八年級數(shù)學(xué)上冊 第十二章 軸對稱教案 人教版
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1、八年級數(shù)學(xué)上冊 第十二章 軸對稱教案 人教版 教學(xué)目標(biāo) 1.在生活實(shí)例中認(rèn)識軸對稱圖. 2.分析軸對稱圖形,理解軸對稱的概念. 教學(xué)重點(diǎn):軸對稱圖形的概念. 教學(xué)難點(diǎn):能夠識別軸對稱圖形并找出它的對稱軸. 教學(xué)過程 Ⅰ.創(chuàng)設(shè)情境,引入新課 我們生活在一個充滿對稱的世界中,許多建筑物都設(shè)計成對稱形,藝術(shù)作品的創(chuàng)作往往也從對稱角度考慮,自然界的許多動植物也按對稱形生長,中國的方塊字中些也具有對稱性……對稱給我們帶來多少美的感受!初步掌握對稱的奧秒,不僅可以幫助我們發(fā)現(xiàn)一些圖形的特征,還可以使我們感受到自然界的美與和諧
2、. 軸對稱是對稱中重要的一種,從這節(jié)課開始,我們來學(xué)習(xí)第十二章:軸對稱.今天我們來研究第一節(jié),認(rèn)識什么是軸對稱圖形,什么是對稱軸. Ⅱ.導(dǎo)入新課 出示課本的圖片,觀察它們都有些什么共同特征. 這些圖形都是對稱的.這些圖形從中間分開后,左右兩部分能夠完全重合. 小結(jié):對稱現(xiàn)象無處不在,從自然景觀到分子結(jié)構(gòu),從建筑物到藝術(shù)作品,甚至日常生活用品,人們都可以找到對稱的例子.現(xiàn)在同學(xué)們就從我們生活周圍的事物中來找一些具有對稱特征的例子. 我們的黑板、課桌、椅子等. 我們的身體,還有飛機(jī)、汽車、楓葉等都是對稱的. 如課本的圖12.
3、1.2,把一張紙對折,剪出一個圖案(折痕處不要完全剪斷),再打開這張對折的紙,就剪出了美麗的窗花.觀察得到的窗花和圖12.1.1中的圖形,你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同的特點(diǎn)嗎? 窗花可以沿折痕對折,使折痕兩旁的部分完全重合.不僅窗花可以沿一條直線對折,使直線兩旁重合,上面圖12.1.1中的圖形也可以沿一條直線對折,使直線兩旁的部分重合. 結(jié)論:如果一個圖形沿一直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個圖形就叫做軸對稱圖形,這條直線就是它的對稱軸.這時,我們也說這個圖形關(guān)于這條直線(成軸)對稱. 了解了軸對稱圖形及其對稱軸的概念后,我們來做一做. 取一張質(zhì)地較硬的
4、紙,將紙對折,并用小刀在紙的中央隨意刻出一個圖案,將紙打開后鋪平,你得到兩個成軸對稱的圖案了嗎?與同伴進(jìn)行交流. 結(jié)論:位于折痕兩側(cè)的圖案是對稱的,它們可以互相重合. 由此可以得到軸對稱圖形的特征:一個圖形沿一條直線折疊后,折痕兩側(cè)的圖形完全重合. 接下來我們來探討一個有關(guān)對稱軸的問題.有些軸對稱圖形的對稱軸只有一條,但有的軸對稱圖形的對稱軸卻不止一條,有的軸對稱圖形的對稱軸甚至有無數(shù)條。 下列各圖,你能找出它們的對稱軸嗎? 結(jié)果:圖(1)有四條對稱軸;圖(2)有四條對稱軸;圖(3)有無數(shù)條對稱軸;圖(4)有兩條對稱軸;圖(5)有七
5、條對稱軸. (1) (2) (3) (4) (5) 展示掛圖,大家想一想,你發(fā)現(xiàn)了什么? 像這樣,把一個圖形沿著某一條直線折疊,如果它能夠與另一個圖形重合,那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱,這條直線叫做對稱軸,折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn),叫做對稱點(diǎn). Ⅲ.隨堂練習(xí):課本P30練習(xí)和 P31練習(xí) Ⅳ.課時小結(jié) 這節(jié)課我們主要認(rèn)識了軸對稱圖形,了解了軸對稱圖形及有關(guān)概念,進(jìn)一步探討了軸對稱的特點(diǎn),區(qū)分了軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱.
6、 Ⅴ.作業(yè):課本P36習(xí)題12.1第1、2、6、7、8題. Ⅵ.活動與探究:課本P31思考. 成軸對稱的兩個圖形全等嗎?如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形,那么這兩個圖形全等嗎?這兩個圖形對稱嗎? 過程:在硬紙板上畫兩個成軸對稱的圖形,再用剪刀將這兩個圖形剪下來看是否重合.再在硬紙板上畫出一個軸對稱圖形,然后將該圖形剪下來,再沿對稱軸剪開,看兩部分是否能夠完全重合. 結(jié)論:成軸對稱的兩個圖形全等.如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形,這兩個圖形全等,并且也是成軸對稱的. 軸對稱是說兩個圖形的位置關(guān)系,而軸對稱圖形是說一個具有特殊形
7、狀的圖形. 軸對稱的兩個圖形和軸對稱圖形,都要沿某一條直線折疊后重合;如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分,那么這兩個圖形就關(guān)于這條直線成軸對稱;反過來,如果把兩個成軸對稱的圖形看成一個整體,那么它就是一個軸對稱圖形. 板書設(shè)計 §12.1 軸對稱(一) 一、軸對稱:如果一個圖形沿一條直線折疊后,直線兩旁的部分能夠完全重合,這個圖形就叫軸對稱圖形,這條直線叫對稱軸. 二、兩個圖形成軸對稱:把一個圖形沿著某一條直線折疊,如果它能夠與另一個圖形重合,那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱. §12.1 軸對稱(二)
8、 教學(xué)目標(biāo) 1.了解兩個圖形成軸對稱性的性質(zhì),了解軸對稱圖形的性質(zhì). 2.探究線段垂直平分線的性質(zhì). 3.經(jīng)歷探索軸對稱圖形性質(zhì)的過程,進(jìn)一步體驗(yàn)軸對稱的特點(diǎn),發(fā)展空間觀察. 教學(xué)重點(diǎn); 1.軸對稱的性質(zhì). 2.線段垂直平分線的性質(zhì). 教學(xué)難點(diǎn): 體驗(yàn)軸對稱的特征. 教學(xué)過程 Ⅰ.創(chuàng)設(shè)情境,引入新課 上節(jié)課我們共同探討了軸對稱圖形,知道現(xiàn)實(shí)生活中由于有軸對稱圖形,而使得世界非常美麗.那么大家想一想,什么樣的圖形是軸對稱圖形呢? 今天繼續(xù)來研究軸對稱的性質(zhì). Ⅱ.導(dǎo)入新課:觀看投影并思考
9、. 如圖,△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱,點(diǎn)A′、B′、C′分別是點(diǎn)A、B、C的對稱點(diǎn),線段AA′、BB′、CC′與直線MN有什么關(guān)系? 圖中A、A′是對稱點(diǎn),AA′與MN垂直,BB′和CC′也與MN垂直. AA′、BB′和CC′與MN除了垂直以外還有什么關(guān)系嗎? △ABC與△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱,點(diǎn)A′、B′、C′分別是點(diǎn)A、B、C的對稱點(diǎn),設(shè)AA′交對稱軸MN于點(diǎn)P,將△ABC和△A′B′C′沿MN對折后,點(diǎn)A與A′重合,于是有AP=A′P,∠MPA=∠MPA′=90°.所以AA′、BB′和CC′與MN除了垂直以外,MN還經(jīng)過線段AA
10、′、BB′和CC′的中點(diǎn). 對稱軸所在直線經(jīng)過對稱點(diǎn)所連線段的中點(diǎn),并且垂直于這條線段.我們把經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線. 自己動手畫一個軸對稱圖形,并找出兩對稱點(diǎn),看一下對稱軸和兩對稱點(diǎn)連線的關(guān)系. 我們可以看出軸對稱圖形與兩個圖形關(guān)于直線對稱一樣,對稱軸所在直線經(jīng)過對稱點(diǎn)所連線段的中點(diǎn),并且垂直于這條線段. 歸納圖形軸對稱的性質(zhì): 如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱,那么對稱軸是任何一對對稱點(diǎn)所連線段的垂直平分線.類似地,軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對稱點(diǎn)所連線段的垂直平分線. 下面我們來探究線段垂直平分線的
11、性質(zhì). [探究1] 如下圖.木條L與AB釘在一起,L垂直平分AB,P1,P2,P3,…是L上的點(diǎn),分別量一量點(diǎn)P1,P2,P3,…到A與B的距離,你有什么發(fā)現(xiàn)? 1.用平面圖將上述問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,先作出線段AB,過AB中點(diǎn)作AB的垂直平分線L,在L上取P1、P2、P3…,連結(jié)AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2… 2.作好圖后,用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…討論發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律. 探究結(jié)果: 線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等.即AP1=BP1,AP2=BP2,… 證明.
12、 證法一:利用判定兩個三角形全等. 如下圖,在△APC和△BPC中, △APC≌△BPC PA=PB. 證法二:利用軸對稱性質(zhì). 由于點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn),將線段AB沿直線L對折,線段PA與PB是重合的,因此它們也是相等的. 帶著探究1的結(jié)論我們來看下面的問題. [探究2] 如右圖.用一根木棒和一根彈性均勻的橡皮筋,做一個簡易的“弓”,“箭”通過木棒中央的孔射出去,怎么才能保持出箭的方向與木棒垂直呢?為什么? 活動:1.用平面圖形將上述問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.作線段AB,取其中點(diǎn)P,過P作L,在L上取點(diǎn)P1、P2,連結(jié)AP1
13、、AP2、BP1、BP2.會有以下兩種可能. 2.討論:要使L與AB垂直,AP1、AP2、BP1、BP2應(yīng)滿足什么條件? 探究過程: 1.如上圖甲,若AP1≠BP1,那么沿L將圖形折疊后,A與B不可能重合,也就是∠APP1≠∠BPP1,即L與AB不垂直. 2.如上圖乙,若AP1=BP1,那么沿L將圖形折疊后,A與B恰好重合,就有∠APP1=∠BPP1,即L與AB重合.當(dāng)AP2=BP2時,亦然. 探究結(jié)論: 與一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.也就是說在[探究2]圖中,只要使箭端到弓兩端的端點(diǎn)的距離相等,就能保持射出箭的方
14、向與木棒垂直. [師]上述兩個探究問題的結(jié)果就給出了線段垂直平分線的性質(zhì),即:線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等;反過來,與這條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)都在它的垂直平分線上.所以線段的垂直平分線可以看成是與線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合. Ⅲ.隨堂練習(xí): 課本P34練習(xí) 1、2. Ⅳ.課時小結(jié) 這節(jié)課通過探索軸對稱圖形對稱性的過程,了解了線段的垂直平分線的有關(guān)性質(zhì),同學(xué)們應(yīng)靈活運(yùn)用這些性質(zhì)來解決問題. Ⅴ.課后作業(yè): 課本P36習(xí)題12.1第3、4、9題. Ⅵ.活動與探究 如圖甲,△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線L對稱
15、,延長對應(yīng)線段AB和A′B′,兩條延長線相交嗎?交點(diǎn)與對稱軸L有什么關(guān)系?延長其他對應(yīng)線段呢?在圖乙中,AC與A′C′又如何呢?再找?guī)讉€成軸對稱的圖形觀察一下,能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎? 過程:在圖甲中,AB與A′B′不平行,所以它們肯定會相交.下面來研究交點(diǎn)與對稱軸L的關(guān)系. 問題1:點(diǎn)和直線有幾種位置關(guān)系? 有兩種.一種是點(diǎn)不在直線上,另一種是點(diǎn)在直線上. 問題2:先來假設(shè)一下交點(diǎn)不在對稱軸L上,看是否成立. 如果交點(diǎn)(P)不在對稱軸L上,那么在L的另一側(cè)一定有另外一點(diǎn)(P′)與交點(diǎn)(P)關(guān)于直線L對稱,且該點(diǎn)(P′)也是兩延長線的交點(diǎn).但是由
16、于兩條直線相交只可能有一個交點(diǎn),所以這兩點(diǎn)是重合的.即交點(diǎn)(P)只能在對稱軸L上.所以交點(diǎn)一定在對稱軸上.延長其他的對應(yīng)線段,結(jié)果也一樣. 再看圖乙,討論下一個問題.AC與A′C′是平行的,它們的兩條延長線也不會相交. 結(jié)論:成軸對稱的兩個圖形,對應(yīng)線段的延長線如果相交,交點(diǎn)一定在對稱軸上;對應(yīng)線段的延長線如果不相交,也就是對應(yīng)線段所在的直線平行,那么它們也與對稱軸平行. 板書設(shè)計 §12.1 軸對稱(二) 一、復(fù)習(xí):軸對稱圖形. 二、線段垂直平分線的定義:經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線,叫做線段的垂直平分線. 三、圖形軸對稱的性
17、質(zhì):如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱,那么對稱軸是任何一對對稱點(diǎn)所連線段的垂直平分線.類似地,軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對稱點(diǎn)所連線段的垂直平分線. 四、線段垂直平分線的性質(zhì):線段垂直平分線的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等;反過來,與這條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)都在它的垂直平分線上. §12.2.1 作軸對稱圖形 教學(xué)目標(biāo) 1.通過實(shí)際操作,了解什么叫做軸對稱變換. 2.如何作出一個圖形關(guān)于一條直線的軸對稱圖形. 教學(xué)重點(diǎn) 1.軸對稱變換的定義. 2.能夠按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過軸對稱后的圖形. 教學(xué)難點(diǎn) 1.作出簡單平面
18、圖形關(guān)于直線的軸對稱圖形. 2.利用軸對稱進(jìn)行一些圖案設(shè)計. 教學(xué)過程 Ⅰ.設(shè)置情境,引入新課 在前一個章節(jié),我們學(xué)習(xí)了軸對稱圖形以及軸對稱圖形的一些相關(guān)的性質(zhì)問題.在上節(jié)課的作業(yè)中,我們有個要求,讓同學(xué)們自己思考一種作軸對稱圖形的方法,現(xiàn)在來看一下同學(xué)們完成的怎么樣. 將一張紙對折后,用針尖在紙上扎出一個圖案,將紙打開后鋪平,得到的兩個圖案是關(guān)于折痕成軸對稱的圖形. 準(zhǔn)備一張質(zhì)地較軟,吸水性能好的紙或報紙,在紙的一側(cè)上滴上一滴墨水,將紙迅速對折,壓平,并且手指壓出清晰的折痕.再將紙打開后鋪平,位于折痕兩側(cè)的墨跡圖案也是對稱的. 這節(jié)課我們就
19、是來作簡單平面圖形經(jīng)過軸對稱后的圖形. Ⅱ.導(dǎo)入新課 由我們已經(jīng)學(xué)過的知識知道,連結(jié)任意一對對應(yīng)點(diǎn)的線段被對稱軸垂直平分. 類似地,我們也可以由一個圖形得到與它成軸對稱的另一個圖形,重復(fù)這個過程,可以得到美麗的圖案. 對稱軸方向和位置發(fā)生變化時,得到的圖形的方向和位置也會發(fā)生變化.大家看大屏幕,從電腦演示的圖案變化中找出對稱軸的方向和位置,體會對稱軸方向和位置的變化在圖案設(shè)計中的奇妙用途. 下面,同學(xué)們自己動手在一張紙上畫一個圖形,將這張紙折疊描圖,再打開看看,得到了什么?改變折痕的位置并重復(fù)幾次,又得到了什么?同學(xué)們互相交流一下. 結(jié)論:
20、由一個平面圖形呆以得到它關(guān)于一條直線L對稱的圖形,這個圖形與原圖形的形狀、大小完全相同;新圖形上的每一點(diǎn),都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于直線L的對稱點(diǎn); 連結(jié)任意一對對應(yīng)點(diǎn)的線段被對稱軸垂直平分. 我們把上面由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換. 成軸對稱的兩個圖形中的任何一個可以看作由另一個圖形經(jīng)過軸對稱變換后得到.一個軸對稱圖形也可以看作以它的一部分為基礎(chǔ),經(jīng)軸對稱變換擴(kuò)展而成的. 取一張長30厘米,寬6厘米的紙條,將它每3厘米一段,一正一反像“手風(fēng)琴”那樣折疊起來,并在折疊好的紙上畫上字母E,用小刀把畫出的字母E挖去,拉開“手風(fēng)琴”,你就可以得到
21、以字母E為圖案的花邊.回答下列問題. (1)在你所得的花邊中,相鄰兩個圖案有什么關(guān)系?相間的兩個圖案又有什么關(guān)系?說說你的理由. (2)如果以相鄰兩個圖案為一組,每一組圖案之間有什么關(guān)系?三個圖案為一組呢?為什么? (3)在上面的活動中,如果先將紙條縱向?qū)φ?,再折成“手風(fēng)琴”,然后繼續(xù)上面的步驟,此時會得到怎樣的花邊?它是軸對稱圖形嗎?先猜一猜,再做一做. 注:為了保證剪開后的紙條保持連結(jié),畫出的圖案應(yīng)與折疊線稍遠(yuǎn)一些. Ⅲ.隨堂練習(xí):(一)P41練習(xí)1、2。 (二)如圖(1),將一張正六邊形紙沿虛線對折折3次,得到一個多層的60°角形
22、紙,用剪刀在折疊好的紙上隨意剪出一條線,如圖(2). (1)猜一猜,將紙打開后,你會得到怎樣的圖形? (2)這個圖形有幾條對稱軸? (3)如果想得到一個含有5條對稱軸的圖形,你應(yīng)取什么形狀的紙?應(yīng)如何折疊? 答案:(1)軸對稱圖形. (2)這個圖形至少有3條對稱軸. (3)取一個正十邊形的紙,沿它通過中心的五條對角線折疊五次,得到一個多層的36°角形紙,用剪刀在疊好的紙上任意剪出一條線,打開即可得到一個至少含有5條對稱軸的軸對稱圖形. (三)回顧本節(jié)課內(nèi)容,然后小結(jié). Ⅳ.課時小結(jié) 本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了如
23、何通過軸對稱變換來作出一個圖形的軸對稱圖形,并且利用軸對稱變換來設(shè)計一些美麗的圖案.在利用軸對稱變換設(shè)計圖案時,要注意運(yùn)用對稱軸位置和方向的變化,使我們設(shè)計出更新疑獨(dú)特的美麗圖案. Ⅴ.動手并思考 (一)如下圖所示,取一張薄的正方形紙,沿對角線對折后,得到一個等腰直角三角形,再沿斜邊上的高線對折,將得到的角形沿黑色線剪開,去掉含90°角的部分,拆開折疊的紙,并將其鋪平. (1)你會得怎樣的圖案?先猜一猜,再做一做. (2)你能說明為什么會得到這樣的圖案嗎?應(yīng)用學(xué)過的軸對稱的知識試一試. (3)如果將正方形紙按上面方式折3次,然后再沿圓弧剪
24、開,去掉較小部分,展開后結(jié)果又會怎樣?為什么? (4)當(dāng)紙對折2次后,剪出的圖案至少有幾條對稱軸?3次呢? 答案:(1)得到一個有2條對稱軸的圖形. (2)按照上面的做法,實(shí)際上相當(dāng)于折出了正方形的2條對稱軸;因此(1)中的圖案一定有2條對稱軸. (3)按題中的方式將正方形對折3次,相當(dāng)于折出了正方形的4條對稱軸,因此得到的圖案一定有4條對稱軸. (4)當(dāng)紙對折2次,剪出的圖案至少有2條對稱軸;當(dāng)紙對折3次,剪出的圖案至少有4條對稱軸. (二)自己設(shè)計并制作一個花邊. 作業(yè):P45習(xí)題12.2第1、5題 Ⅵ.活動與探究
25、 如果想剪出如下圖所示的“小人”以及“十字”,你想怎樣剪?設(shè)法使剪的次數(shù)盡可能少. 過程:學(xué)生通過觀察、分析設(shè)計自己的操作方法,教師提示學(xué)生利用軸對稱變換的應(yīng)用. 結(jié)果:“小人”可以先折疊一次,剪出它的一半即可得到整個圖. “十字”可以折疊兩次,剪出它的四分之一即可. 板書設(shè)計 §12.2.1.1 作軸對稱圖形 一.如何由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形.二。 利用軸對稱設(shè)計圖案 12.2 .2 用坐標(biāo)表示軸對稱 教學(xué)目標(biāo) 在平面直角坐標(biāo)系中,確定軸對稱變換前后兩個圖形中特殊點(diǎn)的位置關(guān)系,再利用軸對稱的性質(zhì)作出成軸對稱的圖形 教
26、學(xué)重點(diǎn):用坐標(biāo)表示軸對稱 教學(xué)難點(diǎn):利用轉(zhuǎn)化的思想,確定能代表軸對稱圖形的關(guān)鍵點(diǎn) 教學(xué)過程: 一、復(fù)習(xí)軸對稱圖形的有關(guān)性質(zhì) 二、新授: 1.學(xué)生探索: 點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)(x,-y);點(diǎn)(x,y)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)(-x,y);點(diǎn)(x,y)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)(-x,-y) 2.例3 四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-5,1)、B(-2,1)、C(-2,5)、D(-5,4),分別作出與四邊形ABCD關(guān)于x軸和y軸對稱的圖形. (1)歸納:與已知點(diǎn)關(guān)于y 軸或x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律; (2)學(xué)生畫圖 (3)對于這類問題,只要先求出已知圖形中的一
27、些特殊點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),描出并順次連接這些特殊點(diǎn),就可以得到這個圖形的軸對稱圖形. 3、探究問題 分別作出△PQR關(guān)于直線x=1(記為m)和直線y=-1(記為n)對稱的圖形,你能發(fā)現(xiàn)它們的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間分別有什么關(guān)系嗎? (1)學(xué)生畫圖,由具體的數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)它們的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系 (2)若△PQR中P(x,y)關(guān)于x=1(記為m)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)P (x,y) , 則,y= y. 若△PQR中P(x,y)關(guān)于y=-1(記為n)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)P (x,y) , 則x= x,=n. 三、練習(xí):課本P44第1、2、3題 四、作業(yè):課本P45第2、3、4、6題 §12.3.
28、1.1 等腰三角形(一) 教學(xué)目標(biāo) 1.等腰三角形的概念. 2.等腰三角形的性質(zhì). 3.等腰三角形的概念及性質(zhì)的應(yīng)用. 教學(xué)重點(diǎn): 1.等腰三角形的概念及性質(zhì). 2.等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用. 教學(xué)難點(diǎn):等腰三角形三線合一的性質(zhì)的理解及其應(yīng)用. 教學(xué)過程 Ⅰ.提出問題,創(chuàng)設(shè)情境 在前面的學(xué)習(xí)中,我們認(rèn)識了軸對稱圖形,探究了軸對稱的性質(zhì),并且能夠作出一個簡單平面圖形關(guān)于某一直線的軸對稱圖形,還能夠通過軸對稱變換來設(shè)計一些美麗的圖案.這節(jié)課我們就是從軸對稱的角度來認(rèn)識一些我們熟悉的幾何圖形.來研究:①三角形是軸對稱圖形嗎
29、?②什么樣的三角形是軸對稱圖形? 有的三角形是軸對稱圖形,有的三角形不是. 問題:那什么樣的三角形是軸對稱圖形? 我們這節(jié)課就來認(rèn)識一種成軸對稱圖形的三角形──等腰三角形. Ⅱ.導(dǎo)入新課: 同學(xué)們拿出一張紙,要求是長方形的。首先將紙對折,然后取相等的兩邊,用剪刀剪下來!得到了一個△ABC,觀察下,它有什么特點(diǎn)?我們可以發(fā)現(xiàn),由于用剪刀剪過的兩條邊是相等的,即AB=AC,這種有兩條邊相等的三角形,我們給它一個名稱叫做等腰三角形 等腰三角形的定義:有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.相等的兩邊叫做腰,另一邊叫做底邊,兩腰所夾的角叫做頂角,底邊與腰的
30、夾角叫底角.同學(xué)們在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底邊、頂角和底角. 思考: 1.等腰三角形是軸對稱圖形嗎?請找出它的對稱軸. 2.等腰三角形的兩底角有什么關(guān)系? 3.頂角的平分線所在的直線是等腰三角形的對稱軸嗎? 4.底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對稱軸嗎?底邊上的高所在的直線呢? 下面我們就一一來研究這些問題。 結(jié)論:等腰三角形是軸對稱圖形.它的對稱軸是頂角的平分線所在的直線.因?yàn)榈妊切蔚膬裳嗟?,所以把這兩條腰重合對折三角形便知:等腰三角形是軸對稱圖形,它的對稱軸是頂角的平分線所在的直線. 要求學(xué)生把自己做
31、的等腰三角形進(jìn)行折疊,找出它的對稱軸,并看它的兩個底角有什么關(guān)系. 沿等腰三角形的頂角的平分線對折,發(fā)現(xiàn)它兩旁的部分互相重合,由此可知這個等腰三角形的兩個底角相等,而且還可以知道頂角的平分線既是底邊上的中線,也是底邊上的高. 由此可以得到等腰三角形的性質(zhì): 1.等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”). 2.等腰三角形的頂角平分線,底邊上的中線、底邊上的高互相重合(通常稱作“三線合一”). 由上面折疊的過程獲得啟發(fā),我們可以通過作出等腰三角形的對稱軸,得到兩個全等的三角形,從而利用三角形的全等來證明這些性質(zhì).同學(xué)們現(xiàn)在就動手來寫出這些
32、證明過程). 如右圖,在△ABC中,AB=AC,作底邊BC的中線AD,因?yàn)? 所以△BAD≌△CAD(SSS). 所以∠B=∠C. ]如右圖,在△ABC中,AB=AC,作頂角∠BAC的角平分線AD,因?yàn)? 所以△BAD≌△CAD. 所以BD=CD,∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°. [例1]如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在AC上,且BD=BC=AD, 求:△ABC各角的度數(shù). 分析:根據(jù)等邊對等角的性質(zhì),我們可以得到 ∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC, 再由∠BDC=∠A+∠
33、ABD,就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A. 再由三角形內(nèi)角和為180°,就可求出△ABC的三個內(nèi)角. 把∠A設(shè)為x的話,那么∠ABC、∠C都可以用x來表示,這樣過程就更簡捷. 解:因?yàn)锳B=AC,BD=BC=AD, 所以∠ABC=∠C=∠BDC. ∠A=∠ABD(等邊對等角). 設(shè)∠A=x,則 ∠BDC=∠A+∠ABD=2x, 從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x. 于是在△ABC中,有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°, 解得x=36°. 在△ABC中,∠A=35°,∠
34、ABC=∠C=72°. [師]下面我們通過練習(xí)來鞏固這節(jié)課所學(xué)的知識. Ⅲ.隨堂練習(xí):1.課本P51練習(xí) 1、2、3. 2.閱讀課本P49~P51,然后小結(jié). Ⅳ.課時小結(jié) 這節(jié)課我們主要探討了等腰三角形的性質(zhì),并對性質(zhì)作了簡單的應(yīng)用.等腰三角形是軸對稱圖形,它的兩個底角相等(等邊對等角),等腰三角形的對稱軸是它頂角的平分線,并且它的頂角平分線既是底邊上的中線,又是底邊上的高. 我們通過這節(jié)課的學(xué)習(xí),首先就是要理解并掌握這些性質(zhì),并且能夠靈活應(yīng)用它們. Ⅴ.作業(yè): 課本P56習(xí)題12.3第1、2、3、4題. 板書設(shè)計 12
35、.3.1.1 等腰三角形 一、設(shè)計方案作出一個等腰三角形 二、等腰三角形性質(zhì): 1.等邊對等角 2.三線合一 參考練習(xí) 一、選擇題 1.如果△ABC是軸對稱圖形,則它的對稱軸一定是( ) A.某一條邊上的高; B.某一條邊上的中線 C.平分一角和這個角對邊的直線; D.某一個角的平分線 2.等腰三角形的一個外角是100°,它的頂角的度數(shù)是( ) A.80° B.20° C.80°和20° D.80°或50° 答案:1.C
36、 2.C 二、已知等腰三角形的腰長比底邊多2cm,并且它的周長為16cm. 求這個等腰三角形的邊長. 解:設(shè)三角形的底邊長為xcm,則其腰長為(x+2)cm,根據(jù)題意,得 2(x+2)+x=16. 解得x=4. 所以,等腰三角形的三邊長為4cm、6cm和6cm. §12.3.1.1 等腰三角形(二) 教學(xué)目標(biāo) 1、 理解并掌握等腰三角形的判定定理及推論 2、 能利用其性質(zhì)與判定證明線段或角的相等關(guān)系. 教學(xué)重點(diǎn): 等腰三角形的判定定理及推論的運(yùn)用 教學(xué)難點(diǎn): 正確區(qū)分等腰三角形的判定與性質(zhì),能夠利
37、用等腰三角形的判定定理證明線段的相等關(guān)系. 教學(xué)過程: 一、復(fù)習(xí)等腰三角形的性質(zhì) 二、新授: I提出問題,創(chuàng)設(shè)情境 出示投影片.某地質(zhì)專家為估測一條東西流向河流的寬度,選擇河流北岸上一棵樹(B點(diǎn))為B標(biāo),然后在這棵樹的正南方(南岸A點(diǎn)抽一小旗作標(biāo)志)沿南偏東60°方向走一段距離到C處時,測得∠ACB為30°,這時,地質(zhì)專家測得AC的長度就可知河流寬度. 學(xué)生們很想知道,這樣估測河流寬度的根據(jù)是什么?帶著這個問題,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“等腰三角形的判定”. II引入新課 1.由性質(zhì)定理的題設(shè)和結(jié)論的變化,引出研究的內(nèi)容——在△ABC中,苦∠B=∠C,則AB= AC嗎? 作一
38、個兩個角相等的三角形,然后觀察兩等角所對的邊有什么關(guān)系? 2.引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖形,寫出已知、求證. 2、小結(jié),通過論證,這個命題是真命題,即“等腰三角形的判定定理”(板書定理名稱). 強(qiáng)調(diào)此定理是在一個三角形中把角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化成邊的相等關(guān)系的重要依據(jù),類似于性質(zhì)定理可簡稱“等角對等邊”. 4.引導(dǎo)學(xué)生說出引例中地質(zhì)專家的測量方法的根據(jù). III例題與練習(xí) 1.如圖2 其中△ABC是等腰三角形的是 [ ] 2.①如圖3,已知△ABC中,AB=AC.∠A=36°,則∠C______(根據(jù)什么?). ?、谌鐖D4,已知△ABC中,∠A=
39、36°,∠C=72°,△ABC是______三角形(根據(jù)什么?). ?、廴粢阎螦=36°,∠C=72°,BD平分∠ABC交AC于D,判斷圖5中等腰三角形有______. ④若已知 AD=4cm,則BC______cm. 3.以問題形式引出推論l______. 4.以問題形式引出推論2______. 例: 如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊,求證這個三角形是等腰三角形. 分析:引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意作出圖形,寫出已知、求證,并分析證明. 練習(xí):5.(l)如圖6,在△ABC中,AB=AC,∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)F,過F作DE//BC,交AB于點(diǎn)D,
40、交AC于E.問圖中哪些三角形是等腰三角形? (2)上題中,若去掉條件AB=AC,其他條件不變,圖6中還有等腰三角形嗎? 練習(xí):P53練習(xí)1、2、3。 IV課堂小結(jié) 1.判定一個三角形是等腰三角形有幾種方法? 2.判定一個三角形是等邊三角形有幾種方法? 3.等腰三角形的性質(zhì)定理與判定定理有何關(guān)系? 4.現(xiàn)在證明線段相等問題,一般應(yīng)從幾方面考慮? V布置作業(yè):P56頁習(xí)題12.3第5、6題 12.3.2 等邊三角形(一) 教學(xué)目的 1. 使學(xué)生熟練地運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)求等腰三角形內(nèi)角的角度。 2. 熟識等邊三角形的性質(zhì)及判定. 2.通過例
41、題教學(xué),幫助學(xué)生總結(jié)代數(shù)法求幾何角度,線段長度的方法。 教學(xué)重點(diǎn): 等腰三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用。 教學(xué)難點(diǎn): 簡潔的邏輯推理。 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)鞏固 1.?dāng)⑹龅妊切蔚男再|(zhì),它是怎么得到的? 等腰三角形的兩個底角相等,也可以簡稱“等邊對等角”。把等腰三角形對折,折疊兩部分是互相重合的,即AB與AC重合,點(diǎn)B與點(diǎn) C重合,線段BD與CD也重合,所以∠B=∠C。 等腰三角形的頂角平分線,底邊上的中線和底邊上的高線互相重合,簡稱“三線合一”。由于AD為等腰三角形的對稱軸,所以BD= CD,AD為底邊上的中線;∠BAD=∠CAD,AD為頂角
42、平分線,∠ADB=∠ADC=90°,AD又為底邊上的高,因此“三線合一”。 2.若等腰三角形的兩邊長為3和4,則其周長為多少? 二、新課 在等腰三角形中,有一種特殊的情況,就是底邊與腰相等,這時,三角形三邊都相等。我們把三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形。 等邊三角形具有什么性質(zhì)呢? 1.請同學(xué)們畫一個等邊三角形,用量角器量出各個內(nèi)角的度數(shù),并提出猜想。 2.你能否用已知的知識,通過推理得到你的猜想是正確的? 等邊三角形是特殊的等腰三角形,由等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)得到∠A=∠B=C,又由∠A+∠B+∠C=180°
43、,從而推出∠A=∠B=∠C=60°。 3.上面的條件和結(jié)論如何敘述? 等邊三角形的各角都相等,并且每一個角都等于60°。 等邊三角形是軸對稱圖形嗎?如果是,有幾條對稱軸? 等邊三角形也稱為正三角形。 例1.在△ABC中,AB=AC,D是BC邊上的中點(diǎn),∠B=30°,求∠1和∠ADC的度數(shù)。 分析:由AB=AC,D為BC的中點(diǎn),可知AB為 BC底邊上的中線,由“三線合一”可知AD是△ABC的頂角平分線,底邊上的高,從而∠ADC=90°,∠l=∠BAC,由于∠C=∠B=30°,∠BAC可求,所以∠1可求。 問題1:本題若
44、將D是BC邊上的中點(diǎn)這一條件改為AD為等腰三角形頂角平分線或底邊BC上的高線,其它條件不變,計算的結(jié)果是否一樣? 問題2:求∠1是否還有其它方法? 三、練習(xí)鞏固 1.判斷下列命題,對的打“√”,錯的打“×”。 a.等腰三角形的角平分線,中線和高互相重合( ) b.有一個角是60°的等腰三角形,其它兩個內(nèi)角也為60°( ) 2.如圖(2),在△ABC中,已知AB=AC,AD為∠BAC的平分線,且∠2=25°,求∠ADB和∠B的度數(shù)。 3.P54練習(xí)1、2。 四、小結(jié) 由等腰
45、三角形的性質(zhì)可以推出等邊三角形的各角相等,且都為60°?!叭€合一”性質(zhì)在實(shí)際應(yīng)用中,只要推出其中一個結(jié)論成立,其他兩個結(jié)論一樣成立,所以關(guān)鍵是尋找其中一個結(jié)論成立的條件。 五、作業(yè): 1.課本P57第7,9題。 2、補(bǔ)充:如圖(3),△ABC是等邊三角形,BD、CE是中線,求∠CBD,∠BOE,∠BOC,∠EOD的度數(shù)。 §12.3.2 等邊三角形(二) 教學(xué)目標(biāo) 1.掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定方法. 2.培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力. 教學(xué)重點(diǎn):等邊三角形的性質(zhì)和判定方法. 教學(xué)難點(diǎn):等邊三角形性質(zhì)的應(yīng)用 教學(xué)過程 I創(chuàng)設(shè)情境,提出問題 回顧上節(jié)
46、課講過的等邊三角形的有關(guān)知識 1.等邊三角形是軸對稱圖形,它有三條對稱軸. 2.等邊三角形每一個角相等,都等于60° 3.三個角都相等的三角形是等邊三角形. 4.有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形. 其中1、2是等邊三角形的性質(zhì);3、4的等邊三角形的判斷方法. II例題與練習(xí) 1.△ABC是等邊三角形,以下三種方法分別得到的△ADE都是等邊三角形嗎,為什么? ①在邊AB、AC上分別截取AD=AE. ②作∠ADE=60°,D、E分別在邊AB、AC上. ③過邊AB上D點(diǎn)作DE∥BC,交邊AC于E點(diǎn). 2. 已知:如右圖,P、Q是△
47、ABC的邊BC上的兩點(diǎn),,并且PB=PQ=QC=AP=AQ.求∠BAC的大?。? 分析:由已知顯然可知三角形APQ是等邊三角形,每個角都是60°.又知△APB與△AQC都是等腰三角形,兩底角相等,由三角形外角性質(zhì)即可推得∠PAB=30°. 3. P56頁練習(xí)1、2 III課堂小結(jié):1.等腰三角形和性質(zhì);等腰三角形的條件 V布置作業(yè): 1.P58頁習(xí)題12.3第ll題. 2.已知等邊△ABC,求平面內(nèi)一點(diǎn)P,滿足A,B,C,P四點(diǎn)中的任意三點(diǎn)連線都構(gòu)成等腰三角形.這樣的點(diǎn)有多少個? §12.3.2 等邊三角形(三) 教學(xué)過程 一、 復(fù)習(xí)等腰三角形的判定與性質(zhì) 二、
48、 新授: 1.等邊三角形的性質(zhì):三邊相等;三角都是60°;三邊上的中線、高、角平分線相等 2.等邊三角形的判定: 三個角都相等的三角形是等邊三角形;有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形; 在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半 注意:推論1是判定一個三角形為等邊三角形的一個重要方法.推論2說明在等腰三角形中,只要有一個角是600,不論這個角是頂角還是底角,就可以判定這個三角形是等邊三角形。推論3反映的是直角三角形中邊與角之間的關(guān)系. 3.由學(xué)生解答課本148頁的例子; 4.補(bǔ)充:已知如圖所示, 在△ABC中, BD是AC邊上的中線, DB
49、⊥BC于B, ∠ABC=120o, 求證: AB=2BC 分析 由已知條件可得∠ABD=30o, 如能構(gòu)造有一個銳角是30o的直角三角形, 斜邊是AB,30o角所對的邊是與BC相等的線段,問題就得到解決了. B 證明: 過A作AE∥BC交BD的延長線于E ∵DB⊥BC(已知) ∴∠AED=90o (兩直線平行內(nèi)錯角相等) 在△ADE和△CDB中 ∴△ADE≌△CDB(AAS) ∴AE=CB(全等三角形的對應(yīng)邊相等) ∵∠ABC=120o,DB⊥BC(已知) ∴∠ABD=30o 在Rt△ABE中,∠AB
50、D=30o ∴AE=AB(在直角三角形中,如果一個銳角等于30o, 那么它所對的直角邊等于斜邊的一半) ∴BC=AB 即AB=2BC 點(diǎn)評 本題還可過C作CE∥AB 5、訓(xùn)練:如圖所示,在等邊△ABC的邊的延長線上取一點(diǎn)E,以CE為邊作等邊△CDE,使它與△ABC位于直線AE的同一側(cè),點(diǎn)M為線段AD的中點(diǎn),點(diǎn)N為線段BE的中點(diǎn),求證:△CNM是等邊三角形. 分析 由已知易證明△ADC≌△BEC,得BE=AD,∠EBC=∠DAE,而M、N分別為BE、AD的中點(diǎn),于是有BN=AM,要證明△CNM是等邊三角形,只須證MC=CN,∠MCN=60o,所以要證△NBC≌△MAC,由
51、上述已推出的結(jié)論,根據(jù)邊角邊公里,可證得△NBC≌△MAC 證明:∵等邊△ABC和等邊△DCE, ∴BC=AC,CD=CE,(等邊三角形的邊相等) ∠BCA=∠DCE=60o(等邊三角形的每個角都是60) ∴∠BCE=∠DCA ∴△BCE≌△ACD(SAS) ∴∠EBC=∠DAC(全等三角形的對應(yīng)角相等) BE=AD(全等三角形的對應(yīng)邊相等) 又∵BN=BE,AM=AD(中點(diǎn)定義) ∴BN=AM ∴△NBC≌△MAC(SAS) ∴CM=CN(全等三角形的對應(yīng)邊相等) ∠ACM=∠BCN(全等三角形的對應(yīng)角相等) ∴∠MCN=∠ACB=60o ∴△MCN為等邊三角形(有一個角等于60o的等腰三角形是等邊三角形) 解題小結(jié) 1.本題通過將分析法和綜合法并用進(jìn)行分析,得到了本題的證題思路,較復(fù)雜的幾何問題經(jīng)常用這種方法進(jìn)行分析 2.本題反復(fù)利用等邊三角形的性質(zhì),證得了兩對三角形全等,從而證得△MCN是一個含60o角的等腰三角形,在較復(fù)雜的圖形中,如何準(zhǔn)確地找到所需要的全等三角形是證題的關(guān)鍵. 三、小結(jié)本節(jié)知識 四、作業(yè):課本P58頁第13,14題
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