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2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 課堂達(dá)標(biāo)36 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 文 新人教版

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2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 課堂達(dá)標(biāo)36 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 文 新人教版_第1頁
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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 課堂達(dá)標(biāo)36 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 文 新人教版 1.如圖是正方體或四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點,則這四個點不共面的一個圖是(  ) [解析] A,B,C圖中四點一定共面,D中四點不共面. [答案] D 2.(2018·廣西名校聯(lián)考)已知m,l是直線,α,β是平面,給出下列命題: ①若l垂直于α,則l垂直于α內(nèi)的所有直線, ②若l平行于α,則l平行于α內(nèi)的所有直線 ③若l?β,且l⊥α,則α⊥β ④若m?α,l?β,且α∥β,則m∥l 其中正確的命題的個數(shù)是(  ) A.4    B.3    C.

2、2    D.1 [解析] 對于①,由線面垂直的定義可知①正確;對于②,若l平行于α內(nèi)的所有直線,根據(jù)平行公理可得:α內(nèi)的所有直線都互相平行,顯然是錯誤的,故②錯誤;對于③,根據(jù)面面垂直的判定定理可知③正確;對于④,若m?α,l?β,且α∥β,則直線l與m無公共點,∴l(xiāng)與m平行或異面,故④錯誤;故選C. [答案] C 3.空間四邊形兩對角線的長分別為6和8,所成的角為45°,連接各邊中點所得四邊形的面積是(  ) A.6 B.12 C.12 D.24 [解析] 如圖,已知空間四邊形ABCD,設(shè)對角線AC=6,BD=8,易證四邊形EFGH為平行四邊形,∠EFG或∠FGH為AC與B

3、D所成的45°角,故S四邊形EFGH=3×4·sin 45°=6,故選A. [答案] A 4.(2018·浙江金麗衢十二校二聯(lián))已知a,b,c為三條不同的直線,且a?平面α,b?平面β,α∩β=c. ①若a與b是異面直線,則c至少與a,b中的一條相交; ②若a不垂直于c,則a與b一定不垂直; ③若a∥b,則必有a∥c; ④若a⊥b,a⊥c,則必有α⊥β. 其中正確的命題的個數(shù)是(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] ①中若a與b是異面直線,則c至少與a,b中的一條相交,故①正確;②中平面α⊥平面β時,若b⊥c,則b⊥平面α,此時不論a,c是否垂直,均

4、有a⊥b,故②錯誤;③中當(dāng)a∥b時,則a∥平面β,由線面平行的性質(zhì)定理可得a∥c,故③正確;④中若b∥c,則a⊥b,a⊥c時,a與平面β不一定垂直,此時平面α與平面β也不一定垂直,故④錯誤,所以正確命題的個數(shù)是2. [答案] C 5.如圖,ABCD-A1B1C1D1是長方體,O是B1D1的中點,直線A1C交平面AB1D1于點M,則下列結(jié)論正確的是(  ) A.A,M,O三點共線 B.A,M,O,A1不共面 C.A,M,C,O不共面 D.B,B1,O,M共面 [解析] 連接A1C1,AC,則A1C1∥AC,所以A1C1,C,A四點共面, 所以A1C?平面ACC1A1,因為

5、M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上,同理O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上,所以A,M,O三點共線. [答案] A 6.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是A1D1,A1C1的中點,則異面直線AE和CF所成的角的余弦值為(  ) A. B. C. D. [解析] 如圖,設(shè)正方體的棱長為a,取線段AB的中點M,連接CM,MF,EF. 則MF綊AE,所以∠CFM即為所求角或所求角的補(bǔ)角.在△CFM中,MF=CM=a,CF=a,根據(jù)余弦定理可得cos∠CFM=,所以可得異面直線A

6、E與CF所成的角的余弦值為.故選C. [答案] C 7.(2018·甘肅省蘭州市二模)已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,B1C,C1D與底面ABCD所成的角分別為60°和45°,則異面直線B1C和C1D所成角的余弦值為(  ) A. B. C. D. [解析] 如圖所示:∵B1B⊥平面ABCD, ∴∠BCB1是B1C與底面所成角,∴∠BCB1=60°. ∵C1C⊥底面ABCD,∴∠CDC1是C1D與底面所成的角,∴∠CDC1=45°. 連接A1D,A1C1,則A1D∥B1C.∴∠A1DC1或其補(bǔ)角為異面直線B1C與C1D所成的角. 不妨設(shè)BC=1,則CB1=

7、DA1=2,BB1=CC1==CD, ∴C1D=,A1C1=2. 在等腰△A1C1D中,cos∠A1DC1=.故選:A. [答案] A 8.正方體ABCD-A1B1C1D1中,P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點.那么,正方體的過P、Q、R的截面圖形是______邊形. [解析] 延長PQ或(QP)分別交BC延長線于E,交CD延長線于F,取C1D1中點M,連接RM,連接RE交BB1于S,連接MF交DD1于N,連接NQ,PS,則六邊形PQNMRS即為正方體ABCD-A1B1C1D1的過P、Q、R三點的截面圖形. [答案] 六 9.如圖所示,在三棱錐A-BCD中,E,F(xiàn),G

8、,H分別是棱AB,BC,CD,DA的中點,則當(dāng)AC,BD滿足條件______時,四邊形EFGH為菱形,當(dāng)AC,BD滿足條件__________時,四邊形EFGH是正方形. [解析] 易知EH∥BD∥FG,且EH=BD=FG,同理EF∥AC∥HG,且EF=AC=HG,顯然四邊形EFGH為平行四邊形.要使平行四邊形EFGH為菱形需滿足EF=EH,即AC=BD;要使平行四邊形EFGH為正方形需滿足EF=EH且EF⊥EH,即AC=BD且AC⊥BD. [答案] AC=BD;AC=BD且AC⊥BD 10.如圖所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中點.已知∠BAC=90°,AB

9、=2,AC=2,PA=2.求: (1)三棱錐P-ABC的體積; (2)異面直線BC與AD所成角的余弦值. [解] (1)S△ABC=×2×2=2, 故三棱錐P-ABC的體積為 V=·S△ABC·PA=×2×2=. (2)如圖所示,取PB的中點E, 連接DE,AE, 則DE∥BC, 所以∠ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AD所成的角. 在△ADE中,DE=2,AE=,AD=2, 則cos∠ADE===. 即異面直線BC與AD所成角的余弦值為. [B能力提升練] 1.已知空間四邊形ABCD中,M,N分別為AB,CD的中點,則下列判斷:①MN≥(AC+BD);

10、②MN>(AC+BD);③MN=(AC+BD);④MN<(AC+BD).其中正確的是(  ) A.①③ B.②④ C.② D.④ [解析] 如圖,取BC的中點O,連接MO,NO,則OM=AC,ON=BD.在△MON中,MN<OM+ON=(AC+BD),∴④正確. [答案] D 2.(2018·廣州綜合測試二)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是棱A1D1的中點,過C1,B,M作正方體的截面,則這個截面的面積為(  ) A. B. C. D. [解析] 設(shè)AA1的中點為N,則MN∥BC1,連接MN,NB,BC1,MC1,則梯形MNBC1就是過C1,

11、B,M正方體的截面,其面積為×(+2)×=,故選C. [答案] C 3.(2018·鄭州質(zhì)檢)如圖,矩形ABCD中,AB=2AD,E為邊AB的中點,將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點,則在△ADE翻折過程中,下面四個命題中不正確的是______. ①BM是定值; ②點M在某個球面上運動; ③存在某個位置,使DE⊥A1C; ④存在某個位置,使MB∥平面A1DE. [解析] 取DC中點F,連接MF,BF,MF∥A1D 且MF=A1D,F(xiàn)B∥ED且FB=ED,所以∠MFB=∠A1DE.由余弦定理可得MB2=MF2+FB2-2MF·FB·cos∠M

12、FB是定值,所以M是在以B為圓心,MB為半徑的球上,可得①②正確;由MF∥A1D與FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE,可得④正確;A1C在平面ABCD中的投影與AC重合,AC與DE不垂直,可得③不正確. [答案] ③ 4.(2018·南昌高三期末)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面為直角三角形,∠ABC=90°,AC=6,BC=CC1=,P是BC1上一動點,則CP+PA1的最小值為______. [解析] 連接A1B,將△A1BC1與△CBC1同時展平形成一個平面四邊形A1BCC1,則此時對角線CP+PA1=A1C達(dá)到最小,在等腰直角三角形△BCC1中,BC1=2,∠C

13、C1B=45°,在△A1BC1中,A1B==2,A1C1=6,BC1=2,∴A1C+BC=A1B2,即∠A1C1B=90°.對于展開形成的四邊形A1BCC1,在△A1C1C中,C1C=,A1C1=6,∠A1C1C=135°,由余弦定理有,CP+PA1=A1C===5. [答案] 5 5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為D1C1,C1B1的中點,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求證: (1)D、B、F、E四點共面; (2)若A1C交平面DBFE于R點,則P,Q,R三點共線. [證明] (1)如圖所示,因為EF是△D1B1C1的中位線, 所以EF∥B1D1.

14、 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,B1D1∥BD, 所以EF∥BD. 所以EF,BD確定一個平面.即D、B、F、E四點共面. (2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)平面A1ACC1確定的平面為α , 又設(shè)平面BDEF為β. 因為Q∈A1C1,所以Q∈α. 又Q∈EF,所以Q∈β. 則Q是α與β的公共點,同理,P點也是α與β的公共點.所以α∩β=PQ. 又A1C∩β=R,所以R∈A1C,則R∈α且R∈β. 則R∈PQ,故P,Q,R三點共線. [C尖子生專練] 如圖所示,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E為DA的中點.求異面直線BE與CD所成角的余弦值. [解] 如圖所示,取AC的中點F,連接EF,BF, 在△ACD中,E、F分別是AD、AC的中點,∴EF∥CD. ∴∠BEF或其補(bǔ)角即為異面直線BE與CD所成的角. 在Rt△EAB中,AB=AC=1,AE=AD=, ∴BE=. 在Rt△EAF中,AF=AC=,AE=,∴EF=. 在Rt△BAF中,AB=1,AF=,∴BF=. 在等腰三角形EBF中,cos∠FEB===. ∴異面直線BE與CD所成角的余弦值為.

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