4、r>．
思路二：用方程思想來思考．
從C1和C2的方程中消去一個未知數(shù)，比如消去x，得到一個關于y的方程－y2＋2y＋10－r2＝0，
兩條曲線沒有公共點，等價于方程－y2＋2y＋10－r2＝0或者沒有實數(shù)根，或者兩個根y1，y2?[－2，2]．
若沒有實數(shù)根，則Δ＝4－4(10－r2)<0,
解得r>或r<－(由r>0，知r<－應舍去)．
若兩個根y1，y2?[－2，2]，
設φ(y)＝－y2＋2y＋10－r2，則
解得0．
[名師點評] 本題難在由兩個曲線方程聯(lián)立消去一個未知數(shù)得到等式后不會處理，或
5、處理方式不當，導致解法出錯．對于一個含變量限制條件問題的處理，轉化為函數(shù)問題研究比研究方程的根會更好．
(2019·南通模擬)已知集合M＝{(x，y)|(x＋)(y＋)＝1}，則集合M表示的圖形是________．
【解析】 思路一：把式子中的字母x，y看作變量，把等式中出現(xiàn)的代數(shù)式看作函數(shù)．
等式化為x＋＝＝－y＋．
構造函數(shù)f(x)＝x＋(x∈R)，
則上式就是f(x)＝f(－y)，
由于，函數(shù)f(x)＝x＋(x∈R)為R上的增函數(shù)，則x＝－y，即x＋y＝0．所以，集合M表示的圖形是直線．
思路二：構造一個常見的函數(shù)g(x)＝lg(x＋)(x∈R)，則g(x)為R上的增函數(shù)
6、，且為奇函數(shù)．又已知等式可化為g(x)＋g(y)＝lg(x＋)＋lg(y＋)＝lg 1＝0．
于是有g(x)＝－g(y)＝g(－y)，因此x＝－y，即x＋y＝0．所以，集合M表示的圖形是直線．
思路三：以方程的知識為切入點，
設s＝x＋，t＝y(tǒng)＋，于是，s，t分別是方程s2－2xs－1＝0，t2－2yt－1＝0的正根．由此可得s－2x－＝0，t－2y－＝0，相加得，
s＋t－2(x＋y)－＝0，又st＝1，所以x＋y＝0．所以，集合M表示的圖形是直線．
【答案】 直線
[名師點評] 本題難在對所給的式子不會化簡，導致半途而廢．因為所給式子中有兩個變量x，y，如果把所給等式進行整理x
7、＋ ＝＝－y＋ ，不難發(fā)現(xiàn)能構造函數(shù)f(x)＝x＋ (x∈R)來解決．高考中的壓軸題往往需要站在數(shù)學思想的角度來研究，蠻干是不行的． 本題思路三對于學生來說要求比較高，僅供同學們賞析．
已知m，n是正整數(shù)，且1＜m＜n． 證明：(1＋m)n＞(1＋n)m．
【證明】 (1＋m)n>(1＋n)m?nln(1＋m)>mln(1＋n)?>．
因此，可以構造函數(shù)g(x)＝(x≥2)．只要證明
g(x)＝為減函數(shù)即可．
由g′(x)＝<0，
則g(x)＝為減函數(shù)，由2≤mg(n)，
因而>， 于是，(1＋m)n＞(1＋n)m成立．
[名師點評] 本題難在對要證明的結論
8、與條件不會正確溝通，無法找到聯(lián)系，導致找不到解法．有些看起來不像函數(shù)問題，如果通過恰當變形，構造函數(shù)，往往會得到妙解．
已知α，β，γ都是銳角，且滿足cos2α＋cos2β＋cos2γ＋2cos αcos βcos γ＝1．求α＋β＋γ的值．
【解】 由cos2α＋cos2β＋cos2γ＋2cos αcos βcos γ＝1可得
cos2α＋(2cos βcos γ)cos α＋(cos2β＋cos2γ－1)＝0，看作關于cos α的一元二次方程，
Δ＝4cos2βcos2γ－4(cos2β＋cos2γ－1)＝4sin2βsin2γ，
所以，cos α＝
＝－cos(β±γ)．
9、
因為α，β，γ都是銳角，所以cos α＝－cos(β－γ)應舍去．
因此，cos α＝－cos(β＋γ) ，又因為0<α<，0<β＋γ<π，所以，
α＝π－(β＋γ)，即α＋β＋γ＝π．
[名師點評] 本題難在不會用方程思想看待這個等式，導致胡亂化簡，得不出結果．數(shù)學中的一些具體方法都是在數(shù)學思想的指導下產生的，我們在解題的時候，如果能夠站在數(shù)學思想的高度，抓住數(shù)學中最本質的東西去思考，就會使解題更加科學與合理，就會使解題從被動變?yōu)橹鲃?，就會形成較為完善的解題系統(tǒng)．
(2019·淮安質檢)已知f(x)＝4x＋ax2－x3(x∈R)在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù)．
(1) 求實數(shù)a的
10、值組成的集合A；
(2) 設關于x的方程f(x)＝2x＋x3的兩個非零實數(shù)根為x1，x2．試問：是否存在實數(shù)m，使得不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍； 若不存在，請說明理由．
【解】 (1)f′(x)＝4＋2ax－2x2，由已知，f(x)在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù)，等價于f′(x)≥0對x∈[－1，1]恒成立．即x2－ax－2≤0對x∈[－1，1]恒成立．
記φ(x)＝x2－ax－2．
法一：要使φ(x)≤0對x∈[－1，1]恒成立，只要φmax(x)≤0．
由于x≤時，φ(x)為減函數(shù)，x≥時，φ(x)為增函數(shù)，因此
11、，
當x＝≤0時，由φ(x)的圖象(圖1)可以看出，φ(1)最大． 解不等式組得－1≤a≤0，
當x＝>0時，由φ(x)的圖象(圖2)可以看出，φ(－1)最大． 解不等式組得00，所以方程x2－ax－2＝0有兩個非零實根x1、x2．
由x1＋x2＝a，x1x2＝－2得
|x1－x2|＝＝．
本題等價于是否存在m，使不等式m2＋tm＋1≥，①
對
12、a∈A，t∈[－1，1]恒成立．
把看作關于a的函數(shù)T(a)＝，則①式等價于m2＋tm＋1≥T(a)max，②
由于a∈A，則T(a)＝≤＝3，從而②式轉化為m2＋tm＋1≥3，
即m2＋tm－2≥0，③對t∈[－1，1]恒成立．
又可以把③式的左邊看作t的函數(shù)．記g(t)＝m2＋tm－2＝mt＋m2－2．④
對m＝0或m≠0分類研究．
若m＝0，④式化為g(t)＝－2≥0，顯然不成立；
若m≠0，g(t)是關于t的一次函數(shù)，這樣，要使g(t)≥0對t∈[－1，1]恒成立，只要g(－1)≥0及g(1)≥0同時成立即可(圖3，4)．
解不等式組
得m≤－2或m≥2．
所以
13、存在實數(shù)m，使不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|對任意a∈A，t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≤－2或m≥2}．
[名師點評] 本題難點有三：①對題意理解不清；②對所求問題不會恰當轉化為函數(shù)問題；③計算分類不準確．
二 分類討論思想
分類討論的幾種情況
(1)由數(shù)學的概念、圖形的位置等引發(fā)的分類討論：數(shù)學中的概念有些就是分類的，如絕對值的概念．
(2)由數(shù)學的定理、法則、公式等引發(fā)的分類討論：一些數(shù)學定理和公式是分類的，如等比數(shù)列的求和公式等．
(3)由參數(shù)變化引發(fā)的分類討論：當要解決的問題中涉及參數(shù)時，由于參數(shù)在不同范圍內取值時，問題的發(fā)展方向不同，這就要把參數(shù)劃分
14、幾個部分分類解決．
(4)問題的具體情況引發(fā)的分類討論：有些數(shù)學問題本身就要分情況解決，如概率計算中要根據要求，分類求出基本事件的個數(shù)．
(5)較復雜或非常規(guī)的數(shù)學問題，需要采取分類討論的解題策略來解決．
(2019·徐州模擬)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＝(an－1＋2an－2)(n＝3，4，…)．數(shù)列{bn}滿足b1＝1，bn(n＝2，3，…)是非零整數(shù)，且對任意的正整數(shù)m和自然數(shù)k，都有－1≤bm＋bm＋1＋…＋bm＋k≤1．
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
(2)記cn＝nanbn(n＝1，2，…)，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn．
【解】 (1
15、)由an＝(an－1＋2an－2)得
an－an－1
＝－(an－1－an－2)(n≥3) ，
又a2－a1＝1≠0，
所以數(shù)列{an＋1－an}是首項為1，公比為－的等比數(shù)列，
an＋1－an＝，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)
＝1＋1＋＋＋…＋
＝1＋＝－，
由，得b2＝－1，
由，得b3＝1，…
同理可得當n為偶數(shù)時，bn＝－1；當n為奇數(shù)時，bn＝1；因此bn＝
(2)cn＝nanbn＝
Sn＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋cn，
當n為奇數(shù)時，
Sn＝－
＝－
．
當n為偶數(shù)時，
Sn＝
16、
－
＝－－
，
令Tn＝1×＋2×＋3×＋4×＋…＋n，①
①×得：Tn＝1×＋2×＋3×＋4×＋…＋n，②
①－②得：Tn＝1＋＋＋＋＋…＋－n
＝－n＝3－(3＋n)，
所以Tn＝9－(9＋3n)
因此Sn＝
[名師點評] 對于(2)中的求解難點有二：一是數(shù)列{cn}的通項公式是分段函數(shù)，求其前n項和，對n分奇數(shù)或偶數(shù)的含義是什么要清楚， 當n為奇數(shù)時，表示Sn＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋cn最后一項是奇數(shù)項，而不是指Sn＝c1＋c3＋…＋cn．同樣當n為偶數(shù)時表示Sn＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋cn最后一項是偶數(shù)項，而不是指Sn＝c2＋c4＋…＋cn．二是n
17、分奇數(shù)或偶數(shù)后對括號中數(shù)據的觀察處理要類比．不然項數(shù)和符號都會出錯．
設函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋2，對于滿足10，求實數(shù)a的取值范圍．
【解】 當a>0時，f(x)＝a＋2－，
所以或
或
所以a≥1或；
當a<0時，，解得?；
當a＝0時，f(x)＝－2x＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6,
所以不符合題意，
由以上得，實數(shù)a的取值范圍是a>．
[名師點評] 本題先對決定開口方向的二次項系數(shù)a分a>0、a<0、a＝0三種情況，再對每種情況結合二次函數(shù)的圖象進行分析，在a>0時將對稱軸與開區(qū)間的關系分三種進行
18、討論，即在開區(qū)間的左邊、右邊、中間．本題的解答，關鍵是分析符合條件的二次函數(shù)的圖象，也可以看成是“數(shù)形結合法”的運用．
三 數(shù)形結合思想
數(shù)形結合思想在高考試題中的六個?？键c
(1)集合的運算及Venn圖；(2)函數(shù)及其圖象；(3)數(shù)列通項及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖象；(4)方程(多指二元方程)及方程的曲線；(5)對于研究距離、角或面積的問題，可直接從幾何圖形入手進行求解；(6)對于研究函數(shù)、方程或不等式(最值)的問題，可通過函數(shù)的圖象求解(函數(shù)的零點、頂點是關鍵點)．
設M＝{(x，y)|y＝，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－)2＝a2，a>0}，且M∩N≠?，
19、求a的最大值和最小值．
【解】 如圖，集合M表示以O(0，0)為圓心，半徑r1＝a的上半圓，集合N表示以O′(1，)為圓心，半徑r2＝a的圓．因為M∩N≠?，所以半圓O和圓O′有公共點．
當半圓O和圓O′外切時，a最??；內切時，a最大．
因為|OO′|＝2，
所以外切時，a＋a＝2，a＝＝2－2．
內切時a－a＝2，a＝2＋2．
所以a的最大值為2＋2，a的最小值為2－2．
[名師點評] 本題巧妙地轉化為圓與圓的位置關系問題，可謂是極具創(chuàng)新性的解題，既避免常規(guī)方法中的繁雜與高難度，又能通過圖形非常直觀地加以處理方程的問題，真正達到數(shù)形結合的最佳效果．
(2019·泰州摸
20、底)滿足條件AB＝2，AC＝BC的三角形ABC的面積的最大值是________．
【解析】 以直線AB 為x軸，線段AB的中點為坐標原點O，建立平面直角坐標系，設C(x，y)，則由AC＝BC，得＝·，
所以(x－3)2＋y2＝8．點C的軌跡為圓(除去與x軸的交點)，其半徑為2．則△ABC的面積的最大值等于×2×2＝2．
【答案】 2
[名師點評] 從解題的簡捷性原則考慮，例1中將“數(shù)”的問題有機地結合在“形”中解決，使解答更便捷，而本例恰好相反，直接用“形”有一定的難度，若利用“數(shù)”運算，建立直角坐標系求解，則問題利于解決．這進一步驗證了華羅庚教授的“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微
21、”的數(shù)學思維典語．
若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的兩根中，一根在0和1之間，另一根在1和2之間，求實數(shù)k的取值范圍．
【解】 設函數(shù)f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1，結合草圖可知，函數(shù)f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1的圖象開口向上，零點x1∈(0，1)，x2∈(1，2)，
那么，即，
解得，即
22、
(1)化為已知：當所要解決的問題和我們已經掌握的問題有關系時，把所要解決的問題化為已知問題．
(2)化難為易：化難為易是解決數(shù)學問題的基本思想，當我們遇到的問題是嶄新的，解決起來困難時，就要把這個問題化為我們熟悉的問題，熟悉的問題我們有解決的方法，就是容易的問題，這是化難為易的一個方面．
(3)化繁為簡：在一些問題中，已知條件或求解結論比較煩瑣，這時就可以通過化簡這些較煩瑣的已知或者結論為簡單的情況，再解決問題，有時把問題中的某個部分看做一個整體，進行換元，這也是化繁為簡的轉化思想．
(4)化大為?。涸诮獯鹁C合性試題時，一個問題往往是由幾個問題組成的，整個問題的結論，是通過這一系列的
23、小問題得出的，這種情況下，就可以把所要解決的問題轉化為幾個小問題進行解決．
(2019·無錫模擬)已知a1，a2，a3成等差數(shù)列(a3≠0)，a2，a3，a4成等比數(shù)列，a3，a4，a5的倒數(shù)也成等差數(shù)列，問a1，a3，a5之間有什么關系？
【解】 由題設，為消去a2，a4，可從方程組中解出a2＝和a4＝，代入a＝a2a4得a＝·，
因為a3≠0，則a3＝，
整理得a＝a1a5．因此，a1，a3，a5 成等比數(shù)列．
[名師點評] 一個題目含有較多的元素，它們之間有一定的聯(lián)系，我們在解題時，總是希望通過一定的變形、轉化來減少題目中的元素，從而變成一個較容易的題目，這是一種從多元向少元
24、的化歸，實現(xiàn)這一化歸的主要方法是消元法．例如，解二元一次方程組時，遇到兩個未知數(shù)，我們用消元法變成一個一元一次方程就是一種典型的從多元向少元的化歸．
設對所有實數(shù)x，不等式x2log2＋2xlog2＋log2>0恒成立，求a的取值范圍．
【解】 設log2＝t,
則log2＝log2＝3－t，log2＝－2t．
于是，已知的不等式化為(3－t)x2＋2tx－2t>0．
該不等式對所有實數(shù)x恒成立的充要條件是
解得t<0．
即log2<0，進一步解得0
25、在研究函數(shù)、不等式、三角問題時應用很廣．
試求常數(shù)m的范圍，使曲線y＝x2的所有弦都不能被直線y＝m(x－3)垂直平分．
【解】 若拋物線上兩點(x1，x)，(x2，x)關于直線y＝m(x－3)對稱，則滿足
所以
消去x2得2x＋x1＋＋6m＋1＝0．
因為x1∈R，所以Δ＝－8>0，
所以(2m＋1)(6m2－2m＋1)<0，所以m<－．
即當m<－時，拋物線上存在兩點關于直線y＝m(x－3)對稱．
而原題要求所有弦都不能被直線垂直平分，那么所求的范圍為m≥－．
[名師點評] (1)在運用補集的思想解題時，一定要搞清結論的反面是什么，這里所有的弦都不能被直線y＝m(x－3)垂直平分的反面是“至少存在一條弦能被直線y＝m(x－3)垂直平分”，而不是“所有的弦都能被直線y＝m(x－3)垂直平分”．(2)在探討某一問題的解決辦法時，如果我們按照習慣的思維方式從正面思考遇到困難，則應從反面的方向去探求．
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（江蘇專用）2020版高考數(shù)學二輪復習 第三部分 考前高效提分策略 第1講 數(shù)學思想學案 文 蘇教版
