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1、2022-2023版高中數(shù)學(xué) 模塊綜合試卷 新人教A版選修2-3 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1．(2016·四川)設(shè)i為虛數(shù)單位，則(x＋i)6的展開式中含x4的項(xiàng)為(　　) A．－15x4 B．15x4 C．－20ix4 D．20ix4 考點(diǎn)　二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題 題點(diǎn)　求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng) 答案　A 解析　由題意可知，含x4的項(xiàng)為Cx4i2＝－15x4. 2．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，若從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　) A．36 B．35 C．

2、34 D．33 考點(diǎn)　分步乘法計(jì)數(shù)原理 題點(diǎn)　分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 答案　D 解析　不考慮限定條件確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為CCA＝36， 但集合B，C中有相同元素1，由5,1,1三個(gè)數(shù)確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)只有三個(gè)，故所求的個(gè)數(shù)為36－3＝33. 3．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，在第一次正面向上的條件下，第二次反面向上的概率為(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　條件概率的定義及計(jì)算公式 題點(diǎn)　直接利用公式求條件概率 答案　C 解析　記事件A表示“第一次正面向上”，事件B表示“第二次反面向上”，則P(AB)＝，P(A)＝，∴P(B|A)＝＝. 4．已知隨機(jī)變量ξ服從

3、正態(tài)分布N(1，σ2)，且P(ξ＜2)＝0.6，則P(0＜ξ＜1)等于(　　) A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 考點(diǎn)　正態(tài)分布的概念及性質(zhì) 題點(diǎn)　求正態(tài)分布的均值或方差 答案　D 解析　由已知可得曲線關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，P(ξ＜2)＝0.6，所以P(ξ＞2)＝P(ξ＜0)＝0.4，故P(0＜ξ＜1)＝P(0＜ξ＜2)＝(1－0.4－0.4)＝0.1. 5．給出以下四個(gè)說法： ①繪制頻率分布直方圖時(shí)，各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的組距； ②在刻畫回歸模型的擬合效果時(shí)，R2的值越大，說明擬合的效果越好； ③設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(4,22)，則P(ξ＞4

4、)＝； ④對(duì)分類變量X與Y，若它們的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k越小，則判斷“X與Y有關(guān)系”的犯錯(cuò)誤的概率越?。? 其中正確的說法是(　　) A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 考點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的應(yīng)用 題點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)與線性回歸方程、均值的綜合應(yīng)用 答案　B 解析　①中各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率；②正確，相關(guān)指數(shù)R2越大，擬合效果越好，R2越小，擬合效果越差；③隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(4,22)，正態(tài)曲線對(duì)稱軸為x＝4，所以P(ξ＞4)＝；④對(duì)分類變量X與Y，若它們的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k越小，則說明“X與Y有關(guān)系”的犯錯(cuò)誤的概率越大． 6．設(shè)某地區(qū)歷史上從某次

5、特大洪水發(fā)生以后，在30年內(nèi)發(fā)生特大洪水的概率是0.8，在40年內(nèi)發(fā)生特大洪水的概率是0.85.在過去的30年內(nèi)該地區(qū)都未發(fā)生特大洪水，則在未來10年內(nèi)該地區(qū)發(fā)生特大洪水的概率是(　　) A．0.25 B．0.3 C．0.35 D．0.4 考點(diǎn)　互斥、對(duì)立、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題 題點(diǎn)　互斥事件、對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概率問題 答案　A 解析　設(shè)在未來10年內(nèi)該地區(qū)發(fā)生特大洪水的概率是P，根據(jù)條件可得，0.8×1＋(1－0.8)×P＝0.85，解得P＝0.25. 7．某機(jī)構(gòu)對(duì)兒童記憶能力x和識(shí)圖能力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下數(shù)據(jù)： 記憶能力x 4 6 8 10 識(shí)圖能

6、力y 3 5 6 8 由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程為＝0.8x＋，若某兒童記憶能力為12，則預(yù)測(cè)他的識(shí)圖能力約為(　　) A．9.5 B．9.8 C．9.2 D．10 考點(diǎn)　線性回歸分析 題點(diǎn)　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　A 解析　∵＝×(4＋6＋8＋10)＝7，＝×(3＋5＋6＋8)＝5.5，∴樣本點(diǎn)的中心為(7,5.5)， 代入回歸方程得5.5＝0.8×7＋，∴＝－0.1， ∴＝0.8x－0.1， 當(dāng)x＝12時(shí)，＝0.8×12－0.1＝9.5，故選A. 8．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五5天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參加一天且每天至多安排一人，

7、并要求甲安排在另外兩位前面，則不同的安排方法共有(　　) A．40種 B．30種 C．20種 D．60種 考點(diǎn)　排列的應(yīng)用 題點(diǎn)　排列的簡(jiǎn)單應(yīng)用 答案　C 解析　分類解決．甲排周一，乙，丙只能是周二至周五4天中選兩天進(jìn)行安排，有A＝12(種)方法；甲排周二，乙，丙只能是周三至周五選兩天安排，有A＝6(種)方法；甲排周三，乙丙只能安排在周四和周五，有A＝2(種)方法．由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有12＋6＋2＝20(種)方法． 9．如圖所示，A，B，C表示3種開關(guān)，若在某段時(shí)間內(nèi)它們正常工作的概率分別為0.9,0.8,0.7，那么此系統(tǒng)的可靠性為(　　) A．0.504

8、 B．0.994 C．0.496 D．0.06 考點(diǎn)　互斥、對(duì)立、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題 題點(diǎn)　互斥事件、對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概率問題 答案　B 解析　1－P( )＝1－P()·P()·P() ＝1－0.1×0.2×0.3＝1－0.006＝0.994. 10．已知5的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為30，則a等于(　　) A. B．－ C．6 D．－6 考點(diǎn)　二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題 題點(diǎn)　由特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù) 答案　D 解析　5的展開式通項(xiàng)Tk＋1＝C·(－1)kak·＝(－1)kakC， 令－k＝，則k＝1， ∴T2＝－aC，∴－aC＝30，∴a＝－6

9、，故選D. 11．假設(shè)每一架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率為1－p，且各引擎是否有故障是獨(dú)立的，已知4引擎飛機(jī)中至少有3個(gè)引擎正常運(yùn)行，飛機(jī)就可成功飛行；2引擎飛機(jī)要2個(gè)引擎全部正常運(yùn)行，飛機(jī)才可以成功飛行．要使4引擎飛機(jī)更安全，則p的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的計(jì)算 題點(diǎn)　用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求概率 答案　B 解析　4引擎飛機(jī)成功飛行的概率為Cp3(1－p)＋p4,2引擎飛機(jī)成功飛行的概率為p2，要使Cp3(1－p)＋p4＞p2，必有＜p＜1. 12．若在二項(xiàng)式n的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則把展開式中所有的項(xiàng)重新排成一

10、列，有理項(xiàng)都互不相鄰的概率為(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　排列與組合的應(yīng)用 題點(diǎn)　排列、組合在古典概型中的應(yīng)用 答案　D 解析　注意到二項(xiàng)式n的展開式的通項(xiàng)是Tk＋1＝C·()n－k·k＝C·2－k·.依題意有C＋C·2－2＝2C·2－1＝n，即n2－9n＋8＝0，(n－1)(n－8)＝0(n≥2)，解得n＝8.∴二項(xiàng)式8的展開式的通項(xiàng)是Tk＋1＝C·2－k·，展開式中的有理項(xiàng)共有3項(xiàng)，所求的概率為＝. 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．任意選擇四個(gè)日期，設(shè)X表示取到的四個(gè)日期中星期天的個(gè)數(shù)，則E(X)＝________，D(X)＝____

11、____. 考點(diǎn)　二項(xiàng)分布、兩點(diǎn)分布的均值 題點(diǎn)　二項(xiàng)分布的均值 答案　　 解析　由題意得，X～B，所以E(X)＝，D(X)＝. 14．圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為，都是白子的概率是.則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________． 考點(diǎn)　排列與組合的應(yīng)用 題點(diǎn)　排列、組合在古典概型中的應(yīng)用 答案　 解析　設(shè)“從中取出2粒都是黑子”為事件A，“從中取出2粒都是白子”為事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”為事件C，則C＝A∪B，且事件A與B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即任意取出2粒恰好是同一色的概率為. 15．某數(shù)學(xué)老

12、師身高為176 cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173 cm,170 cm和182 cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測(cè)他孫子的身高為________ cm. 考點(diǎn)　線性回歸分析 題點(diǎn)　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　183.5 解析　記從爺爺起向下各代依次為1,2,3,4,5用變量x表示，其中5代表孫子．各代人的身高為變量y，則有 x 1 2 3 4 y 173 170 176 182 計(jì)算知＝2.5，＝175.25.由回歸系數(shù)公式得＝3.3， ＝－＝175.25－3.3×2.5＝167，∴線性回歸方程為＝3.3x＋167，當(dāng)x

13、＝5時(shí)，y＝3.3×5＋167＝183.5，故預(yù)測(cè)其孫子的身高為183.5 cm. 16．某城市新修建的一條道路上有12盞路燈，為了節(jié)省用電而又不能影響正常的照明，可以熄滅其中的3盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，則熄燈的方法有________種．(填數(shù)字) 考點(diǎn)　組合的應(yīng)用 題點(diǎn)　有限制條件的組合問題 答案　56 解析　分析題意可知，最終剩余的亮著的燈共有9盞，且兩端的必須亮著，所以可用插空的方法，共有8個(gè)空可選，所以應(yīng)為C＝56(種)． 三、簡(jiǎn)答題(本大題共6小題，共70分) 17．(10分)已知(a2＋1)n展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和等于5的展開式的常數(shù)項(xiàng)，而(

14、a2＋1)n的展開式的系數(shù)最大的項(xiàng)等于54，求a的值． 考點(diǎn)　二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 題點(diǎn)　二項(xiàng)式定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用 解　5的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝C5－kk＝5－kC， 令20－5k＝0，得k＝4， 故常數(shù)項(xiàng)T5＝C×＝16. 又(a2＋1)n展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和等于2n， 由題意知2n＝16，得n＝4， 由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，(a2＋1)n展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是中間項(xiàng)T3， 故有Ca4＝54，解得a＝±. 18．(12分)從7名男生和5名女生中選出5人，分別求符合下列條件的選法數(shù)． (1)A，B必須被選出； (2)至少有2名女生被選出； (3)讓選出的5人分別擔(dān)任體育委員

15、、文娛委員等5種不同職務(wù)，但體育委員由男生擔(dān)任，文娛委員由女生擔(dān)任． 考點(diǎn)　排列與組合的應(yīng)用 題點(diǎn)　排列組合的綜合應(yīng)用 解　(1)除選出A，B外，從其他10個(gè)人中再選3人，選法數(shù)為C＝120. (2)按女生的選取情況分類：選2名女生、3名男生，選3名女生、2名男生，選4名女生、1名男生，選5名女生．所有選法數(shù)為CC＋CC＋CC＋C＝596. (3)選出1名男生擔(dān)任體育委員，再選出1名女生擔(dān)任文娛委員，從剩下的10人中任選3人擔(dān)任其他3種職務(wù)．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，所有選法數(shù)為C·C·A＝25 200. 19．(12分)近年來，隨著以煤炭為主的能源消耗大幅攀升、機(jī)動(dòng)車持有量急劇增加，

16、某市空氣中的PM2.5(直徑小于等于2.5微米的顆粒物)的含量呈逐年上升的趨勢(shì)，如圖是根據(jù)該市環(huán)保部門提供的2011年至2015年該市PM2.5年均濃度值畫成的散點(diǎn)圖．(為便于計(jì)算，把2011年編號(hào)為1,2012年編號(hào)為2，…，2015年編號(hào)為5) (1)以PM2.5年均濃度值為因變量，年份的編號(hào)為自變量，利用散點(diǎn)圖提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出該市PM2.5年均濃度值與年份編號(hào)之間的線性回歸方程＝x＋； (2)按世界衛(wèi)生組織(WHO)過渡期－1的標(biāo)準(zhǔn)，空氣中的PM2.5的年均濃度限值為35微克/立方米，該市若不采取措施，試預(yù)測(cè)到哪一年該市空氣中PM2.5的年均濃度值將超過世界衛(wèi)生組

17、織(WHO)過渡期－1設(shè)定的限制． 參考公式：＝，＝－. 考點(diǎn)　線性回歸分析 題點(diǎn)　線性回歸方程的應(yīng)用 解　(1)由散點(diǎn)圖可得，變量xi，yi組成的幾組數(shù)據(jù)為(1,13)，(2,15)，(3,20)，(4,22)，(5,25)， 則＝3，＝19， 所以＝＝3.1. ＝－＝19－3.1×3＝9.7. 所以所求線性回歸方程為＝3.1x＋9.7. (2)由3.1x＋9.7＞35，得x＞8.16， 因?yàn)閤∈N，所以x＝9. 故可預(yù)測(cè)到2019年該市空氣中PM2.5的年均濃度值將超過世界衛(wèi)生組織(WHO)過渡期－1設(shè)定的限值． 20．(12分)將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D

18、所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣溥^程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí)向左、右兩邊下落的概率都是. (1)求小球落入A袋中的概率P(A)； (2)在容器入口處依次放入4個(gè)小球，記ξ為落入A袋中小球的個(gè)數(shù)，試求ξ＝3的概率與ξ的均值E(ξ)． 考點(diǎn)　常見的幾種均值 題點(diǎn)　二項(xiàng)分布的均值 解　(1)方法一　記小球落入B袋中的概率為P(B)，則P(A)＋P(B) ＝1. 由于小球每次遇到黑色障礙物時(shí)一直向左或者一直向右下落，小球?qū)⒙淙隑袋， ∴P(B)＝3＋3＝， ∴P(A)＝1－＝. 方法二　由于小球每次遇到黑色障

19、礙物時(shí)，有一次向左和兩次向右或兩次向左和一次向右下落時(shí)小球?qū)⒙淙階袋，∴P(A)＝C3＋C3＝. (2)由題意，ξ～B， ∴P(ξ＝3)＝C31＝， ∴E(ξ)＝4×＝3. 21．(12分)“中國式過馬路”存在很大的交通安全隱患．某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解路人對(duì)“中國式過馬路”的態(tài)度是否與性別有關(guān)，從馬路旁隨機(jī)抽取30名路人進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如下列聯(lián)表： 男性 女性 總計(jì) 反感 10 不反感 8 總計(jì) 30 已知在這30人中隨機(jī)抽取1人抽到反感“中國式過馬路”的路人的概率是. (1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整(直接寫結(jié)果，不需要寫求解過程)

20、，并據(jù)此資料分析反感“中國式過馬路”與性別是否有關(guān)？ (2)若從這30人中的女性路人中隨機(jī)抽取2人參加一活動(dòng)，記反感“中國式過馬路”的人數(shù)為X，求X的分布列和均值． 附：K2＝. P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 考點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的應(yīng)用 題點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)與線性回歸方程、均值的綜合應(yīng)用 解　(1) 男性 女性 總計(jì) 反感 10 6 16 不反感 6 8 14 總計(jì) 16 14 30 由已知數(shù)據(jù)得K2的觀測(cè)值k＝≈1.158＜2.706.

21、 所以，沒有充足的理由認(rèn)為反感“中國式過馬路”與性別有關(guān)． (2)X的可能取值為0,1,2， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 P X的均值為E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 22．(12分)設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球、b個(gè)黃球、c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出1個(gè)紅球得1分，取出1個(gè)黃球得2分，取出1個(gè)藍(lán)球得3分． (1)當(dāng)a＝3，b＝2，c＝1時(shí)，從該袋子中依次任取(有放回，且每個(gè)球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球，記隨機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求ξ的分布列； (2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球，記隨機(jī)變量η為取出此球所得分?jǐn)?shù)．若E(η)＝，D(η)＝，求a∶b∶c. 考點(diǎn)　均值與方差的應(yīng)用 題點(diǎn)　均值與方差的綜合應(yīng)用 解　(1)根據(jù)題意，得ξ的所有可能取值為2,3,4,5,6. 故P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝5)＝＝， P(ξ＝6)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 2 3 4 5 6 P (2)根據(jù)題意，知η的分布列為 η 1 2 3 P 所以E(η)＝＋＋＝， D(η)＝2·＋2·＋2·＝， 化簡(jiǎn) 解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.