4、C．1－2p D.－p
考點(diǎn) 正態(tài)分布的概念及性質(zhì)
題點(diǎn) 求正態(tài)分布的均值或方差
答案 D
解析 由正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性知P(X<1)＝，故μ＝1，即正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，于是P(X<0)＝P(X>2)，
所以P(02)＝－p.
6．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下：
X
0
1
2
P
a
4a
5a
則均值E(X)與方差D(X)分別為( )
A．1.4,0.2 B．0.44,1.4
C．1.4,0.44 D．0.44,0.2
考點(diǎn) 均值、方差的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 求隨機(jī)變量的
5、均值與方差
答案 C
解析 由離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)知a＋4a＋5a＝1，∴a＝0.1.∴P(X＝0)＝0.1，P(X＝1)＝0.4，P(X＝2)＝0.5，∴均值E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4；方差D(X)＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5＝0.196＋0.064＋0.18＝0.44.
7．若在甲袋內(nèi)裝有8個(gè)白球，4個(gè)紅球，在乙袋內(nèi)裝有6個(gè)白球，6個(gè)紅球，今從兩袋里各任意取出1個(gè)球，設(shè)取出的白球個(gè)數(shù)為X，則下列概率中等于的是( )
A．P(X≤1) B．P(X≤2)
C．P(X＝1) D．P(X＝2)
考點(diǎn)
6、超幾何分布
題點(diǎn) 利用超幾何分布求概率
答案 C
解析 P(X＝1)＝.
8．某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的條件下，他在周六晚上值班的概率為( )
A. B. C. D.
考點(diǎn) 條件概率的定義及計(jì)算公式
題點(diǎn) 直接利用公式求條件概率
答案 A
解析 設(shè)事件A為“周日值班”，事件B為“周六值班”，則P(A)＝，P(AB)＝，故P(B|A)＝＝.
9．設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B，則函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋X存在零點(diǎn)的概率是( )
A. B. C. D.
考點(diǎn) 二項(xiàng)分布的計(jì)算及應(yīng)用
題點(diǎn) 利用二項(xiàng)分布求概率
答案 D
解析 ∵函數(shù)f(x)
7、＝x2＋4x＋X存在零點(diǎn)，
∴方程x2＋4x＋X＝0存在實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝16－4X≥0，∴X≤4，
∵隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B，
∴P(X≤4)＝1－P(X＝5)＝1－＝，故選D.
10．一頭豬服用某藥品后被治愈的概率是90%，則服用這種藥的5頭豬中恰有3頭被治愈的概率為( )
A．0.93 B．1－(1－0.9)3
C．C×0.93×0.12 D．C×0.13×0.92
考點(diǎn) 二項(xiàng)分布的計(jì)算及應(yīng)用
題點(diǎn) 利用二項(xiàng)分布求概率
答案 C
解析 5頭豬中恰有3頭被治愈的概率為C×0.93×0.12.
11．排球比賽的規(guī)則是5局3勝制(無(wú)平局)，在某次排球比賽中，甲
8、隊(duì)在每局比賽中獲勝的概率都相等，為，前2局中乙隊(duì)以2∶0領(lǐng)先，則最后乙隊(duì)獲勝的概率是( )
A. B. C. D.
考點(diǎn) 相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及應(yīng)用
題點(diǎn) 獨(dú)立事件與互斥事件的綜合應(yīng)用
答案 B
解析 最后乙隊(duì)獲勝事件含3種情況：(1)第三局乙勝；(2)第三局甲勝，第四局乙勝；(3)第三局和第四局都是甲勝，第五局乙勝．故最后乙隊(duì)獲勝的概率P＝＋×＋2×＝，故選B.
12．一個(gè)均勻小正方體的六個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)以數(shù)0，兩個(gè)面上標(biāo)以數(shù)1，一個(gè)面上標(biāo)以數(shù)2.將這個(gè)小正方體拋擲2次，則向上的面上的數(shù)之積的均值是( )
A. B. C. .D.
考點(diǎn) 常見(jiàn)的幾種均值
題點(diǎn)
9、 相互獨(dú)立事件的均值
答案 D
解析 將小正方體拋擲1次，向上的面上可能出現(xiàn)的數(shù)有0,1,2，概率分別為，，，將這個(gè)小正方體拋擲2次，可以表示為下表：
0
1
2
0
×
×
×
1
×
×
×
2
×
×
×
令ξ為小正方體拋擲2次后向上的面上的數(shù)之積，
則積為0的概率P(ξ＝0)＝×＋×＋×＋×＋×＝.
積為1的概率P(ξ＝1)＝×＝.
積為2的概率P(ξ＝2)＝×＋×＝.
積為4的概率P(ξ＝4)＝×＝，
所以向上的面上的數(shù)之積的均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋4×＝.
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．已
10、知隨機(jī)變量ξ～B(n，p)，若E(ξ)＝4，η＝2ξ＋3，D(η)＝3.2，則P(ξ＝2)＝________.
考點(diǎn) 二項(xiàng)分布的計(jì)算及應(yīng)用
題點(diǎn) 利用二項(xiàng)分布的分布列求概率
答案
解析 由已知np＝4,4np(1－p)＝3.2，
∴n＝5，p＝0.8，∴P(ξ＝2)＝Cp2(1－p)3＝.
14．某處有水龍頭5個(gè)，調(diào)查表示每個(gè)水龍頭被打開(kāi)的可能性均為，則3個(gè)水龍頭同時(shí)被打開(kāi)的概率為_(kāi)_______．
考點(diǎn) 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的計(jì)算
題點(diǎn) 用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求概率
答案 0.008 1
解析 對(duì)5個(gè)水龍頭的處理可視為做5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)有2種可能結(jié)果：打開(kāi)或不打開(kāi)，
11、相應(yīng)的概率為0.1或0.9，根據(jù)題意得3個(gè)水龍頭同時(shí)被打開(kāi)的概率為C×0.13×0.92＝0.008 1.
15．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，向量a＝(1,2)與向量b＝(ξ，－1)的夾角為銳角的概率是，則μ＝______.
考點(diǎn) 正態(tài)分布的概念及性質(zhì)
題點(diǎn) 求正態(tài)分布的均值或方差
答案 2
解析 由向量a＝(1,2)與向量b＝(ξ，－1)的夾角是銳角，得a·b>0，即ξ－2>0，解得ξ>2，則P(ξ>2)＝.
根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱(chēng)性，可知μ＝2.
16．一射手對(duì)靶射擊，直到第一次中靶或用光子彈為止．若他每次射擊中靶的概率是0.9，他有3顆子彈，則射擊結(jié)束后剩余
12、子彈的數(shù)目X的均值E(X)＝________.
考點(diǎn) 常見(jiàn)的幾種均值
題點(diǎn) 相互獨(dú)立事件的均值
答案 1.89
解析 由題意知，X的可能取值是0,1,2，對(duì)應(yīng)的概率分別為P(X＝2)＝0.9，P(X＝1)＝0.1×0.9＝0.09，P(X＝0)＝0.13＋0.12×0.9＝0.01，
由此可得均值E(X)＝2×0.9＋1×0.09＋0×0.01＝1.89.
三、解答題(本大題共6小題，共70分)
17．(10分)某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽，需回答三個(gè)問(wèn)題，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：答對(duì)第一、二、三個(gè)問(wèn)題分別得100分，100分，200分，答錯(cuò)得0分．假設(shè)這名同學(xué)答對(duì)第一、二、三個(gè)問(wèn)題的概率分別為
13、0.8,0.7,0.6，且各題答對(duì)與否相互之間沒(méi)有影響．
(1)求這名同學(xué)得300分的概率；
(2)求這名同學(xué)至少得300分的概率．
考點(diǎn) 互斥、對(duì)立、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 互斥事件、對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概率問(wèn)題
解 記“這名同學(xué)答對(duì)第i個(gè)問(wèn)題”為事件Ai(i＝1,2,3)，則P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.
(1)這名同學(xué)得300分的概率
P1＝P(A12A3)＋P(1A2A3)
＝P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)P(A2)P(A3)
＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.
(2)這名同學(xué)至少得300分的概
14、率
P2＝P1＋P(A1A2A3)＝0.228＋P(A1)·P(A2)·P(A3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.
18．(12分)某迷宮有三個(gè)通道，進(jìn)入迷宮的每個(gè)人都要經(jīng)過(guò)一扇智能門(mén)．首次到達(dá)此門(mén)，系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)(即等可能)為你打開(kāi)一個(gè)通道．若是1號(hào)通道，則需要1小時(shí)走出迷宮；若是2號(hào)、3號(hào)通道，則分別需要2小時(shí)、3小時(shí)返回智能門(mén)．再次到達(dá)智能門(mén)時(shí)，系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)打開(kāi)一個(gè)你未到過(guò)的通道，直至走出迷宮為止．令ξ表示走出迷宮所需的時(shí)間．
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的均值．
考點(diǎn) 均值與方差的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量的分布列及均值
解 (1)ξ的所有可能取值為1
15、,3,4,6.
P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝3)＝×＝，
P(ξ＝4)＝×＝，
P(ξ＝6)＝2××1＝，
ξ的分布列為
ξ
1
3
4
6
P
(2)E(ξ)＝1×＋3×＋4×＋6×＝.
19．(12分)從1,2,3，…，9這9個(gè)自然數(shù)中，任取3個(gè)數(shù)．
(1)求這3個(gè)數(shù)恰有1個(gè)偶數(shù)的概率；
(2)記X為3個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)，例如取出的數(shù)為1,2,3，則有兩組相鄰的數(shù)1,2和2,3，此時(shí)X的值為2，求隨機(jī)變量X的分布列及均值E(X)．
考點(diǎn) 均值與方差的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量的分布列及均值
解 (1)設(shè)Y表示“任取的3個(gè)數(shù)中偶數(shù)的
16、個(gè)數(shù)”，
則Y服從N＝9，M＝4，n＝3的超幾何分布，
∴P(Y＝1)＝＝.
(2)X的取值為0,1,2，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.
∴X的分布列為
X
0
1
2
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
20．(12分)某食品企業(yè)一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)用ξ表示，據(jù)統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)變量ξ的分布列如下表：
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.3
2a
a
(1)求a的值和ξ的均值；
(2)假設(shè)一月份與二月份被消費(fèi)者投訴的次數(shù)互不影響，求該企業(yè)在這兩個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投
17、訴2次的概率．
考點(diǎn) 互斥、對(duì)立、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問(wèn)題
題點(diǎn) 互斥事件、對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概率問(wèn)題
解 (1)由分布列的性質(zhì)得0.1＋0.3＋2a＋a＝1，
解得a＝0.2，
∴ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.4
0.2
∴E(ξ)＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.
(2)設(shè)事件A表示“兩個(gè)月內(nèi)共被投訴2次”；事件A1表示“兩個(gè)月內(nèi)有一個(gè)月被投訴2次，另一個(gè)月被投訴0次”；事件A2表示“兩個(gè)月均被投訴1次”．
則由事件的獨(dú)立性得
P(A1)＝CP(ξ＝2)P(ξ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08，
18、
P(A2)＝[P(ξ＝1)]2＝0.32＝0.09.
∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17.
故該企業(yè)在這兩個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投訴2次的概率為0.17.
21．(12分)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束．
(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；
(2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列和均值．
考點(diǎn) 均值與方差的應(yīng)用
題點(diǎn) 離散型隨機(jī)變
19、量的分布列及均值
解 (1)記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件A.
P(A)＝＝.
(2)X的可能取值為200,300,400.
P(X＝200)＝＝，
P(X＝300)＝＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)
＝1－－＝＝.
故X的分布列為
X
200
300
400
P
E(X)＝200×＋300×＋400×＝350.
22．(12分)某單位招聘面試，每次從試題庫(kù)中隨機(jī)調(diào)用一道試題，若調(diào)用的是A類(lèi)型試題，則使用后該試題回庫(kù)，并增補(bǔ)一道A類(lèi)型試題和一道B類(lèi)型試題入庫(kù)，此次調(diào)題工作結(jié)束；若調(diào)用的是B類(lèi)
20、型試題，則使用后該試題回庫(kù)，此次調(diào)題工作結(jié)束．試題庫(kù)中現(xiàn)共有(n＋m)道試題，其中有n道A類(lèi)型試題和m道B類(lèi)型試題，以X表示兩次調(diào)題工作完成后，試題庫(kù)中A類(lèi)型試題的數(shù)量．
(1)求X＝n＋2的概率；
(2)設(shè)m＝n，求X的分布列和均值．
解 以Ai表示第i次調(diào)題調(diào)用到A類(lèi)型試題，i＝1,2.
(1)P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝·
＝.
(2)X的可能取值為n，n＋1，n＋2.
P(X＝n)＝P(12)＝·＝，
P(X＝n＋1)＝P(A12)＋P(1A2)＝·＋·＝，
P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝·＝.
從而X的分布列為
X
n
n＋1
n＋2
P
所以E(X)＝n×＋(n＋1)×＋(n＋2)×＝n＋1.
2022-2023版高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布章末檢測(cè)試卷 新人教A版選修2-3
