《（全國(guó)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第2講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國(guó)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第2講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式學(xué)案（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第2講　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式 板塊一　知識(shí)梳理·自主學(xué)習(xí) [必備知識(shí)] 考點(diǎn)1　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 1．平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1. 2．商數(shù)關(guān)系：tanα＝. 考點(diǎn)2　六組誘導(dǎo)公式 [必會(huì)結(jié)論] 1．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的常用變形 (sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα； (sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2； (sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα. 2．誘導(dǎo)公式可簡(jiǎn)記為：奇變偶不變，符號(hào)看象限． [考點(diǎn)自測(cè)] 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤

2、的打“×”) (1)若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)已知sinα＝，α∈ ，則cosα＝.(　　) (3)sin(π＋α)＝－sinα成立的條件是α為銳角．(　　) (4)六組誘導(dǎo)公式中的角α可以是任意角．(　　) (5)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，則cosθ＝.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× 2．[2018·商丘模擬]sin(－600°)的值為(　　) A. B. C．1 D. 答案　A 解析　sin(－600°)＝sin(－720°＋120°)＝sin120°＝. 3．已知cos＝，且

3、α∈，則tanα＝(　　) A. B. C．－ D．± 答案　B 解析　∵sinα＝－，cosα＝－，∴tanα＝.選B. 4．若sin(π＋α)＝－，則sin(7π－α)＝________，cos＝________. 答案　　 解析　由sin(π＋α)＝－，得sinα＝， 則sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sinα＝， cos＝cos＝cos ＝cos＝sinα＝. 5．[課本改編]若α是第二象限角，且tanα＝－2，則cosα＝________. 答案?。? 解析　由tanα＝－2，得sinα＝－2cosα，代入平方關(guān)系得5cos2α＝1，因?yàn)閏o

4、sα<0，所以cosα＝－. 6．[2018·桂林模擬]若sin＝，則cos＝________. 答案?。? 解析　cos＝cos＝sin＝－sin＝－. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用 例　1　[2018·杭州模擬]已知－

5、＋2sinxcosx＝， ∴2sinxcosx＝－. ∵(sinx－cosx)2＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x＝1－2sinxcosx＝1＋＝.① 又∵－0， ∴sinx－cosx<0.② 由①②可知sinx－cosx＝－. (2)解法一：由已知條件及(1)可知 解得∴tanx＝－. 又∵＝＝＝， ∴＝. 解法二：由已知條件及(1)可知 ＝＝＝. 　在本例條件下，求的值． 解　＝＝＝. 　在本例條件下，求sin2x＋sinxcosx的值． 解　sin2x＋sinxcosx＝＝＝＝－. 觸類旁通 同角三角函數(shù)基本

6、關(guān)系式及變形公式的應(yīng)用 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化． (2)應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個(gè)式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二． (3)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. (4)關(guān)于sinα，cosα的齊次式，往往轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的式子求解． 【變式訓(xùn)練】　(1)已知2tanα·sinα＝3，－＜α＜0，則sinα＝(　　) A.

7、 B．－ C. D．－ 答案　B 解析　因?yàn)?tanα·sinα＝3，所以＝3，所以2sin2α＝3cosα，即2－2cos2α＝3cosα，所以cosα＝或cosα＝－2(舍去)，又－＜α＜0，所以sinα＝－. (2)已知α是三角形的內(nèi)角，且tanα＝－，求sinα＋cosα的值． 解　由tanα＝－，得sinα＝－cosα， 將其代入sin2α＋cos2α＝1， 得cos2α＝1，∴cos2α＝，易知cosα＜0， ∴cosα＝－，sinα＝， 故sinα＋cosα＝－. 考向　利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值 命題角度1　利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值 例　2　已知 f

8、(α)＝， 求f的值． 解　f(α)＝ ＝－tanα，則f＝－tan＝tan＝1. 命題角度2　同角關(guān)系和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 例　3　[2016·全國(guó)卷Ⅰ]已知θ是第四象限角，且sin＝，則tan＝________. 答案?。? 解析　因?yàn)閟in＝，所以cos＝sin＝sin＝，因?yàn)棣葹榈谒南笙藿牵裕?kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－＋2kπ＜θ－＜2kπ－，k∈Z，所以sin＝－＝－，所以tan＝＝－. 觸類旁通 利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值的思路 (1)給角求值問(wèn)題，關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值求解．轉(zhuǎn)化過(guò)程中注意口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限

9、”的應(yīng)用． (2)在對(duì)給定的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值時(shí)，要注意給定的角之間存在的特定關(guān)系，充分利用給定的關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式來(lái)將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化．特別要注意每一個(gè)角所在的象限，防止符號(hào)及三角函數(shù)名稱搞錯(cuò)． 核心規(guī)律 1.三角求值、化簡(jiǎn)是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，在求值與化簡(jiǎn)時(shí)，常用方法有：(1)弦切互化法；(2)和積轉(zhuǎn)換法；(3)巧用“1”的變換． 2.利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí)，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負(fù)—脫周—化銳．特別注意函數(shù)名稱和符號(hào)的確定． 滿分策略 1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式要注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的影響，尤其是利用平方關(guān)系求三角函數(shù)值，進(jìn)行開方時(shí)

10、要根據(jù)角的范圍，判斷符號(hào)后，正確取舍． 2.注意求值與化簡(jiǎn)后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 易錯(cuò)警示系列5——忽視“角范圍”的信息提取致誤 [2018·石家莊模擬]設(shè)θ為第二象限角，若tan＝，則sinθ＋cosθ＝________. 錯(cuò)因分析　(1)不能提煉隱含信息tan＞0. (2)利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系，開方運(yùn)算時(shí)忽視三角函數(shù)符號(hào)的判定． 解析　由tan＝，得cos＝2sin，代入sin2＋cos2＝1， 得sin2＝. ∵θ為第二象限角． ∴2kπ＋π＜θ＋＜2kπ＋π，k∈Z. 又tan＝＞0， ∴2kπ＋π＜θ＋＜2kπ＋π

11、(k∈Z)， 故sin＝－. 因此sinθ＋cosθ＝sin＝－. 答案?。? 答題啟示　1.由tan＝挖掘tan＞0，結(jié)合θ為第二象限角，進(jìn)一步確定角θ＋的范圍． 2．開方運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先根據(jù)角θ的范圍或象限角判定三角函數(shù)值的符號(hào)． 跟蹤訓(xùn)練 已知sinαcosα＝，且＜α＜，則cosα－sinα的值為(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　B 解析　∵＜α＜， ∴cosα＜0，sinα＜0且|cosα|＜|sinα|，∴cosα－sinα＞0. 又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝， ∴cosα－sinα＝. 板塊四　模擬演

12、練·提能增分 [A級(jí)　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．[2018·洛陽(yáng)模擬]下列各數(shù)中與sin2019°的值最接近的是(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　C 解析　2019°＝5×360°＋180°＋39°， ∴sin2019°＝－sin39°和－sin30°接近．選C. 2．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，則θ等于(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　D 解析　∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，∴－sinθ＝－cosθ，∴tanθ＝.∵|θ|＜，∴θ＝. 3．[2018·華師附中月考]已知tan(α－π)＝，且α

13、∈，則sin＝(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　B 解析　tan(α－π)＝?tanα＝. 又因?yàn)棣痢?，所以α為第三象限的角? 所以sin＝cosα＝－. 4．已知f(α)＝，則f的值為(　　) A. B．－ C．－ D. 答案　C 解析　∵f(α)＝＝－cosα， ∴f＝－cos＝－cos＝－cos＝－. 5．已知sin＝，則cos的值為(　　) A. B．－ C．－ D. 答案　B 解析　cos＝cos＝－sin＝－.選B. 6．已知tanx＝2，則sin2x＋1的值為(　　) A．0 B. C.

14、 D. 答案　B 解析　sin2x＋1＝＝＝.故選B. 7．[2018·福建泉州模擬]已知＝－，則的值是(　　) A. B．－ C．2 D．－2 答案　A 解析　因?yàn)?－sin2α＝cos2α，cosα≠0,1－sinα≠0，所以(1＋sinα)(1－sinα)＝cosαcosα，所以＝，所以＝－，即＝.故選A. 8．已知角α的終邊上一點(diǎn)P(3a,4a)(a<0)，則cos的值是________． 答案　 解析　cos(540°－α)＝cos(180°－α)＝－cosα.因?yàn)閍<0，所以r＝－5a，所以cosα＝－，所以cos(540°－α)＝－cosα＝.

15、 9．[2018·北京東城模擬]已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，則tanθ＝________. 答案　－ 解析　解方程組得 或(舍)． 故tanθ＝－. 10．[2018·淮北模擬]sin·cos·tan的值是________． 答案?。? 解析　原式＝sin·cos·tan－π－＝ ··＝××(－)＝－. [B級(jí)　知能提升] 1．[2018·湖北荊州聯(lián)考]若A，B是銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，則點(diǎn)P(cosB－sinA，sinB－cosA)在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　∵△ABC是銳角三角形，則A

16、＋B＞，∴A＞－B＞0，B＞－A＞0，∴sinA＞sin＝cosB，sinB＞sin＝cosA， ∴cosB－sinA＜0，sinB－cosA＞0， ∴點(diǎn)P在第二象限．選B. 2．[2018·新鄉(xiāng)模擬]若θ∈，sinθcosθ＝，則sinθ＝(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵sinθcosθ＝，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝，(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝， ∵θ∈，∴sinθ＋cosθ＝?、伲瑂inθ－cosθ＝?、冢?lián)立①②得，sinθ＝. 3．已知cos(75°＋α)＝，α是第三象限角，則sin(1

17、95°－α)＋cos(α－15°)的值為________． 答案　－ 解析　因?yàn)閏os(75°＋α)＝>0，α是第三象限角， 所以75°＋α是第四象限角， sin(75°＋α)＝－＝－. 所以sin(195°－α)＋cos(α－15°) ＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α) ＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α) ＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α) ＝－－＝－. 4．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)

18、＋tan945°. 解　原式＝－sin1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°)＋tan945° ＝－sin120°·cos210°＋cos300°·(－sin330°)＋tan225° ＝(－sin60°)·(－cos30°)＋cos60°·sin30°＋tan45°＝×＋×＋1＝2. 5．[2018·南京檢測(cè)]已知f(α)＝. (1)化簡(jiǎn)f(α)； (2)若α是第三象限角，且cos＝，求f(α)的值． 解　(1)f(α)＝ ＝＝－cosα. (2)因?yàn)棣潦堑谌笙藿?，且cos＝－sinα＝，sinα＝－.所以cosα＝－＝－＝－.所以f(α)＝－cosα＝. 11