《2018版高考數學二輪復習 第1部分 重點強化專題 專題1 三角函數 第2講 解三角形問題教學案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2018版高考數學二輪復習 第1部分 重點強化專題 專題1 三角函數 第2講 解三角形問題教學案 理（9頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 第2講　解三角形問題 題型1　利用正、余弦定理解三角形 (對應學生用書第5頁) ■核心知識儲備………………………………………………………………………· 1．正弦定理及其變形 在△ABC中，＝＝＝2R(R為△ABC的外接圓半徑)．變形：a＝2Rsin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． 2．余弦定理及其變形 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A； 變形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝. 3．三角形面積公式 S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B. ■典題試解尋法……………………………

2、…………………………………………· 【典題1】　(考查解三角形應用舉例)如圖2-1，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600 m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________m. 圖2-1 [思路分析]　由已知條件及三角形內角和定理可得∠ACB的值―→在△ABC中，利用正弦定理求得BC―→在Rt△BCD中利用銳角三角函數的定義求得CD的值． [解析]　依題意有AB＝600，∠CAB＝30°， ∠CBA＝180°－75°＝105°，∠DBC＝30°，DC⊥CB. ∴∠ACB

3、＝45°， 在△ABC中，由＝， 得＝， 有CB＝300， 在Rt△BCD中，CD＝CB·tan 30°＝100， 則此山的高度CD＝100 m. [答案]　100 【典題2】　(考查應用正余弦定理解三角形)(2017·全國Ⅰ卷)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知△ABC的面積為. (1)求sin Bsin C； (2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周長. 【導學號：07804011】 [解]　(1)由題設得acsin B＝，即csin B＝. 由正弦定理得sin Csin B＝. 故sin Bsin C＝. (2)由題設及(

4、1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－， 即cos(B＋C)＝－. 所以B＋C＝，故A＝. 由題意得bcsin A＝，a＝3，所以bc＝8. 由余弦定理得b2＋c2－bc＝9， 即(b＋c)2－3bc＝9. 由bc＝8，得b＋c＝. 故△ABC的周長為3＋. [類題通法] 1.關于解三角形問題，一般要用到三角形的內角和定理，正、余弦定理及有關三角形的性質，常見的三角變換方法和原則都適用，同時要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數、統(tǒng)一結構”，這是使問題獲得解決的突破口. 2.在三角形中，正、余弦定理可以實現邊角互化，尤其在余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos

5、 A中，有a2＋c2和ac兩項，二者的關系a2＋c2＝(a＋c)2－2ac經常用到. 3.三角形形狀判斷的兩種思路： 一是化角為邊；二是化邊為角. 注意：要靈活選用正弦定理或余弦定理，且在變形的時候要注意方程的同解性，如方程兩邊同除以一個數時要注意該數是否為零，避免漏解. ■對點即時訓練………………………………………………………………………· 1．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b＝2ccos A，c＝2bcos A，則△ABC的形狀為(　　) A．直角三角形 B．銳角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形 C　[∵b＝2ccos A，c＝2bcos

6、 A， ∴b＝4bcos2A， 即cos A＝，或cos A＝－(舍)． ∴b＝c，∴△ABC為等邊三角形．] 2．如圖2-2，在△ABC中，AB＝2，cos B＝，點D在線段BC上． 圖2-2 (1)若∠ADC＝π，求AD的長； (2)若BD＝2DC，△ACD的面積為，求的值. 【導學號：07804012】 [解]　(1)在三角形中，∵cos B＝，∴sin B＝. 在△ABD中，＝， 又AB＝2，∠ADB＝，sin B＝，∴AD＝. (2)∵BD＝2DC，∴S△ABD＝2S△ADC，S△ABC＝3S△ADC， 又S△ADC＝，∴S△ABC＝4. ∵S△AB

7、C＝AB·BCsin∠ABC，∴BC＝6. ∵S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝AC·ADsin∠CAD， SABD＝2S△ADC，∴＝2·， 在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC， ∴AC＝4，∴＝2·＝4. ■題型強化集訓………………………………………………………………………· (見專題限時集訓T1、T2、T3、T4、T5、T6、T9、T10、T11、T13) 題型2　與三角形有關的最值、范圍問題(答題模板) (對應學生用書第6頁) 與三角形有關的最值、范圍問題一般涉及三角形的角度(或邊長、面積、周長等)的最大、最小問題．(20

8、15·全國Ⅰ卷T16、2014·全國Ⅰ卷T16、2013·全國Ⅱ卷T17) ■典題試解尋法………………………………………………………………………· 【典題】　(本小題滿分12分)(2013·全國Ⅱ卷)①的對邊分別為a，b，c，已知.② (1)求B； (2)若，③求.④ 【導學號：07804013】 [審題指導] 題眼 挖掘關鍵信息 ① 看到△ABC的內角A，B，C， 想到A＋B＋C＝π. ② 看到a＝bcos C＋csin B， 想到三角形的正弦定理，想到三角恒等變換. ③ 看到b＝2， 想到(1)及余弦定理. ④ 看到△ABC的面積的最大值， 想到面

9、積公式及不等式放縮. [規(guī)范解答]　(1)由已知及正弦定理得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．　?、? 2分 又，⑤故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．　?、? 4分 由①②和C∈(0，π)得sin B＝cos B． 5分 又B∈(0，π)，所以B＝. 6分 (2)△ABC的面積S＝acsin B＝ac. 7分 由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos . 8分 又，⑥故ac≤，當且僅當a＝c時，等號成立. 10分 因此△ABC面積的最大值為＋1. 12分 [閱卷者說] 易錯點 防范措施

10、⑤忽視三角形內角和定理導致無法求B. 熟記三角形內的常見結論，實現角的互化. ⑥忽視不等式的變形導致無法解出ac的范圍. 不等式a2＋b2≥2ab及ab≤是應用余弦定理求最值的切入點，平時應加強訓練. [類題通法] 1.求與三角形中邊角有關的量的取值范圍時，主要是利用已知條件和有關定理，將所求的量用三角形的某個內角或某條邊表示出來，結合三角形邊角的取值范圍、函數值域的求法求解范圍即可.注意題目中的隱含條件，如A＋B＋C＝π，0＜A、B、C＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大邊對大角等. 2.在利用含有a2＋b2，(a＋b)2，ab的關系等式求最值時常借助均值不等式. ■對點即時訓

11、練……………………………………………………………………… (2017·石家莊一模)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且＝. (1)求角B的大小； (2)點D滿足＝2，且AD＝3，求2a＋c的最大值． [解]　(1)＝，由正弦定理可得＝， ∴c(a－c)＝(a－b)(a＋b)， 即a2＋c2－b2＝ac. 又a2＋c2－b2＝2accos B， ∴cos B＝， ∵B∈(0，π)，∴B＝. (2)法一：(利用基本不等式求最值)在△ABD中，由余弦定理得c2＋(2a)2－2×2ac×cos ＝32， ∴(2a＋c)2－9＝3×2ac. ∵2ac≤， ∴(

12、2a＋c)2－9≤(2a＋c)2， 即(2a＋c)2≤36,2a＋c≤6，當且僅當2a＝c，即a＝，c＝3時，2a＋c取得最大值，最大值為6. 法二：(利用三角函數的性質求最值)在△ABD中，由正弦定理知＝＝＝2， ∴2a＝2sin∠BAD，c＝2sin∠ADB， ∴2a＋c＝2sin∠BAD＋2sin∠ADB ＝2[sin∠BAD＋sin∠ADB] ＝2 ＝6 ＝6sin. ∵∠BAD∈， ∴∠BAD＋∈， ∴當∠BAD＋＝，即∠BAD＝時，2a＋c取得最大值，最大值為6. ■題型強化集訓………………………………………………………………………· (見專題限時集訓T7

13、、T8、T12、T14) 三年真題| 驗收復習效果 (對應學生用書第7頁) 1．(2016·全國Ⅲ卷)在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，則cos A＝(　　) A． B． C．－ D．－ C　[法一：設△ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c， 則由題意得S△ABC＝a·a＝acsin B，∴c＝a. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，∴b＝a. ∴cos A＝＝＝－.故選C. 法二：同方法一得c＝a. 由正弦定理得sin C＝sin A, 又B＝，∴sin C＝sin＝sin A，即cos A＋sin A＝si

14、n A，∴tan A＝－3，∴A為鈍角． 又∵1＋tan2A＝， ∴cos2A＝， ∴cos A＝－.故選C.] 2．(2016·全國Ⅱ卷)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝________. 　[因為A，C為△ABC的內角，且cos A＝，cos C＝， 所以sin A＝，sin C＝， 所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝. 又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝＝×＝.] 3．(2015·全國Ⅰ卷)在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，

15、BC＝2，則AB的取值范圍是________． (－，＋)　[如圖所示，延長BA與CD相交于點E，過點C作CF∥AD交AB于點F，則BF