《（通用版）2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.1 函數(shù)及其表示講義 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（通用版）2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.1 函數(shù)及其表示講義 文（13頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第一節(jié)函數(shù)及其表示 一、基礎(chǔ)知識(shí)批注——理解深一點(diǎn) 1．函數(shù)與映射的概念 2．函數(shù)的有關(guān)概念 (1)函數(shù)的定義域、值域： 在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域． 求函數(shù)定義域的策略 (1)確定函數(shù)的定義域常從解析式本身有意義，或從實(shí)際出發(fā)． (2)如果函數(shù)y＝f(x)是用表格給出，則表格中x的集合即為定義域． (3)如果函數(shù)y＝f(x)是用圖象給出，則圖象在x軸上的投影所覆蓋的x的集合即為定義域． (2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系． (3

2、)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù). 兩函數(shù)值域與對(duì)應(yīng)關(guān)系相同時(shí)，兩函數(shù)不一定相同． (4)函數(shù)的表示法：表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法、列表法． 3．分段函數(shù) 若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)． 關(guān)于分段函數(shù)的3個(gè)注意 (1)分段函數(shù)雖然由幾個(gè)部分構(gòu)成，但它表示同一個(gè)函數(shù)． (2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集． (3)各段函數(shù)的定義域不可以相交． 二、基礎(chǔ)小題強(qiáng)化——功底牢一點(diǎn) (1)對(duì)于函數(shù)f：A→B，

3、其值域是集合B.(　　) (2)若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)是相等函數(shù)．(　　) (3)函數(shù)是一種特殊的映射．(　　) (4)若A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝|x|，則對(duì)應(yīng)f可看作從A到B的映射．(　　) (5)分段函數(shù)是由兩個(gè)或幾個(gè)函數(shù)組成的．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× (二)選一選 1．函數(shù)y＝log2(2x－4)＋的定義域是(　　) A．(2,3)　　　　　　　 　B．(2，＋∞) C．(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞) 解析：選D　由題意，得解得x>2且x≠3，所以函數(shù)y＝log2(2x－4)＋

4、的定義域?yàn)?2,3)∪(3，＋∞)． 2．下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x＋1是相等函數(shù)的是(　　) A．y＝()2 B．y＝＋1 C．y＝＋1 D．y＝＋1 解析：選B　對(duì)于A，函數(shù)y＝()2的定義域?yàn)閧x|x≥－1}，與函數(shù)y＝x＋1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對(duì)于B，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，是相等函數(shù)；對(duì)于C，函數(shù)y＝＋1的定義域?yàn)閧x|x≠0}，與函數(shù)y＝x＋1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對(duì)于D，定義域相同，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是相等函數(shù)，故選B. 3．函數(shù)y＝＋1的值域?yàn)?　　) A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．[0，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：選D

5、　函數(shù)y＝＋1的定義域?yàn)閇1，＋∞)，且在[1，＋∞)上為增函數(shù)，所以當(dāng)x＝1時(shí)，y取得最小值1.故函數(shù)的值域?yàn)閇1，＋∞)． (三)填一填 4．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，則a＝________. 解析：若a≥0，則＋1＝2，得a＝1； 若a<0，則＋1＝2，得a＝－1. 故a＝±1. 答案：±1 5．已知f＝x2＋5x，則f(x)＝________. 解析：令t＝，則x＝(t≠0)，即f(t)＝＋， ∴f(x)＝(x≠0)． 答案：(x≠0) [典例]　(1)(2019·長春質(zhì)檢)函數(shù)y＝＋的定義域是(　　) A．[－1,0)∪(0,1)　

6、　　 　B．[－1,0)∪(0,1] C．(－1,0)∪(0,1] D．(－1,0)∪(0,1) (2)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,0)，則函數(shù)f(2x＋1)的定義域?yàn)?　　) A．(－1,1) B. C．(－1,0) D. [解析]　(1)由題意得解得－1

7、)偶次根式的被開方數(shù)非負(fù)； (3)y＝x0要求x≠0； (4)對(duì)數(shù)式中的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不等于1； (5)正切函數(shù)y＝tan x，x≠kπ＋(k∈Z)； (6)實(shí)際問題中除考慮函數(shù)解析式有意義外，還應(yīng)考慮實(shí)際問題本身的要求． 2．抽象函數(shù)的定義域問題 (1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，其復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]上的值域． 定義域，是何意，自變量，有意義； 分式分母不為零，對(duì)數(shù)真數(shù)只取正； 偶次根式要非負(fù)，三者結(jié)合生萬物

8、； 和差積商定義域，不等式組求交集； 抽象函數(shù)定義域，對(duì)應(yīng)法則內(nèi)相同． [題組訓(xùn)練] 1.函數(shù)f(x)＝＋的定義域?yàn)?　　) A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2] C．[－2,2] D．(－1,2] 解析：選B　由得－1

9、案：{x|0≤x≤2 018，且x≠1} [典例]　(1)已知二次函數(shù)f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)； (2)已知函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)． [解]　(1)法一：待定系數(shù)法 因?yàn)閒(x)是二次函數(shù)，所以設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c. 因?yàn)閒(2x＋1)＝4x2－6x＋5， 所以解得 所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)． 法二：換元法 令2x＋1＝t(t∈R)，則x＝， 所以f(t)＝42－6·＋5＝t2－5t＋

10、9(t∈R)， 所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)． 法三：配湊法 因?yàn)閒(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9， 所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)． (2)解方程組法 由f(－x)＋2f(x)＝2x， ① 得f(x)＋2f(－x)＝2－x，② ①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x. 即f(x)＝. 故f(x)的解析式是f(x)＝(x∈R)． [解題技法]　求函數(shù)解析式的4種方法及適用條件 (1)待定系數(shù)法 先設(shè)出含有待定系數(shù)的解析式，再利用恒等式的性質(zhì)，或?qū)⒁阎獥l件代入，建立方程(組)，通過

11、解方程(組)求出相應(yīng)的待定系數(shù)． (2)換元法 對(duì)于形如y＝f(g(x))的函數(shù)解析式，令t＝g(x)，從中求出x＝φ(t)，然后代入表達(dá)式求出f(t)，再將t換成x，得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范圍． (3)配湊法 由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式． (4)解方程組法 已知關(guān)于f(x)與f或f(－x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)． 解析式，如何定，待定換元解方程； 已知函數(shù)有特征，待定系數(shù)來確定； 復(fù)合函數(shù)問根源，內(nèi)函數(shù)

12、，先換元； 兩個(gè)函數(shù)有關(guān)系，方程組中破玄機(jī)． [提醒]　由于函數(shù)的解析式相同，定義域不同，則為不相同的函數(shù)，因此求函數(shù)的解析式時(shí)，如果定義域不是R，一定要注明函數(shù)的定義域． [題組訓(xùn)練] 1.已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，則f(x)＝________________. 解析：設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx. 又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1， 即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1， 所以

13、解得a＝b＝. 所以f(x)＝x2＋x(x∈R)． 答案：x2＋x(x∈R) 2.已知f＝lg x，則f(x)＝________________. 解析：令＋1＝t，得x＝，則f(t)＝lg，又x>0，所以t>1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg(x>1)． 答案：lg(x>1) 3.已知f(x)滿足2f(x)＋f＝3x，則f(x)＝________. 解析：∵2f(x)＋f＝3x，① 把①中的x換成，得2f＋f(x)＝.② 聯(lián)立①②可得 解此方程組可得f(x)＝2x－(x≠0)． 答案：2x－(x≠0) 考法(一)　求函數(shù)值 [典例]　(2019·石

14、家莊模擬)已知f(x)＝(0

15、從內(nèi)到外依次求值； (3)當(dāng)自變量的值所在區(qū)間不確定時(shí)，要分類討論，分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)參照分段函數(shù)不同段的端點(diǎn)． 考法(二)　求參數(shù)或自變量的值(或范圍) [典例]　(2018·全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝則滿足f(x＋1)

16、1)0時(shí)，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合題意． 綜上，不等式f(x＋1)

17、)如果分段函數(shù)的圖象易得，也可以畫出函數(shù)圖象后結(jié)合圖象求解． [題組訓(xùn)練] 1．設(shè)f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，則f＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：選C　當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a＋1＞1，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a， ∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a， 解得a＝或a＝0(舍去)． ∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6. 當(dāng)a≥1時(shí)，a＋1≥2，f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a， ∵f(a)＝f(a＋1)，∴2(a－1)＝2a，無解． 綜上，f＝6. 2．已知函數(shù)f(x)＝則f(f(3))＝___

18、_____. 解析：由題意，得f(3)＝f(2)＝f(1)＝21＝2， ∴f(f(3))＝f(2)＝2. 答案：2 3．(2017·全國卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)＋f>1的x的取值范圍是________． 解析：由題意知，可對(duì)不等式分x≤0,0討論． ①當(dāng)x≤0時(shí)，原不等式為x＋1＋x＋>1，解得x>－， 故－1，顯然成立． ③當(dāng)x>時(shí)，原不等式為2x＋2x－>1，顯然成立． 綜上可知，所求x的取值范圍是. 答案： 4．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)<1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．

19、 解析：若a<0，則f(a)<1?a－7<1?a<8，解得a>－3，故－3

20、 D．(－∞，2)∪(2，＋∞) 解析：選C　由題意得解得x≥0，且x≠2. 3．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，則a等于(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：選A　令t＝x－1，則x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1， 則4a－1＝6，解得a＝. 4．(2019·貴陽檢測(cè))下列函數(shù)中，同一個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同的是(　　) A．y＝ B．y＝ln x C．y＝ D．y＝ 解析：選D　對(duì)于A，定義域?yàn)閇1，＋∞)，值域?yàn)閇0，＋∞)，不滿足題意；對(duì)于B，定義域?yàn)?0，＋∞)，值域?yàn)镽，不滿足題意；對(duì)于C，定義域?yàn)?－∞，0)∪(0

21、，＋∞)，值域?yàn)?－∞，－1)∪(0，＋∞)，不滿足題意；對(duì)于D，y＝＝1＋，定義域?yàn)?－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)． 5．(2018·福建期末)已知函數(shù)f(x)＝若f(a)＝3，則f(a－2)＝(　　) A．－ B．3 C．－或3 D．－或3 解析：選A　當(dāng)a>0時(shí)，若f(a)＝3，則log2a＋a＝3，解得a＝2(滿足a>0)；當(dāng)a≤0時(shí)，若f(a)＝3，則4a－2－1＝3，解得a＝3，不滿足a≤0，所以舍去．于是，可得a＝2.故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－. 6．已知函數(shù)y＝f(2x－1)的定義域是[0,1]，則函數(shù)的定義域是(

22、　　) A．[1,2] B．(－1,1] C. D．(－1,0) 解析：選D　由f(2x－1)的定義域是[0,1]， 得0≤x≤1，故－1≤2x－1≤1， ∴f(x)的定義域是[－1,1]， ∴要使函數(shù)有意義， 需滿足解得－1

23、 018x－|2 018x|＝2 018(x－|x|)＝2 018f(x)；若f(x)＝x＋2，則f(2 018x)＝2 018x＋2，而2 018f(x)＝2 018x＋2 018×2，故f(x)＝x＋2不滿足f(2 018x)＝2 018f(x)；若f(x)＝－2x，則f(2 018x)＝－2×2 018x＝2 018×(－2x)＝2 018f(x)．故選C. 8．已知具有性質(zhì)：f＝－f(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)，下列函數(shù)： ①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝ 其中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．① 解

24、析：選B　對(duì)于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，滿足題意；對(duì)于②，f＝＋x＝f(x)，不滿足題意；對(duì)于③，f＝即f＝故f＝－f(x)，滿足題意． 綜上可知，滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是①③. 9．(2019·青島模擬)函數(shù)y＝ln＋的定義域?yàn)開_______． 解析：由??0

25、若f(a)＋f(1)＝0，則實(shí)數(shù)a的值等于________． 解析：∵f(1)＝2，且f(1)＋f(a)＝0，∴f(a)＝－2＜0，故a≤0. 依題知a＋1＝－2，解得a＝－3. 答案：－3 12．已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范圍是________． 解析：由題意知或 解得－4≤x≤0或0＜x≤2， 故所求x的取值范圍是[－4,2]． 答案：[－4,2] 13．設(shè)函數(shù)f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)在如圖所示的直角坐標(biāo)系中畫出f(x)的圖象． 解：(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)，得 解得所以f(x)＝ (2)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示． 13