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2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 解析幾何 第10課時(shí) 拋物線(二)練習(xí) 理

上傳人:xt****7 文檔編號:105704255 上傳時(shí)間:2022-06-12 格式:DOC 頁數(shù):9 大小:83KB
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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 解析幾何 第10課時(shí) 拋物線(二)練習(xí) 理 1.(2018·廣東中山第一次統(tǒng)測)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn).如果x1+x2=6,那么|AB|=(  ) A.6           B.8 C.9 D.10 答案 B 解析 |AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=8.故選B. 2.若拋物線y=4x2上一點(diǎn)到直線y=4x-5的距離最短,則該點(diǎn)的坐標(biāo)是(  ) A.(,1) B.(0,0) C.(1,2) D.(1,4) 答案 A 解析 設(shè)與直線y=4x-5平行的直線為y=4x

2、+m,由平面幾何的性質(zhì)可知,拋物線y=4x2上到直線y=4x-5的距離最短的點(diǎn)即為直線y=4x+m與拋物線相切的點(diǎn).而對y=4x2求導(dǎo)得y′=8x,又直線y=4x+m的斜率為4,所以8x=4,得x=,此時(shí)y=4×()2=1,即切點(diǎn)為(,1),故選A. 3.(2017·北京東城期末)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)O是原點(diǎn),如果|BF|=3,|BF|>|AF|,∠BFO=,那么|AF|的值為(  ) A.1 B. C.3 D.6 答案 A 解析 由已知直線的斜率為k=,則方程為y=(x-),聯(lián)立方程得3x2-5px+=0,即(2x-3p)(6x

3、-p)=0. 因?yàn)閨BF|>|AF|,所以xB=p,xA=,依題意xB+=2p=3,所以p=,則|AF|=xA+=p=1.故選A. 4.(2018·廣東汕頭第三次質(zhì)檢)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,與直線y=2x-4交于A,B兩點(diǎn),則cos∠AFB=(  ) A. B. C.- D.- 答案 D 解析 ∵拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0).又∵直線y=2x-4與C交于A,B兩點(diǎn),∴A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,-2),(4,4),則=(0,-2),=(3,4),∴cos∠AFB===-.故選D. 5.(2018·河南四校聯(lián)考)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),P是以

4、F為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn),M是線段PF上的點(diǎn),且|PM|=2|MF|,則直線OM的斜率的最大值為(  ) A. B. C. D.1 答案 C 解析 由題意可得F(,0).設(shè)P(,y0),當(dāng)y0<0時(shí),kOM<0;當(dāng)y0>0時(shí),kOM>0.∵要求kOM的最大值,∴y0>0.∵=+=+=+(-)=+=(+,),∴kOM==≤=,當(dāng)且僅當(dāng)y02=2p2,即y0=p時(shí)取得等號.故選C. 6.(2018·廣西玉林期末)從拋物線y2=4x的準(zhǔn)線l上一點(diǎn)P引拋物線的兩條切線PA,PB,A,B為切點(diǎn).若直線AB的傾斜角為,則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為(  ) A. B.

5、C. D.2 答案 B 解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(-1,y),則kAB==. ∵直線AB的傾斜角為,∴=,∴y1+y2=. 切線PA的方程為y-y1=(x-x1),切線PB的方程為y-y2=(x-x2),即切線PA的方程為y=x+y1,切線PB的方程為y=x+y2. ∴y1,y2是方程t2-2yt+4x=0兩個(gè)根,∴y1+y2=2y=.∴y=.故選B. 7.(2018·石家莊市高三檢測)已知圓C1:x2+(y-2)2=4,拋物線C2:y2=2px(p>0),C1與C2相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=,則拋物線C2的方程為(  ) A.y2=x B.y2

6、=x C.y2=x D.y2=x 答案 C 解析 由題意,知直線AB必過原點(diǎn),則設(shè)AB的方程為y=kx(k>0),圓心C1(0,2)到直線AB的距離d===,解得k=2.由可取A(0,0),B(,),把(,)代入拋物線方程,得()2=2p·,解得p=,所以拋物線C2的方程為y2=x,故選C. 8.直線l與拋物線C:y2=2x交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若直線OA,OB的斜率k1,k2滿足k1k2=,則直線l過定點(diǎn)(  ) A.(-3,0) B.(0,-3) C.(3,0) D.(0,3) 答案 A 解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因?yàn)閗1k2=,所以·

7、=.又y12=2x1,y22=2x2,所以y1y2=6.將直線l:x=my+b代入拋物線C:y2=2x得y2-2my-2b=0,所以y1y2=-2b=6,所以b=-3,即直線l:x=my-3,所以直線l過定點(diǎn)(-3,0). 9.(2017·湖南益陽模擬)如圖所示,已知直線l:y=k(x+1)(k>0)與拋物線C:y2=4x相交于A,B兩點(diǎn),且A,B兩點(diǎn)在拋物線C準(zhǔn)線上的射影分別是M,N,若|AM|=2|BN|,則k的值是(  ) A. B. C. D.2 答案 C 解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立方程組消去x,得ky2-4y+4k=0.① 因?yàn)橹本€與拋物線相

8、交,所以有 Δ=42-4×k×4k=16(1-k2)>0.(*) y1,y2是方程①的兩個(gè)根,所以有 又因?yàn)閨AM|=2|BN|,所以y1=2y2.④ 解由②③④組成的方程組,得k=. 把k=代入(*)式檢驗(yàn),不等式成立.所以k=,故選C. 10.(2017·威海一模)過拋物線C:y2=2px(p>0)上一定點(diǎn)P(x0,y0)(y0>0)作兩條斜率均存在的直線,分別交拋物線C于A(x1,y1),B(x2,y2),若直線PA,PB關(guān)于直線x=x0對稱,則log2|y1+y2|-log2y0的值為(  ) A.1 B.-1 C.- D.無法確定 答案 A 解析 設(shè)直線P

9、A的斜率為kPA,直線PB的斜率為kPB.由y12=2px1,y02=2px0相減得(y1-y0)(y1+y0)=2p(x1-x0),故kPA==(x1≠x0).同理可得kPB=(x2≠x0).若直線PA,PB關(guān)于直線x=x0對稱,則PA,PB的傾斜角互補(bǔ).故kPA=-kPB,即=-.所以y1+y2=-2y0,故=-2,故log2|y1+y2|-log2y0=1.故選A. 11.(2018·東城區(qū)期末)已知拋物線C1:y=x2(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2:-y2=1的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn)M,若C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線,則p=(  ) A. B. C.

10、D. 答案 D 解析 由題可知,拋物線開口向上且焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,),雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),所以兩個(gè)焦點(diǎn)連線的直線方程為y=-(x-2).設(shè)M(x0,y0),則有y′=x0=?x0=p.因?yàn)閥0=x02,所以y0=.又M點(diǎn)在拋物線的切線上,即有=-(p-2)?p=,故選D. 12.(2017·浙江杭州七校模擬質(zhì)量檢測)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)(0,3)的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)D,若|AF|+|BF|=6,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為________. 答案 (4,0) 解析 設(shè)直線AB的方程為y=kx+3,代入拋物線y2=4x, 整理得k2x2+(

11、6k-4)x+9=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,由|AF|+|BF|=6,得(x1+)+(x2+)=x1+x2+p=-+2=6,解得k=-2,k=(舍去), 所以線段AB的中點(diǎn)為(2,-1),線段AB的垂直平分線方程為y+1=(x-2),令y=0,得x=4.故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,0). 13.(2018·鄭州質(zhì)檢)設(shè)拋物線y2=16x的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)P(1,0)的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),且2=,則|AF|+2|BF|=________. 答案 15 解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).∵P(1,0), ∴=(1-x2,-y2),=(x1

12、-1,y1). ∵2=,∴2(1-x2,-y2)=(x1-1,y1), ∴x1+2x2=3,-2y2=y(tǒng)1. 將A(x1,y1),B(x2,y2)代入拋物線方程y2=16x,得 y12=16x1,y22=16x2. 又∵-2y2=y(tǒng)1,∴4x2=x1.又∵x1+2x2=3,解得x2=,x1=2. ∴|AF|+2|BF|=x1+4+2(x2+4)=2+4+2×(+4)=15. 14.等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2=2px(p>0),O為拋物線的頂點(diǎn),OA⊥OB,△AOB的面積是16,拋物線的焦點(diǎn)為F.若M是拋物線上的動點(diǎn),則的最大值為________. 答案  解析 設(shè)等

13、腰直角三角形OAB的頂點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則y12=2px1,y22=2px2.由|OA|=|OB|,得x12+y12=x22+y22,∴x12-x22+2px1-2px2=0,即(x1-x2)(x1+x2+2p)=0. ∵x1>0,x2>0,2p>0,∴x1=x2,即點(diǎn)A,B關(guān)于x軸對稱. ∴設(shè)直線OA的方程為y=x,與拋物線方程聯(lián)立,解得或 ∴|AB|=4p,∴S△OAB=×2p×4p=4p2. ∵△AOB的面積為16,∴p=2.∴焦點(diǎn)F(1,0). 設(shè)M(m,n),則n2=4m,m>0,設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線x=-1的距離等于d, 則==. 令m+1=t,t>1,則

14、m=t-1,=≤(當(dāng)且僅當(dāng)t=3時(shí),等號成立).∴的最大值為. 15.(2018·河北唐山一中期末)已知拋物線C:x2=2py(p>0),圓O:x2+y2=1. (1)若拋物線C的焦點(diǎn)F在圓上,且A為C和圓O的一個(gè)交點(diǎn),求|AF|; (2)若直線l與拋物線C和圓O分別相交于點(diǎn)M,N,求|MN|的最小值及相應(yīng)p的值. 答案 (1)-1 (2)2  解析 (1)由題意得F(0,1),∴C:x2=4y. 解方程組得yA=-2,∴|AF|=-1. (2)設(shè)M(x0,y0),則切線l:y=(x-x0)+y0,整理得x0x-py-py0=0. 由|ON|=1得|py0|==, ∴p=且y

15、02-1>0. ∴|MN|2=|OM|2-1=x02+y02-1=2py0+y02-1=+y02-1=4++(y02-1)≥8,當(dāng)且僅當(dāng)y0=時(shí)等號成立. ∴|MN|的最小值為2,此時(shí)p=. 16.(2018·江西九江一模)已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F且傾斜角為的直線l被E截得的線段長為8. (1)求拋物線E的方程; (2)已知點(diǎn)C是拋物線上的動點(diǎn),以C為圓心的圓過點(diǎn)F,且圓C與直線x=-相交于A,B兩點(diǎn),求|FA|·|FB|的取值范圍. 答案 (1)y2=4x (2)|FA|·|FB|∈[3,+∞) 解析 (1)由題意,直線l的方程為y=x-.聯(lián)立消去

16、y整理得x2-3px+=0.設(shè)直線l與拋物線E的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,則x1+x2=3p,故直線l被拋物線E截得的線段長為x1+x2+p=4p=8,得p=2,∴拋物線E的方程為y2=4x. (2)由(1)知,F(xiàn)(1,0),設(shè)C(x0,y0),則圓C的方程是 (x-x0)2+(y-y0)2=(x0-1)2+y02. 令x=-,得y2-2y0y+3x0-=0. 又∵y02=4x0,∴Δ=4y02-12x0+3=y(tǒng)02+3>0恒成立. 設(shè)A(-,y3),B(-,y4),則y3+y4=2y0,y3y4=3x0-. ∴|FA|·|FB|=· = = ==3|x0+1|. ∵x

17、0≥0,∴|FA|·|FB|∈[3,+∞). 1.(2018·南昌一模)已知拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線上的兩個(gè)動點(diǎn),若x1+x2+4=|AB|,則∠AFB的最大值為(  ) A. B. C. D. 答案 D 解析 因?yàn)閤1+x2+4=|AB|,|AF|+|BF|=x1+x2+4,所以|AF|+|BF|=|AB|.在△AFB中,由余弦定理得cos∠AFB===-1=-1.又|AF|+|BF|=|AB|≥2,當(dāng)且僅當(dāng)|AF|=|BF|時(shí)等號成立,所以|AF||BF|≤|AB|2,所以cos∠AFB≥-1=-,所以∠AFB≤,即∠A

18、FB的最大值為. 2.(2017·遼寧五校期末聯(lián)考)已知AB是拋物線y2=2x的一條焦點(diǎn)弦,|AB|=4,則AB中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是(  ) A.2 B. C. D. 答案 C 解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), ∵|AB|=4,∴x1++x2+=4,∴x1+x2=3. ∴C點(diǎn)橫坐標(biāo)為,故選C. 3.(2017·東北三校)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在拋物線上,且2x2=x1+x3,則有(  ) A.|FP1|+|FP2|=|FP3| B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2 C.

19、2|FP2|=|FP1|+|FP3| D.|FP2|2=|FP1|·|FP3| 答案 C 解析 拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-,由定義得|FP1|=x1+,|FP2|=x2+,|FP3|=x3+,則|FP1|+|FP3|=x1++x3+=x1+x3+p,2|FP2|=2x2+p,由2x2=x1+x3,得2|FP2|=|FP1|+|FP3|,故選C. 4.(2017·豫晉冀三省一調(diào))設(shè)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是拋物線上一點(diǎn),若直線PF的傾斜角為120°,則|PF|等于(  ) A.2 B. C.3 D. 答案 B 解析 設(shè)P(x,y),PA⊥l,A為垂足,取l與x

20、軸的交點(diǎn)為B.在Rt△ABF中,∠AFB=30°,BF=4,則|AB|=|y|=,即有8x=,可得x=,|PF|=2+=. 5.已知拋物線y2=4x,過點(diǎn)P(4,0)的直線與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則y12+y22的最小值是________. 答案 32 解析 設(shè)直線方程為x=ky+4,與拋物線聯(lián)立得 y2-4ky-16=0,∴y1+y2=4k,y1y2=-16. ∴y12+y22=(y1+y2)2-2y1y2=16k2+32. 故最小值為32. 6.已知過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A,B兩點(diǎn),|AF|=2,則|BF|=________.

21、 答案 2 解析 拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0),p=2.由+=,即+=,∴|BF|=2. 8.如圖所示,斜率為1的直線過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F,與拋物線交于A,B兩點(diǎn),M為拋物線弧AB上的動點(diǎn). (1)若|AB|=8,求拋物線的方程; (2)求S△ABM的最大值. 答案 (1)y2=4x (2)p2 解析 (1)由條件知lAB:y=x-,與y2=2px聯(lián)立,消去y,得x2-3px+p2=0,則x1+x2=3p.由拋物線定義得|AB|=x1+x2+p=4p. 又因?yàn)閨AB|=8,即p=2,則拋物線的方程為y2=4x. (2)方法一:由(1)知|AB|=4p,且lAB:y=x-,設(shè)M(,y0),則M到AB的距離為d=. 因?yàn)辄c(diǎn)M在直線AB的上方,所以-y0-<0, 則d== ==. 當(dāng)y0=p時(shí),dmax=p. 故S△ABM的最大值為×4p×p=p2. 方法二:由(1)知|AB|=4p,且lAB:y=x-,設(shè)與直線AB平行且與拋物線相切的直線方程為y=x+m,代入拋物線方程,得x2+2(m-p)x+m2=0.由Δ=4(m-p)2-4m2=0,得m=.與直線AB平行且與拋物線相切的直線方程為y=x+,兩直線間的距離為d==p, 故S△ABM的最大值為×4p×p=p2.

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