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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第八章 第7節(jié) 曲線與方程練習(xí) 一、選擇題 1．方程(x2＋y2－4)＝0的曲線形狀是(　　 ) [解析]　由題意可得x＋y＋1＝0或 它表示直線x＋y＋1＝0和圓x2＋y2－4＝0在直線x＋y＋1＝0右上方的部分． [答案]　C 2．△ABC的頂點(diǎn)A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是(　　 ) A.－＝1　　　　　 B.－＝1 C.－＝1 (x＞3) D.－＝1 (x＞4) [解析]　如圖，|AD|＝|AE|＝8， |BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|， 所以|CA|－|C

2、B|＝8－2＝6. 根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支，方程為－＝1 (x＞3)． [答案]　C 3．(xx·余姚模擬)已知點(diǎn)F，直線l：x＝－，點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn)．若過(guò)B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是(　　 ) A．雙曲線 B．橢圓 C．圓 D．拋物線 [解析]　由已知得|MF|＝|MB|.由拋物線定義知，點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，故選D. [答案]　D 4．(xx·長(zhǎng)春模擬) 設(shè)圓(x＋1)2＋y2＝25的圓心為C，A(1,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，Q為圓周上任一點(diǎn)．線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交

3、于點(diǎn)M，則M的軌跡方程為(　　 ) A.－＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 [解析]　∵M(jìn)為AQ垂直平分線上一點(diǎn)，則|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的軌跡為橢圓．∴a＝，c＝1，則b2＝a2－c2＝， ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. [答案]　D 5．已知點(diǎn)M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，動(dòng)圓C與直線MN切于點(diǎn)B，過(guò)M、N與圓C相切的兩直線相交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)的軌跡方程為(　　 ) A．x2－＝1 (x＞1) B．x2－＝1 (x＜－1) C．x2＋＝1 (x＞0) D．x2－＝1 (x＞1) [解

4、析]　設(shè)另兩個(gè)切點(diǎn)為E、F，如圖所示，則|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NF|＝|NB|. 從而|PM|－|PN|＝|ME|－|NF|＝|MB|－|NB|＝4－2＝2＜|MN|，所以P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右支．a(chǎn)＝1，c＝3，∴b2＝8.故方程為x2－＝1 (x＞1)． [答案]　A 6．點(diǎn)P是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)作∠F1PF2外角平分線的垂線，垂足為M，則點(diǎn)M的軌跡是(　　 ) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 [解析]　如圖，延長(zhǎng)F2M交F1P延長(zhǎng)線于N. ∵|PF2|＝|PN|， ∴|F1N|＝2a.

5、 連接OM，則在△NF1F2中，OM為中位線，則|OM|＝|F1N|＝a.∴M的軌跡是圓． [答案]　A 二、填空題 7．P是橢圓＋＝1上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，＝＋，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是______________． [解析]　由＝＋， 又＋＝＝2＝－2， 設(shè)Q(x，y)，則＝－＝－(x，y)＝，即P點(diǎn)坐標(biāo)為，又P在橢圓上， 則有＋＝1，即＋＝1. [答案]?。? 8．設(shè)拋物線C1的方程為y＝x2，它的焦點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E.若曲線C2上的點(diǎn)到E、F的距離之差的絕對(duì)值等于6，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______． [解析]　方程y

6、＝x2可化為x2＝20y，它的焦點(diǎn)為F(0,5)，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，－5)，根據(jù)題意，知曲線C2是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，設(shè)方程為－＝1(a＞0，b＞0)，則2a＝6，a＝3，又c＝5，b2＝c2－a2＝16， 所以曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. [答案]?。? 9．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是 x2＋y2－8x＋10＝0，若由動(dòng)點(diǎn)P向⊙O和⊙O′所引的切線長(zhǎng)相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是________． [解析]　設(shè)P(x，y)，由圓O′的方程為(x－4)2＋y2＝6及已知|AP|＝|BP|，故|OP|2－|AO|2＝|O′P|2－|O′B|2， 則|OP

7、|2－2＝|O′P|2－6，∴x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6.∴x＝，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是x＝. [答案]　x＝ 三、解答題 10. (xx·珠海模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)F，直線l：x＝－，點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，RQ⊥FP，PQ⊥l. (1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程C； (2)設(shè)圓M過(guò)A(1,0)，且圓心M在曲線C上，TS是圓M在y軸上截得的弦，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長(zhǎng)|TS|是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：(1)依題意知，點(diǎn)R是線段FP的中點(diǎn)，且RQ⊥FP， ∴RQ是線段FP的垂直平分線． ∵|PQ|是點(diǎn)Q到直線l的距離． 點(diǎn)Q在線段FP的

8、垂直平分線上， ∴|PQ|＝|QF|. 故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y2＝2x(x＞0)． (2)弦長(zhǎng)|TS|為定值．理由如下：取曲線C上一點(diǎn)M(x0，y0)，M到y(tǒng)軸的距離為d＝|x0|＝x0， 圓的半徑r＝|MA|＝， 則|TS|＝2＝2， 因?yàn)辄c(diǎn)M在曲線C上，所以x0＝， 所以|TS|＝2＝2，是定值． 11．設(shè)A，B分別是直線y＝x和y＝－x上的動(dòng)點(diǎn)，且|AB|＝，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足＝＋. (1)求點(diǎn)P的軌跡方程； (2)過(guò)點(diǎn)(，0)作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1，l2與點(diǎn)P的軌跡的相交弦分別為CD，EF，設(shè)CD，EF

9、的弦中點(diǎn)分別為M，N，求證：直線MN恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)． (1)解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)， ∵＝＋， ∴x＝x1＋x2，y＝y(tǒng)1＋y2，∵y1＝x1，y2＝－x2， ∴x＝x1＋x2＝(y1－y2)，y＝y(tǒng)1＋y2＝(x1－x2)． ∵|AB|＝＝， ∴x2＋2y2＝2，∴點(diǎn)P的軌跡方程為＋y2＝1. (2)[證明]　設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，直線l1的方程為x－＝ky.由得(k2＋4)y2＋2ky－1＝0，∴y1＋y2＝－，x1＋x2＝. ∴M點(diǎn)坐標(biāo)為，同理可得N點(diǎn)坐標(biāo)為. ∴直線MN的斜率kMN＝＝. ∴直線MN的方程為y＋＝. 整

10、理化簡(jiǎn)得4k4y＋(4－5x)k3＋12k2y－16y＋(－20x＋16)k＝0，∴x＝，y＝0， ∴直線MN恒過(guò)定點(diǎn). 12．(xx·蚌埠模擬)已知點(diǎn)C(1,0)，點(diǎn)A，B是☉O：x2＋y2＝9上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，且滿(mǎn)足·＝0，設(shè)P為弦AB的中點(diǎn)． (1)求點(diǎn)P的軌跡T的方程． (2)試探究在軌跡T上是否存在這樣的點(diǎn)：它到直線x＝－1的距離恰好等于到點(diǎn)C的距離？若存在，求出這樣的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由． [解]　(1)連接CP，OP，OA， 由·＝0，知AC⊥BC， 所以|CP|＝|AP|＝|BP| ＝|AB|. 由垂徑定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9. 設(shè)點(diǎn)P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9， 化簡(jiǎn)，得到x2－x＋y2＝4. (2)根據(jù)拋物線的定義，到直線x＝－1的距離等于到點(diǎn)C(1,0)的距離的點(diǎn)都在拋物線y2＝2px上，其中＝1， 所以p＝2，故拋物線方程為y2＝4x. 由方程組得x2＋3x－4＝0， 解得x1＝1，x2＝－4，由于x≥0， 故取x＝1，此時(shí)y＝±2. 故滿(mǎn)足條件的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為(1，－2)和(1,2)．