《2021高考數(shù)學一輪復習 第13章 選修4-5 第2節(jié) 不等式的證明教學案 文 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021高考數(shù)學一輪復習 第13章 選修4-5 第2節(jié) 不等式的證明教學案 文 北師大版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二節(jié)　不等式的證明 [最新考綱]　通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法． (對應(yīng)學生用書第213頁) 1．基本不等式 定理1：設(shè)a，b∈R，則a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立． 定理2：如果a，b為正數(shù)，則≥，當且僅當a＝b時，等號成立． 定理3：如果a，b，c為正數(shù)，則≥，當且僅當a＝b＝c時，等號成立． 2．不等式的證明方法 (1)比較法 ①作差比較法 知道a＞b?a－b＞0，a＜b?a－b＜0，因此要證明a＞b，只要證明a－b＞0即可，這種方法稱為作差比較法． ②作商比較法 由a＞b＞0?＞1且a＞0，b＞0，因

2、此當a＞0，b＞0時，要證明a＞b，只要證明＞1即可，這種方法稱為作商比較法． (2)綜合法 從命題的已知條件出發(fā)，利用公理、已知的定義及定理，逐步推導，從而最后導出要證明的命題，這種方法稱為綜合法． (3)分析法 從需要證明的命題出發(fā)，分析使這個命題成立的充分條件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后達到命題所給出的條件(或者一個已證明過的定理或一個明顯的事實)，這種證明方法稱為分析法． (4)放縮法 在證明不等式時，有時需要將所需證明的不等式的值適當放大(或縮小)使它由繁化簡，達到證明目的，這種方法稱為放縮法． 1．a(chǎn)2≥0(a∈R)． 2．(a－b)2≥0(a，b∈R)

3、，其變形有a2＋b2≥2ab，≥ab，a2＋b2≥(a＋b)2. 3．a(chǎn)2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)比較法最終要判斷式子的符號得出結(jié)論． (　　) (2)綜合法是從原因推導到結(jié)果的思維方法，它是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步推理，最后達到待證的結(jié)論． (　　) (3)分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法，是從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋求結(jié)論成立的必要條件，最后達到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實．(　　) (4)使用反證法時，“反設(shè)”不能作為推理的條件應(yīng)用． (　　) [答案](1)×　(2)√　(3)×　(4)× 二、教材

4、改編 1．設(shè)t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，則s與t的大小關(guān)系是(　　) A．s≥t　　　 B．s＞t C．s≤t D．s＜t A　[∵s－t＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0， ∴s≥t.] 2．若a＝－，b＝－，c＝－，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．b>c>a D．c>a>b A　[“分子”有理化得a＝，b＝，c＝，∴a>b>c.] 3．已知a，b∈R＋，且a＋b＝2，則＋的最小值為(　　) A．1 B．2 C．4　　　　 D．8 B　[∵a，b∈R＋，且a＋b＝2，∴(a＋b) ＝2＋＋≥2＋2＝4， ∴＋≥＝2，

5、即＋的最小值為2(當且僅當a＝b＝1時，等號成立)．] 4．已知正實數(shù)a，b滿足2ab＝a＋b＋12，則ab的最小值是(　　) A．3 B．6 C．9　　　　 D．12 C　[由2ab＝a＋b＋12，得2ab≥2＋12，當且僅當a＝b時等號成立，化簡得(－3)(＋2)≥0，解得ab≥9(當且僅當a＝b＝3時等號成立)，所以ab的最小值是9.] (對應(yīng)學生用書第215頁) ⊙考點1　比較法證明不等式 1．作差比較法證明不等式的四步驟 2．作商比較法證明不等式的一般步驟 (1)設(shè)a，b是非負實數(shù)．求證：a2＋b2≥(a＋b)． (2)已知a＞0，b＞0，證明

6、：aabb≥(ab). [證明](1)因為(a2＋b2)－(a＋b) ＝(a2－a)＋(b2－b) ＝a(－)＋b(－) ＝(－)(a－b)＝(a－b)(a－b)． 因為a≥0，b≥0，所以不論a≥b≥0，還是0≤a≤b，都有a－b與a－b同號，所以(a－b)(a－b)≥0， 所以a2＋b2≥(a＋b)． (2)∵＝， ∴當a＝b時，＝1， 當a＞b＞0時，＞1，＞0， ∴＞1； 當b＞a＞0時，0＜＜1，＜0， 則＞1. ∴aabb≥(ab). (1)當被證的不等式兩端是多項式、分式或?qū)?shù)式時，一般使用作差比較法． (2)當被證的不等式兩邊含有冪式或指數(shù)式或乘積

7、式時，一般使用作商比較法． 　已知函數(shù)f(x)＝＋，M為不等式f(x)＜2的解集． (1)求M； (2)證明：當a，b∈M時，|a＋b|＜|1＋ab|. [解](1)f(x)＝ 當x≤－時，由f(x)＜2， 得－2x＜2，解得x＞－1，即－1＜x≤－； 當－＜x＜時，f(x)＜2恒成立； 當x≥時，由f(x)＜2，得2x＜2， 解得x＜1，即≤x＜1. 所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}． (2)證明：由(1)知，當a，b∈M時，－1＜a＜1，－1＜b＜1， 從而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0. 因此|

8、a＋b|＜|1＋ab|. ⊙考點2　綜合法證明不等式 　綜合法證明不等式的方法 (1)綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系，合理進行轉(zhuǎn)換，恰當選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵． (2)在用綜合法證明不等式時，不等式的性質(zhì)和基本不等式是最常用的．在運用這些性質(zhì)時，要注意性質(zhì)成立的前提條件． 　(2019·全國卷Ⅰ)已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc＝1.證明： (1)＋＋≤a2＋b2＋c2； (2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24. [證明](1)因為a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1，故有

9、a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca ＝ ＝＋＋. 當且僅當a＝b＝c＝1時，等號成立． 所以＋＋≤a2＋b2＋c2. (2)因為a，b，c為正數(shù)且abc＝1，故有 (a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥ 3 ＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c) ≥3×(2)×(2)×(2)＝24. 當且僅當a＝b＝c＝1時，等號成立． 所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24. 　多次使用平均值不等式證明不等式或求函數(shù)最值時要注意等號是否能同時成立． [教師備選例題] 設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a＋b＝c＋d.證明： (1)若ab＞cd，則＋＞＋； (2)＋＞＋是

10、|a－b|＜|c－d|的充要條件． [證明](1)因為(＋)2＝a＋b＋2， (＋)2＝c＋d＋2， 由題設(shè)a＋b＝c＋d，ab＞cd， 　得(＋)2＞(＋)2. 因此＋＞＋. (2)①必要性：若|a－b|＜|c－d|，則(a－b)2＜(c－d)2， 即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd. 因為a＋b＝c＋d，所以ab＞cd. 由(1)，得＋＞＋. ②充分性：若＋＞＋，則(＋)2＞(＋)2， 即a＋b＋2＞c＋d＋2. 因為a＋b＝c＋d，所以ab＞cd. 于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2. 因此|a－b|＜|c－d

11、|. 綜上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要條件． 　(2017·全國卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.證明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2. [證明](1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)因為(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b) ≤2＋(a＋b)＝2＋， 所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2. ⊙考點3　分析法證明不等式 　分析法證明不等式應(yīng)注意的問題 (1)注意依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、已知的重

12、要不等式和邏輯推理的基本理論． (2)注意從要證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式． (3)注意恰當?shù)赜煤梅赐品枴?”或“要證明”“只需證明”“即證明”等詞語． 　設(shè)不等式||x＋1|－|x－1||＜2的解集為A. (1)求集合A； (2)若a，b，c∈A，求證：＞1. [解](1)由已知，令f(x)＝|x＋1|－|x－1|＝ 由|f(x)|＜2，得－1＜x＜1， 即A＝{x|－1＜x＜1}． (2)證明：要證＞1， 只需證|1－abc|＞|ab－c|， 即證1＋a2b2c2＞a2b2＋c2， 即證1－a2b2＞c2(1

13、－a2b2)， 即證(1－a2b2)(1－c2)＞0， 由a，b，c∈A，得－1＜ab＜1，c2＜1， 所以(1－a2b2)(1－c2)＞0恒成立． 綜上，＞1. 　不等式兩邊都有絕對值號，一般通過兩邊平方去掉絕對值號． 　已知a≠b，求證|－|＜|a－b|. [證明]　要證|－|＜|a－b|， 只需證：(－)2＜(a－b)2， 即1＋a2－2＋1＋b2＜a2－2ab＋b2， 化簡 1＋ab＜， 當1＋ab＜0時，顯然成立， 當1＋ab≥0時， 只需證(1＋ab)2＜(1＋a2)(1＋b2)， 即1＋2ab＋a2b2＜1＋a2＋b2＋a2b2， 化簡得a2＋b2＞

14、2ab， 即只需證a2＋b2＞2ab即可， 又a≠b，所以a2＋b2＞2ab， 綜上可知，當a≠b時， |－|＜|a－b|成立． ⊙考點4　放縮法證明不等式 (1)在不等式的證明中，“放”或“縮”是常用的證明技巧，常見的放縮方法有： ①變換分式的分子和分母，如＜，＞，＜，＞，上面不等式中k∈N*，k＞1； ②利用函數(shù)的單調(diào)性； ③利用結(jié)論，如“若0＜a＜b，m＞0，則＜”． (2)使用絕對值不等式的性質(zhì)證明不等式時，常與放縮法結(jié)合在一起應(yīng)用，利用放縮法時要目標明確，通過添、拆項后，適當放縮． (1)設(shè)a＞0，|x－1|＜，|y－2|＜，求證：|2x＋y－4|＜a. (2

15、)設(shè)n是正整數(shù)，求證：≤＋＋…＋＜1. [證明](1)由a＞0，|x－1|＜， 可得|2x－2|＜，又|y－2|＜， ∴|2x＋y－4|＝|(2x－2)＋(y－2)| ≤|2x－2|＋|y－2|＜＋＝a. 即|2x＋y－4|＜a. (2)由2n≥n＋k＞n(k＝1,2，…，n)，得 ≤＜. 當k＝1時，≤＜； 當k＝2時，≤＜； … 當k＝n時，≤＜， ∴＝≤＋＋…＋＜＝1. ∴原不等式成立． 　在本例(2)中，為了出現(xiàn)常數(shù)，根據(jù)項數(shù)及不等號的方向，固定分母，達到證明的目的． 　設(shè)f(x)＝x2－x＋1，實數(shù)a滿足|x－a|＜1，求證：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)． [證明]　|f(x)－f(a)| ＝|x2－x－a2＋a| ＝|x－a|·|x＋a－1|＜|x＋a－1| ＝|x－a＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|＜1＋|2a|＋1 ＝2(|a|＋1)， 即|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)． - 9 -