《2022年高考數(shù)學一輪復習 第一部分 基礎與考點過關 第二章 函數(shù)與導數(shù)學案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2022年高考數(shù)學一輪復習 第一部分 基礎與考點過關 第二章 函數(shù)與導數(shù)學案（148頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022年高考數(shù)學一輪復習 第一部分 基礎與考點過關 第二章 函數(shù)與導數(shù)學案 ① 本節(jié)是函數(shù)部分的起始部分，以考查函數(shù)概念、三要素及表示法為主，同時考查學生在實際問題中的建模能力. ② 本節(jié)內容曾以多種題型出現(xiàn)在高考試題中，要求相對較低，但很重要，特別是函數(shù)的解析式仍會是2019年高考的重要題型． ① 理解函數(shù)的概念，了解構成函數(shù)的要素. ② 在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù). ③ 了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用． 1. (必修1P26練習3改編)下列對應關系中________是函數(shù)．(填序號) ① A＝R

2、＋，B＝R，對于任意的x∈A，x→x的算術平方根； ② A＝{1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6，8}，對于任意的x∈A，x→2x； ③ x→－x，x∈R； ④ x→y，其中y＝|x|，x∈R，y∈R； ⑤ x→y，其中y為不大于x的最大整數(shù)，x∈R，y∈Z. 答案：①③④⑤ 解析：①③④⑤均符合函數(shù)的定義，②對于集合A中的元素5，在集合B中找不到元素與之對應． 2. (必修1P26練習4改編)下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是__________．(填序號) ① y＝x＋1和y＝；② y＝x0和y＝1；③ f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2；④ f(x)＝和g(x)

3、＝. 答案：④ 解析：只有④表示同一函數(shù)，①與②中定義域不同，③是對應法則不同． 3. (必修1P31習題1改編)設函數(shù)f(x)＝.若f(a)＝2，則實數(shù)a＝__________． 答案：－1 解析：由題意可知，f(a)＝＝2，解得a＝－1. 4. (必修1P31習題8改編)已知函數(shù)f(x)由下表給出，則f(3)＝__________． x 1 2 3 4 f(x) －3 －2 －4 －1 答案：－4 解析：由表中函數(shù)值得f(3)＝－4. 5. (必修1P36習題3改編)已知函數(shù)f(x)在[－1，2]上的圖象如圖所示，則f(x)的解析式為______

4、______． 答案：f(x)＝ 解析：觀察圖象，知此函數(shù)是分段函數(shù)，并且在每段上均是一次函數(shù)，利用待定系數(shù)法求出解析式．當－1≤x≤0時，f(x)＝x＋1；當0

5、定義域，則對于A中的每一個x，都有一個輸出值y與之對應．我們將所有輸出值y組成的集合稱為函數(shù)的值域． (3) 函數(shù)的要素 函數(shù)的構成要素：定義域、對應法則、值域．由于值域是由定義域和對應法則決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應法則完全一致，我們就稱這兩個函數(shù)為相同的函數(shù)或同一函數(shù)．這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)． 2. 函數(shù)的表示方法 表示函數(shù)的常用方法有列表法、解析法(解析式法)、圖象法． 3. 分段函數(shù) 在定義域內不同部分上，有不同的解析式，像這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)的定義域是各段自變量取值集合的并集，值域是各段上函數(shù)值集合的并集． 4. 映射的概念 一般地，設A

6、，B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A→B為從集合A到集合B的一個映射．函數(shù)是映射，但映射不一定是函數(shù)．[備課札記] ,　　　　　　　　　1　函數(shù)的概念) ,　　　　　1)　下列集合A到集合B的對應關系中，是從集合A到集合B的映射的有________．(填序號) ① A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|； ② A＝{x|x≥2，x∈N*}，B＝{y|y≥0，y∈N}，f：x→y＝x2－2x＋2； ③ A＝{x|x>0}，

7、B＝{y|y∈R}，f：x→y＝±； ④ A＝{α|α是三角形的內角}，B＝{y|y∈R}，對應法則：y＝tan α； ⑤ A＝{m|m∈Z}，B＝{y|y＝0或y＝1}，對應法則：y＝ 答案：②⑤ 解析：① 集合A中的零元素，在集合B中沒有相應的對應元素． ② 按照對應法則，滿足題設條件． ③ 一對多，不滿足映射的概念． ④ ∵ ∈A，但的正切值不存在，∴ 此對應不是從集合A到集合B的映射． ⑤ ∵ 集合A中的每一個元素在集合B中都有唯一的元素與之對應，∴ 此對應是從集合A到集合B的映射． 點評：判斷對應是否為映射，即看A中元素是否滿足“每元有象”和“且象唯一”；但要注意：

8、① A中不同元素可有相同的象，即允許多對一，但不允許一對多；② B中元素可無原象，即B中元素可以有剩余． 已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，對應法則f：x→y＝－x2＋2x，對于實數(shù)k∈B，在集合A中不存在元素與之對應，則k的取值范圍是________． 答案：(1，＋∞) 解析：由題意知，方程－x2＋2x＝k無實數(shù)根，即x2－2x＋k＝0無實數(shù)根．∴ Δ＝4(1－k)<0，∴ k>1時滿足題意． ,　　　　　　　　　2　函數(shù)的解析式) ,　　　　　2)　求下列各題中的函數(shù)f(x)的解析式． (1) 已知f(＋2)＝x＋4，求f(x)； (2) 已知f＝lg x，求f(x)

9、； (3) 已知f(x)是二次函數(shù)，且滿足f(0)＝1，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求f(x)． 解：(1) (解法1)設t＝＋2(t≥2)，則＝t－2，即x＝(t－2)2，∴ f(t)＝(t－2)2＋4(t－2)＝t2－4， ∴ f(x)＝x2－4(x≥2)． (解法2)∵ f(＋2)＝(＋2)2－4， ∴ f(x)＝x2－4(x≥2)． (2) 設t＝＋1，則x＝，∴ f(t)＝lg ， 即f(x)＝lg (x>1)． (3) ∵ f(x)是二次函數(shù)， ∴ 設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由f(0)＝1，得c＝1. 由f(x＋1)＝f(x)＋2x，得

10、 a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝ax2＋bx＋1＋2x， 整理，得(2a－2)x＋a＋b＝0， 由恒等式原理，知? ∴ f(x)＝x2－x＋1. 變式訓練 根據(jù)下列條件分別求出f(x)的解析式． (1) f(＋1)＝x＋2； (2) 二次函數(shù)f(x)滿足f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2. 解：(1) 令t＝＋1，∴ t≥1，x＝(t－1)2. 則f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1， 即f(x)＝x2－1，x∈[1，＋∞)． (2) 設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ∴ f(x＋2)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋c， 則f(x＋

11、2)－f(x)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2. ∴ ∴ 又f(0)＝3，∴ c＝3，∴ f(x)＝x2－x＋3. ,　　　　　　　　　3　分段函數(shù)) ,　　　　　3)　如圖所示，在邊長為4的正方形ABCD上有一點P，沿著折線BCDA由B點(起點)向A點(終點)移動．設P點移動的路程為x，△ABP的面積為y＝f(x)． (1) 求△ABP的面積與P移動的路程間的函數(shù)解析式； (2) 作出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象求y的最大值． 解：(1) 這個函數(shù)的定義域為(0，12)， 當0＜x≤4時，S＝f(x)＝·4·x＝2x； 當4＜x≤8時，S＝f(x)＝8； 當8＜x＜12時，

12、S＝f(x)＝·4·(12－x)＝24－2x. ∴ 函數(shù)解析式為f(x)＝ (2) 其圖象如圖所示，由圖知fmax(x)＝8. 變式訓練 已知函數(shù)f(x)＝則滿足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范圍是____________． 答案：(－1，－1) 解析：函數(shù)f(x)＝的圖象如圖所示： f(1－x2)>f(2x)?解得－1

13、1，求得x≤1，則f(x)＝(x＋2)*(3－x)＝畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，方程f(x)＝c恰有兩個不同的解，即是函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝c有2個交點，數(shù)形結合可得c<2. 特別提醒：本題主要考查分段函數(shù)的解析式、函數(shù)的零點以及新定義問題，屬于難題．已知函數(shù)零點個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：(1) 直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2) 分離參數(shù)法：將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3) 數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解．一是轉化為兩個函數(shù)y＝g(x)，y＝

14、h(x)的圖象的交點個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)，二是轉化為y＝a，y＝g(x)的圖象的交點個數(shù)問題． 1. (2018·溧陽中學周練)若x∈R，則f(x)與g(x)表示同一函數(shù)的是________．(填序號) ① f(x)＝x，g(x)＝； ② f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0； ③ f(x)＝，g(x)＝； ④ f(x)＝，g(x)＝x－3. 答案：③ 解析：①中，g(x)＝ ＝|x|≠x； ②中，g(x)＝(x－1)0＝1(x≠1)； ③中，f(x)＝ ＝1(x>0)，g(x)＝1(x>0)； ④中，f(x)＝＝x－3(x≠－3

15、)． 因此填③. 2. 二次函數(shù)y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分對應值如下表： x －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 則關于x的不等式f(x)≤0的解集為____________． 答案：[－3，2] 解析：由表格數(shù)據(jù)作出二次函數(shù)的草圖，結合數(shù)據(jù)與圖象即可發(fā)現(xiàn)不等式f(x)≤0的解集為[－3，2]． 3. 為了保證信息安全傳輸必須使用加密方式，有一種方式其加密、解密原理如下： 明文密文密文明文 已知加密為y＝ax－2(x為明文、y為密文)，如果明文“3”通過加密后得到密文為“

16、6”，再發(fā)送，接受方通過解密得到明文“3”，若接受方接到密文為“14”，則原發(fā)的明文是________． 答案：4 4. 有一個有進水管和出水管的容器，每單位時間進水量是一定的，設從某時刻開始，5分鐘內只進水，不出水，在隨后的15分鐘內既進水，又出水，得到時間x與容器中的水量y之間的關系如圖所示．再隨后，只放水不進水，水放完為止，則這段時間內(即x≥20)，y與x之間的函數(shù)關系是____________________． 答案：y＝－3x＋95 解析：設進水速度為a1 L/min，出水速度為a2 L/min，則由題意得解得則y＝35－3(x－20)，得y＝－3x＋95.當水放完，時

17、間為x＝ min，又知x≥20，故解析式為y＝－3x＋95. 5. 設函數(shù)f(x)＝若f(a)＞f(1)，則實數(shù)a的取值范圍是____________． 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：由f(1)＝－2，則f(a)＞－2.當a>0時，有2a－4>－2，則a>1；當a＜0時，－a－3＞－2，則a＜－1.所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 6. 函數(shù)f(x)＝若關于x的方程f(x)＝kx－k至少有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是____________． 答案：∪(1，＋∞) 解析：如圖，作出函數(shù)圖象，y2＝kx－k過定點(1，0)，臨界點和(1，0

18、)連線的斜率為－，又f′(1)＝1，由圖象知實數(shù)k的取值范圍是∪(1，＋∞)． ,　　3. 分段函數(shù)意義理解不清致誤) 典例　已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為__________． 易錯分析：(1) 誤以為1－a<1，1＋a>1，沒有對a進行討論直接代入求解；(2) 求解過程中忘記檢驗所求結果是否符合要求致誤． 解析：當a>0時，1－a<1，1＋a>1， 由f(1－a)＝f(1＋a)可得2－2a＋a＝－1－a－2a， 解得a＝－，不合題意； 當a<0時，1－a>1，1＋a<1， 由f(1－a)＝f(1＋a)可得－1＋a－2a

19、＝2＋2a＋a， 解得a＝－. 答案：－ 特別提醒：(1) 注意分類討論思想在求函數(shù)值中的應用，對于分段函數(shù)的求值問題，若自變量的取值范圍不確定，應分情況求解；(2) 檢驗所求自變量的值或范圍是否符合題意，求解過程中，求出的參數(shù)的值或范圍并不一定符合題意，因此要檢驗結果是否符合要求． 1. 已知集合A＝{a，b，c}，B＝{1，2}，那么可建立從A到B的映射個數(shù)是______，從B到A的映射個數(shù)是______． 答案：8　9 解析：依題意，建立從A到B的映射，即集合A中的每一個元素在集合B中找到對應元素，從而從A到B的映射個數(shù)為23＝8，從B到A的映射個數(shù)是32＝9.所以填

20、寫答案依次為：8；9. 2. 已知一個函數(shù)的解析式為y＝x2，它的值域為{1，4}，這樣的函數(shù)有________個． 答案：9 解析：列舉法：定義域可能是{1，2}、{－1，2}、{1，－2}、{－1，－2}、{1，－2，2}、{－1，－2，2}、{－1，1，2}、{－1，1，－2}、{－1，1，－2，2}． 3. 若函數(shù)f(x)＝，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，則f(x)＝________． 答案： 解析：由f(2)＝1得＝1，即2a＋b＝2；由f(x)＝x得＝x，變形得x＝0，解此方程得x＝0或x＝，∵ 方程有唯一解，∴ ＝0，解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝，∴

21、 f(x)＝. 4. 如圖，動點P從單位正方形ABCD頂點A開始，順次經(jīng)B，C，D繞邊界一周，當x表示點P的行程，y表示PA之長時，求y關于x的解析式，并求f的值． 解：當P在AB上運動時，y＝x(0≤x≤1)；當P在BC上運動時，y＝(1

22、周測)設函數(shù)f(x)定義如下表，數(shù)列{xn}(n∈N*)滿足x1＝1，且對于任意的正整數(shù)n，均有xn＋1＝f(xn)，求x2 018的值． x 1 2 3 4 f(x) 2 3 4 1 分析：本題中函數(shù)是用列表法給出的，先觀察數(shù)列的前幾項，看看有沒有規(guī)律可循． 解：因為x1＝1，所以x2＝f(x1)＝f(1)＝2，x3＝f(x2)＝f(2)＝3，x4＝f(x3)＝f(3)＝4，x5＝f(x4)＝f(4)＝1，x6＝f(x5)＝f(1)＝2，…，不難看出數(shù)列{xn}是以4為周期的周期數(shù)列，所以x2 018＝x4×504＋2＝x2＝2. 點評：通過觀察一些特殊的情形，

23、來獲得深刻的認識，是探索數(shù)學問題的一種重要方法，應注意學習，同時函數(shù)的表示也可以利用列表法來給出． 1. 函數(shù)是特殊的映射，其特殊性在于集合A與B只能是非空數(shù)集，即函數(shù)是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射；而映射不一定是函數(shù)．從A到B的一個映射，A，B若不是數(shù)集，則這個映射不是函數(shù)． 2. 函數(shù)是一種特殊的對應，要檢驗給定的兩個變量是否具有函數(shù)關系，只需要檢驗：① 定義域和對應法則是否給出；② 根據(jù)給出的對應法則，自變量在定義域中的每一個值，是否都有唯一確定的函數(shù)值． 3. 函數(shù)解析式的求解方法通常有：配湊法、換元法、待定系數(shù)法及消去法．用換元法求解時要特別注意新元的范圍，即所求函數(shù)的定義

24、域；而消去法體現(xiàn)的方程思想，即根據(jù)已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)． 第2課時　函數(shù)的定義域和值域(對應學生用書(文)、(理)12～14頁) ① 函數(shù)的定義域是研究一切函數(shù)的源頭，求各種類型函數(shù)的定義域是高考中每年必考的試題. ② 函數(shù)的值域和最值問題也是高考的必考內容，一般不會對值域和最值問題單獨命題，主要是結合其他知識綜合考查，特別是應用題；再就是求變量的取值范圍，主要是考查求值域和最值的基本方法． ① 會求簡單函數(shù)的定義域. ② 掌握求函數(shù)值域與最值的常用方法. ③ 能運用求值域與最值的常用方法解決實際問題．

25、 1. (必修1P25例2改編)函數(shù)f(x)＝＋的定義域是____________________． 答案：[2，3)∪(3，＋∞) 解析：要使函數(shù)有意義，x需滿足解得x≥2且x≠3. 2. (必修1P26練習6(2)(4)改編)函數(shù)y＝＋的定義域為__________________． 答案：(－1，1)∪(1，＋∞) 解析：依題意得∴ x>－1且x≠1，故函數(shù)的定義域為(－1，1)∪(1，＋∞)． 3. 函數(shù)y＝的值域為________． 答案： 解析：∵ x2＋2≥2，∴ 0<≤.∴ 0

26、 答案：[－5，＋∞) 解析：∵ 有意義，∴ x≥0.又y＝x2＋3x－5＝－－5，函數(shù)y＝x2＋3x－5在[0，＋∞)上單調遞增，∴ 當x＝0時，ymin＝－5.∴ 函數(shù)y＝x2＋3x－5的值域是[－5，＋∞)． 5. 函數(shù)y＝的定義域是(－∞，1)∪[2，5)，則其值域是____________________． 答案：(－∞，0)∪ 解析：∵ x∈(－∞，1)∪[2，5)，∴ x－1∈(－∞，0)∪[1，4)．當x－1∈(－∞，0)時，∈(－∞，0)；當x－1∈[1，4)時，∈. 1. 函數(shù)的定義域 (1) 函數(shù)的定義域就是使函數(shù)表達式有意義的所有的輸入值x組成的集合．在

27、解決函數(shù)問題時，必須樹立起“定義域優(yōu)先”的觀念． (2) 求定義域的步驟 ① 寫出使函數(shù)有意義的不等式(組)． ② 解不等式(組)． ③ 寫出函數(shù)定義域(注意用區(qū)間或集合的形式寫出)． (3) 常見基本初等函數(shù)的定義域 ① 分式函數(shù)中分母不等于零． ② 偶次根式函數(shù)中被開方式大于或等于0. ③ 一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域為R． ④ y＝ax，y＝sin x，y＝cos x的定義域均為R． ⑤ y＝tan x的定義域為{x|x≠kπ＋，k∈Z}． ⑥ 函數(shù)f(x)＝x0的定義域為{x|x≠0}． 2. 函數(shù)的值域 (1) 在函數(shù)y＝f(x)中，與定義域中輸入值x對應的y

28、的值叫做輸出值，所有輸出值y組成的集合叫做函數(shù)的值域． (2) 基本初等函數(shù)的值域 ① y＝kx＋b(k≠0)的值域是R． ② y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：當a>0時，值域為[，＋∞)；當a<0時，值域為(－∞，]． ③ y＝(k≠0)的值域為{y|y≠0}． ④ y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤ y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R． ⑥ y＝sin x，y＝cos x的值域是[－1，1]． ⑦ y＝tan x的值域是R． 3. 函數(shù)的最值 一般地，設y＝f(x)的定義域為A. (1) 如果存在x0∈A，使得對于任意的x∈A，都有f(

29、x)≤f(x0)，那么稱f(x0)為y＝f(x)的最大值，記為ymax＝f(x0)． (2) 如果存在x0∈A，使得對于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么稱f(x0)為y＝f(x)的最小值，記為ymin＝f(x0)． 4. 值域與最值的關系 若函數(shù)y＝f(x)的最大值為b，最小值為a，那么y＝f(x)的值域必定是數(shù)集[a，b]的子集，若f(x)可以取到[a，b]中的一切值，那么其值域就是[a，b]． 5. 復合函數(shù) 如果函數(shù)y＝f(u)(u∈A)，u＝g(x)(x∈B，u∈A)，則y＝f(g(x))叫做由函數(shù)y＝f(u)(u∈A)，u＝g(x)(x∈B，u∈A)合成的復合函

30、數(shù)，u叫做中間變量．y＝f(u)(u∈A)，叫做該復合函數(shù)的外層函數(shù)，而u＝g(x)(x∈B)叫做該復合函數(shù)的內層函數(shù)．注意：由u＝g(x)(x∈B)求出的值域一定是A.即內層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域． 6. 函數(shù)解析式的表示離不開函數(shù)的定義域． [備課札記] ,　　　　　　　　　1　求函數(shù)的定義域) ,　　　　　1)　(1) 已知函數(shù)f(x)的定義域是[0，2]，則函數(shù)g(x)＝f＋f的定義域是__________． (2) 函數(shù)y＝的

31、定義域為____________． 答案：(1) 　(2) (－1，1) 解析：(1) 因為函數(shù)f(x)的定義域是[0，2]，所以函數(shù)g(x)＝f＋f中的自變量x需要滿足： 解得 所以≤x≤， 所以函數(shù)g(x)的定義域是. (2) 由得－1

32、的定義域： (1) y＝＋(x－1)0； (2) y＝lg sin x＋. 解：(1) 由題意得，解得， ∴ －31)． 解：(1) (解法1：換元法)令＝t，則t≥0且x＝，于是f(t

33、)＝－t＝－(t＋1)2＋1.由于t≥0，所以f(t)≤，故函數(shù)的值域是. (解法2：單調性法)容易判斷f(x)為增函數(shù)，而其定義域應滿足1－2x≥0，即x≤，所以f(x)≤f＝，即函數(shù)的值域是. (2) y＝＝－1. 因為1＋x2≥1，所以0<≤2. 所以－1<－1≤1，即y∈(－1，1]． 所以函數(shù)的值域為(－1，1]． (3) (解法1)由y＝＝2－，結合圖象知，函數(shù)在[3，5]上是增函數(shù)，所以ymax＝，ymin＝，故所求函數(shù)的值域是. (解法2)由y＝，得x＝. 因為x∈[3，5]，所以3≤≤5，解得≤y≤， 即所求函數(shù)的值域是. (4) (基本不等式法)令t＝x

34、－1，則x＝t＋1(t>0)， 所以y＝＝＝t＋－2(t>0)． 因為t＋≥2＝2，當且僅當t＝，即x＝＋1時，等號成立， 故所求函數(shù)的值域為[2－2，＋∞)． 求下列函數(shù)的值域： (1) f(x)＝＋； (2) g(x)＝； (3) y＝log3x＋logx3－1. 解：(1) 由解得－3≤x≤1. ∴ f(x)＝＋的定義域是[－3，1]． 令y＝f(x)，則y≥0，∴ y2＝4＋2， 即y2＝4＋2(－3≤x≤1)． 令t(x)＝－(x＋1)2＋4(－3≤x≤1)． ∵ x∈[－3，1]，由t(－3)＝0，t(－1)＝4，t(1)＝0， 知0≤t(x)≤4，

35、從而y2∈[4，8]，即y∈[2，2]， ∴ 函數(shù)f(x)的值域是[2，2]． (2) g(x)＝＝＝＝1＋(x≠3且x≠4)． ∵ x≠3且x≠4，∴ g(x)≠1且g(x)≠－6. ∴ 函數(shù)g(x)的值域是(－∞，－6)∪(－6，1)∪(1，＋∞)． (3) 函數(shù)的定義域為{x|x>0且x≠1}． 當x>1時，log3x>0，logx3>0， y＝log3x＋logx3－1≥2－1＝1； 當0

36、＋∞).,　　　　　　　　　3　函數(shù)值和最值的應用) ●典型示例 ,　　　　　3)　已知函數(shù)f(x)＝，x∈[1，＋∞)． (1) 當a＝時，求函數(shù)f(x)的最小值； (2) 若對任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍． 【思維導圖】 函數(shù)恒成立→不等式恒成立→分類討論→新函數(shù)的最值→a的取值范圍 【規(guī)范解答】 解：(1) 當a＝時，f(x)＝x＋＋2. ∵ f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，∴ f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上的最小值為f(1)＝. (2) (解法1)在區(qū)間[1，＋∞)上，f(x)＝ >0恒成立，∴ x2＋2x＋a>

37、0恒成立． 設y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)． ∵ y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上單調遞增， ∴ 當x＝1時，ymin＝3＋a，當且僅當ymin＝3＋a>0時，函數(shù)f(x)>0恒成立，故a>－3. (解法2)f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)． 當a≥0時，函數(shù)f(x)的值恒為正； 當a<0時，函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上單調遞增，故當x＝1時，f(x)min＝3＋a， 當且僅當f(x)min＝3＋a>0時，函數(shù)f(x)>0恒成立，故a>－3. 【精要點評】 解法1運用轉化思想把f(x)>0轉化為關于x的二次不等式；解法2運用了分類討論思想．

38、 ●總結歸納 (1) 求函數(shù)的值域 此類問題主要利用求函數(shù)值域的常用方法：配方法、分離變量法、單調性法、圖象法、換元法、不等式法等．無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域． (2) 函數(shù)的綜合性題目 此類問題主要考查函數(shù)值域、單調性、奇偶性等一些基本知識相結合的題目．此類問題要求具備較高的數(shù)學思維能力、綜合分析能力以及較強的運算能力． (3) 運用函數(shù)的值域解決實際問題 此類問題的關鍵是把實際問題轉化為函數(shù)問題，從而利用所學知識去解決．此類題目要求具有較強的分析能力和數(shù)學建模能力． ●題組練透 1. 函數(shù)y＝的值域是____________． 答案： 解析：∵

39、x2＋x＋1＝2＋≥，∴ y≥，∴ 值域為. 2. 函數(shù)y＝x＋的值域是____________． 答案：(－∞，1] 解析：令＝t(t≥0)，則x＝.∵ y＝＋t＝－ (t－1)2＋1≤1，∴ 值域為(－∞，1]． 3. 已知函數(shù)f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6. (1) 若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a的值； (2) 若函數(shù)f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a－1|的值域． 解：(1) ∵ f(x)的值域是[0，＋∞)，即f(x)min＝0，∴ ＝0，∴ a＝－1或. (2) 若函數(shù)f(x)≥0恒成立，則Δ＝(4a)2－4(2a＋6)≤0，即2a2－

40、a－3≤0，∴ －1≤a≤， ∴ g(a)＝2－a|a－1|＝ 當－1≤a≤1時，g(a)＝a2－a＋2＝＋，∴ g(a)∈； 當1

41、f(m)＝(0≤m≤1)，其值域為[0，2]． 1. 函數(shù)f(x)＝的定義域為____________． 答案：(0，1)∪(1，2) 解析：由得0＜x＜2且x≠1. 2. 已知函數(shù)y＝的定義域為R，值域為[0，＋∞)，則實數(shù)a的取值集合為________． 答案：{1} 解析： x2－2x＋a≥0恒成立，且最小值為0，則滿足Δ＝0，即4－4a＝0，則a＝1. 3. 函數(shù)f(x)＝的值域為____________． 答案：(－∞，1] 解析：可由函數(shù)的圖象得到函數(shù)f(x)的值域為(－∞，1]. 4. 若函數(shù)f(x)＝(a>0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，則實數(shù)a

42、的取值范圍是________． 答案：(1，2] 解析：當x≤2時，－x＋6≥4，要使得函數(shù)f(x)的值域為[4，＋∞)，只需當x＞2時，f(x)＝3＋logax的值域在區(qū)間[4，＋∞)內即可，故a＞1，所以3＋loga2≥4，解得1＜a≤2，所以實數(shù)a的取值范圍是(1，2]． 5. 已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的定義域和值域都是[－1，0]，則a＋b＝________． 答案：－ 解析：當a>1時，該方程組無解；當0

43、g(x)的值域為[0，＋∞)，求m的取值范圍． 解：令f(x)＝mx2＋x＋1. (1) 由題意知f(x)≥0在R上恒成立． ① 當m＝0時， f(x)＝x＋1≥0在R上不恒成立； ② 當m≠0時，要滿足題意必有∴ m≥. 綜上所述，m的取值范圍是. (2) 由題意知，f(x)＝mx2＋x＋1能取到一切大于或等于0的實數(shù)． ① 當m＝0時，f(x)＝x＋1可以取到一切大于或等于0的實數(shù)； ② 當m≠0時，要滿足題意必有 ∴ 0

44、法，是中學數(shù)學四種重要的數(shù)學思想之一，尤其在解決含參數(shù)的問題時發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度．運用這種方法的關鍵是將題設條件研究透，這樣才能快速找準突破點. 充分利用分類討論思想方法能夠使問題條理清晰，進而順利解答，希望同學們能夠熟練掌握并能應用于解題當中． 1. 函數(shù)f(x)＝的定義域為__________． 答案：[3，＋∞) 解析：由題意知解得x≥3. 2. (2018·溧陽中學周練)函數(shù)f(x)＝ln(＋)的定義域為____________． 答案：[－4，0)∪(0，1) 解析：函數(shù)的定義域必須滿足條件： 解得x∈[－4，0)∪(0，1)． 3. 當

45、x＝__________________時，函數(shù)f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2取得最小值． 答案： 解析：f(x)＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋(a＋a＋…＋a)， 當x＝時，f(x)取得最小值． 4. 設函數(shù)f(x)＝若f(x)的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是____________________． 答案：(－∞，－1]∪[2，＋∞) 解析：f(x)的值域為R，則22＋a≤2＋a2，實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1]∪[2，＋∞). 5. 已知函數(shù)f(x)＝－1的定義域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0，1]，則滿足條件的整數(shù)數(shù)對

46、(a，b)共有______個． 答案：5 解析：由0≤－1≤1，即1≤≤2，解得0≤|x|≤2，滿足條件的整數(shù)數(shù)對有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)共5個． 6. 求函數(shù)y＝＋的值域． 解：函數(shù)y＝f(x)的幾何意義：平面內一點P(x，0)到兩點A(－3，4)和B(5，2)的距離之和就是y的值．由平面幾何知識，找出點B關于x軸的對稱點B′(5，－2)．連結AB′，交x軸于一點P，點P即為所求的最小值點，ymin＝AB′＝＝10.所以函數(shù)的值域為[10，＋∞)． 1. 函數(shù)的定義域是函數(shù)的靈魂，它決定了函數(shù)的值域，并且它是研究函數(shù)性質的基礎，因此，

47、我們一定要樹立函數(shù)定義域優(yōu)先的意識． 2. 函數(shù)的值域常?；瘹w為求函數(shù)的最值問題，要重視函數(shù)單調性在確定函數(shù)最值過程中的作用． 3. 求函數(shù)值域的常用方法：圖象法、配方法、換元法、基本不等式法、單調性法、分離常數(shù)法、導數(shù)法等．理論上一切函數(shù)求值域或最值均可考慮“導數(shù)法”，但在具體的解題中要與初等方法密切配合．[備課札記] 第1課時　 函數(shù)的單調性(對應學生用書(文)、(理)15～17頁) ① 函數(shù)單調性的概念是函數(shù)性質中最重要的概念，仍將會是2019年高考的重點，特別要注意函數(shù)單調性的應用. ② 常見題型：a.求函數(shù)

48、的單調區(qū)間；b.用定義判斷函數(shù)在所給區(qū)間上的單調性；c.強化應用單調性解題的意識，如比較式子的大小，求函數(shù)最值，已知函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍等． ① 理解函數(shù)單調性的定義，并利用函數(shù)單調性的定義判斷或證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調性. ② 理解函數(shù)的單調性、最大(小)值的幾何意義，會用單調性方法求函數(shù)的最大(小)值. ③ 能利用函數(shù)的單調性解決其他一些綜合性問題． 1. 下列函數(shù)中，在(－∞，0)上為減函數(shù)的是________．(填序號) ① y＝；② y＝x3；③ y＝x0 ；④ y＝x2. 答案：④ 解析：∵ 函數(shù)y＝x2的圖象是開口向上的拋物線

49、，對稱軸為y軸，∴ 函數(shù)y＝x2在(－∞，0)上為減函數(shù)． 2. (必修1P44習題2改編) (1) 函數(shù)f(x)＝2x＋1的單調增區(qū)間是__________；函數(shù)g(x)＝－3x＋2在區(qū)間(－∞，＋∞)上為________函數(shù)． (2) 函數(shù)f(x)＝x2－2x－1的單調增區(qū)間為________，單調減區(qū)間為________． (3) 函數(shù)f(x)＝－－1在區(qū)間(－∞，0)上是單調________函數(shù)． (4) 函數(shù)y＝在區(qū)間[1，3]上是單調________函數(shù)． 答案：(1) (－∞，＋∞)　單調減　(2) [1，＋∞)　(－∞，1] (3) 增　(4) 減 3. (必修

50、1P54本章測試6改編)若函數(shù)y＝5x2＋mx＋4在區(qū)間(－∞，－1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[－1，＋∞)上是增函數(shù)，則m＝__________． 答案：10 解析：函數(shù)y＝5x2＋mx＋4的圖象為開口向上，對稱軸是x＝－的拋物線，要使函數(shù)y＝5x2＋mx＋4在區(qū)間(－∞，－1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[－1，＋∞)上是增函數(shù)，則－＝－1，∴ m＝10. 4. 已知函數(shù)f(x)＝在區(qū)間(－2，＋∞)上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是__________． 答案： 解析：f(x)＝＝a＋，由復合函數(shù)的增減性可知，g(x)＝在(－2，＋∞)上為增函數(shù)，∴ 1－2a<0， ∴ a>. 5. 設函數(shù)

51、f(x)滿足：對任意的x1，x2∈R都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，則f(－3)與f(－π)的大小關系是____________． 答案：f(－3)>f(－π) 解析：由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知函數(shù)f(x)為增函數(shù)，又－3>－π，∴ f(－3)>f(－π)． 1. 增函數(shù)和減函數(shù) 一般地，設函數(shù)y＝f(x)的定義域為I： 如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個值x1，x2，當x1

52、x1f(x2)，那么就說y＝f(x)在區(qū)間D上是單調減函數(shù)．(如圖②所示) 2. 單調性與單調區(qū)間 如果一個函數(shù)在某個區(qū)間D上是單調增函數(shù)或是單調減函數(shù)，那么就說這個函數(shù)在這個區(qū)間D上具有單調性(區(qū)間D稱為單調區(qū)間)． 3. 判斷函數(shù)單調性的方法 (1) 定義法 利用定義嚴格判斷． (2) 利用函數(shù)的運算性質 如果f(x)，g(x)為增函數(shù)，則① f(x)＋g(x)為增函數(shù)；② 為減函數(shù)(f(x)>0)；③ 為增函數(shù)(f(x)≥0)；④ f(x)·g(x)為增函數(shù)(f(x)>0，g(x)>0)；⑤ －f(x)為減函數(shù)． (3) 利用復合函數(shù)關系判

53、斷單調性 法則是“同增異減”，即兩個簡單函數(shù)的單調性相同，則這兩個函數(shù)的復合函數(shù)為增函數(shù)；若兩個簡單函數(shù)的單調性相反，則這兩個函數(shù)的復合函數(shù)為減函數(shù)． (4) 圖象法 奇函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相同的單調性；偶函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相反的單調性． 4. 函數(shù)的單調性的證明方法 已知函數(shù)解析式，證明其在某區(qū)間上的單調性一般只能嚴格用定義(或導數(shù))來證明．主要步驟： (1) 設元； (2) 作差(商)； (3) 變形(變形要徹底，一般通過因式分解、配方等方法，直到符號的判定非常明顯)； (4) 判斷符號； (5) 結論． [備課札記]

54、 ,　　　　　　　　　1　函數(shù)單調性的判斷) ,　　　　　1)　判斷函數(shù)f(x)＝(a≠0)在區(qū)間(－1，1)上的單調性． 分析：此函數(shù)既不是常見函數(shù)，也不是由常見函數(shù)經(jīng)過簡單的復合而成，因此要判斷其在區(qū)間(－1，1)上的單調性，只能用函數(shù)單調性的定義． 解：任取x1，x2∈(－1，1)，且x10，∴ 當a>0時，f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，∴ f(x)在(－1，1)上單調遞減；同理，當a<0時，f(x)在(－1，1)上單調遞增． 證明函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[1，＋∞)上是減函數(shù)．

55、 證明：設任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x10， ∴ f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．　 ∴ f(x)＝在[1，＋∞)上為減函數(shù)． 點評：亦可證明函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù)．由于函數(shù)f(x)＝是定義在R上的奇函數(shù)，故利用單調性與奇偶性可作出函數(shù)f(x)＝的圖象．同時也可得到函數(shù)f(x)＝在[－1，1]上的值域為. ,　　　　　　　　　2　求函數(shù)的單調區(qū)間) ,　　　　　2)　求下列

56、函數(shù)的單調區(qū)間： (1) y＝x2－3|x|＋； (2) y＝； (3) y＝log2(6＋x－2x2)． 解：(1) ∵ y＝x2－3|x|＋＝ ∴ 由圖象可知，y在，上為減函數(shù)，在，上為增函數(shù)． (2) 易得定義域為R，令u＝x2－2x＝(x－1)2－1，則u在(－∞，1]上為減函數(shù)，在[1，＋∞)上為增函數(shù)．又y＝在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，∴ y＝的單調增區(qū)間為(－∞，1]，單調減區(qū)間為[1，＋∞)． (3) 由題意得6＋x－2x2>0，化簡得2x2－x－6<0，即(2x＋3)(x－2)<0，解得－

57、上為減函數(shù)，又y＝log2u在定義域上為增函數(shù)，∴ y＝log2(6＋x－2x2)的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為. 點評：已知函數(shù)的解析式，討論或求函數(shù)的單調區(qū)間，應首先確定函數(shù)的定義域，然后再根據(jù)復合函數(shù)單調性的判斷規(guī)則在函數(shù)的定義域內求內層函數(shù)相應的單調區(qū)間． 變式訓練 函數(shù)y＝－(x－3)|x|的單調遞增區(qū)間是____________． 答案： 解析：y＝畫圖象如圖所示，可知單調遞增區(qū)間為. 作出函數(shù)f(x)＝|x2－1|＋x的圖象，并根據(jù)函數(shù)圖象寫出函數(shù)的單調區(qū)間． 解：當x≥1或x≤－1時， y＝x2＋x－1＝2－； 當－1

58、＋.函數(shù)圖象如圖，由函數(shù)圖象可知函數(shù)單調減區(qū)間為(－∞，－1]，；單調增區(qū)間為，[1，＋∞)． ,　　　　　　　　　3　函數(shù)的單調性與最值) ●典型示例 ,　　　　　3)　求f(x)＝x2－2ax－1在區(qū)間[0，2]上的最大值和最小值． 【思維導圖】 判斷對稱軸與區(qū)間的不同位置關系→分別畫出圖象→判斷f(x)在區(qū)間的單調性→求出最值 【規(guī)范解答】 解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，對稱軸為x＝a. (1) 當a<0時，由圖①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a. (2) 當0≤a<1時，由圖②可知，f(x)min＝f(a)＝

59、－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a. (3) 當12時，由圖④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1. 綜上，當a<0時，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；當0≤a<1時，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a；當12時，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1. 【精要點評】 (1) 二次函數(shù)的單調區(qū)間是由圖象的對稱軸確定

60、的．故需要確定對稱軸與區(qū)間的關系．由于對稱軸是x＝a，而a的取值不定，從而導致了分類討論． (2) 不是應該分a<0，0≤a≤2，a>2三種情況討論嗎？為什么成了四種情況？這是由于拋物線的對稱軸在區(qū)間[0，2]所對應的區(qū)域時，最小值是在頂點處取得，但最大值卻有可能是f(0)，也有可能是f(2)． ●總結歸納 (1) 要注意函數(shù)思想在求函數(shù)值域中的運用，求函數(shù)最值常借助函數(shù)單調性．含有參數(shù)的最值問題，需要分類討論參數(shù)在不同范圍內時函數(shù)單調性的變化，進而判斷最值的位置． (2) 不等式恒成立問題也可以轉化為求函數(shù)的最值問題． ●題組練透 1. 函數(shù)y＝2x＋的值域是__________

61、__． 答案：[－2，＋∞) 解析：x≥－1，y是x的增函數(shù)，當x＝－1時，ymin＝－2，∴ 函數(shù)的值域為[－2，＋∞)． 2. 已知x∈[0，1]，則函數(shù)y＝－的值域是______________． 答案：[－1，] 解析：該函數(shù)為增函數(shù)，自變量最小時，函數(shù)值最??；自變量最大時，函數(shù)值最大． 3. 函數(shù)f(x)＝(x∈[3，6])的值域為____________． 答案：[1，4] 解析：區(qū)間[3，6]是函數(shù)f(x)＝的單調減區(qū)間，把x＝3，x＝6分別代入f(x)中可得最大值、最小值． 4. 已知a∈R且a≠1，求函數(shù)f(x)＝在[1，4]上的最值． 解：由f(x)＝＝

62、a＋.當1－a>0，即a<1時，f(x)在[1，4]上為減函數(shù)，∴ fmax(x)＝f(1)＝，fmin(x)＝f(4)＝；當1－a<0，即a>1時，f(x)在[1，4]上為增函數(shù)，∴ fmax(x)＝f(4)＝，fmin(x)＝f(1)＝. 5. 已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1，若f(1)＝0，且函數(shù)f(x)的值域為[0，＋∞)． (1) 求a，b的值； (2) 若h(x)＝2f(x＋1)＋x|x－m|＋2m，求h(x)的最小值． 解：(1) 顯然a≠0，∵ f(1)＝0，∴ a＋b＋1＝0. 又f(x)的值域為[0，＋∞)，∴ Δ＝b2－4a＝0. 由解得

63、 (2) 由(1)知f(x)＝x2－2x＋1，h(x)＝2x2＋x|x－m|＋2m，即h(x)＝ ① 若m≥0，則hmin(x)＝min，即hmin(x)＝min. 又2m2＋2m－＝≥0，∴ 當m≥0時，hmin(x)＝－＋2m； ② 若m＜0，則hmin(x)＝h＝2m－. 綜上所述，hmin(x)＝ ,　　　　　　　　　4　函數(shù)的單調性的綜合應用) ,　　　　　4)　已知函數(shù)f(x)＝2x－，x∈(0，1]． (1) 當a＝－1時，求函數(shù)y＝f(x)的值域； (2) 若函數(shù)y＝f(x)在(0，1]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍． 解：(1) 當a＝

64、－1時，f(x)＝2x＋， 因為00恒成立， 所以2x1x2＋a<0，即a<－2x1x2在(0，1]上恒成立， 所以a<－2，即實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2)． (解法2)由f(x)＝2x－，知f′(x)＝2＋， 因為函數(shù)y＝f(x)在(0，1]上是減函數(shù)， 所以f′(x)＝2＋<0在(0，1

65、]上恒成立， 即a<－2x2在(0，1]上恒成立， 所以a<－2，即實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2)． 變式訓練 若函數(shù)f(x)＝是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________． 答案：[－2，0) 解析：由x≥1時，f(x)＝－x2＋2ax－2a是減函數(shù)，得a≤1.由x＜1時，函數(shù)f(x)＝ax＋1是減函數(shù)，得a＜0，分界點處的值應滿足－12＋2a×1－2a≤1×a＋1，解得a≥－2，所以－2≤a＜0. 點睛：本題考查分段函數(shù)的單調性，解決本題的關鍵是熟悉二次函數(shù)、一次函數(shù)的單調性，除了確定兩段函數(shù)在區(qū)間上單調以外，還需考慮分界點兩側的單調性，需要列出分界點處

66、的不等關系． 已知函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，其在定義域上為增函數(shù)，且對任意實數(shù)x，y∈(0，＋∞)都滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1，試解不等式f(x)＋f(x－2)<3. 分析：此題的關鍵是將不等式轉化為兩個函數(shù)值的大小關系，然后借助于函數(shù)的單調性再將函數(shù)值的大小關系轉化為自變量取值的大小關系． 解：由題意得3＝1＋1＋1＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝f(4)＋f(2)＝f(8)，即f(8)＝3， ∴ f(x)＋f(x－2)<3?f(x)＋f(x－2)