《（江蘇專用）2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 常用邏輯用語 1.1 命題及其關系 1.1.1 四種命題學案 蘇教版選修1-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（江蘇專用）2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 常用邏輯用語 1.1 命題及其關系 1.1.1 四種命題學案 蘇教版選修1-1（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1.1.1　四種命題 學習目標：1.了解命題的逆命題、否命題與逆否命題．　2.了解命題的四種形式，能正確分析它們之間的相互關系．(重點)　3.能利用兩個命題互為逆否命題的關系判斷命題的真假．(難點) [自 主 預 習·探 新 知] 1．命題 (1)能夠判斷真假的語句叫做命題． (2)判斷為真的語句叫做真命題． (3)判斷為假的語句叫做假命題． 2．四種命題的概念 一般地，設“若p則q”為原命題，那么“若q則p”就叫做原命題的逆命題，原命題與逆命題稱為互逆命題；“若非p則非q”就叫做原命題的否命題，原命題和否命題稱為互否命題；“若非q則非p”就叫做原命題的逆否命題，原命題與逆

2、否命題稱為互為逆否命題． 3．四種命題之間的關系 (1) (2)如果兩個命題互為逆否命題，那么它們有相同的真假性，也稱它們?yōu)榈葍r命題． [基礎自測] 1．判斷正誤： (1)語句“x2＋2x＜0”是命題．(　　) (2)兩個互逆命題的真假性相同．(　　) (3)對于一個命題的四種命題，可以一個真命題也沒有．(　　) 【解析】　(1)×.因為語句“x2＋2x＜0”不能判斷真假，故不是命題． (2)×.一個命題與它的逆命題的真假性沒有關系． (3)√.四種命題可能都是假命題． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)√ 2．命題“若a＞b，則a－8＞b－8”的逆否命題是__

3、______． 【解析】　因為命題“若p，則q”的逆否命題為“若非q，則非p”，所以命題“若a＞b，則a－8＞b－8”的逆否命題是“若a－8≤b－8，則a≤b”． 【答案】　若a－8≤b－8，則a≤b [合 作 探 究·攻 重 難] 命題的概念及真假判斷 　判斷下列語句是否是命題，若是，判斷其真假，并說明理由. 【導學號：95902000】 ①函數(shù)y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π； ②若x＝4，則2x＋1＜0 ； ③一個等比數(shù)列的公比大于1時，該數(shù)列為遞增數(shù)列； ④求證：x∈R時，則方程x2－x＋2＝0無實根． ⑤平行于同一條直線的兩條直線必平行嗎？ [

4、思路探究]　命題必須是陳述句并且可判斷真假，兩個條件缺一不可；要判定一個命題為真，需證明，若判定一個命題為假，舉一個反例即可． 【自主解答】?、佗冖凼敲}，④⑤不是命題． 命題①中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，顯然其最小正周期為π，是真命題． 命題②中，當x＝4時，2x＋1＞0，是假命題． 命題③中，若等比數(shù)列的首項a1＜0，公比q＞1時，該數(shù)列為遞減數(shù)列，是假命題． ④是一個祈使句，沒有作出判斷，不是命題． ⑤它是一個疑問句，沒有作出判斷，不是命題． [規(guī)律方法]　 1．判斷一個語句是不是命題，關鍵是看能不能判斷真假．一般情況下感嘆句，

5、一般疑問句，祈使句都不是命題． 2．判斷命題真假的策略 (1)要判斷一個命題是真命題，一般要有嚴格的證明或有事實依據(jù)，比如根據(jù)已學過的定義、公理、定理證明或根據(jù)已知的正確結論推證． (2)要判斷一個命題是假命題，只要舉一個反例即可． [跟蹤訓練] 1．下列語句中，哪些是命題，是命題的判斷其真假． (1)lg 1000＝3； (2)垂直于同一個平面的兩直線平行； (3)設a，b，c，d∈R，如果a＞b，c＞d，那么ac＞bd； (4)三角函數(shù)都是周期函數(shù)； (5)方程x2＝4－2真難解?。? (6)請你離開！ (7)2x＋3＝0. 【解】　(1)(2)(3)(4)(5)都

6、是命題；其中(1)(2)(4)為真命題． (3)中，如2＞－3，－1＞－10，但2×(－1)＞(－3)×(－10)不成立，所以(3)為假命題． (5)感嘆句不是命題． (6)祈使句，不是命題． (7)語句中含有變量x，無法判定其真與假，故不是命題. 四種命題及其關系 　寫出以下原命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假. 【導學號：95902001】 (1)如果學好了數(shù)學，那么就會使用電腦； (2)若x＝3或x＝7，則(x－3)(x－7)＝0； (3)正方形既是矩形又是菱形； (4)若a，b都是奇數(shù)，則ab必是奇數(shù)． [思路探究]　→ → 【自主解答】　

7、(1)逆命題：如果會使用電腦，那么就學好了數(shù)學，為假命題； 否命題：如果學不好數(shù)學，那么就不會使用電腦，為假命題； 逆否命題：如果不會使用電腦，那就學不好數(shù)學，為假命題． (2)逆命題：若(x－3)(x－7)＝0，則x＝3或x＝7，為真命題； 否命題：x≠3且x≠7，則(x－3)(x－7)≠0，為真命題； 逆否命題：若(x－3)(x－7)≠0則x≠3且x≠7，為真命題． (3)逆命題：既是菱形又是矩形的四邊形是正方形，為真命題； 否命題：不是正方形的四邊形就不是菱形或者不是矩形，為真命題； 逆否命題：不是菱形或者不是矩形的四邊形就不是正方形，為真命題． (4)逆命題：若ab是

8、奇數(shù)，則a，b都是奇數(shù)，為真命題； 否命題：若a或b是偶數(shù)，則ab是偶數(shù)，為真命題； 逆否命題：若ab是偶數(shù)，則a或b是偶數(shù)，為真命題． [規(guī)律方法]　 1．寫出一個命題的其他三種命題，關鍵是找出原命題的條件和結論，對于條件和結論不明顯的命題，需將原命題改寫成“若p，則q”的形式，必要時可以加入字母或文字． 2．若命題含有大前提，注意大前提既不是命題的條件也不是命題的結論，所以其他三種命題中都需保留大前提． [跟蹤訓練] 2．寫出下列命題的逆命題、否命題與逆否命題，并判斷它們的真假． (1)負數(shù)的平方是正數(shù)； (2)正方形的四條邊相等. 【導學號：95902002】

9、【解】　(1)逆命題：若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負數(shù)．(假命題) 否命題：若一個數(shù)不是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù). (假命題) 逆否命題：若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負數(shù)．(真命題) (2)逆命題：若一個四邊形的四條邊相等，則它是正方形．(假命題) 否命題：若一個四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等．(假命題) 逆否命題：若一個四邊形的四條邊不相等，則它不是正方形．(真命題) 命題的等價性及應用 [探究問題] 1．命題“若α＝，則tan α＝1”的逆否命題是什么？二者的真假性有何關系？ 【提示】　命題“若α＝，則tan α＝1”的逆否命題是“若tan α≠1，則α≠”

10、，二者真假性相同，都是真命題． 2．命題“若x?A∩B，則x?A∪B”的真假容易判斷嗎？其逆否命題是什么？其逆否命題的真假容易判斷嗎？ 【提示】　直接判斷命題“若x?A∩B，則x?A∪B”的真假是不容易進行的，它的逆否命題為“若x∈A∪B，則x∈A∩B”，很明顯這是個假命題． 3．由探究1和探究2我們可以得到哪些啟示？ 【提示】　有些帶有否定性詞語的命題不易直接判斷其真假，可利用命題與其逆否命題的等價性來判斷其逆否命題的真假，從而可判斷其真假． 　判斷命題“如果m>0，則x2＋x－m＝0有實數(shù)根”的逆否命題的真假． [思路探究]　方法一： 方法二：→→ 【自主解答】　方法一：∵

11、m>0，∴4m>0，∴4m＋1>0， ∴方程x2＋x－m＝0的判別式Δ＝4m＋1>0.∴方程x2＋ x－m ＝0有實數(shù)根． ∴原命題“如果m>0，則x2＋x－m＝0有實數(shù)根”為真．又因原命題與它的逆否命題等價，所以“如果m>0，則x2＋x－m＝0有實數(shù)根”的逆否命題也為真． 方法二：原命題“如果m>0，則x2＋x－m＝0有實數(shù)根”的逆否命題為“如果x2＋x－m＝0無實數(shù)根，則m≤0”．∵x2＋x－m＝0無實數(shù)根，∴Δ＝4m＋1<0，∴m<－≤0，∴命題“如果x2＋x－m＝0無實數(shù)根， 則m≤0”為真． [規(guī)律方法]　 1．由于原命題與其逆否命題是等價的，因此當證明或判斷原命題感到困

12、難時，可考慮換證它的逆否命題成立，這樣也可達到證明原命題的目的． 2．利用逆否命題與原命題等價，可以省去否定條件和結論的過程，簡化問題的求解． [跟蹤訓練] 3．判斷命題“已知a，x為實數(shù)，若關于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，則a＜2”的逆否命題的真假． 【解】　方法一：原命題的逆否命題為“已知a，x為實數(shù)，若a≥2，則關于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”． 判斷真假如下：拋物線y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的開口向上，判別式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，∵a≥2，∴4a－7＞0，即拋物線與x軸有交點， ∴

13、關于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命題的逆否命題為真． 方法二：先判斷原命題的真假如下： ∵a，x為實數(shù)，關于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集為空集， ∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7＜0. ∴a＜＜2. ∴原命題是真命題．∵互為逆否命題的兩個命題同真同假，∴原命題的逆否命題為真命題． [構建·體系] [當 堂 達 標·固 雙 基] 1．下列語句：① 0是自然數(shù)；② 正數(shù)大于負數(shù)；③ 正弦函數(shù)是偶函數(shù)；④ 溫度是向量嗎？ 其中不是命題的是________ 【導學號：95902003】 【解析】　關鍵點

14、：陳述句——判斷真假．“溫度是向量嗎？”是疑問句，不是命題，其余的都是命題． 【答案】?、? 2．命題“若a＞b，則2a＞2b－1”的否命題是________． 【解析】　否定條件與結論，得否命題“若a≤b，則2a≤2b－1”． 【答案】　若a≤b，則2a≤2b－1 3．已知命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”， 命題q：“若a不是正數(shù)， 則它的平方等于0”，則p是q的________．(從“逆命題、否命題、逆否命題”中選一個填空). 【導學號：95902004】 【解析】　命題p可改為：“若a是正數(shù)，則它的平方不等于0”，所以由否命題的概念知p是q的否命題． 【答案】　否命題

15、4．與命題“能被4整除的整數(shù)，一定能被2整除”的等價命題為__________． 【解析】　與命題“能被4整除的整數(shù)，一定能被2整除”等價的命題是它的逆否命題：若一個整數(shù)不能被2整除，則這個整數(shù)一定不能被4整除． 【答案】　若一個整數(shù)不能被2整除，則這個整數(shù)一定不能被4整除 5．寫出命題“設x為實數(shù)，若x>0，則x2>0”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假. 【導學號：95902005】 【解】　逆命題：設x為實數(shù)，若x2>0，則x>0，逆命題為假命題； 否命題：設x為實數(shù)，若x≤0，則x2≤0，否命題為假命題； 逆否命題：設x為實數(shù)，若x2≤0，則x≤0，逆否命題為真命題． 6