《（渝皖瓊）2018-2019學年高中數學 第一章 立體幾何初步 7.1 簡單幾何體的側面積學案 北師大版必修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（渝皖瓊）2018-2019學年高中數學 第一章 立體幾何初步 7.1 簡單幾何體的側面積學案 北師大版必修2（16頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 7．1　簡單幾何體的側面積 學習目標　1.通過對柱體、錐體、臺體的研究，掌握柱體、錐體、臺體的表面積的求法.2.了解柱體、錐體、臺體的表面積計算公式；能運用柱體、錐體、臺體的表面積公式進行計算和解決有關實際問題.3.培養(yǎng)空間想象能力和思維能力． 知識點一　圓柱、圓錐、圓臺的表面積 思考1　圓柱OO′及其側面展開圖如下，則其側面積為多少？表面積為多少？ 答案　S側＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)． 思考2　圓錐SO及其側面展開圖如下，則其側面積為多少？表面積為多少？ 答案　底面周長是2πr，利用扇形面積公式得 S側＝×2πrl＝πrl， S表＝πr2＋πrl＝π

2、r(r＋l)． 思考3　圓臺OO′及其側面展開圖如下，則其側面積為多少？表面積為多少？ 答案　圓臺的側面展開圖是扇環(huán)，內弧長等于圓臺上底周長，外弧長等于圓臺下底周長，＝，解得x＝l. S扇環(huán)＝S大扇形－S小扇形 ＝(x＋l)×2πR－x·2πr ＝π[(R－r)x＋Rl ]＝π(r＋R)l， 所以，S圓臺側＝π(r＋R)l，S圓臺表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)． 梳理　圓柱、圓錐、圓臺的側面積公式 圖形 表面積公式 旋轉體 圓柱 底面積：S底＝2πr2 側面積：S側＝2πrl 表面積：S＝2πr(r＋l) 圓錐 底面積：S底＝πr2 側面積：

3、S側＝πrl 表面積：S＝πr(r＋l) 圓臺 上底面面積：S上底＝πr′2 下底面面積：S下底＝πr2 側面積：S側＝π(r′l＋rl) 表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 知識點二　直棱柱、正棱錐、正棱臺的側面積 思考1　類比圓柱側面積的求法，你認為怎樣求直棱柱的側面積？如果直棱柱底面周長為c，高為h，那么直棱柱的側面積是什么？ 答案　利用直棱柱的側面展開圖求棱柱的側面積．展開圖如圖，不難求得S直棱柱側＝ch. 思考2　正棱錐的側面展開圖如圖，設正棱錐底面周長為c，斜高為h′，如何求正棱錐的側面積？ 答案　正棱錐的側面積就是展開圖中各個等腰三

4、角形面積之和，不難得到S正棱錐側＝ch′. 思考3　下圖是正四棱臺的展開圖，設下底面周長為c，上底面周長為c′，你能根據展開圖，歸納出正n棱臺的側面面積公式嗎？ 答案　S正棱臺側＝n(a＋a′)h′＝(c＋c′)h′. 梳理　棱柱、棱錐、棱臺側面積公式 幾何體 側面展開圖 側面積公式 直棱柱 S直棱柱側＝c·h c—底面周長 h—高 正棱錐 S正棱錐側＝c·h′ c—底面周長 h′—斜高 正棱臺 S正棱臺側＝(c＋c′)·h′ c、c′—上、下底面周長h′—斜高 1．斜三棱柱的側面積也可以用cl來求解，其中l(wèi)為側棱長，c為底面周長．(

5、　×　) 2．多面體的表面積等于各個面的面積之和．(　√　) 3．圓柱的一個底面積為S，側面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側面積是2πS.(　×　) 類型一　旋轉體的側面積(表面積) 例1　圓臺的上、下底面半徑分別為10 cm和20 cm.它的側面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°，則圓臺的表面積為多少． 考點　 題點　 解　如圖所示， 設圓臺的上底面周長為c， 因為扇環(huán)的圓心角是180°， 故c＝π·SA＝2π×10， 所以SA＝20，同理可得SB＝40， 所以AB＝SB－SA＝20， 所以 ＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×

6、202＝1 100π(cm2)． 故圓臺的表面積為1 100π cm2. 反思與感悟　圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面，計算側面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側面積與底面圓的面積之和． 跟蹤訓練1　(1)圓柱的側面展開圖是兩邊長分別為6π和4π的矩形，則圓柱的表面積為(　　) A．6π(4π＋3) B．8π(3π＋1) C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1) D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2) 考點　 題點　 答案　C 解析　由題意，圓柱的側面積＝6π×4π＝24π2. ①當以邊長為6π的邊為母線時，4π為圓柱底面周長，則2πr＝4π， 即r＝2，所以

7、＝4π， 所以＝＋2＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)． ②當以邊長為4π的邊為母線時，6π為圓柱底面周長，則2πr＝6π，即r＝3，所以＝9π， 所以＝24π2＋18π＝6π(4π＋3)． (2)圓錐的中截面把圓錐側面分成兩部分，則這兩部分側面積的比為(　　) A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4 考點　 題點　 答案　C 解析　如圖所示，PB為圓錐的母線，O1，O2分別為截面與底面的圓心．因為O1為PO2的中點， 所以＝＝＝， 所以PA＝AB，. 又因為＝π··PA， ＝π·()·AB， 則＝＝. 類型二　多面體的側面積(表面積)及應用

8、 例2　如圖所示，已知六棱錐P-ABCDEF，其中底面ABCDEF是正六邊形，點P在底面的投影是正六邊形的中心，底面邊長為2 cm，側棱長為3 cm.求六棱錐P-ABCDEF的表面積． 解　 ＝6××2×2×sin 60°＝6. 又＝＝6××2× ＝6＝12. 反思與感悟　多面體中的有關計算通常轉化為平面圖形(三角形或特殊的四邊形)來計算，對于棱錐中的計算問題往往要構造直角三角形，即棱錐的高、斜高以及斜高在底面上的投影構成的直角三角形，或者由棱錐的高、側棱以及側棱在底面上的投影構成的直角三角形． 跟蹤訓練2　 已知正四棱臺上底面邊長為4 cm，側棱和下底面邊長都是8 c

9、m，求它的側面積． 考點　 題點　 解　方法一　如圖，作B1F⊥BC， 垂足為F，設棱臺的斜高為h′. 在Rt△B1FB中， B1F＝h′， BF＝(8－4)＝2(cm)， B1B＝8 cm， ∴B1F＝＝2(cm)， ∴h′＝B1F＝2 cm. ∴S正棱臺側＝×4×(4＋8)×2＝48(cm2)． 方法二　延長正四棱臺的側棱交于點P，如圖，設PB1＝x cm， 則＝， 得x＝8 cm. ∴PB1＝B1B＝8 cm， ∴E1為PE的中點． ∴PE1＝＝2(cm)． PE＝2PE1＝4 cm. ∴S正棱臺側＝S大正棱錐側－S小正棱錐側 ＝4××8×

10、PE－4××4×PE1 ＝4××8×4－4××4×2 ＝48(cm2)． 類型三　組合體的側面積(表面積) 例3　已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD內，過C作l⊥CB，以l為軸將梯形ABCD旋轉一周，求此旋轉體的表面積． 考點　 題點　 解　如圖所示，該幾何體是由一個圓柱挖去一個圓錐構成的．在直角梯形ABCD中，AD＝a，BC＝2a， AB＝(2a－a)tan 60°＝a， DC＝＝2a， 又DD′＝DC＝2a， 則S表＝S圓柱表＋S圓錐側－S圓錐底 ＝2π·2a·a＋2π·(2a)2＋π·a·

11、2a－πa2 ＝(9＋4)πa2. 反思與感悟　(1)對于由基本幾何體拼接成的組合體，要注意拼接面重合對組合體表面積的影響． (2)對于從基本幾何體中切掉或挖掉的部分構成的組合體，要注意新產生的截面和原幾何體表面的變化． 跟蹤訓練3　已知△ABC的三邊長分別是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，求所得旋轉體的表面積． 考點　 題點　 解　如圖，在△ABC中，過C作CD⊥AB，垂足為點D. 由AC＝3，BC＝4，AB＝5， 知AC2＋BC2＝AB2， 則AC⊥BC. 所以BC·AC＝AB·CD， 所以CD＝，記為r＝， 那么△ABC

12、以AB為軸旋轉所得旋轉體是兩個同底的圓錐，且底面半徑r＝，母線長分別是AC＝3，BC＝4， 所以S表面積＝πr·(AC＋BC)＝π××(3＋4)＝π. 1．一個圓錐的表面積為πa m2，且它的側面展開圖是一個半圓，則圓錐的底面半徑為(　　) A. m B. m C. m D. m 考點　 題點　 答案　B 解析　設圓錐的母線長為l，底面半徑為r， 則 解得r＝. 2．一個正三棱臺的上、下底面邊長分別為3 cm和6 cm，高是 cm.則三棱臺的側面積為(　　) A．27 cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2 考點　 題點　 答案　

13、B 解析　如圖，O1，O分別是上、下底面中心，則O1O＝ cm， 連接A1O1并延長交B1C1于點D1，連接AO并延長交BC于點D，連接DD1，過D1作D1E⊥AD于點E. 在Rt△D1ED中，D1E＝O1O＝ cm， DE＝DO－OE＝DO－D1O1＝××(6－3)＝ (cm)， DD1＝＝＝ (cm)， 所以S正三棱臺側＝(c＋c′)·DD1＝ (cm2)． 3．如圖所示，圓臺的上、下底半徑和高的比為1∶4∶4，母線長為10，則圓臺的側面積為________． 答案　100π 解析　設圓臺的上底半徑為r，則下底半徑為4r，高為4r. 由母線長為10可知10＝＝5

14、r， ∴r＝2. 故圓臺的上、下底半徑和高分別為2,8,8. 所以圓臺的側面積為π(2＋8)×10＝100π. 4．若圓臺的高是12，母線長為13，兩底面半徑之比為8∶3，則該圓臺的表面積為________． 考點　柱體、錐體、臺體的表面積 題點　臺體的表面積 答案　216π 解析　設圓臺上底面與下底面的半徑分別為r，R， 由勾股定理可得R－r＝＝5. ∵r∶R＝3∶8， ∴r＝3，R＝8. S側＝π(R＋r)l＝π(3＋8)×13＝143π， 則表面積為143π＋π×32＋π×82＝216π. 5．正三棱錐S－ABC的側面積是底面積的2倍，它的高SO＝3，求此正三

15、棱錐的側面積． 考點　 題點　 解　設正三棱錐底面邊長為a，斜高為h′， 如圖所示，過O作OE⊥AB，垂足為E，連接SE， 則SE⊥AB，且SE＝h′. 因為S側＝2S底， 所以×3a×h′＝a2×2. 所以a＝h′. 因為SO⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2. 所以32＋2＝h′2. 所以h′＝2，所以a＝h′＝6. 所以S底＝a2＝×62＝9. 所以S側＝2S底＝18. 1．多面體的表面積為圍成多面體的各個面的面積之和． 2．有關旋轉體的表面積的計算要充分利用其軸截面，就是說將已知條件盡量歸結到軸截面中求解．而對于圓臺有時需要將它還原成圓錐，再借助相

16、似的相關知識求解． 3．S圓柱表＝2πr(r＋l)；S圓錐表＝πr(r＋l)；S圓臺表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)． 一、選擇題 1．已知一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的表面積與側面積的比是(　　) A. B. C. D. 考點　 題點　 答案　A 解析　設圓柱底面半徑、母線長分別為r，l，由題意知l＝2πr，S側＝l2＝4π2r2. S表＝S側＋2πr2＝4π2r2＋2πr2＝2πr2(2π＋1)， ＝＝. 2．將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉軸旋轉一周，所得幾何體的側面積是(　　) A．4π B．3π C．2π D

17、．π 考點　 題點　 答案　C 解析　底面圓半徑為1，高為1，側面積S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故選C. 3．如圖所示，側棱長為1的正四棱錐，若底面周長為4，則這個棱錐的側面積為(　　) A．5 B. C. D.＋1 考點　 題點　 答案　B 解析　設底面邊長為a，則由底面周長為4，得 a＝1，SE＝ ＝，∴S側＝4×××1＝. 4．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為(　　) A．7 B．6 C．5 D．3 考點　 題點　 答案　A 解析　設圓臺較小底面半徑為r， 則另

18、一底面半徑為3r， S側＝π(r＋3r)×3＝84π，∴r＝7. 5．底面為正方形的直棱柱，它的底面對角線長為，體對角線長為，則這個棱柱的側面積是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　D 解析　由已知得底面邊長為1，側棱長為＝2. ∴S側＝1×2×4＝8. 6．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，三棱錐D1－AB1C的表面積與正方體的表面積的比為(　　) A．1∶1 B．1∶ C．1∶ D．1∶2 考點　 題點　 答案　C 解析　設正方體棱長為a， 由題意知，三棱錐的各面都是正三角形， 其表面積為4＝4×a2＝2a2. 正方體的

19、表面積為6a2， ∴三棱錐D1－AB1C的表面積與正方體的表面積的比為2a2∶6a2＝1∶. 7．已知正三棱錐的底面邊長為a，高為a，則其側面積為(　　) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 答案　A 解析　正三棱錐如圖， OD＝××a＝a， ∴PD＝＝a， ∴S側＝×a×a×3＝a2，故選A. 二、填空題 8．圓臺的母線長擴大為原來的n倍，兩底面半徑都縮小為原來的倍，那么它的側面積變?yōu)樵瓉淼腳_______倍． 答案　1 解析　由S側＝π(r′＋r)l.當r，r′縮小倍，l擴大n倍時，S側不變． 9．棱長都是3的三棱錐的表面積S為________．

20、考點　柱體、錐體、臺體的表面積 題點　錐體的表面積 答案　9 解析　因為三棱錐的四個面是全等的正三角形， 所以S＝4××32＝9. 10．正四棱臺的上、下兩底面邊長分別是方程x2－9x＋18＝0的兩根，其側面積等于兩底面面積之和，則其側面梯形的高為________． 考點　 題點　 答案　 解析　方程x2－9x＋18＝0的兩個根為x1＝3，x2＝6，設側面梯形的高為h，則由題意得×(3＋6)·h×4＝32＋62，解得h＝. 11．如圖所示，在棱長為4的正方體上底面中心位置打一個直徑為2、深為4的圓柱形孔，則打孔后的幾何體的表面積為________． 考點　組合幾何體的

21、表面積與體積 題點　柱、錐、臺、球切割的幾何體的表面積與體積 答案　96＋6π 解析　由題意知，所打圓柱形孔穿透正方體，因此打孔后所得幾何體的表面積等于正方體的表面積，再加上一個圓柱的側面積，同時減去兩個圓的面積，即S＝6×42＋4×2π－2π×12＝96＋6π. 12．已知一個正四棱柱的對角線的長是9 cm，表面積等于144 cm2，則這個棱柱的側面積為________ cm2. 答案　112或72 解析　設底面邊長、側棱長分別為a cm，l cm， 則 ∴或 ∴S側＝4×4×7＝112(cm2)或S側＝4×6×3＝72 (cm2)． 三、解答題 13．圓柱有一個內接長

22、方體AC1，長方體的體對角線長是10 cm，圓柱的側面展開平面圖為矩形，此矩形的面積是100π cm2，求圓柱的底面半徑和高． 解　設圓柱底面半徑為r cm，高為h cm，如圖所示， 則圓柱軸截面長方形的對角線長等于它的內接長方體的體對角線長， 則 ∴ 即圓柱的底面半徑為5 cm，高為10 cm. 四、探究與拓展 14．直平行六面體底面是菱形，兩個對角面的面積分別為Q1和Q2，則此平行六面體的側面積為________． 答案　2 解析　設側棱為b，底面邊長為a， 則2＋2＝a2，∴＝4a2b2， ∴S側＝4ab＝2. 15．如圖，一個圓錐的底面半徑為1，高為3，在圓錐中有一個半徑為x的內接圓柱． (1)試用x表示圓柱的高； (2)當x為何值時，圓柱的側面積最大，最大側面積是多少？ 考點　柱體、錐體、臺體的表面積 題點　柱體的表面積 解　(1)軸截面如圖，設圓柱的高為h， BO＝1，PO＝3， 由圖，得＝，即h＝3－3x.(0