《（全國通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.1 變化率與導(dǎo)數(shù) 1.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義學(xué)案 新人教A版選修2-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.1 變化率與導(dǎo)數(shù) 1.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義學(xué)案 新人教A版選修2-2（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1．1.3　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解導(dǎo)函數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.會求簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).3.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求曲線上某點處的切線方程． 知識點一　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 如圖，Pn的坐標(biāo)為(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)，P的坐標(biāo)為(x0，y0)，直線PT為在點P處的切線． 思考1　割線PPn的斜率kn是多少？ 答案　割線PPn的斜率kn＝. 思考2　當(dāng)點Pn無限趨近于點P時，割線PPn的斜率kn與切線PT的斜率k有什么關(guān)系？ 答案　kn無限趨近于切線PT的斜率k. 梳理　(1)切線的定義：設(shè)PPn是曲線y＝f(x)的割線，當(dāng)點Pn趨近

2、于點P時，割線PPn趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為曲線y＝f(x)在點P處的切線． (2)導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)f′(x0)表示曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率k，即k＝f′(x0)＝ . (3)切線方程：曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 知識點二　導(dǎo)函數(shù) 思考　已知函數(shù)f(x)＝x2，分別計算f′(1)與f′(x)，它們有什么不同． 答案　f′(1)＝ ＝2. f′(x)＝ ＝2x，f′(1)是一個值，而f′(x)是一個函數(shù)． 梳理　對于函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)x＝x0時，

3、f′(x0)是一個確定的數(shù)，則當(dāng)x變化時，f′(x)便是一個關(guān)于x的函數(shù)，我們稱它為函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù)), 即f′(x)＝y(tǒng)′＝ . 特別提醒： 區(qū)別 聯(lián)系 f′(x0) f′(x0)是具體的值，是數(shù)值 在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值，因此求函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)，一般先求導(dǎo)函數(shù)，再計算導(dǎo)函數(shù)在這一點的函數(shù)值 f′(x) f′(x)是函數(shù)f(x)在某區(qū)間I上每一點都存在導(dǎo)數(shù)而定義的一個新函數(shù)，是函數(shù) 1．函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是一個常數(shù)．(　√　) 2．函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是導(dǎo)

4、函數(shù)f′(x)在點x＝x0處的函數(shù)值．(　√　) 3．直線與曲線相切，則直線與已知曲線只有一個公共點．(　×　) 類型一　求切線方程 例1　已知曲線C：y＝x3＋.求曲線C在橫坐標(biāo)為2的點處的切線方程． 考點　求函數(shù)在某點處的切線方程 題點　曲線的切線方程 解　將x＝2代入曲線C的方程得y＝4， ∴切點P(2,4)． ＝ ＝ ＝[4＋2Δx＋(Δx)2]＝4， ∴k＝＝4. ∴曲線在點P(2,4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. 反思與感悟　求曲線在某點處的切線方程的步驟 跟蹤訓(xùn)練1　曲線y＝x2＋1在點P(2,5)處的切線與

5、y軸交點的縱坐標(biāo)是________． 考點　求函數(shù)在某點處的切線方程 題點　求曲線的切線方程 答案?。? 解析　∵＝ ＝ ＝ (4＋Δx)＝4， ∴k＝＝4. ∴曲線y＝x2＋1在點(2,5)處的切線方程為 y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3. ∴切線與y軸交點的縱坐標(biāo)是－3. 例2　求過點(－1,0)與曲線y＝x2＋x＋1相切的直線方程． 考點　求曲線在某點處的切線方程 題點　曲線的切線方程 解　設(shè)切點為(x0，x＋x0＋1)， 則切線的斜率為 k＝ ＝2x0＋1. 又k＝＝， ∴2x0＋1＝. 解得x0＝0或x0＝－2. 當(dāng)x0＝0時，

6、切線斜率k＝1，過(－1,0)的切線方程為 y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0. 當(dāng)x0＝－2時，切線斜率k＝－3，過(－1,0)的切線方程為y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0. 故所求切線方程為x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0. 反思與感悟　過點(x1，y1)的曲線y＝f(x)的切線方程的求法步驟 (1)設(shè)切點(x0，f(x0))． (2)建立方程f′(x0)＝. (3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，從而寫出切線方程． 跟蹤訓(xùn)練2　求函數(shù)y＝f(x)＝x3－3x2＋x的圖象上過原點的切線方程． 考點　求函數(shù)在某點處的切線方程 題點　求曲線的切線方程 解　設(shè)

7、切點坐標(biāo)為(x0，y0)，則y0＝x－3x＋x0， ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝(x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－(x－3x＋x0) ＝3xΔx＋3x0(Δx)2－6x0Δx＋(Δx)3－3(Δx)2＋Δx， ∴＝3x＋3x0Δx－6x0＋1＋(Δx)2－3Δx， ∴f′(x0)＝ ＝3x－6x0＋1. ∴切線方程為y－(x－3x＋x0)＝(3x－6x0＋1)·(x－x0)． ∵切線過原點，∴x－3x＋x0＝3x－6x＋x0， 即2x－3x＝0，∴x0＝0或x0＝， 故所求切線方程為x－y＝0或5x＋4y＝0. 類型二　利用圖象理解導(dǎo)數(shù)的幾何

8、意義 例3　已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系中正確的是(　　) A．0

9、f′(2)． 反思與感悟　導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是切線的斜率，所以比較導(dǎo)數(shù)大小的問題可以用數(shù)形結(jié)合思想來解決． 跟蹤訓(xùn)練3　若函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象可能是(　　) 考點　導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用 題點　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 答案　A 解析　依題意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函數(shù)，則在函數(shù)f(x)的圖象上，各點的切線的斜率隨著x的增大而增大，觀察四個選項的圖象，只有A滿足． 類型三　求切點坐標(biāo) 例4　已知曲線f(x)＝x2－1在x＝x0處的切線與曲線g(x)＝1－x3在x＝x0處的切線互相平行，求x0的值．

10、考點　求函數(shù)在某點處的切線斜率或切點坐標(biāo) 題點　求函數(shù)在某點處的切點坐標(biāo) 解　對于曲線f(x)＝x2－1， k1＝ ＝2x0. 對于曲線g(x)＝1－x3， k2＝ ＝ ＝－3x. 由題意得2x0＝－3x， 解得x0＝0或－. 引申探究 若將本例條件中的“平行”改為“垂直”，求x0的值． 解　∵k1＝2x0，k2＝－3x. 根據(jù)曲線f(x)＝x2－1與g(x)＝1－x3在x＝x0處的切線互相垂直，知2x0·(－3x)＝－1， 解得x0＝. 反思與感悟　求切點坐標(biāo)的一般步驟 (1)設(shè)出切點坐標(biāo)． (2)利用導(dǎo)數(shù)或斜率公式求出斜率． (3)利用斜率關(guān)系列方程，求

11、出切點的橫坐標(biāo)． (4)把橫坐標(biāo)代入曲線或切線方程，求出切點縱坐標(biāo)． 跟蹤訓(xùn)練4　直線l：y＝x＋a(a≠0)和曲線C：f(x)＝x3－x2＋1相切，則a的值為________，切點坐標(biāo)為________． 考點　求函數(shù)在某點處的切線斜率或切點坐標(biāo) 題點　求函數(shù)在某點處的切點坐標(biāo) 答案　　 解析　設(shè)直線l與曲線C的切點為(x0，y0)， 因為f′(x)＝ ＝3x2－2x， 則f′(x0)＝3x－2x0＝1解得x0＝1或x0＝－， 當(dāng)x0＝1時，f(x0)＝x－x＋1＝1， 又點(x0，f(x0))在直線y＝x＋a上，將x0＝1，y0＝1. 代入得a＝0，與已知條件矛盾

12、，舍去． 當(dāng)x0＝－時，f(x0)＝3－2＋1＝. 將代入直線y＝x＋a中，得a＝. 1．如果曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為x＋2y－3＝0，那么(　　) A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在 考點　導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用 題點　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 答案　B 解析　∵切線x＋2y－3＝0的斜率為－， ∴f′(x0)＝－<0. 2．設(shè)曲線f(x)＝ax2在點(1，a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，則a等于(　　) A．1 B. C．－ D．－1 考點　求函數(shù)在某點處的切線斜

13、率或切點坐標(biāo) 題點　求函數(shù)在某點處的切點坐標(biāo) 答案　A 解析　因為f′(1)＝ ＝ ＝ (2a＋aΔx)＝2a， 所以2a＝2，所以a＝1. 3.已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是(　　) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)

14、在點P處的切線方程為8x－y－15＝0，則實數(shù)a的值為________． 考點　求函數(shù)在某點處的切線方程 題點　曲線的切線方程的應(yīng)用 答案?。? 解析　設(shè)點P(x0,2x＋a)． 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得， f′(x0)＝ ＝ ＝4x0＝8. ∴x0＝2，∴P(2,8＋a)． 將x＝2，y＝8＋a，代入8x－y－15＝0， 得a＝－7. 5．已知曲線f(x)＝x3在點(a，a3)(a≠0)處的切線與x軸，直線x＝a圍成的三角形的面積為，則a＝________. 考點　求函數(shù)在某點處的切線斜率或切點坐標(biāo) 題點　求函數(shù)在某點處的切點坐標(biāo) 答案　±1 解析　∵f′(x

15、)＝ ＝ ＝3x2， ∴曲線f(x)＝x3在點(a，a3)處的切線斜率為f′(a)＝3a2， ∴切線方程為y－a3＝3a2(x－a)， 即y＝3a2x－2a3. 令y＝0得切線與x軸的交點為， 由題設(shè)知三角形面積為|a3|＝， 得a＝±1. 1．導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率，即k＝ ＝f′(x0)，物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度． 2．“函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)”是一個數(shù)值，不是變數(shù)，“導(dǎo)函數(shù)”是一個函數(shù)，二者有本質(zhì)的區(qū)別，但又有密切關(guān)系，f′(x0)是其導(dǎo)數(shù)y＝f′(x)在x＝x0處的一個函數(shù)值． 3

16、．利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，要注意已知點是否在曲線上．如果已知點在曲線上，則以該點為切點的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知點不在切線上，則設(shè)出切點坐標(biāo)(x0，f(x0))，表示出切線方程，然后求出切點． 一、選擇題 1．已知曲線y＝x2－2上一點P，則在點P處的切線的傾斜角為(　　) A．30° B．45° C．135° D．165° 考點　求函數(shù)在某點處的切線斜率或切點坐標(biāo) 題點　求函數(shù)在某點處的切線的傾斜角 答案　B 解析　曲線y＝x2－2在點P處的切線斜率為 k＝ ＝ ＝1， 所以在點P處的切線的傾斜角為45°，故選B. 2

17、．若曲線y＝x2＋ax＋b在點(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則(　　) A．a(chǎn)＝1，b＝1 B．a(chǎn)＝－1，b＝1 C．a(chǎn)＝1，b＝－1 D．a(chǎn)＝－1，b＝－1 考點　求函數(shù)在某點處的切線斜率或切點坐標(biāo) 題點　求函數(shù)在某點處的切點坐標(biāo) 答案　A 解析　由題意，知k＝ ＝ ＝1， ∴a＝1. 又(0，b)在切線上，∴b＝1，故選A. 3．下列各點中，在曲線y＝x2上，且在該點處的切線傾斜角為的是(　　) A．(0,0) B．(2,4) C. D. 考點　求函數(shù)在某點處的切線斜率或切點坐標(biāo) 題點　求函數(shù)在某點處的切點坐標(biāo) 答案　D 解析　設(shè)切

18、點坐標(biāo)為(x0，y0)， 則＝ ＝2x0＝tan ＝1， 所以x0＝，y0＝. 4.如圖，函數(shù)y＝f(x)的圖象在點P(2，y)處的切線是l，則f(2)＋f′(2)等于(　　) A．－4 B．3 C．－2 D．1 考點　導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用 題點　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 答案　D 解析　由圖象可得函數(shù)y＝f(x)的圖象在點P處的切線是l，與x軸交于點(4,0)，與y軸交于點(0,4)，則可知l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，∴f(2)＋f′(2)＝1，故選D. 5．若曲線f(x)＝x2的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為(　　) A．4

19、x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0 考點　求函數(shù)在某點處的切線方程 題點　求曲線的切線方程 答案　A 解析　設(shè)切點為(x0，y0)， 因為f′(x)＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x. 由題意可知，切線斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4， 所以x0＝2. 所以切點坐標(biāo)為(2,4)，切線方程為y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0，故選A. 6．設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足 ＝－1，則曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為(　　) A．2 B．－1 C．1 D．－2 考點　求函數(shù)在某點處的切線斜率

20、或切點坐標(biāo) 題點　求函數(shù)在某點處的切線的斜率 答案　D 解析　∵ · ＝ ＝f′(1)＝－1， ∴f′(1)＝－2. 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，知曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為－2. 7．已知曲線y1＝2－與y2＝x3－x2＋2x在x＝x0處的切線的斜率之積為3，則x0的值為(　　) A．－2 B．1 C. D．2 考點　求函數(shù)在某點處的切線斜率或切點坐標(biāo) 題點　求函數(shù)在某點處的切點坐標(biāo) 答案　B 解析　由題意知，y1′＝ ＝， y2′＝ ＝3x2－2x＋2， 所以兩曲線在x＝x0處的切線的斜率分別為，3x－2x0＋2. 由題意可知，＝3，所

21、以x0＝1. 二、填空題 8．若函數(shù)f(x)＝x－，則它與x軸交點處的切線方程為________________________． 考點　求函數(shù)在某點處的切線方程 題點　求曲線的切線方程 答案　2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0 解析　f(x)＝x－與x軸交點坐標(biāo)為(1,0)，(－1,0)， f′(x)＝ ＝ ＝1＋， f′(1)＝2，f′(－1)＝2， ∴所求切線方程為y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)， 即2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0. 9．已知函數(shù)y＝ax2＋b在點(1,3)處的切線斜率為2，則＝________. 考點　導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用 題點

22、　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 答案　2 解析　由題意知a＋b＝3， 又＝ ＝2a＝2， ∴a＝1，b＝2，故＝2. 10．若拋物線y＝x2－x＋c上一點P的橫坐標(biāo)是－2，拋物線過點P的切線恰好過坐標(biāo)原點，則c的值為________． 考點　求函數(shù)在某點處的切線方程 題點　曲線的切線方程的應(yīng)用 答案　4 解析　設(shè)在P點處切線的斜率為k， 則k＝ ＝ ＝－5， ∴切線方程為y＝－5x. ∴點P的縱坐標(biāo)為y＝－5×(－2)＝10， 將點P(－2,10)代入y＝x2－x＋c，得c＝4. 11．設(shè)P為曲線C：y＝x2＋2x＋3上的點，且曲線C在點P處的切線傾斜角的范圍為，則點P橫坐標(biāo)的

23、取值范圍為________． 考點　求函數(shù)在某點處的切線斜率或切點坐標(biāo) 題點　求函數(shù)在某點處的切點坐標(biāo) 答案　 解析　y′＝ ＝ ＝ (Δx＋2x＋2) ＝2x＋2. 設(shè)P點橫坐標(biāo)為x0，則曲線C在P點處的切線斜率為2x0＋2. 由已知得0≤2x0＋2≤1，∴－1≤x0≤－. 12.如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中A，B，C的坐標(biāo)分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)，則 ＝________. 考點　導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用 題點　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 答案?。? 解析　由導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義知， ＝f′(1)＝kAB＝＝－2. 三、解答題 13．已

24、知直線l1為曲線y＝x2＋x－2在點(1,0)處的切線，l2為該曲線的另一條切線，且l1⊥l2，求直線l2的方程． 考點　求函數(shù)在某點處的切線方程 題點　求曲線的切線方程 解　因為y′＝ ＝ ＝2x＋1， 所以＝3， 所以直線l1的方程為y＝3(x－1)，即y＝3x－3， 設(shè)直線l2過曲線y＝x2＋x－2上的點P(x0，x＋x0－2)， 則直線l2的方程為y－(x＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)． 因為l1⊥l2，所以3(2x0＋1)＝－1，x0＝－， 所以直線l2的方程為3x＋9y＋22＝0. 四、探究與拓展 14．已知函數(shù)f(x)＝x3，過點P作曲線f(x

25、)的切線，則其切線方程為________________． 考點　曲線過某點處的切線方程 題點　求曲線過某點的切線方程 答案　y＝0或3x－y－2＝0 解析　設(shè)切點為Q(x0，x)，得切線的斜率為 k＝f′(x0)＝3x， 切線方程為y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x. 因為切線過點P， 所以2x－2x＝0， 解得x0＝0或x0＝1， 從而切線方程為y＝0或3x－y－2＝0. 15．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx，若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)在它們的交點(1，c)處有公切線，求a，b的值． 考點　求函數(shù)在某點處的切線方程 題點　曲線的切線方程的應(yīng)用 解　∵f′(x)＝ ＝2ax， ∴f′(1)＝2a，即切線斜率k1＝2a. ∵g′(x)＝ ＝3x2＋b， ∴g′(1)＝3＋b，即切線斜率k2＝3＋b. ∵兩曲線在交點(1，c)處有公切線， ∴2a＝3＋b. 又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得 17