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1、 2022年高中數(shù)學(xué)蘇教版選修4-4教學(xué)案：4-2 曲線的極坐標(biāo)方程 Word版含答案 [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P12] 1．曲線的極坐標(biāo)方程 一般地，如果一條曲線上任意一點(diǎn)都有一個(gè)極坐標(biāo)適合方程f(ρ，θ)＝0；并且極坐標(biāo)適合方程f(ρ，θ)＝0的點(diǎn)都在曲線上，那么這個(gè)方程稱為曲線的極坐標(biāo)方程，這條曲線稱為這個(gè)極坐標(biāo)方程的曲線． 2．求曲線的極坐標(biāo)方程的基本步驟 (1)建系：建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系； (2)設(shè)點(diǎn)：在曲線上任取一點(diǎn)P(ρ，θ)； (3)列式：根據(jù)曲線上點(diǎn)所滿足的條件寫出等式； (4)化簡(jiǎn)：用極坐標(biāo)ρ，θ表示上述等式，并化簡(jiǎn)得極坐標(biāo)方程； (5)證明：證明所得

2、的方程是曲線的極坐標(biāo)方程． 3．直線的極坐標(biāo)方程 (1)若直線l經(jīng)過點(diǎn)M(ρ0，θ0)，且直線l的傾斜 角為α，則此直線的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． (2)幾種常見直線的極坐標(biāo)方程： 4．圓的極坐標(biāo)方程 (1)若圓心的坐標(biāo)為M(ρ0，θ0)，圓的半徑為r，則圓的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0. (2)幾種常見圓的極坐標(biāo)方程： [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P12] 求曲線的極坐標(biāo)方程 [例1]　設(shè)P，直線l經(jīng)過P點(diǎn)且與極軸所成的角為，求直線l的極坐標(biāo)方程． [思路點(diǎn)撥]　取直線上任意點(diǎn)M(ρ，θ)，構(gòu)造三角形求

3、OM. [精解詳析]　如圖，設(shè)M(ρ，θ)為直線l上除P點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，連接OM，OP，該直線交Ox于點(diǎn)A，則有OM＝ρ，OP＝2，∠xAM＝，∠OPM＝，∠MOP＝θ－，所以有OMcos∠MOP＝OP， 即ρcos＝2，顯然P點(diǎn)也在這條直線上． 所以直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝2. 求平面曲線的極坐標(biāo)方程，就是要找極徑ρ和極角θ之間的關(guān)系，常用解三角形(正弦定理、余弦定理及直角三角形的邊角關(guān)系)的知識(shí)來建立ρ、θ之間的關(guān)系． 1．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離之比為e，求點(diǎn)M的極坐標(biāo)方程． 解：過點(diǎn)F作直線l的垂線，垂足為K，以點(diǎn)F為極點(diǎn)，F(xiàn)K的反向

4、延長(zhǎng)線Fx為極軸，建立極坐標(biāo)系(如圖)． 設(shè)M(ρ，θ)是曲線上任意一點(diǎn)，連接MF， 作MA⊥l，MB⊥Fx，垂足分別為A，B， 那么＝e. 設(shè)點(diǎn)F到直線l的距離為FK＝p. 由MF＝ρ，MA＝BK＝p＋ρcos θ， 得＝e，即ρ＝. 2．從極點(diǎn)O作圓ρ＝2acos θ的弦OM，求各弦的中點(diǎn)P的軌跡方程． 解：設(shè)P點(diǎn)的極坐標(biāo)是(ρ，θ)，M的極坐標(biāo)是(ρ1，θ1)． ∵點(diǎn)M在圓ρ＝2acos θ上， ∴ρ1＝2acos θ1. ∵P是OM的中點(diǎn)， ∴ 將它代入ρ1＝2acos θ1得2ρ＝2acos θ， 故P的軌跡方程是ρ＝acos θ. 直線的極坐標(biāo)

5、方程 　　 [例2]　求過點(diǎn)A(1,0)且傾斜角為的直線的極坐標(biāo)方程． [思路點(diǎn)撥]　法一：按照求極坐標(biāo)方程的步驟建系、設(shè)點(diǎn)、坐標(biāo)化可求． 法二：先求直角方程，再將互化公式代入可得. [精解詳析]　法一：如圖，設(shè)M(ρ，θ)(ρ≥0)為直線上除點(diǎn)A以外的任意一點(diǎn)， 則∠xAM＝，∠OAM＝， ∠OMA＝－θ， 在△OAM中，由正弦定理得＝，即＝， 所以ρsin＝， 即ρ＝， 化簡(jiǎn)，得ρ(cos θ－sin θ)＝1， 經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)A(1,0)的坐標(biāo)適合上述方程， 所以滿足條件的直線的極坐標(biāo)方程為ρ(cos θ－sin θ)＝1. 法二：以極點(diǎn)O為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸

6、，建立平面直角坐標(biāo)系xOy， 直線的斜率k＝tan ＝1， 直線方程為y＝x－1，將y＝ρsin θ，x＝ρcos θ(ρ≥0)代入上式，得 ρsin θ＝ρcos θ－1，所以ρ(cos θ－sin θ)＝1. 求直線的極坐標(biāo)方程的一般方法為：在直線上設(shè)M(ρ，θ)為任意一點(diǎn)，連接OM，構(gòu)造出含有OM的三角形，再利用三角形知識(shí)求OM，即把OM用θ表示，這就是我們所需求的ρ與θ的關(guān)系，即為直線的極坐標(biāo)方程，也可先求出直角坐標(biāo)方程，再變換為極坐標(biāo)方程． 3．求滿足下列條件的直線的極坐標(biāo)方程： (1)過點(diǎn)且與極軸平行； (2)過點(diǎn)且與極軸垂直； (3)過極點(diǎn)且與極軸成角

7、． 解：(1)點(diǎn)與點(diǎn)相同， 所以過點(diǎn)且與極軸平行的直線極坐標(biāo)方程為ρsin θ＝－. (2)點(diǎn)與點(diǎn)相同， 所以過點(diǎn)且與極軸垂直的直線極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝－1. (3)過極點(diǎn)且與極軸成的角的直線方程為θ＝. 4．求過點(diǎn)(－2,3)，且斜率為2的直線的極坐標(biāo)方程． 解：由題意可知，直線的直角坐標(biāo)方程為y－3＝2(x＋2)，即2x－y＋7＝0.設(shè)M(ρ，θ)為直線上任意一點(diǎn)，將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入2x－y＋7＝0得2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0.故所求的極坐標(biāo)方程為2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0. 圓的極坐標(biāo)方程 [例3]　求圓心在A，并且過

8、極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程，并把它化為直角坐標(biāo)方程． [思路點(diǎn)撥]　設(shè)P(ρ，θ)是圓上任意一點(diǎn)，結(jié)合圖形，構(gòu)造三角形后可求解． [精解詳析]　如圖，設(shè)P(ρ，θ)為圓上除O、B外的任意一點(diǎn)，連接OP，PB，則有OB＝4，OP＝ρ，∠POB＝，∠BPO＝，從而△BOP為直角三角形，所以有OP＝OBcos∠POB，即ρ＝4cos＝－4sin θ.點(diǎn)O(0,0)，B也適合此方程． 故所求圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝－4sin θ. 化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＋4y＝0. 求與圓有關(guān)的極坐標(biāo)方程時(shí)，關(guān)鍵是找出曲線上點(diǎn)滿足的幾何條件，轉(zhuǎn)化為解三角形問題，從而建立ρ、θ滿足的關(guān)系式即方程，也可先求直角

9、坐標(biāo)方程，再化為極坐標(biāo)方程． 5．求滿足下列條件的圓的極坐標(biāo)方程： (1)半徑為4，在極坐標(biāo)系中圓心坐標(biāo)為(4，π)； (2)在直角坐標(biāo)系中，圓心為(－1,1)，且過原點(diǎn)． 解：(1)因?yàn)椋?sin(θ－90°)＝－4cos θ， 所以圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝－8cos θ. (2)因?yàn)閳A的直角坐標(biāo)方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝2， 即x2＋y2＝－2(x－y)． 由坐標(biāo)變換公式，得ρ2＝－2(ρcos θ－ρsin θ)， 所以圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝2(sin θ－cos θ)． 6．求以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)(1,1)為圓心，1為半徑的圓的極坐標(biāo)方程． 解：如圖所示，設(shè)

10、圓心為C(1,1)，P(ρ，θ)為圓上任意一點(diǎn)，過C作CD⊥OP于點(diǎn)D， ∵CO＝CP，∴OP＝2DO. 在Rt△CDO中，∠DOC＝θ－1， ∴DO＝cos(θ－1)． ∴OP＝2cos(θ－1)，因此圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos(θ－1)． [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P14] 1．將下列各題進(jìn)行直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化． (1)y2＋x2－2x－1＝0；(2)ρ＝. 解：(1)將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，代入原方程， 得ρ2－2ρcos θ－1＝0. (2)由ρ＝得2ρ－ρcos θ＝1， 所以2ρ＝ρcos θ＋1，令x＝ρcos θ，ρ2＝x2＋y2，

11、 得2＝x＋1， 兩邊平方整理得3x2＋4y2－2x－1＝0. 2．(北京高考改編)在極坐標(biāo)系中，求點(diǎn)到直線ρsin θ＝2的距離． 解：極坐標(biāo)系中點(diǎn)對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)為(，1)，極坐標(biāo)系直線ρsin θ＝2對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)系中直線方程為y＝2，所以距離為1. 3．在極坐標(biāo)系中，已知圓ρ＝2cos θ與直線3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求實(shí)數(shù)a的值． 解：將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，得圓的方程為x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1， 直線的方程為3x＋4y＋a＝0. 由題設(shè)知，圓心(1,0)到直線的距離為1，即有＝1，解得a＝－8或a＝2. 故a的值為－8

12、或2. 4．極坐標(biāo)方程(ρ－2)＝0(ρ≥0)表示的圖形是什么？ 解：由(ρ－2)＝0(ρ≥0)，得ρ＝2或者θ＝(ρ≥0)，其中前者表示的圖形是圓，后者表示的圖形是一條射線． 5．(安徽高考改編)在極坐標(biāo)系中，求圓ρ＝2cos θ的垂直于極軸的兩條切線的方程． 解：由ρ＝2cos θ可得x2＋y2＝2x?(x－1)2＋y2＝1，所以圓的圓心為(1,0)，半徑為1，與x軸垂直的圓的切線方程分別是x＝0，x＝2，在以原點(diǎn)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，與之對(duì)應(yīng)的方程是θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2. 6．(天津高考改編)已知圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ，圓心為C，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，求CP的長(zhǎng)．

13、 解：如圖，由圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ知OC＝2，又因?yàn)辄c(diǎn)P的極坐標(biāo)為，P的直角坐標(biāo)為(2,2)，所以O(shè)P＝4，∠POC＝，在△POC中，由余弦定理得CP2＝OP2＋OC2－2OP·OC·cos＝16＋4－2×4×2×＝12，所以CP＝2. 7．在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，求過圓C：ρ＝6cos的圓心C且與直線OC垂直的直線l的極坐標(biāo)方程． 解：圓心C的坐標(biāo)為，設(shè)直線l上任意一點(diǎn)P(ρ，θ)，則有ρcos＝3. 故直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝3. 8．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)O(0,0)，B. (1)求以O(shè)B為直徑的圓C的直角坐標(biāo)方程； (2)若直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos A＋ρsin A＝4，判斷直線l與圓C的位置關(guān)系． 解：(1)設(shè)P(ρ，θ)是所求圓C上任意一點(diǎn)，因?yàn)镺B為直徑，所以∠OPB＝，所以O(shè)P＝OBcos， 即ρ＝2cos，化為直角坐標(biāo)方程，得x2＋y2－2x－2y＝0. (2)圓C的圓心為C(1,1)，半徑r＝，直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－4＝0， 所以圓心到直線l距離d＝＝＝r. 故直線與圓C相切．