《（浙江專版）2017-2018學年高中數學 第二章 平面向量 2.2.1 向量加法運算及其幾何意義學案 新人教A版必修4》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（浙江專版）2017-2018學年高中數學 第二章 平面向量 2.2.1 向量加法運算及其幾何意義學案 新人教A版必修4（8頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 2．2.1　向量加法運算及其幾何意義 預習課本P80～83，思考并完成以下問題 (1)向量的加法如何定義？ (2)在求兩向量和的運算時，通常使用哪兩個法則？

2、 (3)向量加法的運算律有哪兩條？ (4)|a＋b|，|a|＋|b|，|a|－|b|三者之間的大小有何關系？

3、 1．向量加法的定義及運算法則 定義 求兩個向量和的運算，叫做向量的加法 法則 三角形法則 前提 已知非零向量a，b 作法 在平面內任取一點A，作＝a，＝b，再作向量 結論 向量叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝＋＝ 圖形 法則 平行四邊形法則 前提 已知不共線的兩個向量a，b 作法 在平面內任取一點O，以同一點O為起點的兩個已知向量a，b為鄰邊作OACB

4、 結論 對角線就是a與b的和 圖形 規(guī)定 零向量與任一向量a的和都有a＋00a＝a. 2．向量加法的運算律 運 算 律 交換律 a＋b＝b＋a 結合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)兩個向量相加結果可能是一個數量．(　　) (2)兩個向量相加實際上就是兩個向量的模相加．(　　) (3)任意兩個向量的和向量不可能與這兩個向量共線．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．對任意四邊形ABCD，下列式子中不等于的是(　　) A．＋　　　　　　　 B．＋＋ C．＋＋ D

5、．＋＋ 答案：C 3．邊長為1的正方形ABCD中，|＋|＝(　　) A．2 B． C．1 D．2 答案：B 4．＋＋＋＝______. 答案：0 向量加法及其幾何意義 [典例]　如圖1，圖2，圖3所示，求作向量和． [解]　如圖中①，②所示， 首先作＝a，然后作AB＝b，則＝a＋b. 如圖③所示，作＝a，＝b，則＝a＋b，再作＝c，則＝＋＝(a＋b)＋c，即＝a＋b＋c. 應用三角形法則和平行四邊形法則應注意的問題 (1)三角形法則可以推廣到n個向量求和，作圖時要求“首尾相連”，即n個首尾相連的向量的和對應的向量是第一個向量的起

6、點指向第n個向量的終點的向量． (2)平行四邊形法則只適用于不共線的向量求和，作圖時要求兩個向量的起點重合． (3)求作三個或三個以上的向量和時，用三角形法則更簡單． [活學活用] 如圖，已知a，b，c，求作向量a＋b＋c. 解：作法：在平面內任取一點O，如圖所示，作＝a，＝b，＝c，則＝a＋b＋c. 向量加法運算 [例2]　化簡或計算： (1)＋＋； (2)＋＋＋＋. [解]　(1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝. (2)＋＋＋＋ ＝(＋)＋(＋)＋ ＝＋＋＝＋＝0. 解決向量加法運算時應關注兩點 (1)可以利用向量的幾何表示，畫出圖形進行化簡

7、或計算． (2)要靈活應用向量加法運算律，注意各向量的起、終點及向量起、終點字母的排列順序，特別注意勿將0寫成0. [活學活用] 如圖，在正六邊形ABCDEF中，O是其中心． 則①＋＝________； ②＋＋＝________； ③＋＋＝________. 解析：①＋＝＋＝. ②＋＋＝＋＝＋＝. ③＋＋＝＋＋＝. 答案：①?、凇、? 層級一　學業(yè)水平達標 1．下列等式錯誤的是(　　) A．a＋0＝＋a＝a　　　 B．＋＋＝0 C．＋＝0 D．＋＝＋＋ 解析：選B　由向量加法可知＋＋＝＋＝2. 2．(＋)＋(＋)＋等于(　　) A． B． C．

8、 D． 解析：選C　原式＝＋＋＋＋ ＝(＋)＋(＋＋) ＝＋0. 3．下列各式不一定成立的是(　　) A．a＋b＝b＋a B．0＋a＝a C．＋＝ D．|a＋b|＝|a|＋|b| 解析：選D　A成立，為向量加法交換律；B成立，這是規(guī)定；C成立，即三角形法則；D不一定成立，只有a，b同向或有一者為零向量時，才有|a＋b|＝|a|＋|b|. 4．在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，則向量＋＋的長度等于(　　) A．2　　　　　　　 B．4 C．12 D．6 解析：選B　因為＋＝，所以＋＋的長度為的模的2倍，故答案是4. 5．已知平行四邊形ABCD，設＋＋＋＝a

9、，且b是一非零向量，則下列結論：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|.其中正確的是(　　) A．①③ B．②③ C．②④ D．①② 解析：選A　∵在平行四邊形ABCD中，＋＝0，＋＝0，∴a為零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于這個向量本身，∴①③正確，②④錯誤． 6．＋＋＋＝________. 解析：原式＝＋＋＋＝＋＋＝. 答案： 7．已知正方形ABCD的邊長為1，＝a，＝c，＝b，則|a＋b＋c|＝________. 解析：|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝2. 答案：2 8.如圖，在平行四邊形ABCD中，

10、 (1)＋＝________； (2)＋＋＝________； (3)＋＋＝________； (4)＋＋＝________. 解析：(1)由平行四邊形法則可知為. (2)＋＋＝＋＝. (3)＋＋＝＋＝. (4)＋＋＝＋＋＝＋＝0. 答案：(1)　(2)　(3)　(4)0 9.如圖，E，F，G，H分別是梯形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，化簡下列各式： ①＋＋； ②＋＋＋. 解：①＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝. ②＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. 10．如圖所示，中心為O的正八邊形A1A2…A7A8中，ai＝ (i＝1,2，…，7)，bj＝(j＝1,2，…，8)

11、，試化簡a2＋a5＋b2＋b5＋b7. 解：因為＋＝0， 所以a2＋a5＋b2＋b5＋b7 ＝＋＋＋＋ ＝(＋)＋(＋)＋ ＝＝b6. 層級二　應試能力達標 1.已知D，E，F分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點，則下列等式中不正確的是(　　) A．＋＝ B．＋＋＝0 C．,＋＝ D．＋＝ 解析：選D　由向量加法的平行四邊形法則可知，＋＝≠. 2．下列命題錯誤的是(　　) A．兩個向量的和仍是一個向量 B．當向量a與向量b不共線時，a＋b的方向與a，b都不同向，且|a＋b|＜|a|＋|b| C．當向量a與向量b同向時，a＋b，a，b都同向，且|a＋b|＝|a

12、|＋|b| D．如果向量a＝b，那么a，b有相同的起點和終點 解析：選D　根據向量的和的意義、三角形法則可判斷A、B、C都正確；D錯誤，如平行四邊形ABCD中，有＝，起點和終點都不相同． 3．已知△ABC的三個頂點A，B，C及平面內一點P滿足＋＝，則下列結論中正確的是(　　) A．P在△ABC的內部 B．P在△ABC的邊AB上 C．P在AB邊所在的直線上 D．P在△ABC的外部 解析：選D　＋＝，根據平行四邊形法則，如圖，則點P在△ABC外部． 4．下列命題正確的是(　　) A．如果非零向量a，b的方向相反或相同，那么a＋b的方向必與a，b之一的方向相同 B．若＋＋＝0，

13、則A，B，C為三角形的三個頂點 C．設a≠0，若a∥(a＋b)，則a∥b D．若|a|－|b|＝|a＋b|，則b＝0 解析：選C　當a＋b＝0時，A選項不正確；若＋＋＝0，則A，B，C三點共線或A，B，C為三角形的三個頂點，故B選項不正確；若a與b不共線，則a＋b與a不共線，故C選項正確；若|a|－|b|＝|a＋b|，則b＝0或b≠0(a與b反向共線，且|a|＞|b|)，故D選項不正確． 5．如果||＝8，||＝5，那么||的取值范圍為________． 解析：根據公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|直接來計算． 答案：[3,13] 6．若a等于“向東走8 km”，

14、b等于“向北走8 km”，則|a＋b|＝________，a＋b的方向是________． 解析：如圖所示，設＝a，＝b，則＝a＋b，且△ABC為等腰直角三角形，則||＝8，∠BAC＝45°. 答案：8 km　北偏東45° 7.如圖所示，P，Q是三角形ABC的邊BC上兩點，且BP＝QC.求證：＋＝＋. 證明：＝＋， ＝＋， ∴＋＝＋＋＋. ∵與大小相等，方向相反， ∴＋＝0， 故＋＝＋＋0＝＋AQ. 8.如圖，已知向量a，b，c，d. (1)求作a＋b＋c＋d. (2)設|a|＝2，e為單位向量，求|a＋e|的最大值． 解：(1)在平面內任取一點O，作＝a，＝b，＝c，＝d，則＝a＋b＋c＋d. (2)在平面內任取一點O，作＝a，＝e， 則a＋e＝＋＝， 因為e為單位向量， 所以點B在以A為圓心的單位圓上(如圖所示)， 由圖可知當點B在點B1時，O，A，B1三點共線， 所以||即|a＋e|最大，最大值是3. 8