《（全國通用版）2019版高考數(shù)學大一輪復習 第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第1節(jié) 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理學案 理 新人教B版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國通用版）2019版高考數(shù)學大一輪復習 第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第1節(jié) 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理學案 理 新人教B版（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第1節(jié)　分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 最新考綱　1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理；2.會用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題. 知 識 梳 理 1.分類加法計數(shù)原理 做一件事，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法.則完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法. 2.分步乘法計數(shù)原理 做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一個步驟有m1種不同的方法，做第二個步驟有m2種不同的方法，……，做第n個步驟有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N

2、＝m1×m2×…×mn種不同的方法. 3.分類加法和分步乘法計數(shù)原理，區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事. [常用結(jié)論與微點提醒] 1.切實理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進行. 2.分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”，分步的關(guān)鍵在于要正確設(shè)計分步的程序，即合理分類，準確分步. 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.(　　) (2)

3、在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.(　　) (3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的.(　　) (4)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事.(　　) 解析　分類加法計數(shù)原理，每類方案中的方法都是不同的，每一種方法都能完成這件事；分步乘法計數(shù)原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成這一步，不能完成這件事，所以(1)，(4)均不正確. 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.從3名女同學和2名男同學中選1人主持主題班會，則不同的選法種數(shù)為(　　) A.6 B.5 C.3

4、 D.2 解析　5個人中每一個都可主持，所以共有5種選法. 答案　B 3.(教材練習改編)現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有(　　) A.24種 B.30種 C.36種 D.48種 解析　需要先給C塊著色，有4種結(jié)果；再給A塊著色，有3種結(jié)果；再給B塊著色，有2種結(jié)果；最后給D塊著色，有2種結(jié)果，由分步乘法計數(shù)原理知共有4×3×2×2＝48(種). 答案　D 4.5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中一個小組，則不同的報名方法有________種(用數(shù)字作答). 解析　每位同

5、學都有2種報名方法，因此，可分五步安排5名同學報名，由分步乘法計數(shù)原理，總的報名方法共2×2×2×2×2＝32(種). 答案　32 5.(2018·阜新月考)已知某公園有5個門，從任一門進，另一門出，則不同的走法的種數(shù)為________(用數(shù)字作答). 解析　分兩步，第一步選一個門進有5種方法，第二步再選一個門出有4種方法，所以共有5×4＝20種走法. 答案　20 考點一　分類加法計數(shù)原理的應用 【例1】 (1)滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為________. (2)在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)

6、字的兩位數(shù)的個數(shù)為________. 解析　(1)當a＝0時，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的個數(shù)為4；當a≠0時，要使方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1. 若a＝－1，則b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的個數(shù)為4； 若a＝1，則b的值可以是－1，0，1，(a，b)的個數(shù)為3； 若a＝2，則b的值可以是－1，0，(a，b)的個數(shù)為2. 由分類加法計數(shù)原理可知，(a，b)的個數(shù)為4＋4＋3＋2＝13. (2)當個位數(shù)字為2時，十位數(shù)字為1，共1個； 當個位數(shù)字為3時，十位數(shù)字為1，2，共2個； 當個位數(shù)字為4時，十位數(shù)字為1，

7、2，3，共3個； …… 當個位數(shù)字為9時，十位數(shù)字為1，2，3，4，…，7，8，共8個；由分類加法計數(shù)原理可知滿足條件的兩位數(shù)的個數(shù)為1＋2＋3＋…＋8＝36. 答案　(1)13　(2)36 規(guī)律方法　分類標準是運用分類加法計數(shù)原理的難點所在，應抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素和關(guān)鍵位置. (1)根據(jù)題目特點恰當選擇一個分類標準. (2)分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復. (3)分類時除了不能交叉重復外，還不能有遺漏，如本例(1)中易漏a＝0這一類. 【訓練1】 (1)從集合{1，2，3，…，10}中任意選出

8、三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 (2)如圖，從A到O有________種不同的走法(不重復過一點). 解析　(1)以1為首項的等比數(shù)列為1，2，4；1，3，9； 以2為首項的等比數(shù)列為2，4，8； 以4為首項的等比數(shù)列為4，6，9； 把這4個數(shù)列的順序顛倒，又得到另外的4個數(shù)列， ∴所求的數(shù)列共有2(2＋1＋1)＝8個. (2)分3類：第一類，直接由A到O，有1種走法；第二類，中間過一個點，有A→B→O和A→C→O共2種不同的走法；第三類，中間過兩個點，有A→B→C→O和A→C→B→O共2種

9、不同的走法，由分類加法計數(shù)原理可得共有1＋2＋2＝5種不同的走法. 答案　(1)D　(2)5 考點二　分步乘法計數(shù)原理的應用 【例2】 (1)(2018·石家莊模擬)教學大樓共有五層，每層均有兩個樓梯，由一層到五層的走法有(　　) A.10種 B.25種 C.52種 D.24種 (2)(2016·全國Ⅱ卷)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(　　) A.24 B.18 C.12 D.9 解析　(1)每相鄰的兩層之間各有2種走法，共分4步. 由分步乘法計數(shù)原

10、理，共有24種不同的走法. (2)分兩步，第一步，從E→F，有6條可以選擇的最短路徑；第二步，從F→G，有3條可以選擇的最短路徑.由分步乘法計數(shù)原理可知有6×3＝18條可以選擇的最短路徑.故選B. 答案　(1)D　(2)B 規(guī)律方法　(1)在第(1)題中，易誤認為分5步完成，錯選B. (2)利用分步乘法計數(shù)原理應注意：①要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的；②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事. 【訓練2】 (1)用0，1，2，3，4，5可組成無重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為________. (2)(2018·合肥質(zhì)檢)五名學生報名參加四項體育比

11、賽，每人限報一項，則不同的報名方法的種數(shù)為________.五名學生爭奪四項比賽的冠軍(冠軍不并列)，則獲得冠軍的可能性有________種. 解析　(1)可分三步給百、十、個位放數(shù)字，第一步：百位數(shù)字有5種放法；第二步：十位數(shù)字有5種放法；第三步：個位數(shù)字有4種放法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，三位數(shù)的個數(shù)為5×5×4＝100. (2)五名學生參加四項體育比賽，每人限報一項，可逐個學生落實，每個學生有4種報名方法，共有45種不同的報名方法.五名學生爭奪四項比賽的冠軍，可對4個冠軍逐一落實，每個冠軍有5種獲得的可能性，共有54種獲得冠軍的可能性. 答案　(1)100　(2)45　54 考點三

12、　兩個計數(shù)原理的綜合應用(多維探究) 命題角度1　組數(shù)、組點、組線、組對及抽取問題 【例3－1】 如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是(　　) A.48 B.18 C.24 D.36 解析　在正方體中，每一個表面有四條棱與之垂直，六個表面，共構(gòu)成24個“正交線面對”；而正方體的六個對角面中，每個對角面有兩條面對角線與之垂直，共構(gòu)成12個“正交線面對”，所以共有36個“正交線面對”. 答案　D 命題角度2　涂色、種植問題 【例3－2】 (一題多解)如圖所

13、示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法種數(shù). 解　法一　按所用顏色種數(shù)分類. 第一類：5種顏色全用，共有A種不同的方法； 第二類：只用4種顏色，則必有某兩個頂點同色(A與C，或B與D)，共有2×A種不同的方法； 第三類：只用3種顏色，則A與C，B與D必定同色，共有A種不同的方法. 由分類加法計數(shù)原理，得不同的染色方法種數(shù)為A＋2×A＋A＝420(種). 法二　以S，A，B，C，D順序分步染色. 第一步：S點染色，有5種方法； 第二步：A點染色，與S在同一條棱上，有4種方法； 第三步：B點染色，與S，A分別

14、在同一條棱上，有3種方法； 第四步：C點染色，也有3種方法，但考慮到D點與S，A，C相鄰，需要針對A與C是否同色進行分類，當A與C同色時，D點有3種染色方法；當A與C不同色時，因為C與S，B也不同色，所以C點有2種染色方法，D點也有2種染色方法.由分步乘法、分類加法計數(shù)原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(種). 規(guī)律方法　(1)①注意在綜合應用兩個原理解決問題時，一般是先分類再分步.在分步時可能又用到分類加法計數(shù)原理.②注意對于較復雜的兩個原理綜合應用的問題，可恰當?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化. (2)解決涂色問題，可按顏色的種數(shù)分類，也可按不

15、同的區(qū)域分步完成. 例題中，相鄰頂點不同色，要按A，C和B，D是否同色分類處理. 【訓練3】 (1)(一題多解)(2018·青島質(zhì)檢)如圖所示，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有(　　) A.72種 B.48種 C.24種 D.12種 (2)如圖所示，在連結(jié)正八邊形的三個頂點而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個(用數(shù)字作答). 解析　(1)法一　首先涂A有4種涂法，則涂B有3種涂法，C與A，B相鄰，則C有2種涂法，D只與C相鄰，則D有3種涂法，所以共有4×3×2×3＝72種涂法. 法二　按要

16、求涂色至少需要3種顏色，故分兩類：一是4種顏色都用，這時A有4種涂法，B有3種涂法，C有2種涂法，D有1種涂法，共有4×3×2×1＝24(種)涂法；二是用3種顏色，這時A，B，C的涂法有4×3×2＝24(種)，D只要不與C同色即可，故D有2種涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(種). (2)把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類： 第一類，有一條公共邊的三角形共有8×4＝32(個). 第二類，有兩條公共邊的三角形共有8個. 由分類加法計數(shù)原理知，共有32＋8＝40(個). 答案　(1)A　(2)40 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：25分鐘) 一、選擇題 1.(2018

17、·鄭州調(diào)研)有4位教師在同一年級的4個班中各教一個班的數(shù)學，在數(shù)學檢測時要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則不同的監(jiān)考方法有(　　) A.8種 B.9種 C.10種 D.11種 解析　設(shè)四位監(jiān)考教師分別為A，B，C，D，所教班分別為a，b，c，d，假設(shè)A監(jiān)考b，則余下三人監(jiān)考剩下的三個班，共有3種不同方法，同理A監(jiān)考c，d時，也分別有3種不同方法，由分類加法計數(shù)原理，共有3＋3＋3＝9(種)不同的監(jiān)考方法. 答案　B 2.從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個互不相等的數(shù)a，b組成復數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)的個數(shù)是(　　) A.30 B.42 C.36 D.35

18、 解析　因為a＋bi為虛數(shù)，所以b≠0，即b有6種取法，a有6種取法，由分步乘法計數(shù)原理知可以組成6×6＝36個虛數(shù). 答案　C 3.已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為(　　) A.40 B.16 C.13 D.10 解析　分兩類情況討論：第1類，直線a分別與直線b上的8個點可以確定8個不同的平面；第2類，直線b分別與直線a上的5個點可以確定5個不同的平面.根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共可以確定8＋5＝13個不同的平面. 答案　C 4.我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2 013是“六合數(shù)”)，則首位為2的“六

19、合數(shù)”共有(　　) A.18個 B.15個 C.12個 D.9個 解析　依題意，這個四位數(shù)的百位數(shù)、十位數(shù)、個位數(shù)之和為4.由4，0，0組成3個數(shù)分別為400，040，004；由3，1，0組成6個數(shù)分別為310，301，130，103，013，031；由2，2，0組成3個數(shù)分別為220，202，022；由2，1，1組成3個數(shù)分別為211，121，112.共計3＋6＋3＋3＝15(個). 答案　B 5.某電話局的電話號碼為139××××××××，若前六位固定，最后五位數(shù)字是由6或8組成的，則這樣的電話號碼的個數(shù)為(　　) A.20 B.25 C.32 D.60

20、 解析　依據(jù)題意知，后五位數(shù)字由6或8組成，可分5步完成，每一步有2種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，符合題意的電話號碼的個數(shù)為25＝32. 答案　C 6.集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P?Q.把滿足上述條件的一對有序整數(shù)對(x，y)作為一個點的坐標，則這樣的點的個數(shù)是(　　) A.9 B.14 C.15 D.21 解析　當x＝2時，x≠y，點的個數(shù)為1×7＝7(個). 當x≠2時，由P?Q，∴x＝y(tǒng). ∴x可從3，4，5，6，7，8，9中取，有7種方法. 因此滿足條件的點共有7＋7＝14(個). 答案　B 7.用10元

21、、5元和1元來支付20元錢的書款，不同的支付方法的種數(shù)為(　　) A.3 B.5 C.9 D.12 解析　只用一種幣值有2張10元，4張5元，20張1元，共3種；用兩種幣值的有1張10元，2張5元；1張10元，10張1元；3張5元，5張1元；2張5元，10張1元；1張5元，15張1元，共5種；用三種幣值的有1張10元，1張5元，5張1元，共1種.由分類加法計數(shù)原理得，共有3＋5＋1＝9(種). 答案　C 8.從集合{1，2，3，4，…，10}中，選出5個數(shù)組成子集，使得這5個數(shù)中任意兩個數(shù)的和都不等于11，則這樣的子集有(　　) A.32個 B.34個 C.36個

22、 D.38個 解析　將和等于11的放在一組：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6.從每一小組中取一個，有C＝2種，共有2×2×2×2×2＝32個. 答案　A 二、填空題 9.某人從甲地到乙地，可以乘火車，也可以坐輪船，在這一天的不同時間里，火車有4趟，輪船有3次，問此人的走法可有________種. 解析　因為某人從甲地到乙地，乘火車的走法有4種，坐輪船的走法有3種，每一種方法都能從甲地到乙地，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，可得此人的走法可有4＋3＝7(種). 答案　7 10.從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，則

23、不同的選法共有________種(用數(shù)字作答). 解析　第一步，先選出文娛委員，因為甲、乙不能擔任，所以從剩下的3人中選1人當文娛委員，有3種選法. 第二步，從剩下的4人中選學習委員和體育委員，又可分兩步進行：先選學習委員有4種選法，再選體育委員有3種選法.由分步乘法計數(shù)原理可得，不同的選法共有3×4×3＝36(種). 答案　36 11.在編號為1，2，3，4，5，6的六個盒子中放入兩個不同的小球，每個盒子中最多放入一個小球，且不能在兩個編號連續(xù)的盒子中同時放入小球，則不同的放小球的方法有________種. 解析　設(shè)兩個不同的小球為A，B，當A放入1號盒或者6號盒時，B有4種不同的

24、放法；當A放入2，3，4，5號盒時，B有3種不同的放法，一共有4×2＋3×4＝20種不同的放法. 答案　20 12.如圖，矩形的對角線把矩形分成A，B，C，D四部分，現(xiàn)用5種不同顏色給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分顏色互異，則共有________種不同的涂色方法(用數(shù)字作答). 解析　區(qū)域A有5種涂色方法；區(qū)域B有4種涂色方法；區(qū)域C的涂色方法可分2類：若C與A涂同色，區(qū)域D有4種涂色方法；若C與A涂不同色，此時區(qū)域C有3種涂色方法，區(qū)域D也有3種涂色方法.所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260種涂色方法. 答案　260 能力提升題組 (建議用時：10分鐘)

25、13.(2018·河南天一大聯(lián)考)如圖，圖案共分9個區(qū)域，有6種不同顏色的涂料可供涂色，每個區(qū)域只能涂一種顏色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相鄰區(qū)域的顏色不相同，則涂色方法有(　　) A.360種 B.720種 C.780種 D.840種 解析　由題意知2，3，4，5的顏色都不相同，先涂1，有6種方法，再涂2，3，4，5，有A種方法，故一共有6·A＝720種. 答案　B 14.(2018·衡水調(diào)研)用0，1，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為(　　) A.243 B.252 C.261 D.279 解析　0，

26、1，2，…，9共能組成9×10×10＝900(個)三位數(shù)，其中無重復數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8＝648(個)，∴有重復數(shù)字的三位數(shù)有900－648＝252(個). 答案　B 15.三邊長均為正整數(shù)，且最大邊長為11的三角形的個數(shù)是________. 解析　另兩邊長用x，y(x，y∈N+)表示，且不妨設(shè)1≤x≤y≤11，要構(gòu)成三角形，必須x＋y≥12.當y取11時，x可取1，2，3，…，11，有11個三角形；當y取10時，x可取2，3，…，10，有9個三角形；…；當y取6時，x只能取6，只有1個三角形.所以所求三角形的個數(shù)為11＋9＋7＋5＋3＋1＝36. 答案　36 16.已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A，B為集合M的非空子集，若對?x∈A，y∈B，x