《（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.4 空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示學(xué)案 新人教A版選修2-1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.4 空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示學(xué)案 新人教A版選修2-1（16頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 3.1.4　空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解空間向量基本定理.2.理解基底、基向量及向量的線性組合的概念.3.掌握空間向量的坐標(biāo)表示，能在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中寫出向量的坐標(biāo)． 知識(shí)點(diǎn)一　空間向量基本定理 思考1　平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？ 答案　如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共線的e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． 思考2　平面向量的基底唯一確定嗎？ 答案　不唯一． 梳理　(1)空間向量基本定理 條件 三個(gè)不共面的向量a，b，c和空

2、間任一向量p 結(jié)論 存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc (2)基底 條件：三個(gè)向量a，b，c不共面． 結(jié)論：{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底． 基向量：基底中的向量a，b，c都叫做基向量． 知識(shí)點(diǎn)二　空間向量的坐標(biāo)表示 思考　平面向量的坐標(biāo)是如何表示的？ 答案　在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使a＝xi＋yj，這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可由x，y唯一確定，我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，其中x叫做a在x軸上

3、的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)． 設(shè)＝xi＋yj，則向量的坐標(biāo)(x，y)就是點(diǎn)A的坐標(biāo)，即若＝(x，y)，則A點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，反之亦成立(O是坐標(biāo)原點(diǎn))． 梳理　空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 單位正交基底 有公共起點(diǎn)O的三個(gè)兩兩垂直的單位向量，記作e1，e2，e3 空間直角坐標(biāo)系 以e1，e2，e3的公共起點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以e1，e2，e3的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz 空間向量的坐標(biāo)表示 對(duì)于空間任意一個(gè)向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，則把x，y，z稱作向量p在單位正交基底e1，e2，e3下的坐標(biāo)，記作p

4、＝(x，y，z) (1)空間的任何一個(gè)向量都可用三個(gè)給定向量表示．(×) (2)若{a，b，c}為空間的一個(gè)基底，則a，b，c全不是零向量．(√) (3)如果向量a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則一定有a與b共線．(√) (4)任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底．(×) 類型一　基底的判斷 例1　(1)下列能使向量，，成為空間的一個(gè)基底的關(guān)系式是(　　) A.＝＋＋ B.＝＋ C.＝＋＋ D.＝2－MC (2)設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，給出下列向量：①{a，b，x}；②{b，c，z}；③{x，y，

5、a＋b＋c}．其中可以作為空間的基底的有(　　) A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．0個(gè) 考點(diǎn)　空間向量基底的概念 題點(diǎn)　空間向量基底的判斷 答案　(1)C　(2)B 解析　(1)對(duì)于選項(xiàng)A，由＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四點(diǎn)共面知，，，共面；對(duì)于選項(xiàng)B，D，可知，，共面，故選C. (2)②③均可以作為空間的基底，故選B. 反思與感悟　基底判斷的基本思路及方法 (1)基本思路：判斷三個(gè)空間向量是否共面，若共面，則不能構(gòu)成基底；若不共面，則能構(gòu)成基底． (2)方法：①如果向量中存在零向量，則不能作為基底；如果存在一個(gè)向量可以用另外的向量線性表示，則不能構(gòu)成基底．

6、 ②假設(shè)a＝λb＋μc，運(yùn)用空間向量基本定理，建立λ，μ的方程組，若有解，則共面，不能作為基底；若無解，則不共面，能作為基底． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知a，b，c是不共面的三個(gè)非零向量，則可以與向量p＝a＋b，q＝a－b構(gòu)成基底的向量是(　　) A．2a B．2b C．2a＋3b D．2a＋5c (2)以下四個(gè)命題中正確的是(　　) A．基底{a，b，c}中可以有零向量 B．空間任何三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底 C．△ABC為直角三角形的充要條件是·＝0 D．空間向量的基底只能有一組 考點(diǎn)　空間向量基底的概念 題點(diǎn)　空間向量基底的概念 答案　(1)D　(2)

7、B 解析　(2)使用排除法．因?yàn)榱阆蛄颗c任意兩個(gè)非零向量都共面，故A不正確；△ABC為直角三角形并不一定是·＝0，可能是·＝0，也可能是·＝0，故C不正確；空間基底可以有無數(shù)多組，故D不正確． 類型二　空間向量基本定理的應(yīng)用 例2　如圖所示，空間四邊形OABC中，G，H分別是△ABC，△OBC的重心，設(shè)＝a，＝b，＝c，D為BC的中點(diǎn)．試用向量a，b，c表示向量和. 考點(diǎn)　空間向量基底的概念 題點(diǎn)　空間向量基本定理 解　因?yàn)椋剑? 而＝，＝－， 又D為BC的中點(diǎn)，所以＝(＋)， 所以＝＋＝＋(－) ＝＋×(＋)－ ＝(＋＋)＝(a＋b＋c)． 又因?yàn)椋剑? ＝＝×(＋

8、) ＝(b＋c)， 所以＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a. 所以＝(a＋b＋c)，＝－a. 反思與感悟　用基底表示向量時(shí)，若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及向量數(shù)乘的運(yùn)算律；若沒給定基底，首先選擇基底，選擇時(shí)，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求． 跟蹤訓(xùn)練2　在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)＝a，＝b，＝c，E，F(xiàn)分別是AD1，BD的中點(diǎn)． (1)用向量a，b，c表示，； (2)若＝xa＋yb＋zc，求實(shí)數(shù)x，y，z的值． 考點(diǎn)　空間向量基底的概念 題點(diǎn)　空間向量基本定理 解　

9、(1)如圖，連接AC， ＝＋ ＝－＋－＝a－b－c， ＝＋＝＋ ＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)． (2)＝(＋) ＝(－＋) ＝(－c＋a－b－c) ＝a－b－c， ∴x＝，y＝－，z＝－1. 類型三　空間向量的坐標(biāo)表示 例3　(1)設(shè){e1，e2，e3}是空間的一個(gè)單位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，則a，b的坐標(biāo)分別為________________． 考點(diǎn)　空間向量的正交分解 題點(diǎn)　向量的坐標(biāo) 答案　(4，－8,3)，(－2，－3,7) 解析　由于{e1，e2，e3}是空間的一個(gè)單位正交基底，所以a＝(4，－8,3)，b＝

10、(－2，－3,7)． (2)已知a＝(3,4,5)，e1＝(2，－1,1)，e2＝(1,1，－1)，e3＝(0,3,3)，求a沿e1，e2，e3的正交分解． 考點(diǎn)　空間向量的正交分解 題點(diǎn)　向量的坐標(biāo) 解　因?yàn)閍＝(3,4,5)，e1＝(2，－1,1)， e2＝(1,1，－1)，e3＝(0,3,3)， 設(shè)a＝αe1＋βe2＋λe3， 即(3,4,5)＝(2α＋β，－α＋β＋3λ，α－β＋3λ)， 所以解此方程組得 所以a沿e1，e2，e3的正交分解為a＝e1＋e2＋e3. 反思與感悟　用坐標(biāo)表示空間向量的步驟 跟蹤訓(xùn)練3　(1)空間四邊形OABC中，＝a，＝b，＝c，

11、點(diǎn)M在OA上，且OM＝2MA，N為BC的中點(diǎn)，在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為________． 考點(diǎn)　空間向量的正交分解 題點(diǎn)　向量的坐標(biāo) 答案　 解析　∵OM＝2MA，點(diǎn)M在OA上， ∴OM＝OA， ∴＝＋＝－＋(＋) ＝－a＋b＋c＝. (2)已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，并且PA＝AD＝1.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求向量的坐標(biāo)． 考點(diǎn)　空間向量的正交分解 題點(diǎn)　向量的坐標(biāo) 解　因?yàn)镻A＝AD＝AB＝1， 所以可設(shè)＝e1，＝e2，＝e3. 因?yàn)椋剑? ＝＋＋ ＝＋＋(＋＋) ＝－＋＋(－＋＋) ＝＋＝e3＋e2

12、， 所以＝. 1．已知i，j，k分別是空間直角坐標(biāo)系Oxyz中x軸，y軸，z軸的正方向上的單位向量，且＝－i＋j－k，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是(　　) A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不確定 考點(diǎn)　空間向量的正交分解 題點(diǎn)　向量的坐標(biāo) 答案　D 解析　由＝－i＋j－k只能確定向量＝(－1,1，－1)，而向量的起點(diǎn)A的坐標(biāo)未知，故終點(diǎn)B的坐標(biāo)不確定． 2．在下列兩個(gè)命題中，真命題是(　　) ①若三個(gè)非零向量a，b，c不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則a，b，c共面； ②若a，b是兩個(gè)不共線向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈

13、R且λμ≠0)，則{a，b，c}構(gòu)成空間的一個(gè)基底． A．僅①B．僅②C．①②D．都不是 考點(diǎn)　空間向量基底的概念 題點(diǎn)　空間向量基底的概念 答案　A 解析?、贋檎婷}；②中，由題意得a，b，c共面，故②為假命題，故選A. 3．已知點(diǎn)A在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j(luò)＋k，c＝k＋i，則點(diǎn)A在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)是(　　) A．(12,14,10) B．(10,12,14) C．(14,12,10) D．(4,3,2) 考點(diǎn)　空間向量的正交分解 題點(diǎn)　向量的坐標(biāo) 答案　A 解析　設(shè)點(diǎn)A在基底{a，b，c}下對(duì)應(yīng)的向量為p

14、，則p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故點(diǎn)A在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)為(12,14,10)． 4．已知a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若d＝αa＋βb＋λc，則α，β，λ的值分別為________． 考點(diǎn)　空間向量的正交分解 題點(diǎn)　空間向量在單位正交基底下的坐標(biāo) 答案　，－1，－ 解析　∵d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋λ(e1－e2＋e3) ＝(α＋β＋λ)e1＋(α＋β－λ)e2＋(α－β＋λ)e3 ＝e1＋2e2＋3e3， ∴∴ 5．如圖，

15、已知PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，G為△PDC的重心，＝i，＝j(luò)，＝k，試用基底{i，j，k}表示向量，. 考點(diǎn)　空間向量的正交分解 題點(diǎn)　向量在單位正交基底下的坐標(biāo) 解　延長PG交CD于點(diǎn)N，則N為CD的中點(diǎn)， ＝＝ ＝(＋＋＋－) ＝＋－＝i＋j－k. ＝＋＋＝＋＋ ＝－－ ＝－－ ＝－＋ ＝－i＋j＋k. 1．基底中不能有零向量．因零向量與任意一個(gè)非零向量都為共線向量，與任意兩個(gè)非零向量都共面，所以三個(gè)向量為基底隱含著三個(gè)向量一定為非零向量． 2．空間幾何體中，要得到有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，一般選擇兩兩垂直的三條線段所在直線為坐

16、標(biāo)軸，然后選擇基向量，根據(jù)已知條件和圖形關(guān)系將所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐標(biāo)． 3．用基底表示空間向量，一般要用向量的加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算法則，及加法的平行四邊形法則，加法、減法的三角形法則．逐步向基向量過渡，直到全部用基向量表示． 一、選擇題 1．下列說法中不正確的是(　　) A．只要空間的三個(gè)向量的模為1，那么它們就能構(gòu)成空間的一個(gè)單位正交基底 B．豎坐標(biāo)為0的向量平行于x軸與y軸所確定的平面 C．縱坐標(biāo)為0的向量都共面 D．橫坐標(biāo)為0的向量都與x軸上的基向量垂直 考點(diǎn)　空間向量基底的概念 題點(diǎn)　空間向量基底的概念 答案　A 解析　單位正交基底除要求模為1

17、外，還要求三個(gè)向量?jī)蓛纱怪保? 2．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，下列說法中正確的是(　　) A．向量的坐標(biāo)與點(diǎn)B的坐標(biāo)相同 B．向量的坐標(biāo)與點(diǎn)A的坐標(biāo)相同 C．向量的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)相同 D．向量的坐標(biāo)與－的坐標(biāo)相同 考點(diǎn)　空間向量的正交分解 題點(diǎn)　向量的坐標(biāo) 答案　D 3．已知點(diǎn)O，A，B，C為空間不共面的四點(diǎn)，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，則與a，b不能構(gòu)成空間基底的向量是(　　) A. B. C. D.或 考點(diǎn)　空間向量基底的概念 題點(diǎn)　 答案　C 解析　∵＝a－b且a，b不共線， ∴a，b，共面，∴與a，b不能構(gòu)成一組空間基底． 4．已知A(3,4,5)

18、，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若＝，則C的坐標(biāo)是(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　空間向量的正交分解 題點(diǎn)　向量的坐標(biāo) 答案　A 解析　設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x，y，z)，則＝(x，y，z)． 又＝(－3，－2，－4)，＝， ∴x＝－，y＝－，z＝－. 5．{a，b，c}為空間的一個(gè)基底，且存在實(shí)數(shù)x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，則x，y，z的值分別為(　　) A．0,0,1 B．0,0,0 C．1,0,1 D．0,1,0 考點(diǎn)　空間向量基底的概念 題點(diǎn)　空間向量基底的概念 答案　B 解析　若x，y，z中存在一個(gè)不為0的數(shù)，不妨設(shè)x≠0，則a＝－b－c，

19、∴a，b，c共面．這與{a，b，c}是基底矛盾，故x＝y(tǒng)＝z＝0. 6．設(shè)a，b，c是三個(gè)不共面向量，現(xiàn)從①a－b，②a＋b－c中選出一個(gè)使其與a，b構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則可以選擇的是(　　) A．僅① B．僅② C．①② D．不確定 考點(diǎn)　空間向量基底的概念 題點(diǎn)　空間向量基底的概念 答案　B 解析　對(duì)于①∵a－b與a，b共面， ∴a－b與a，b不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底． 對(duì)于②∵a＋b－c與a，b不共面，∴a＋b－c與a，b構(gòu)成空間的一個(gè)基底． 7．設(shè)O-ABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一點(diǎn)，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，則(x，y，z)為(　　)

20、 A. B. C. D. 考點(diǎn)　空間向量的正交分解 題點(diǎn)　向量的坐標(biāo) 答案　A 解析　如圖所示，連接AG1交BC于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)， ＝(＋) ＝(－2＋)， ＝＝(－2＋)， ∵＝3＝3(－)， ∴＝＝(＋) ＝ ＝＋＋，故選A. 二、填空題 8.如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中建立空間直角坐標(biāo)系．已知AB＝AD＝2，BB1＝1，則的坐標(biāo)為________，的坐標(biāo)為________． 考點(diǎn)　空間向量的正交分解 題點(diǎn)　向量的坐標(biāo) 答案　(0,2,1)　(2,2,1) 解析　根據(jù)已建立的空間直角坐標(biāo)系，知A(0,0,0)，C1(2,2,

21、1)，D1(0,2,1)，則的坐標(biāo)為(0,2,1)，的坐標(biāo)為(2,2,1)． 9．在四面體O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則 ＝________.(用a，b，c表示) 考點(diǎn)　空間向量基底的概念 題點(diǎn)　空間向量基本定理 答案　a＋b＋c 解析?。剑剑?＋) ＝＋(－＋－) ＝＋＋＝a＋b＋c. 10．若四邊形ABCD為平行四邊形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為____________． 考點(diǎn)　空間向量的正交分解 題點(diǎn)　向量的坐標(biāo) 答案　(5,13，－3) 解析　由四邊形ABCD是平行四邊形

22、知＝， 設(shè)D(x，y，z)，則＝(x－4，y－1，z－3)，＝(1,12，－6)， 所以解得 即D點(diǎn)坐標(biāo)為(5,13，－3)． 三、解答題 11.如圖所示，正方體OABC－O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c. (1)用a，b，c表示向量，； (2)設(shè)G，H分別是側(cè)面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示. 考點(diǎn)　空間向量基底的概念 題點(diǎn)　空間向量基本定理 解　(1)＝＋ ＝＋＋＝a＋b＋c. ＝＋＝＋＋ ＝＋－＝b＋c－a. (2)＝＋＝－＋ ＝－(＋)＋(＋) ＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)＝(c－b)． 12.已知ABCD－A

23、1B1C1D1是棱長為2的正方體，E，F(xiàn)分別為BB1和DC的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，試寫出，，的坐標(biāo)． 考點(diǎn)　空間向量的正交分解 題點(diǎn)　空間向量的坐標(biāo) 解　設(shè)x，y，z軸的單位向量分別為e1，e2，e3， 其方向與各軸的正方向相同， 則＝＋＋＝2e1＋2e2＋2e3， ∴＝(2,2,2)． ∵＝＋＋＝2e1＋2e2＋e3， ∴＝(2,2,1)．∵＝e2，∴＝(0,1,0)． 13．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1. (1)證明：A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面； (2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值

24、． 考點(diǎn)　空間向量基底的概念 題點(diǎn)　空間向量的基本定理 (1)證明　因?yàn)椋剑? ＝＋＋＋ ＝＋ ＝(＋)＋(＋)＝＋， 所以A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面． (2)解　因?yàn)椋剑剑?＋) ＝＋－－＝－＋＋， 所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝. 四、探究與拓展 14．已知四面體ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，AC，BD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，則＝________. 考點(diǎn)　空間向量基底的概念 題點(diǎn)　空間向量基本定理 答案　3a＋3b－5c 解析　如圖所示，取BC的中點(diǎn)G， 連接EG，F(xiàn)G， 則＝－＝－＝＋ ＝(5a＋6b－8c)＋(a－2c)＝

25、3a＋3b－5c. 15．已知正四面體ABCD的棱長為1，試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系并表示出向量，，的坐標(biāo)． 考點(diǎn)　空間向量的正交分解 題點(diǎn)　向量的坐標(biāo) 解　過點(diǎn)A作AG垂直平面BCD于點(diǎn)G，所以G為△BCD的中心， 過點(diǎn)G作GF∥CD， 延長BG交CD于點(diǎn)E， 則E為CD的中點(diǎn)． 以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GF，GE，GA所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Gxyz， 因?yàn)椤鰾CD的邊長為1， 所以BE＝，GE＝，又＝， 所以GF＝×＝，又BG＝， 所以AG＝＝. 設(shè)單位正交基底為{e1，e2，e3}，則 ＝－＝－e2－e3＝， ＝－＝＋－ ＝e2＋e1－e3＝， ＝－＝＋－ ＝e2－e1－e3＝. 16