稱軸，∴A′點(diǎn)在直線BC上． ∴直線BC的方程為y＝x－1， 整理得12x－31y－31＝0. 答案：12x－3

37、1y－31＝0 4．若動(dòng)點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分別在直線l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移動(dòng)，則P1P2的中點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離的最小值是________． 解析：由題意得P1P2的中點(diǎn)P的軌跡方程是x－y－10＝0，則原點(diǎn)到直線x－y－10＝0的距離為d＝＝5，即P到原點(diǎn)距離的最小值為5. 答案：5 5．已知A，B兩點(diǎn)分別在兩條互相垂直的直線2x－y＝0和x＋ay＝0上，且AB線段的中點(diǎn)為P，則線段AB的長為________． 解析：依題意，a＝2，P(0,5)，設(shè)A(x,2x)，B(－2y，y)，故解得所以A(4,8)，B(－4,2)，∴|AB|＝＝1

38、0. 答案：10 6．(2018·南通期中)已知直線l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，當(dāng)0＜a＜2時(shí)，直線l1，l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，實(shí)數(shù)a的值為________． 解析：由題意知直線l1，l2恒過定點(diǎn)P(2,2)，直線l1的縱截距為2－a，直線l2的橫截距為a2＋2，所以四邊形的面積S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋，因?yàn)?＜a＜2，所以當(dāng)a＝時(shí)，面積最?。? 答案： 7．已知直線l1：y＝2x＋3，直線l2與l1關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱，則直線l2的斜率為________． 解析：因?yàn)閘1，l2關(guān)于直線

39、y＝－x對(duì)稱，所以l2的方程為－x＝－2y＋3，即y＝x＋，即直線l2的斜率為. 答案： 8．(2018·蘇州模擬)已知l1，l2是分別經(jīng)過A(1,1)，B(0，－1)兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)l1，l2間的距離最大時(shí)，則直線l1的方程是__________________． 解析：當(dāng)直線AB與l1，l2垂直時(shí)，l1，l2間的距離最大．因?yàn)锳(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2，所以兩平行直線的斜率為k＝－，所以直線l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. 答案：x＋2y－3＝0 9．(2018·泰州期初)若直線l：＋＝1(a＞0，b＞0)經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，則直線l

40、在x軸和y軸上的截距之和的最小值是________． 解析：由直線經(jīng)過點(diǎn)(1,2)得＋＝1.于是a＋b＝(a＋b)×＝3＋＋，因?yàn)椋?＝2，所以a＋b≥3＋2. 答案：3＋2 10.如圖，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1,0)，F(xiàn)(1,0)，一束光線從F點(diǎn)出發(fā)射到BC上的D點(diǎn)，經(jīng)BC反射后，再經(jīng)AC反射，落到線段AE上(不含端點(diǎn))，則直線FD的斜率的取值范圍為________． 解析：從特殊位置考慮．如圖， ∵點(diǎn)A(－2,0)關(guān)于直線BC：x＋y＝2的對(duì)稱點(diǎn)為A1(2,4)， ∴kA1F＝4.又點(diǎn)E(－1,0)關(guān)于直線AC：y＝x＋2的對(duì)稱點(diǎn)為E1(－2，

41、1)，點(diǎn)E1(－2,1)關(guān)于直線BC：x＋y＝2的對(duì)稱點(diǎn)為E2(1,4)，此時(shí)直線E2F的斜率不存在，∴kFD＞kA1F，即kFD∈(4，＋∞)． 答案：(4，＋∞) 二、解答題 11．(2018·啟東中學(xué)高三周練)已知直線l經(jīng)過直線l1：2x＋y－5＝0與l2：x－2y＝0的交點(diǎn)． (1)若點(diǎn)A(5,0)到l的距離為3，求l的方程； (2)求點(diǎn)A(5,0)到l的距離的最大值． 解：(1)經(jīng)過兩已知直線交點(diǎn)的直線系方程為(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ∵點(diǎn)A(5,0)到l的距離為3，∴＝3， 即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或λ＝

42、， ∴l(xiāng)的方程為x＝2或4x－3y－5＝0. (2)由解得交點(diǎn)P(2,1)，如圖，過P作任一直線l，設(shè)d為點(diǎn)A到l的距離，則d≤PA(當(dāng)l⊥PA時(shí)等號(hào)成立)． ∴dmax＝PA＝＝. 12．已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)證明：直線l過定點(diǎn)； (2)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍； (3)若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，△AOB的面積為S(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程． 解：(1)證明：直線l的方程可化為k(x＋2)＋(1－y)＝0， 令解得 ∴無論k取何值，直線總經(jīng)過定點(diǎn)(－2,1)． (2)由方程知，當(dāng)k

43、≠0時(shí)直線在x軸上的截距為－，在y軸上的截距為1＋2k，要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有解得k＞0； 當(dāng)k＝0時(shí)，直線為y＝1，符合題意， 故k的取值范圍是[0，＋∞)． (3)由題意可知k≠0，再由l的方程， 得A，B(0,1＋2k)． 依題意得解得k＞0. ∵S＝·OA·OB＝· ·|1＋2k|＝·＝≥×(2×2＋4)＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)k＝時(shí)等號(hào)成立， ∴Smin＝4，此時(shí)直線l的方程為x－2y＋4＝0. 第二節(jié)圓的方程 本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn)： 1.圓的方程； 2.與圓的方程有關(guān)的綜合問題. 突破點(diǎn)(一)　圓的方程 基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識(shí)的“源”與“

44、流” 1．圓的定義及方程 定義 平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡叫做圓 標(biāo)準(zhǔn)方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圓心：(a，b) 半徑：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 圓心： 半徑：r＝ 2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)M(x0，y0)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 理論依據(jù) 點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系 三種情況 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點(diǎn)在圓上 (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?點(diǎn)在圓外 (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?點(diǎn)在圓內(nèi) 考點(diǎn)貫通 抓高考命題的“

45、形”與“神” 求圓的方程 1．求圓的方程的兩種方法 (1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程． (2)待定系數(shù)法：①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇設(shè)圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值． 2．確定圓心位置的三種方法 (1)圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上． (2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上． (3)兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心共線． [例1]　(1)已知圓C經(jīng)過A

46、(5,1)，B(1,3)兩點(diǎn)，圓心在x軸上，則圓C的方程為________________． (2)已知圓心在直線y＝－4x上，且圓與直線l：x＋y－1＝0相切于點(diǎn)P(3，－2)，則該圓的方程是________________． (3)經(jīng)過三點(diǎn)(2，－1)，(5,0)，(6,1)的圓的一般方程為________________． [解析]　(1)依題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,0)， 則|CA|＝|CB|， 即＝，則a＝2. 故圓心為(2,0)，半徑為， 所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝10. (2)過切點(diǎn)且與x＋y－1＝0垂直的直線為y＋2＝x－3，與y＝－4x聯(lián)立可求得圓心

47、為(1，－4)． 所以半徑r＝＝2， 故所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8. (3)設(shè)所求圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 則 解得 故所求圓的一般方程為x2＋y2－4x－8y－5＝0. [答案]　(1)(x－2)2＋y2＝10　(2)(x－1)2＋(y＋4)2＝8　(3)x2＋y2－4x－8y－5＝0 [方法技巧] 1．確定圓的方程必須有三個(gè)獨(dú)立條件 不論圓的標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程，都有三個(gè)字母(a，b，r或D，E，F(xiàn))的值需要確定，因此需要三個(gè)獨(dú)立的條件．利用待定系數(shù)法得到關(guān)于a，b，r(或D，E，F(xiàn))的三個(gè)方程組成的方程組，解之得到待定字母系數(shù)的

48、值，從而確定圓的方程． 2．幾何法在圓中的應(yīng)用 在一些問題中借助平面幾何中關(guān)于圓的知識(shí)可以簡化計(jì)算，如已知一個(gè)圓經(jīng)過兩點(diǎn)時(shí)，其圓心一定在這兩點(diǎn)連線的垂直平分線上，解題時(shí)要注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用． 3．A(x1，y1)，B(x2，y2)，以AB為直徑的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.　　 與圓有關(guān)的對(duì)稱問題 1．圓的軸對(duì)稱性 圓關(guān)于直徑所在的直線對(duì)稱． 2．圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 (1)求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置． (2)兩圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱，則此點(diǎn)為兩圓圓心連線的中點(diǎn)． 3．圓關(guān)于直線對(duì)稱 (1)求已知圓關(guān)于某條直線對(duì)稱的圓

49、，只需確定所求圓的圓心位置． (2)兩圓關(guān)于某條直線對(duì)稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線． [例2]　(2018·江蘇無錫模擬)已知圓C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圓C2與圓C1關(guān)于直線x－y－1＝0對(duì)稱，則圓C2的方程為________． [解析]　圓C1的圓心坐標(biāo)為(－1,1)，半徑為1， 設(shè)圓C2的圓心坐標(biāo)為(a，b)， 由題意得解得 所以圓C2的圓心坐標(biāo)為(2，－2)， 又兩圓的半徑相等，故圓C2的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝1. [答案]　(x－2)2＋(y＋2)2＝1 能力練通 抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失” 1.已知點(diǎn)A(－1，)，B(1，

50、－)，則以線段AB為直徑的圓的方程是________． 解析：由題意知，AB的中點(diǎn)為(0,0)，即所求圓的圓心坐標(biāo)為(0,0)，設(shè)圓的方程為x2＋y2＝r2，因?yàn)閨AB|＝＝4，所以圓的半徑為2，所以圓的方程為x2＋y2＝4. 答案：x2＋y2＝4 2.若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________． 解析：由于圓心在第一象限且與x軸相切，故設(shè)圓心為(a,1)(a＞0)，又由圓與直線4x－3y＝0相切可得＝1，解得a＝2，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1. 答案：(x－2)2＋2＝1 3.已知圓x2＋y2＋2x

51、－4y＋1＝0關(guān)于直線2ax－by＋2＝0(a，b∈R)對(duì)稱，則ab的取值范圍是________． 解析：將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，若圓關(guān)于已知直線對(duì)稱，則圓心(－1,2)在直線上，代入整理得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－2＋≤. 答案： 4.若圓C的半徑為1，其圓心與點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． 解析：根據(jù)題意得，點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的點(diǎn)(0,1)為圓心，又半徑r＝1，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝1. 答案：x2＋(y－1)2＝1 5.若圓(x＋1)2＋(y－3)2＝9上的相異兩點(diǎn)P

52、，Q關(guān)于直線kx＋2y－4＝0對(duì)稱，則k的值為________． 解析：圓是軸對(duì)稱圖形，過圓心的直線都是它的對(duì)稱軸．已知圓的圓心為(－1,3)，由題設(shè)知，直線kx＋2y－4＝0過圓心，則k×(－1)＋2×3－4＝0，解得k＝2. 答案：2 6.(2018·鹽城中學(xué)月考) 圓經(jīng)過點(diǎn)A(2，－3)和B(－2，－5)． (1)若圓的面積最小，求圓的方程； (2)若圓心在直線x－2y－3＝0上，求圓的方程． 解：(1)要使圓的面積最小，則AB為圓的直徑， 圓心C(0，－4)，半徑r＝|AB|＝， 所以所求圓的方程為x2＋(y＋4)2＝5. (2)因?yàn)閗AB＝，AB中點(diǎn)為(0，－4)，

53、 所以AB中垂線方程為y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0， 解方程組得 所以圓心為(－1，－2)． 根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得，半徑r＝， 因此，所求的圓的方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 突破點(diǎn)(二)　與圓的方程有關(guān)的綜合問題 圓的方程是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，高考中，除了圓的方程的求法外，圓的方程與其他知識(shí)的綜合問題也是高考考查的熱點(diǎn)，常涉及軌跡問題和最值問題.解決此類問題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用. 考點(diǎn)貫通 抓高考命題的“形”與“神” 與圓有關(guān)的軌跡問題 [例1]　已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的

54、動(dòng)點(diǎn)． (1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程； (2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程． [解]　(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x－2,2y)． 因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1. (2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)． 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連結(jié)ON，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y

55、2－x－y－1＝0. [方法技巧]　求與圓有關(guān)的軌跡問題的四種方法 與圓有關(guān)的最值問題 [例2]　已知M(m，n)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點(diǎn)． (1)求m＋2n的最大值； (2)求的最大值和最小值． [解]　(1)法一：因?yàn)閤2＋y2－4x－14y＋45＝0的圓心C(2，7)，半徑r＝2， 設(shè)m＋2n＝t，將m＋2n＝t看成直線方程， 因?yàn)樵撝本€與圓有公共點(diǎn)， 所以圓心到直線的距離d＝≤2， 解上式得：16－2≤t≤16＋2， 所以m＋2n的最大值為16＋2. 法二：由x2＋y2－4x－14y＋45＝0，得(x－2)2＋(y－7)2＝8

56、. 因?yàn)辄c(diǎn)M(m，n)為圓上任意一點(diǎn)， 故可設(shè) 即 ∴m＋2n＝2＋2cos θ＋2(7＋2sin θ) ＝16＋2cos θ＋4sin θ ＝16＋sin(θ＋φ) ＝16＋2sin(θ＋φ)， 故m＋2n的最大值為16＋2. (2)記點(diǎn)Q(－2,3)． 因?yàn)楸硎局本€MQ的斜率， 設(shè)直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＋3＝0，則＝k. 由直線MQ與圓C有公共點(diǎn)，所以≤2. 可得2－≤k≤2＋， 所以的最大值為2＋，最小值為2－. [方法技巧]　　與圓有關(guān)最值問題的求解策略 處理與圓有關(guān)的最值問題時(shí)，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的

57、幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解．與圓有關(guān)的最值問題，常見類型及解題思路如下： 常見類型 解題思路 μ＝型 轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題 t＝ax＋by型 轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題，或用三角代換求解 m＝(x－a)2＋(y－b)2型 轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離的平方的最值問題 能力練通 抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失” 1.設(shè)定點(diǎn)M(－3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡． 解：如圖，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為. 因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分， 所以＝，＝，整理得

58、 又點(diǎn)N(x＋3，y－4)在圓x2＋y2＝4上， 所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 所以點(diǎn)P的軌跡是以(－3,4)為圓心，2為半徑的圓，因?yàn)镺，M，P三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去兩點(diǎn)和. 2.已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0， (1)求的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值． 解：原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓． (1)的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率， 所以設(shè)＝k，即y＝kx. 當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí)＝ ，解得k＝±. 所以的最大值

59、為，最小值為－. (2)y－x可看成是直線y＝x＋b在y軸上的截距．當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)＝，解得b＝－2±. 所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－. (3)x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方． 由平面幾何知識(shí)知，x2＋y2在原點(diǎn)和圓心的連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)A，B處分別取得最小值，最大值． 因?yàn)閳A心到原點(diǎn)的距離為＝2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4， x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4. [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] 　　 重點(diǎn)保分課時(shí)——一練小題夯雙基，二練題點(diǎn)過高考 [練基礎(chǔ)小題——強(qiáng)化運(yùn)算能力] 1．已知三點(diǎn)A

60、(1,0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為________． 解析：設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則解得 所以△ABC外接圓的圓心為，故△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為 ＝. 答案： 2．一個(gè)圓經(jīng)過橢圓＋＝1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． 解析：由題意知a＝4，b＝2，上、下頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,2)，(0，－2)，右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0)．由圓心在x軸的正半軸上知圓過點(diǎn)(0,2)，(0，－2)，(4,0)三點(diǎn)．設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－m)2＋y2＝r2(0＜m＜4，r＞0)，則解得所以圓的標(biāo)準(zhǔn)

61、方程為2＋y2＝. 答案：2＋y2＝ 3．若圓C的半徑為1，圓心C與點(diǎn)(2,0)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． 解析：因?yàn)閳A心C與點(diǎn)(2,0)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，故由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得C(0,0)，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝1. 答案：x2＋y2＝1 4．(2018·淮安中學(xué)模擬)已知＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，α∈R，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量滿足＋＝0，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是________． 解析：設(shè)Q(x，y)，∵＋＝(2＋2cos α＋x,2＋2sin α＋y)＝(0,0)，∴∴(x＋2)2＋(y＋2)2＝4. 答案：(x＋2)2

62、＋(y＋2)2＝4 5．設(shè)P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，Q是直線 x＝－3上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為________． 解析：如圖所示，圓心M(3，－1)到定直線x＝－3上點(diǎn)的最短距離為|MQ|＝3－(－3)＝6，又圓的半徑為2，故所求最短距離為6－2＝4. 答案：4 [練常考題點(diǎn)——檢驗(yàn)高考能力] 一、填空題 1．(2018·姜堰中學(xué)月考)設(shè)A(－3,0)，B(3,0)為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到A點(diǎn)的距離與到B點(diǎn)的距離之比為1∶2，則點(diǎn)P的軌跡圖形所圍成的面積是________． 解析：設(shè)P(x，y)，則由題意有＝，整理得x2＋y2＋10x＋9＝0，即(x＋5)2＋

63、y2＝16，所以點(diǎn)P在半徑為4的圓上，故其面積為16π. 答案：16π 2．圓(x＋2)2＋y2＝5關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱的圓的方程為________． 解析：因?yàn)樗髨A的圓心與圓(x＋2)2＋y2＝5的圓心(－2,0)關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱，所以所求圓的圓心為(2,0)，半徑為，故所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝5. 答案：(x－2)2＋y2＝5 3．已知兩點(diǎn)A(0，－3)，B(4,0)，若點(diǎn)P是圓C：x2＋y2－2y＝0上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABP面積的最小值為________． 解析：如圖，過圓心C向直線AB作垂線交圓于點(diǎn)P，這時(shí)△ABP的面積最小．直線AB的方程為＋＝1，即3x－

64、4y－12＝0，圓心C到直線AB的距離為d＝＝， 所以△ABP的面積的最小值為×5×＝. 答案： 4．(2018·南通模擬)已知點(diǎn)M是直線3x＋4y－2＝0上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，則|MN|的最小值是________． 解析：圓心(－1，－1)到點(diǎn)M的距離的最小值為點(diǎn)(－1，－1)到直線的距離d＝＝，故點(diǎn)N到點(diǎn)M的距離的最小值為d－1＝. 答案： 5．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點(diǎn)A(－m,0)，B(m，0)(m＞0)．若圓C 上存在點(diǎn)P，使得 ∠APB＝90°，則 m的最大值為________． 解析：根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖

65、所示，則圓心C的坐標(biāo)為(3,4)，半徑r＝1，且|AB|＝2m，因?yàn)椤螦PB＝90°，連結(jié)OP，易知|OP|＝|AB|＝m.要求m的最大值，即求圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離．因?yàn)閨OC|＝ ＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m 的最大值為6. 答案：6 6．已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為________． 解析：圓C1，C2的圖象如圖所示．設(shè)P是x軸上任意一點(diǎn)，則|PM|的最小值為|PC1|－1，同理|PN|的最小值為|PC2|－3，則|P

66、M|＋|PN|的最小值為|PC1|＋|PC2|－4.作C1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C1′(2，－3)，連結(jié)C1′C2，與x軸交于點(diǎn)P，連結(jié)PC1，可知|PC1|＋|PC2|的最小值為|C1′C2|＝＝5，則|PM|＋|PN|的最小值為5－4. 答案：5－4 7．(2018·徐州期初)若直線l：ax＋by＋1＝0(a≥0，b≥0)始終平分圓M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周長，則a2＋b2－2a－2b＋3的最小值為________． 解析：因?yàn)橹本€ax＋by＋1＝0始終平分圓x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周長，所以圓心(－2，－1)在直線ax＋by＋1＝0上，從而2a＋b－1＝0.a2＋b2－2a－2b＋3＝(a－1)2＋(b－1)2＋1，而(a－1)2＋(b－1)2表示點(diǎn)(1,1)與直線2a＋b－1＝0上任一點(diǎn)的距離d的平方，其最小值d＝2＝，所以a2＋b2－2a－2b＋3的最小值為＋1＝. 答案： 8．已知直線l：x＋my＋4＝0，若曲線x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上存在兩點(diǎn)P，Q關(guān)于直線l對(duì)稱，則m的值為________． 解析：因?yàn)榍€x2＋y2＋2x－6y＋1＝0是