《（全國版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第7講 拋物線學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第7講 拋物線學(xué)案（18頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第7講　拋物線 板塊一　知識(shí)梳理·自主學(xué)習(xí) [必備知識(shí)] 考點(diǎn)1　拋物線的定義 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不過F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線． 其數(shù)學(xué)表達(dá)式：|MF|＝d(其中d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離)． 考點(diǎn)2　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) [必會(huì)結(jié)論] 拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論 設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則： (1)x1x2＝，y1y2＝－p2. (2)弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)． (3)以弦AB為直徑的圓

2、與準(zhǔn)線相切． (4)通徑：過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦長等于2p. [考點(diǎn)自測(cè)]　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線．(　　) (2)若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線與拋物線一定相切．(　　) (3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x＝－.(　　) (4)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．(　　) (5)AB為拋物線y2＝2px(p>0)的過焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2

3、)，則x1x2＝，y1y2＝－p2，弦長|AB|＝x1＋x2＋p.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．[2018·江西八校聯(lián)考]已知拋物線y＝ax2(a>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，則a＝(　　) A．4 B．2 C. D. 答案　C 解析　化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2＝y(tǒng)，據(jù)題意＝2×2，∴a＝. 3．[課本改編]設(shè)拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 答案　B 解析　拋物線準(zhǔn)線方程x＝－2，∴點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為6，∴P到焦點(diǎn)的距離也為6，選B. 4．[課本改編]

4、已知拋物線C與雙曲線x2－y2＝1有相同的焦點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則拋物線C的方程是(　　) A．y2＝±2x B．y2＝±2x C．y2＝±4x D．y2＝±4x 答案　D 解析　由已知知雙曲線的焦點(diǎn)為(－，0)，(，0)．設(shè)拋物線方程為y2＝±2px(p>0)，則＝，所以p＝2，所以拋物線方程為y2＝±4x.故選D. 5．已知AB是拋物線y2＝2x的一條焦點(diǎn)弦，|AB|＝4，則AB中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是(　　) A．2 B. C. D. 答案　C 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，∴x1＋x2＝3，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是＝.

5、故選C. 6．[2018·唐山模擬]若拋物線x2＝ay過點(diǎn)A，則點(diǎn)A到此拋物線的焦點(diǎn)的距離為________． 答案　 解析　由題意可知，點(diǎn)A在拋物線x2＝ay上，所以1＝a，解得a＝4，得x2＝4y.由拋物線的定義可知點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離，所以點(diǎn)A到拋物線的焦點(diǎn)的距離為yA＋1＝＋1＝. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　拋物線的方程及幾何性質(zhì)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例1　(1)[2016·全國卷Ⅱ]設(shè)F為拋物線C：y2＝4x 的焦點(diǎn)，曲線y＝(k>0)與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，則k＝(　　) A. B．1 C. D．2 答案　D

6、 解析　易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，設(shè)P(xP，yP)，由PF⊥x軸，可得xP＝1，代入拋物線方程，得yP＝2(－2舍去)，把P(1,2)代入曲線y＝(k>0)，得k＝2. (2)已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1

7、程為y2＝8x. ②由①得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，則x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2，y2＝4，從而A(1，－2)，B(4，4)．設(shè)C(x3，y3)，則＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)． 又y＝8x3，所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2. 觸類旁通 求拋物線方程的三個(gè)注意點(diǎn) (1)當(dāng)坐標(biāo)系已建立時(shí)，要注意根據(jù)條件確定拋物線方程屬于四種類型中的哪一種； (2)要注意把握拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開口方向與方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系； (3)要注意參數(shù)p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的

8、距離，利用它的幾何意義來解決問題． 【變式訓(xùn)練1】　(1)已知拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點(diǎn)且斜率為－1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為(　　) A．x＝1 B．x＝2 C．x＝－1 D．x＝－2 答案　C 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝－，與拋物線方程聯(lián)立得消去y整理得：x2－3px＋＝0，可得x1＋x2＝3p.根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有＝3，p＝2，因此拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1. (2)過拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F作直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若A到拋物線的準(zhǔn)線的距離為4，則|

9、AB|＝________. 答案　 解析　設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)， ∵y2＝4x，∴拋物線的準(zhǔn)線為x＝－1，F(xiàn)(1,0)， 又A到拋物線準(zhǔn)線的距離為4， ∴xA＋1＝4，∴xA＝3， ∵xAxB＝＝1，∴xB＝， ∴|AB|＝xA＋xB＋p＝3＋＋2＝. 考向　拋物線定義及應(yīng)用 命題角度1　到焦點(diǎn)與到定點(diǎn)距離之和最小問題　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例2　[2018·贛州模擬]若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2)，F(xiàn)是拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動(dòng)時(shí)，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐標(biāo)為(　　) A．(0,0) B. C．(1，)

10、 D．(2,2) 答案　D 解析　過M點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足是N，則|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，當(dāng)A，M，N三點(diǎn)共線時(shí)，|MF|＋|MA|取得最小值，此時(shí)M(2,2)． 命題角度2　到點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離之和最小問題　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例3　[2018·邢臺(tái)模擬]已知M是拋物線x2＝4y上一點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，點(diǎn)A在圓C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，則|MA|＋|MF|的最小值是________． 答案　5 解析　依題意，由點(diǎn)M向拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線l：y＝－1引垂線，垂足為M1，則有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，結(jié)合圖形可知|MA

11、|＋|MM1|的最小值等于圓心C(－1,5)到y(tǒng)＝－1的距離再減去圓C的半徑，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5. 命題角度3　到定直線的距離最小問題 例4　已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是(　　) A. B．2 C. D．3 答案　B 解析　由題可知l2：x＝－1是拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，則動(dòng)點(diǎn)P到l2的距離等于|PF|，則動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值，即焦點(diǎn)F到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，所以最小值是＝2. 命

12、題角度4　焦點(diǎn)弦中距離之和最小問題 例5　已知F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，且|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為(　　) A. B．1 C. D. 答案　C 解析　如圖所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，AB的中點(diǎn)為M，作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，MM1⊥l于M1，由拋物線的定義知p＝，|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3， 則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為|MM1|－＝(|AA1|＋|BB1|)－＝. 觸類旁通 與拋物線有關(guān)的最值問題的兩個(gè)轉(zhuǎn)化策略 (1)將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最

13、短”，使問題得解． (2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決． 考向　拋物線在實(shí)際生活中的應(yīng)用 例6　一條隧道的橫斷面由拋物線弧及一個(gè)矩形的三邊圍成，尺寸(單位：m)如圖所示，一輛卡車空車時(shí)能通過此隧道，現(xiàn)載一集裝箱，箱寬3 m，車與箱共高4.5 m，此車能否通過隧道？說明理由． 解　建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)矩形的邊與拋物線的接點(diǎn)為A，B，則A(－3，－3)，B(3，－3)． 設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)， 將B點(diǎn)坐標(biāo)代入得9＝－2p·(－3)，所以p＝. 所以拋物線方程為x2＝－3y(－3

14、≤y≤0)． 因?yàn)檐嚺c箱共高4.5 m， 所以集裝箱上表面距拋物線隧道拱頂0.5 m. 設(shè)拋物線上點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x0，－0.5)，則x＝， 所以|x0|＝＝，所以2|x0|＝<3. 此車不能通過隧道． 觸類旁通 與拋物線有關(guān)的橋的跨度、隧道高低等問題，通常建立直角坐標(biāo)系，利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程解決，注意建立直角坐標(biāo)系后坐標(biāo)的正負(fù)及其實(shí)際意義． 考向　直線與拋物線的綜合問題 例7　[2017·全國卷Ⅰ]設(shè)A，B為曲線C：y＝上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為4. (1)求直線AB的斜率； (2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程．

15、 解　(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4， 于是直線AB的斜率k＝＝＝1. (2)由y＝，得y′＝. 設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)． 設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m， 故線段AB的中點(diǎn)為N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|. 將y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0. 當(dāng)Δ＝16(m＋1)>0， 即m>－1時(shí)，x1,2＝2±2. 從而|AB|＝|x1－x2|＝4. 由題設(shè)知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7. 所以直線AB的方程為y＝x＋7. 觸類旁通

16、 求解拋物線綜合問題的方法 (1)研究直線與拋物線的位置關(guān)系與研究直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系的方法類似，一般是用方程法，但涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等問題時(shí)，要注意“設(shè)而不求”“整體代入”“點(diǎn)差法”以及定義的靈活應(yīng)用． (2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦點(diǎn)在x軸正半軸)，若不過焦點(diǎn)，則必須用弦長公式． 【變式訓(xùn)練2】[2016·江蘇高考]如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：x－y－2＝0，拋物線C：y2＝2px(p>0)． (1)若直線l過拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；

17、(2)已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)P和Q. ①求證：線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2－p，－p)； ②求p的取值范圍． 解　(1)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為，由點(diǎn)在直線l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0，即p＝4，所以拋物線C的方程為y2＝8x. (2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，線段PQ的中點(diǎn)M(x0，y0)．因?yàn)辄c(diǎn)P和Q關(guān)于直線l對(duì)稱，所以直線l垂直平分線段PQ，于是直線PQ的斜率為－1， 則可設(shè)其方程為y＝－x＋b. ①證明：由消去x，得y2＋2py－2pb＝0. 因?yàn)镻和Q是拋物線C上的相異兩點(diǎn)，所以y1≠y2， 從而Δ＝(2p)2－4×

18、(－2pb)>0，化簡(jiǎn)得p＋2b>0. 方程y2＋2py－2pb＝0的兩根為y1,2＝－p±，從而y0＝＝－p. 因?yàn)镸(x0，y0)在直線l上，所以x0＝2－p. 因此，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2－p，－p)． ②因?yàn)镸(2－p，－p)在直線y＝－x＋b上， 所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p. 由①知p＋2b>0，于是p＋2(2－2p)>0， 所以p<.因此，p的取值范圍是. 核心規(guī)律 認(rèn)真區(qū)分四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)區(qū)分y＝ax2與y2＝2px(p>0)，前者不是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (2)求標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式，必要時(shí)要進(jìn)行分類討論，標(biāo)準(zhǔn)方程有時(shí)可設(shè)為y

19、2＝mx或x2＝my(m≠0)． 滿分策略 1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)一般要用待定系數(shù)法求出p值，但首先要判斷拋物線是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，以及是哪一種標(biāo)準(zhǔn)方程． 2.求過焦點(diǎn)的弦或與焦點(diǎn)有關(guān)的距離問題，要多從拋物線的定義入手，這樣可以簡(jiǎn)化問題． 3.直線與拋物線結(jié)合的問題，不要忘記驗(yàn)證判別式. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 數(shù)學(xué)思想系列 9——化歸轉(zhuǎn)化法解決拋物中的比值問題　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)[2018·溫州十校聯(lián)考]已知點(diǎn)A(0,2)，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，若＝，則p的值等于(　　)

20、 A. B. C．2 D．4 解題視點(diǎn)　由四點(diǎn)共線得出斜率相等，進(jìn)而得出M點(diǎn)的坐標(biāo)． 解析　設(shè)M(xM，yM)，N，由＝，知＝，所以yN＝(＋1)yM；由kFA＝kFN知，＝，所以yN＝4，所以yM＝；又＝，所以－xM＝＝，所以xM＝，將(xM，yM)代入y2＝2px，得2＝2p×，解得p＝2.故選C. 答案　C (2)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B，若S△OAF＝4S△OBF，則直線AB的斜率為(　　) A．± B．± C．± D．± 解題視點(diǎn)　將已知中的比值轉(zhuǎn)化為相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)比值． 解析　根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2

21、)．由S△OAF＝4S△OBF，得|AF|＝4|BF|，＝4，得＝4，故－y1＝4y2，即＝－4.設(shè)直線AB的方程為y＝k，聯(lián)立消元得ky2－2py－kp2＝0，故y1＋y2＝，y1y2＝－p2，則＝＋＋2＝－，∴－＝－，解得k＝±，即直線AB的斜率為±.故選D. 答案　D 答題啟示　圓錐曲線中存在線段比值問題，應(yīng)采用化歸轉(zhuǎn)化思想方法進(jìn)而轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，或有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，有時(shí)還利用相似比或三角函數(shù)求解. 跟蹤訓(xùn)練 過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F且斜率為2的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)(xA>xB)，則＝(　　) A. B. C．3 D．2 答案　D 解析　設(shè)直線方程為y＝2(x－

22、1)與y2＝4x聯(lián)立得：2x2－5x＋2＝0，∴(2x－1)(x－2)＝0，∴x1＝，x2＝ 2．∵xA>xB，∴xA＝2，xB＝.∴＝＝＝2.故選D. 板塊四　模擬演練·提能增分　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [A級(jí)　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．若拋物線y2＝2px上一點(diǎn)P(2，y0)到其準(zhǔn)線的距離為4，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．y2＝4x B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝10x 答案　C 解析　∵拋物線y2＝2px，∴準(zhǔn)線為x＝－. ∵點(diǎn)P(2，y0)到其準(zhǔn)線的距離為4.∴＝4. ∴p＝4，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x. 2．已知拋物線C

23、：y2＝x的焦點(diǎn)為F，A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，|AF|＝x0，則x0＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 答案　A 解析　由題意知拋物線的準(zhǔn)線為x＝－.因?yàn)閨AF|＝x0，根據(jù)拋物線的定義可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1.故選A. 3．[2016·全國卷Ⅰ]以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　B 解析　由題意，不妨設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A，D，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，由|OA

24、|＝|OD|，得＋8＝＋5，得p＝4.故選B. 4．[2018·運(yùn)城模擬]已知拋物線x2＝ay與直線y＝2x－2相交于M，N兩點(diǎn)，若MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則此拋物線方程為(　　) A．x2＝y(tǒng) B．x2＝6y C．x2＝－3y D．x2＝3y 答案　D 解析　設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)．由消去y，得x2－2ax＋2a＝0，所以＝＝3，即a＝3，因此所求的拋物線方程是x2＝3y. 5．已知直線ax＋y＋1＝0經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，則直線與拋物線相交弦的弦長為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案　C 解析　拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F(1,0

25、)，點(diǎn)F在直線ax＋y＋1＝0上，∴a＋1＝0，即a＝－1，∴直線方程為x－y－1＝0.聯(lián)立得x2－6x＋1＝0.設(shè)直線與拋物線交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8. 6．[2018·鄭州模擬]已知F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，若|AF|＋|BF|＝5，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為________． 答案　 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由拋物線定義可得|AF|＋|BF|＝5，即x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝，所以線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離＝. 7．[2017·河北六校模擬]拋物

26、線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O，F(xiàn)的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36π，則拋物線的方程為________． 答案　y2＝16x 解析　設(shè)滿足題意的圓的圓心為M. 根據(jù)題意可知圓心M在拋物線上． 又∵圓的面積為36π， ∴圓的半徑為6，則|MF|＝xM＋＝6，即xM＝6－. 又由題意可知xM＝，∴＝6－，解得p＝8. ∴拋物線方程為y2＝16x. 8．[2017·天津高考]設(shè)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.已知點(diǎn)C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點(diǎn)A.若∠FAC＝120°，則圓的方程為________． 答案　(x＋1)

27、2＋(y－)2＝1 解析　由y2＝4x可得點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線l的方程為x＝－1. 由圓心C在l上，且圓C與y軸正半軸相切(如圖)，可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為－1，圓的半徑為1，∠CAO＝90°.又因?yàn)椤螰AC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝，所以點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為. 所以圓的方程為(x＋1)2＋(y－)2＝1. 9.如圖，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l經(jīng)過拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)A是直線l與拋物線C在第一象限的交點(diǎn)．以點(diǎn)F為圓心，|FA|為半徑的圓與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B，與拋物線C在第四象限的交點(diǎn)為點(diǎn)D. (1)若點(diǎn)O到直線l的距離為，求直線l的方程； (

28、2)試判斷直線AB與拋物線C的位置關(guān)系，并給出證明． 解　(1)由題易知，拋物線C的焦點(diǎn)為F(1,0)， 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，即x＝1，不符合題意． 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0. 所以＝，解得k＝±. 即直線l的方程為y＝±(x－1)． (2)直線AB與拋物線C相切，證明如下： 設(shè)A(x0，y0)，則y＝4x0. 因?yàn)閨BF|＝|AF|＝x0＋1，所以B(－x0,0)． 所以直線AB的方程為：y＝(x＋x0)， 整理得，x＝－x0， 把上式代入y2＝4x得y0y2－8x0y＋4x0y0＝0， Δ＝64x－16x0y＝

29、64x－64x＝0，所以直線AB與拋物線C相切． 10．[2018·湖南模擬]已知過A(0,2)的動(dòng)圓恒與x軸相切，設(shè)切點(diǎn)為B，AC是該圓的直徑． (1)求C點(diǎn)軌跡E的方程； (2)當(dāng)AC不在y軸上時(shí)，設(shè)直線AC與曲線E交于另一點(diǎn)P，該曲線在P處的切線與直線BC交于Q點(diǎn)．求證：△PQC恒為直角三角形． 解　(1)設(shè)C(x，y)，A(0,2)，則圓心坐標(biāo)為，又因?yàn)閳A與x軸切于B點(diǎn)，所以B點(diǎn)坐標(biāo)為，圓的半徑為. 根據(jù)AC是圓的直徑得，|AC|＝|y＋2|， 即＝|y＋2|，兩邊平方整理得 x2＝8y，所以C點(diǎn)的軌跡E的方程為x2＝8y. (2)證明：設(shè)AC所在直線的方程為y＝kx＋

30、2， 與曲線E聯(lián)立得x2－8kx－16＝0， 設(shè)C(x1，y1)，P(x2，y2)，則x1·x2＝－16. 曲線E：x2＝8y在點(diǎn)P(x2，y2)處切線的斜率為 k1＝x＝x2＝，且B， 直線BC的斜率為k2＝＝＝， 所以k1·k2 ＝×＝＝＝－1， 所以PQ⊥BC，即△PQC為直角三角形． [B級(jí)　知能提升] 1．已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若＝4，則|QF|＝(　　) A. B. C．3 D．2 答案　C 解析　過點(diǎn)Q作QQ′⊥l交l于點(diǎn)Q′，因?yàn)椋?，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l

31、的距離為4，所以|QF|＝|QQ′|＝3. 2．[2018·安徽模擬]過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|AF|＝3，則△AOB的面積為(　　) A. B. C. D．2 答案　C 解析　焦點(diǎn)F(1,0)，設(shè)A，B分別在第一、四象限，則點(diǎn)A到準(zhǔn)線l：x＝－1的距離為3，得A的橫坐標(biāo)為2，縱坐標(biāo)為2，AB的方程為y＝2(x－1)，與拋物線方程聯(lián)立可得2x2－5x＋2＝0，所以B的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為－，S△AOB＝×1×(2＋)＝. 3．[2017·山東高考]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x

32、2＝2py(p＞0)交于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為________． 答案　y＝±x 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0， ∴y1＋y2＝. 又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|， ∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p， ∴＝p，即＝，∴＝， ∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x. 4．設(shè)A，B為拋物線y2＝x上相異兩點(diǎn)，其縱坐標(biāo)分別為1，－2，分別以A，B為切點(diǎn)作拋物線的切線l1，l2，設(shè)l1，l2相交于點(diǎn)P. (1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2)M為A，B間拋物線段上任意一點(diǎn)，設(shè)＝λ＋μ

33、，試判斷＋是否為定值？如果為定值，求出該定值；如果不是定值，請(qǐng)說明理由． 解　(1)知A(1,1)，B(4，－2)，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(xp，yp)， 切線l1：y－1＝k(x－1)，聯(lián)立 由拋物線與直線l1相切，解得k＝， 即l1：y＝x＋，同理l2：y＝－x－1， 聯(lián)立l1，l2的方程，可解得 即點(diǎn)P的坐標(biāo)為. (2)設(shè)M(y，y0)，且－2≤y0≤1， 由＝λ＋μ得＝λ＋μ， 即解得 則＋＝＋＝1，即＋為定值1. 5．[2018·合肥模擬]已知拋物線C1：y2＝4x和C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P(－1，－1)，且F1F2⊥OP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．

34、 (1)求拋物線C2的方程； (2)過點(diǎn)O的直線交C1的下半部分于點(diǎn)M，交C2的左半部分于點(diǎn)N，求△PMN面積的最小值． 解　(1)F1(1,0)，F(xiàn)2，∴＝. ·＝·(－1，－1)＝1－＝0， ∴p＝2， ∴C2的方程為x2＝4y. (2)設(shè)過點(diǎn)O的直線為y＝kx，聯(lián)立得 M， 聯(lián)立得N(4k,4k2)(k<0)， 從而|MN|＝＝， 點(diǎn)P到直線MN的距離d＝， 進(jìn)而S△PMN＝·· ＝＝ ＝2. 令t＝k＋(t≤－2)，有S△PMN＝2(t－2)(t＋1)， 當(dāng)t＝－2時(shí)，S△PMN有最小值8，此時(shí)k＝－1. 即當(dāng)過原點(diǎn)的直線為y＝－x時(shí)，△PMN的面積取得最小值8. 18