《（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和學(xué)案 理（15頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第2節(jié)　等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 最新考綱　1.理解等差數(shù)列的概念；2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；3.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題；4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系． 知 識(shí) 梳 理 1．等差數(shù)列的概念 (1)如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示． 數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))，或an－an－1＝d(n≥2，d為常數(shù))． (2)若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a，b的等差中項(xiàng)，且A＝．

2、 2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式 (1)若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d． 通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)． (2)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 Sn＝＝na1＋d(其中n∈N*，a1為首項(xiàng)，d為公差，an為第n項(xiàng))． 3．等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì) 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和． (1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則有am＋an＝ap＋aq. (2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d＞0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時(shí)，{an}是常數(shù)列．

3、(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列． (4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列． 4．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系 Sn＝n2＋n. 數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))． 5．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值 在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值． [常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒] 1．用定義法證明等差數(shù)列應(yīng)注意“從第2項(xiàng)起”，如證明了an＋1－an＝d(n≥2)時(shí)，應(yīng)注意驗(yàn)證a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，

4、則數(shù)列{an}不為等差數(shù)列． 2．利用二次函數(shù)性質(zhì)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值時(shí)，一定要注意自變量n是正整數(shù)． 診 斷 自 測(cè) 1．思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) (2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．(　　) (3)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列．(　　) (4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)．(　　) (5)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)．(　　) 解析　(4)若

5、公差d＝0，則通項(xiàng)公式不是n的一次函數(shù)． (5)若公差d＝0，則前n項(xiàng)和不是二次函數(shù)． 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)× 2．在等差數(shù)列{an}中，若a2＝4，a4＝2，則a6等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．6 解析　由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，選B. 答案　B 3．(2017·全國(guó)Ⅰ卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析　設(shè){an}的公差為d，由 得解得d＝4. 答案　C 4．(2018

6、·寧波十校適應(yīng)性考試)等差數(shù)列{an}的公差d＜0，且a＝a，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取得最大值時(shí)的項(xiàng)數(shù)n是(　　) A．8或9 B．9或10 C．10或11 D．11或12 解析　由題意知，a1＝±a17，又因?yàn)閐＜0，所以a1＝－a17，故a1＝－8d，a9＝0，an＝a1＋(n－1)d＝(n－9)d，當(dāng)an≥0時(shí)，n≤9，所以當(dāng)n＝8或9時(shí)，Sn取最大值． 答案　A 5．(必修5P68A8改編)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8＝________． 解析　由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴

7、a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180. 答案　180 6．(2018·湖州調(diào)研)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d，前n項(xiàng)和是Sn.若a1＝1，a5＝9，則公差d＝______，Sn＝______． 解析　公差d＝＝2，前n項(xiàng)和Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝n2. 答案　2　n2 考點(diǎn)一　等差數(shù)列基本量的運(yùn)算 【例1】 (1)(2016·全國(guó)Ⅰ卷)已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27，a10＝8，則a100＝(　　) A．100 B．99 C．98 D．97 (2)(2017·全國(guó)Ⅲ卷)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則

8、{an}前6項(xiàng)的和為(　　) A．－24 B．－3 C．3 D．8 解析　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知，得所以所以a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98. (2)等差數(shù)列中a1＝1，根據(jù)題意得 a＝a2·a6，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)， 解得d＝－2，d＝0(舍去)． 所以數(shù)列{an}的前6項(xiàng)和為S6＝6a1＋d＝1×6＋×(－2)＝－24. 答案　(1)C　(2)A 規(guī)律方法　(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題． (2)數(shù)列的通項(xiàng)

9、公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法． 【訓(xùn)練1】 (1)(一題多解)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S3＝6，S4＝12，則S6＝________． (2)(2015·浙江卷)已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零．若a2，a3，a7成等比數(shù)列，且2a1＋a2＝1，則a1＝________，d＝________． 解析　(1)法一　設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由S3＝6， S4＝12，可得解得 即S6＝6a1＋15d＝30. 法二　由{an}為等差數(shù)列，故可設(shè)前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn， 由S3

10、＝6，S4＝12，可得 解得即Sn＝n2－n，則S6＝36－6＝30. (2)因?yàn)閍2，a3，a7成等比數(shù)列，所以a＝a2a7，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，由于d≠0，∴a1＝－d，∵2a1＋a2＝1，∴2a1＋a1＋d＝1，即3a1＋d＝1，∴a1＝，d＝－1. 答案　(1)30　(2)?。? 考點(diǎn)二　等差數(shù)列的判定與證明(變式遷移) 【例2】 (經(jīng)典母題)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝. (1)求證：成等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． (1)證明　當(dāng)n≥2時(shí)，由an＋2SnSn－1＝0， 得

11、Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2， 又＝＝2，故是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列． (2)解　由(1)可得＝2n，∴Sn＝. 當(dāng)n≥2時(shí)， an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－. 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝不適合上式． 故an＝ 【變式遷移1】 將本例條件“an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝”改為“Sn(Sn－an)＋2an＝0(n≥2)，a1＝2”，問題不變，試求解． (1)證明　當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1且Sn(Sn－an)＋2an＝0. ∴Sn[Sn－(Sn－Sn－1)]＋2(Sn－Sn－1)＝0， 即SnSn－1＋2(Sn－Sn－1)＝0. 即－＝.又＝

12、＝. 故數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列． (2)解　由(1)知＝，∴Sn＝，當(dāng)n≥2時(shí)， an＝Sn－Sn－1＝－ 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2不適合上式， 故an＝ 【變式遷移2】 已知數(shù)列{an}滿足2an－1－anan－1＝1(n≥2)，a1＝2，證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解　當(dāng)n≥2時(shí)，an＝2－， ∴－＝－＝－＝－＝＝1(常數(shù))． 又＝1. ∴數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列． ∴＝1＋(n－1)×1＝n， ∴an＝. 規(guī)律方法　等差數(shù)列的四種判斷方法： (1)定義法：對(duì)于n≥2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an－an－1為同一常數(shù)． (2)等

13、差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立． (3)通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證an＝pn＋q. (4)前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證Sn＝An2＋Bn.后兩種方法只能用來判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來證明等差數(shù)列，主要適合在選擇題中簡(jiǎn)單判斷． 【訓(xùn)練2】 (2017·江蘇卷)對(duì)于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列{an}滿足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan，對(duì)任意正整數(shù)n(n>k)總成立，則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”． (1)證明：等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”； (2)若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，

14、證明：{an}是等差數(shù)列． 證明　(1)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d， 則an＝a1＋(n－1)d， 從而，當(dāng)n≥4時(shí)， an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d ＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1，2，3， 所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an， 因此等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”． (2)數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，因此， 當(dāng)n≥3時(shí)，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，① 當(dāng)n≥4時(shí)，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an.

15、② 由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，③ an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an)．④ 將③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4， 所以a3，a4，a5，…是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d′. 在①中，取n＝4，則a2＋a3＋a5＋a6＝4a4， 所以a2＝a3－d′， 在①中，取n＝3，則a1＋a2＋a4＋a5＝4a3， 所以a1＝a3－2d′， 所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列． 考點(diǎn)三　等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 【例3】 (1)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝(　　) A．5 B．7 C．

16、9 D．11 (2)(2018·浙江名校三聯(lián))已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且＝，則＝(　　) A. B. C. D. (3)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝－2 014，－＝6，則S2 017＝________． 解析　(1)∵{an}為等差數(shù)列，∴a1＋a5＝2a3，得3a3＝3，所以a3＝1，∴S5＝＝5a3＝5，故選A. (2)因?yàn)镾n為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，所以S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12也成等差數(shù)列，而＝，所以S8＝3S4，則(S8－S4)－S4＝S4，則得S16＝10S4，所以＝. (3)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得也為

17、等差數(shù)列． 設(shè)其公差為d，則－＝6d＝6，∴d＝1. 故＝＋2 016d＝－2 014＋2 016＝2， ∴S2 017＝2×2 017＝4 034. 答案　(1)A　(2)A　(3)4 034 規(guī)律方法　等差數(shù)列的性質(zhì)是解題的重要工具． (1)在等差數(shù)列{an}中，數(shù)列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差數(shù)列． (2)在等差數(shù)列{an}中，數(shù)列也成等差數(shù)列． 【訓(xùn)練3】 (1)若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為(　　) A．13 B．12 C．11 D．10 (2)在等差數(shù)列{an}中，若a3

18、＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，則a2＋a8＝________． 解析　(1)因?yàn)閍1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146， a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180， 又因?yàn)閍1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2， 所以3(a1＋an)＝180，從而a1＋an＝60， 所以Sn＝＝＝390，即n＝13. (2)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10. 答案　(1)A　(2)10 考點(diǎn)四　等差數(shù)列前n項(xiàng)和及其最值 【例4

19、】 (1)(一題多解)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝13，S3＝S11，當(dāng)Sn最大時(shí)，n的值是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 (2)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－10(n∈N*)，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________． 解析　(1)法一　由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a7＋a8＝0.根據(jù)首項(xiàng)等于13可推知這個(gè)數(shù)列遞減，從而得到a7>0，a8<0，故n＝7時(shí)Sn最大． 法二　由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a(bǔ)1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－

20、n2＋14n.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，知當(dāng)n＝7時(shí)Sn最大． (2)由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴n≤5時(shí)，an≤0，當(dāng)n>5時(shí)，an>0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130. 答案　(1)C　(2)130 規(guī)律方法　求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，常用的方法：(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)； (2)利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值； (3)將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))看作二次函數(shù)，

21、根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值． 【訓(xùn)練4】 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1>0且＝，則當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n的值為(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 (2)(2018·金麗衢十二校二聯(lián))已知公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若有確定正整數(shù)n0，對(duì)任意正整數(shù)m，Sn0·Sn0＋m＜0恒成立，則下列說法錯(cuò)誤的是(　　) A．a(chǎn)1·d＜0 B．|Sn|有最小值 C．a(chǎn)n0·an0＋1＞0 D．a(chǎn)n0＋1·an0＋2＞0 解析　(1)由＝，得S11＝S9，即a10＋a11＝0，根據(jù)首項(xiàng)a1＞0可推知這個(gè)數(shù)列遞減，從而a10＞0，a11＜

22、0，故n＝10時(shí)，Sn最大． (2)由Sn0·Sn0 ＋m＜0，知數(shù)列{an}一定存在正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)，則要么a1＞0，d＜0，要么a1＜0，d＞0，即a1·d＜0，所以A正確；由等差數(shù)列各項(xiàng)特征知，|Sn|一定能取得最小值，所以B正確；若數(shù)列{an}為－1，2，5，8，…，當(dāng)n≥2時(shí)，an＞0，取n0＝1，對(duì)任意正整數(shù)m，Sn0·Sn0＋m＜0均成立，但an0·an0＋1＜0，所以C錯(cuò)誤，故選C. 答案　(1)B　(2)C 基礎(chǔ)鞏固題組 一、選擇題 1．(一題多解)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＋a7＝－8，a2＝2，則數(shù)列{an}的公差d等于(　　) A．－1 B．－2

23、 C．－3 D．－4 解析　法一　由題意可得 解得a1＝5，d＝－3. 法二　a1＋a7＝2a4＝－8，∴a4＝－4， ∴a4－a2＝－4－2＝2d，∴d＝－3. 答案　C 2．(2018·嘉興測(cè)試)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若＝，則＝(　　) A. B. C. D. 解析　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由題意得＝＝，解得a1＝d，則＝＝，故選A. 答案　A 3．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S11＝22，a4＝－12，如果當(dāng)n＝m時(shí)，Sn最小，那么m的值為(　　) A．10 B．9 C．5 D．4 解析　設(shè)等差數(shù)列{an}的

24、公差為d，則S11＝11a1＋55d＝22，a4＝a1＋3d＝－12，解得a1＝－33，d＝7，由an＝7n－40<0得n≤5，即該數(shù)列的前5項(xiàng)是負(fù)數(shù)，從第6項(xiàng)開始是正數(shù)，則前5項(xiàng)的和最小，即m＝5. 答案　C 4．已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則有(　　) A．a(chǎn)1＋a101＞0 B．a(chǎn)2＋a100＜0 C．a(chǎn)3＋a99＝0 D．a(chǎn)51＝51 解析　由題意，得a1＋a2＋a3＋…＋a101＝×101＝0.所以a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝0. 答案　C 5．已知等差數(shù)列{an}的公差為2，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為15，所

25、有偶數(shù)項(xiàng)之和為25，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為(　　) A．10 B．20 C．30 D．40 解析　設(shè)項(xiàng)數(shù)為2n，則由S偶－S奇＝nd得，25－15＝2n，解得n＝5，故這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為10. 答案　A 6．(2015·浙江卷)已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項(xiàng)和是Sn，若a3，a4，a8成等比數(shù)列，則(　　) A．a(chǎn)1d>0，dS4>0 B．a(chǎn)1d<0，dS4<0 C．a(chǎn)1d>0，dS4<0 D．a(chǎn)1d<0，dS4>0 解析　∵a3，a4，a8成等比數(shù)列，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)·(a1＋7d)，整理得a1＝ －d，∴a1d＝－d2<0(d≠0

26、)，又S4＝4a1＋d＝－，∴dS4＝－<0，故選B. 答案　B 二、填空題 7．(2018·金華四校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋bn＋c(b，c為常數(shù)，n∈N*)，若a2＋a3＝4，則c＝________，b＝________． 解析　∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和Sn＝n2＋bn＋c，∴c＝0，則Sn＝n2＋bn，又a2＋a3＝S3－S1＝9＋3b－1－b＝4，∴b＝－2. 答案　0?。? 8．已知每項(xiàng)均大于零的數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝1且前n項(xiàng)和Sn滿足Sn－Sn－1＝2(n∈N*且n≥2)，則a61＝________． 解析　由已知Sn－Sn－1

27、＝2可得，－＝2，所以{}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故＝2n－1，Sn＝(2n－1)2，所以a61＝S61－S60＝1212－1192＝480. 答案　480 9．(2017·慈溪統(tǒng)考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，且滿足a8>0，a8＋a9<0，則Sn>0的最大n是________；數(shù)列(10，a8＋a9<0，∴S15＝＝＝15a8>0，而S16＝＝＝8(a8＋a9)<0，∴使Sn>0的最大n為15.∵a8>0，a9<0，∴S8最大，且a8為{an}的最小正數(shù)項(xiàng)，a9，a10，…均小于零，所以當(dāng)9≤n<15時(shí)，均

28、小于零，當(dāng)n＝8時(shí)，最大，即數(shù)列(1

29、＝1，由Sn＝na1＋d＝na1＋， 得 由①得a1＝，代入②可得m＝5. 法三　因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和為Sn， 所以數(shù)列也為等差數(shù)列． 所以＋＝，即＋＝0， 解得m＝5，經(jīng)檢驗(yàn)為原方程的解． 答案　5 三、解答題 11．(2017·全國(guó)Ⅱ卷)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2. (1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通項(xiàng)公式； (2)若T3＝21，求S3. 解　(1)設(shè){an}公差為d，{bn}公比為q，由等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得 解得或(舍去)， 故{bn}的通項(xiàng)公式

30、為bn＝2n－1. (2)由已知得解得或 ∴當(dāng)q＝4，d＝－1時(shí)，S3＝－6； 當(dāng)q＝－5，d＝8時(shí)，S3＝21. 12．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數(shù)． (1)證明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由． (1)證明　由題設(shè)知，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1. 兩式相減得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1. 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ. (2)解　由題設(shè)知，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1. 由(1)知，a3＝

31、λ＋1. 由2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4， 由此可得{a2n－1}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n－1＝4n－3； {a2n}是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n＝4n－1. 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2. 因此存在λ＝4，使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列． 能力提升題組 13．(2018·杭州模擬)設(shè){an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．若正整數(shù)i，j，k，l滿足i＋l＝j(luò)＋k(i≤j≤k≤l)，則(　　) A．a(chǎn)ial≤ajak B．a(chǎn)ial≥ajak C．SiSl＜SjSk D．SiSl≥SjSk 解析　不妨取i，j，k，

32、l分別為1，2，3，4， 則a1a4－a2a3＝－2d2≤0， ∴a1a4≤a2a3， 又S1S4－S2S3＝－2(a1＋d)2－d2≤0， ∴S1S4≤S2S3，即A正確． 答案　A 14．(2016·浙江卷)如圖，點(diǎn)列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q(mào)表示點(diǎn)P與Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn為△AnBnBn＋1的面積，則(　　) A．{Sn}是等差數(shù)列 B．{S}是等差數(shù)列 C．{dn}是等差數(shù)列 D．ievbyqtbdd是

33、等差數(shù)列 解析　Sn表示點(diǎn)An到對(duì)面直線的距離(設(shè)為hn)乘以|BnBn－1|長(zhǎng)度一半，即Sn＝hn|BnBn－1|，由題目中條件可知|BnBn－1|的長(zhǎng)度為定值，過A1作垂直得到初始距離h1，那么A1，An和兩個(gè)垂足構(gòu)成等腰梯形，則hn＝h1＋|A1An|tan θ(其中θ為兩條線所成的銳角，為定值)， 從而Sn＝(h1＋|A1An|tan θ)|BnBn＋1|， Sn＋1＝(h1＋|A1An＋1|)|BnBn＋1|， 則Sn＋1－Sn＝|AnAn＋1||BnBn＋1|tan θ，都為定值， 所以Sn＋1－Sn為定值，故選A. 答案　A 15．(2018·麗水測(cè)試)已知是等差數(shù)

34、列，f(1)＝2，f(2)＝6，則f(n)＝________，數(shù)列{an}滿足an＋1＝f(an)，a1＝1，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則S2 015＋＝________． 解析　設(shè)公差為d，由題意得d＝－＝3－2＝1，∴＝2＋(n－1)·1?f(n)＝n2＋n，an＋1＝f(an)＝a＋an＝an(1＋an)?＝＝－?＝－，∴Sn＝－＋－＋…＋－＝－?Sn＋＝＝1，∴S2 015＋＝1. 答案　n2＋n　1 16．在數(shù)列{an}中，a1＝－5，a2＝－2，記A(n)＝a1＋a2＋…＋an，B(n)＝a2＋a3＋…＋an＋1，C(n)＝a3＋a4＋…＋an＋2(n∈N*)，若對(duì)于任意n∈N*

35、，A(n)，B(n)，C(n)成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和． 解　(1)根據(jù)題意A(n)，B(n)，C(n)成等差數(shù)列． ∴A(n)＋C(n)＝2B(n)， 整理得an＋2－an＋1＝a2－a1＝－2＋5＝3， ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為－5，公差為3的等差數(shù)列， ∴an＝－5＋3(n－1)＝3n－8. (2)|an|＝ 記數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和為Sn. 當(dāng)n≤2時(shí)，Sn＝＝－＋n； 當(dāng)n≥3時(shí)，Sn＝7＋＝－n＋14， 綜上，Sn＝ 17．在公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a3＋a10＝15，且a2，a5，a11成等比數(shù)列． (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝＋＋…＋，證明：≤bn＜1. (1)解　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 由已知得 注意到d≠0，解得a1＝2，d＝1. 所以an＝n＋1. (2)證明　由(1)可知bn＝＋＋…＋， bn＋1＝＋＋…＋. 因?yàn)閎n＋1－bn＝＋－＝－＞0， 所以數(shù)列{bn}單調(diào)遞增．所以bn≥b1＝. 又bn＝＋＋…＋≤＋＋…＋＝＜1，因此≤bn＜1. 15