《（渝皖瓊）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 7.2 棱柱、棱錐、棱臺(tái)和圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積學(xué)案 北師大版必修2》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（渝皖瓊）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 7.2 棱柱、棱錐、棱臺(tái)和圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積學(xué)案 北師大版必修2（15頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 7．2　棱柱、棱錐、棱臺(tái)和圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握柱體、錐體、臺(tái)體的體積計(jì)算公式，會(huì)利用它們求有關(guān)幾何體的體積.2.掌握求幾何體體積的基本技巧． 知識(shí)點(diǎn)一　柱、錐、臺(tái)體的體積公式 幾何體 體積公式 柱體 圓柱、 棱柱 V柱體＝Sh S—柱體底面積，h—柱體的高 錐體 圓錐、 棱錐 V錐體＝Sh S—錐體底面積，h—錐體的高 臺(tái)體 圓臺(tái)、 棱臺(tái) V臺(tái)體＝(S上＋S下＋)h S上、S下—臺(tái)體的上、下底面面積，h—高 知識(shí)點(diǎn)二　柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系 V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh. 1．錐體的體積

2、等于底面面積與高之積．(　×　) 2．臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差．(　√　) 類型一　多面體的體積 例1　如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD. (1)證明：PQ⊥平面DCQ； (2)求棱錐Q－ABCD的體積與棱錐P－DCQ的體積的比值． (1)證明　由題知四邊形PDAQ為直角梯形． 因?yàn)镼A⊥平面ABCD，QA平面PDAQ， 所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交線為AD. 又四邊形ABCD為正方形，DC⊥AD， 所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC. 在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD， 則PQ⊥QD

3、. 又DC∩QD＝D，DC，QD平面DCQ， 所以PQ⊥平面DCQ. (2)解　設(shè)AB＝a.由題設(shè)知AQ為棱錐Q－ABCD的高， 所以棱錐Q－ABCD的體積V1＝a3. 由(1)知PQ為棱錐P－DCQ的高． 而PQ＝a，△DCQ的面積為a2， 所以棱錐P－DCQ的體積V2＝a3. 故棱錐Q－ABCD的體積與棱錐P－DCQ的體積的比值為1. 反思與感悟　求幾何體體積的四種常用方法 (1)公式法：規(guī)則幾何體直接代入公式求解． (2)等積法：如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可． (3)補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，如棱錐補(bǔ)成棱柱、三

4、棱柱補(bǔ)成四棱柱等． (4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積． 跟蹤訓(xùn)練1　如圖，在三棱柱中，若E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，平面將三棱柱分成體積為的兩部分，那么＝________. 答案　7∶5 解析　設(shè)三棱柱的高為h，底面的面積為S，體積為V，則V＝V1＋V2＝Sh. 因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以＝S， ＝h＝Sh， ＝Sh－＝Sh，故. 類型二　旋轉(zhuǎn)體的體積 例2　體積為52 cm3的圓臺(tái)，一個(gè)底面面積是另一個(gè)底面面積的9倍，求截得這個(gè)圓臺(tái)的圓錐的體積． 解　由底面面積之比為1∶9知，體積之比為1∶27. 截得的小圓錐與圓臺(tái)體積比為1∶2

5、6， ∴小圓錐的體積為2 cm3， 故原來圓錐的體積為54 cm3. 反思與感悟　要充分利用旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將已知條件盡量歸結(jié)到軸截面中求解，分析題中給出的數(shù)據(jù)，列出關(guān)系式后求出有關(guān)的量，再根據(jù)幾何體的體積公式進(jìn)行運(yùn)算、解答． (1)求臺(tái)體的體積，其關(guān)鍵在于求高，在圓臺(tái)中，一般把高放在等腰梯形中求解． (2)“還臺(tái)為錐”是求解臺(tái)體的體積問題的重要思想，作出截面圖，將空間問題平面化，是解決此類問題的關(guān)鍵． 跟蹤訓(xùn)練2　設(shè)圓臺(tái)的高為3，如圖，在軸截面中母線AA1與底面直徑AB的夾角為60°，軸截面中的一條對(duì)角線垂直于腰，則圓臺(tái)的體積為________． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　

6、21π 解析　設(shè)上，下底面半徑，母線長分別為r，R，l. 作A1D⊥AB于點(diǎn)D，則A1D＝3，∠A1AB＝60°， 又∠BA1A＝90°， ∴∠BA1D＝60°， ∴AD＝＝， ∴R－r＝. BD＝A1D·tan 60°＝3， ∴R＋r＝3.∴ R＝2，r＝，而h＝3. ∴V圓臺(tái)＝πh(R2＋Rr＋r2)＝π×3×[(2)2＋2×＋()2]＝21π. ∴圓臺(tái)的體積為21π. 類型三　幾何體體積的求法 命題角度1　等體積法 例3　如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是棱長為a的正方體，E為AA1的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC1上一點(diǎn)，求三棱錐A1－D1EF的體積． 考點(diǎn)　柱

7、體、錐體、臺(tái)體的體積 題點(diǎn)　錐體的體積 解　 又三棱錐F－A1D1E的高為CD＝a， 反思與感悟　(1)三棱錐的每一個(gè)面都可當(dāng)作底面來處理． (2)利用等體積法可求點(diǎn)到面的距離． 跟蹤訓(xùn)練3　如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，在三棱錐A1－ABD中，求A到平面A1BD的距離d. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　在三棱錐A1－ABD中，AA1是三棱錐A1－ABD的高，AB＝AD＝AA1＝1，A1B＝BD＝A1D＝. ∵××12×1＝×××××d， ∴d＝. 命題角度2　割補(bǔ)法 例4　如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為4的正方形，

8、EF∥AB，EF＝2，EF與平面AC的距離為3，求該多面體的體積． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　如圖，連接EB，EC，AC.四棱錐E－ABCD的體積VE－ABCD＝×42×3＝16. 因?yàn)锳B＝2EF，EF∥AB， 所以S△EAB＝2S△BEF. 所以VF－EBC＝VC－EFB＝VC－ABE＝VE－ABC ＝×VE－ABCD＝4. 所以該多面體的體積V＝VE－ABCD＋VF－EBC＝16＋4＝20. 反思與感悟　通過“割補(bǔ)法”解決空間幾何體的體積問題，需要思路靈活，有充分的空間想象力，什么時(shí)候“割”，什么時(shí)候“補(bǔ)”，“割”時(shí)割成幾個(gè)圖形，割成什么圖形，“補(bǔ)”時(shí)補(bǔ)上什么圖形，都

9、需要靈活的選擇． 跟蹤訓(xùn)練4　如圖所示，一個(gè)底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3，求該幾何體的體積． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　用一個(gè)完全相同的幾何體把題中幾何體補(bǔ)成一個(gè)圓柱，如圖所示，則圓柱的體積為π×22×5＝20π，故所求幾何體的體積為10π. 1.已知高為3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形(如圖)，則三棱錐B1—ABC的體積為(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　柱體、錐體、臺(tái)體的體積 題點(diǎn)　錐體的體積 答案　D 解析　V＝Sh＝××3＝. 2．圓錐的軸截面是等腰直角三角形，側(cè)面積是16π

10、，則圓錐的體積是(　　) A. B. C．64π D．128π 考點(diǎn)　柱體、錐體、臺(tái)體的體積 題點(diǎn)　錐體的體積 答案　B 解析　設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l， 由題意知2r＝，即l＝r， ∴S側(cè)＝πrl＝πr2＝16π， 解得r＝4. ∴l(xiāng)＝4，圓錐的高h(yuǎn)＝＝4， ∴圓錐的體積為V＝Sh＝π×42×4＝. 3．棱臺(tái)的上、下底面面積分別是2,4，高為3，則該棱臺(tái)的體積是(　　) A．18＋6 B．6＋2 C．24 D．18 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　B 解析　V＝(2＋4＋)×3＝6＋2. 4．已知某圓臺(tái)的上、下底面面積分別是π，4π，側(cè)面積是6

11、π，則這個(gè)圓臺(tái)的體積是________． 考點(diǎn)　柱體、錐體、臺(tái)體的體積 題點(diǎn)　臺(tái)體的體積 答案　 解析　設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r和R，母線長為l，高為h，則S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π. ∴r＝1，R＝2，S側(cè)＝π(r＋R)l＝6π. ∴l(xiāng)＝2，∴h＝， ∴V＝π(12＋22＋1×2)×＝. 5．如圖是一個(gè)底面直徑為20 cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個(gè)底面直徑為6 cm，高為20 cm的圓錐形鉛錘，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降__________cm. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　0.6 解析　將鉛錘取出后，水面下降部分實(shí)際是圓錐的體

12、積． 設(shè)水面下降的高度為x cm，則π×2x＝π×2×20， 得x＝0.6 cm. 1．柱體、錐體、臺(tái)體的體積之間的內(nèi)在關(guān)系為 V柱體＝Sh V臺(tái)體＝h(S＋＋S′)V錐體＝Sh. 2．在三棱錐A－BCD中，若求點(diǎn)A到平面BCD的距離h，可以先求VA－BCD，h＝.這種方法就是用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，其中V一般用換頂點(diǎn)法求解，即VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC，求解的原則是V易求，且△BCD的面積易求． 3．求幾何體的體積，要注意分割與補(bǔ)形．將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解． 一、選擇題 1.如圖，ABC－A′B′C′是

13、體積為1的棱柱，則四棱錐C－AA′B′B的體積是(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　C 解析　∵VC－A′B′C′＝VABC－A′B′C′， ∴VC－AA′B′B＝VABC－A′B′C′＝. 2.如圖，已知正三棱錐S－ABC，D，E分別為底面邊AB，AC的中點(diǎn)，則四棱錐S－BCED與三棱錐S－ABC的體積之比為(　　) A．1∶2 B．2∶3 C．3∶4 D．4∶3 答案　C 解析　兩錐體高相等，因此V四棱錐S－BCED∶V三棱錐S－ABC＝S四邊形BCED∶S△ABC＝3∶4. 3．已知圓錐的母線長為8，底

14、面圓的周長為6π，則它的體積是(　　) A．9π B．9 C．3π D．3 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　C 解析　設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，高為h，則2πr＝6π，∴r＝3. ∴h＝＝， ∴V＝π·r2·h＝3π. 4.如圖，在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(　　) A.π B.π C.π D．2π 考點(diǎn)　組合幾何體的表面積與體積 題點(diǎn)　柱、錐、臺(tái)、球切割的幾何體的表面積與體積 答案　A 解析　由題意，旋轉(zhuǎn)而成的幾何體是圓柱，挖去一個(gè)圓錐(如圖)，

15、 該幾何體的體積為π×12×2－×π×12×1＝π. 5．若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個(gè)圓錐的母線長為(　　) A．2 B．2 C. D. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　A 解析　如圖所示，設(shè)等邊三角形ABC為圓錐的軸截面，由題意知圓錐的母線長即為△ABC的邊長，且S△ABC＝AB2，∴＝AB2，∴AB＝2. 6．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，則三棱錐D1－ACD的體積是(　　) A. B. C. D．1 答案　A 解析　三棱錐D1－ADC的體積V＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝×＝. 7．

16、將若干毫升水倒入底面半徑為2 cm的圓柱形器皿中，量得水面高度為6 cm，若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，則水面高度為(　　) A．6 cm B．6 cm C．2 cm D．3 cm 考點(diǎn)　柱體、錐體、臺(tái)體的體積 題點(diǎn)　錐體的體積 答案　B 解析　設(shè)圓錐中水的底面半徑為r cm，由題意知 πr2×r＝π22×6， 得r＝2， ∴水面的高度是×2＝6 cm. 8．正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐A－B1DC1的體積為(　　) A．1 B. C．3 D. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　A 解析　在正△

17、ABC中，D為BC中點(diǎn)， 則有AD＝AB＝，＝×2×＝. 又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC， AD⊥BC，AD平面ABC， ∴AD⊥平面BB1C1C， 即AD為三棱錐A－B1DC1底面上的高． ∴·AD＝××＝1. 二、填空題 9．設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側(cè)面積相等，且＝，則的值是________． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　 解析　設(shè)兩個(gè)圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，由＝，得＝，則＝. 由圓柱的側(cè)面積相等，得2πr1h1＝2πr2h2， 即r1h1＝r2h2， 所

18、以＝＝＝. 10.如圖，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，F(xiàn)C＝4，AE＝5.則此幾何體的體積為________． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　96 解析　用“補(bǔ)形法”把原幾何體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V幾何體＝V三棱柱＝×S△ABC·AA′＝×24×8＝96. 11.如圖，在三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，AA1的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐A－FED的體積為V1，三棱柱A1B1C1－ABC的體積為V2，則V1∶V2的值為______． 考點(diǎn)　柱體、錐體、臺(tái)體的表面

19、積與體積 題點(diǎn)　其他求體積、表面積問題 答案　 解析　設(shè)三棱柱的高為h， ∵F是AA1的中點(diǎn)，∴三棱錐F－ADE的高為， ∵D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴S△ADE＝S△ABC， ∵V1＝S△ADE·，V2＝S△ABC·h， ∴＝＝. 三、解答題 12．在四邊形ABCD中，A(0,0)，B(1,0)，C(2,1)，D(0,3)，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的體積． 解　如圖為所得旋轉(zhuǎn)體，由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)組成． ∵C(2,1)，D(0,3)， ∴圓錐的底面半徑r＝2，高h(yuǎn)＝2. ∴V圓錐＝πr2h＝π×22×2 ＝π.∵B(1,0)，C(2,1)， ∴圓臺(tái)

20、的兩個(gè)底面半徑R＝2，R′＝1，高h(yuǎn)′＝1. ∴V圓臺(tái)＝πh′(R2＋R′2＋RR′) ＝π×1×(22＋12＋2×1)＝π， ∴V＝V圓錐＋V圓臺(tái)＝5π. 13.如圖所示是一個(gè)邊長為5＋的正方形，剪去陰影部分得到圓錐的側(cè)面和底面展開圖，求該圓錐的體積． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，則依題意有·2πl(wèi)＝2πr， ∴l(xiāng)＝4r. 又∵AC＝OC＋OA＝r＋r＋l＝(＋5)r，且AC＝×(＋5)， ∴(＋5)r＝(＋5)×， ∴r＝，∴l(xiāng)＝4， ∴h＝＝， ∴V圓錐＝πr2h＝π()2×＝π.故該圓錐的體積為π. 四、探究與拓展 1

21、4．若正三棱臺(tái)A1B1C1－ABC的兩底面邊長分別為2,8，側(cè)棱長等于6，則此三棱臺(tái)的體積V＝________. 答案　42 解析　如圖，設(shè)D1，D分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，O1，O為上、下兩底面的中心，則O1O為棱臺(tái)的高h(yuǎn)，O1C1＝，OC＝， 作C1H⊥OC于點(diǎn)H，則C1H＝h，且CH＝2，故h＝C1H＝＝2. ∵＝，S△ABC＝16， ∴V＝＝42. 15.在三棱臺(tái)ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，則三棱錐A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1的體積之比是多少？ 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　設(shè)棱臺(tái)的高為h， S△ABC＝S，則 ∴＝S△ABC·h＝Sh， 又V臺(tái)＝h(S＋4S＋2S)＝Sh， ∴＝V臺(tái)－ ＝Sh－Sh－Sh＝Sh. ∴∶∶＝1∶2∶4. 15