《（通用版）2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.8 函數(shù)與方程講義 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（通用版）2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.8 函數(shù)與方程講義 理（14頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第八節(jié)函數(shù)與方程 1．函數(shù)零點(diǎn)的概念 對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，x∈D，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)，x∈D的零點(diǎn)?. 2．函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系 函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根也就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的橫坐標(biāo)，所以方程f(x)＝0有實(shí)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)f(x)有零點(diǎn)． 3．零點(diǎn)存在性定理 4．二次函數(shù)圖象與零點(diǎn)的關(guān)系 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象 與x軸的交點(diǎn) (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 無(wú) 零點(diǎn)

2、個(gè)數(shù)? 2 1 0 (1)函數(shù)的零點(diǎn)是實(shí)數(shù)，而不是點(diǎn)，是方程f(x)＝0的實(shí)根． (2)零點(diǎn)一定在定義域內(nèi). 由函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如下圖所示．所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)的充分不必要條件．事實(shí)上，只有當(dāng)函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)(不是偶次零點(diǎn))時(shí)，函數(shù)值才變號(hào)，即相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的函數(shù)值同號(hào)． 零點(diǎn)存在性定理只能判斷零點(diǎn)存在，不能確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．若函數(shù)在某區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則該函數(shù)在該區(qū)間上至多有一個(gè)零點(diǎn)． 判斷二次函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是判斷一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的實(shí)根

3、個(gè)數(shù)，一般由判別式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0完成． [熟記常用結(jié)論] 1．若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)，且f(x)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，則f(a)·f(b)＜0?函數(shù)f(x)在[a，b]上只有一個(gè)零點(diǎn)． 2．連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào)． 3．周期函數(shù)如果存在零點(diǎn)，則必有無(wú)窮個(gè)零點(diǎn)． [小題查驗(yàn)基礎(chǔ)] 一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”) (1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)．(　　) (2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)f(b)＜0.(　　) (3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)

4、在b2－4ac＜0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 二、選填題 1．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是連續(xù)曲線，且有如下的對(duì)應(yīng)值表： x 1 2 3 4 5 6 y 124.4 35 －74 14.5 －56.7 －123.6 則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點(diǎn)至少有(　　) A．2個(gè)　　　　　　　　 B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) 解析：選B　由零點(diǎn)存在性定理及題中的對(duì)應(yīng)值表可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)，(3,4)，(4,5)內(nèi)均有零點(diǎn)，所以y＝f(x)在[1,6]上至少有3個(gè)零點(diǎn)．故選B. 2．函數(shù)f(x)＝ln

5、x－的零點(diǎn)所在的大致范圍是(　　) A．(1,2) B．(2,3) C.和(3,4) D．(4，＋∞) 解析：選B　易知f(x)為增函數(shù)，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)·f(3)＜0.故選B. 3．函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選B　函數(shù)f(x)＝ex＋3x在R上是增函數(shù)， ∵f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0， ∴f(－1)·f(0)＜0， ∴函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn)，且在(－1,0)內(nèi)，故選B. 4．函數(shù)f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零點(diǎn)為________．

6、 答案：－， ，1,2 考點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷[基礎(chǔ)自學(xué)過(guò)關(guān)] [題組練透] 1．(2019·鄭州名校聯(lián)考)已知實(shí)數(shù)a，b滿足2a＝3,3b＝2，則函數(shù)f(x)＝ax＋x－b的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(　　) A．(－2，－1)　　　　　　 B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 解析：選B　∵2a＝3,3b＝2，∴a＞1,0＜b＜1，又f(x)＝ax＋x－b是單調(diào)遞增函數(shù)，∴f(－1)＝－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，∴f(x)在區(qū)間(－1,0)上存在零點(diǎn)．故選B. 2．若x0是方程x＝x的解，則x0屬于區(qū)間(　　) A. B. C. D. 解析：選C

7、　令g(x)＝x，f(x)＝x， 則g(0)＝1＞f(0)＝0，g＝＜f＝，g＝＞f＝， 結(jié)合圖象可得＜x0＜. 3．(2019·河北武邑中學(xué)調(diào)研)函數(shù)f(x)＝3x－7＋ln x的零點(diǎn)位于區(qū)間(n，n＋1)(n∈N)內(nèi)，則n＝________. 解析：因?yàn)閒(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(2)＝－1＋ln 2＜0，f(3)＝2＋ln 3＞0，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間(2,3)內(nèi)，故n＝2. 答案：2 [名師微點(diǎn)] 確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法 (1)利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a

8、)·f(b)＜0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)． (2)數(shù)形結(jié)合法：通過(guò)畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷． 考點(diǎn)二判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)[師生共研過(guò)關(guān)] [典例精析] 已知函數(shù)f(x)＝函數(shù)g(x)＝3－f(2－x)，則函數(shù)y＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 [解析]　由已知條件可得g(x)＝3－f(2－x)＝函數(shù)y＝f(x)－g(x)的零點(diǎn) 個(gè)數(shù)即為函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象如圖所示． 由圖可知函數(shù)y＝f(x

9、)與y＝g(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)y＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，選A. [答案]　A [解題技法] 函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法 (1)直接求零點(diǎn)，令f(x)＝0，有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)； (2)零點(diǎn)存在性定理，要求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)； (3)利用圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出兩函數(shù)圖象，觀察其交點(diǎn)個(gè)數(shù)即得零點(diǎn)個(gè)數(shù)． [過(guò)關(guān)訓(xùn)練] 1．(2019·鄭州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝x－cos x，則f(x)在[0,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________． 解析：如圖，作出g(x)＝x與h(x)＝

10、cos x的圖象，可知其在[0,2π]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，所以函數(shù)f(x)在[0,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3. 答案：3 2．函數(shù)f(x)＝的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________． 解析：當(dāng)x＜0時(shí)，令f(x)＝0，即x2＋2x＝0，解得x＝－2或x＝0(舍去)，所以當(dāng)x＜0時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝ex－x－2，而f′(x)＝ex－1，顯然f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(0)＝e0－0－2＝－1＜0，f(2)＝e2－4＞0，所以當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．綜上，函數(shù)f(x)只有2個(gè)零點(diǎn)． 答案：2 3．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝

11、cos在[0，π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________． 解析：由題意可知，當(dāng)3x＋＝kπ＋(k∈Z)時(shí)，f(x)＝0.∵x∈[0，π]，∴3x＋∈， ∴當(dāng)3x＋取值為，，時(shí)，f(x)＝0， 即函數(shù)f(x)＝cos在[0，π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3. 答案：3 考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用[全析考法過(guò)關(guān)] [考法全析] 考法(一)　根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)或存在情況求參數(shù)范圍 [例1]　(1)(2019·鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝(a∈R)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(0,1]　　　　　　 B．[1，＋∞) C．(0,1) D．(－∞，1] (2)(2018·

12、全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是(　　) A．[－1,0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) [解析]　(1)畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，需0＜a≤1；當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，需－a＜0，即a＞0.綜上，0＜a≤1，故選A. (2)令h(x)＝－x－a，則g(x)＝f(x)－h(huán)(x)．在同一坐標(biāo)系中畫出y＝f(x)，y＝h(x)的示意圖，如圖所示．若g(x)存在

13、2個(gè)零點(diǎn)，則y＝f(x)的圖象與y＝h(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，平移y＝h(x)的圖象，可知當(dāng)直線y＝－x－a過(guò)點(diǎn)(0,1)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)1＝－0－a，a＝－1.當(dāng)y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1時(shí)，僅有1個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．當(dāng)y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，符合題意．綜上，a的取值范圍為[－1，＋∞)．故選C. [答案]　(1)A　(2)C 考法(二)　根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的范圍求參數(shù)范圍 [例2]　若函數(shù)f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(－1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)，則m的取值范圍是____________． [解析]

14、　依題意，結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象分析可知m需滿足 即 解得＜m＜. [答案]　 考法(三)　求函數(shù)多個(gè)零點(diǎn)(方程根)的和 [例3]　(2019·石家莊質(zhì)量檢測(cè))已知M是函數(shù)f(x)＝|2x－3|－8sin πx(x∈R)的所有零點(diǎn)之和，則M的值為________． [解析]　將函數(shù)f(x)＝|2x－3|－8sin πx的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)h(x)＝|2x－3|與g(x)＝8sin πx圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)h(x)與g(x)的圖象，如圖，因?yàn)楹瘮?shù)h(x)與g(x)的圖象都關(guān)于直線x＝對(duì)稱，兩個(gè)函數(shù)的圖象共有8個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)的所有零點(diǎn)之和M＝8×＝1

15、2. [答案]　12 [規(guī)律探求] 看個(gè)性 考法(一)是根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及零點(diǎn)存在情況求參數(shù)范圍，解決此類問(wèn)題通常先對(duì)解析式變形，然后在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解． 考法(二)是根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)，解決此類問(wèn)題應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在性定理，建立參數(shù)所滿足的不等式，解不等式，即得參數(shù)的取值范圍． 考法(三)是求函數(shù)零點(diǎn)的和，求函數(shù)的多個(gè)零點(diǎn)(或方程的根以及直線y＝m與函數(shù)圖象的多個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo))的和時(shí)，應(yīng)考慮函數(shù)的性質(zhì)，尤其是對(duì)稱性特征(這里的對(duì)稱性主要包括函數(shù)本身關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，直線的對(duì)稱等) 找共性 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍的一般步驟為： (

16、1)轉(zhuǎn)化：把已知函數(shù)零點(diǎn)的存在情況轉(zhuǎn)化為方程的解或兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)的情況． (2)列式：根據(jù)零點(diǎn)存在性定理或結(jié)合函數(shù)圖象列式． (3)結(jié)論：求出參數(shù)的取值范圍或根據(jù)圖象得出參數(shù)的取值范圍. [過(guò)關(guān)訓(xùn)練] 1．函數(shù)f(x)＝x2－ax＋1在區(qū)間上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(2，＋∞)　　　　　　 B．[2，＋∞) C. D. 解析：選D　由題意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，設(shè)t＝x＋，x∈，則t的取值范圍是，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 2．設(shè)函數(shù)f(x)＝g(x)＝f(x)－4mx－m，其中m≠0.若函數(shù)g(x)在區(qū)間(－1,1)上有且僅有一

17、個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．{－1}∪ B. C．{－1}∪ D. 解析：選C　作出函數(shù)y＝f(x)的大致圖象，如圖所示．函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)?函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝4mx＋m的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．直線y＝4mx＋m過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線y＝4mx＋m過(guò)點(diǎn)(1,1)時(shí)，m＝；當(dāng)直線y＝4mx＋m與曲線y＝－1(－1＜x＜0)相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由y′＝－得切線的斜率為－，則－＝，解得x0＝－，所以4m＝－＝－4，得m＝－1.結(jié)合圖象可知當(dāng)m≥或m＝－1時(shí)，函數(shù)g(x)在區(qū)間(－1,1)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

18、 一、題點(diǎn)全面練 1．設(shè)f(x)是區(qū)間[－1,1]上的增函數(shù)，且f ·f ＜0，則方程f(x)＝0在區(qū)間[－1,1]內(nèi)(　　) A．可能有3個(gè)實(shí)數(shù)根　　　 B．可能有2個(gè)實(shí)數(shù)根 C．有唯一的實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 解析：選C　∵f(x)在區(qū)間[－1,1]上是增函數(shù)，且f ·f ＜0， ∴f(x)在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)． ∴方程f(x)＝0在區(qū)間[－1,1]內(nèi)有唯一的實(shí)數(shù)根． 2．(2018·濮陽(yáng)一模)函數(shù)f(x)＝ln(2x)－1的零點(diǎn)位于區(qū)間(　　) A．(2,3) B．(3,4) C．(0,1) D．(1,2)

19、 解析：選D　∵f(x)＝ln(2x)－1是增函數(shù)，且是連續(xù)函數(shù)， f(1)＝ln 2－1＜0，f(2)＝ln 4－1＞0， ∴根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理可得，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間(1,2)上． 3．(2019·南寧模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln x－2x＋6，則f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：選B　令f(x)＝0，則ln x＝2x－6，令g(x)＝ln x(x＞0)，h(x)＝2x－6(x＞0)，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示，兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)就等于函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，容易看出函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，故選

20、B. 4．已知函數(shù)f(x)＝x－log3x，若x0是函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)，且0＜x1＜x0，則f(x1)的值(　　) A．恒為正值 B．等于0 C．恒為負(fù)值 D．不大于0 解析：選A　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x－log3x在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以當(dāng)0＜x1＜x0時(shí)，有f(x1)＞f(x0)．又x0是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，因此f(x0)＝0，所以f(x1)＞0，即f(x1)的值恒為正值，故選A. 5．(2018·黃山一模)已知函數(shù)f(x)＝e|x|＋|x|.若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　) A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－

21、1,0) D．(－∞，－1) 解析：選B　方程f(x)＝k化為方程e|x|＝k－|x|.令y＝e|x|，y＝k－|x|，y＝k－|x|表示過(guò)點(diǎn)(0，k)，斜率為1或－1的平行折線系，折線與曲線y＝e|x|恰好有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，有k＝1，如圖．若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(1，＋∞)． 6．若方程ln x＋x－4＝0在區(qū)間(a，b)(a，b∈Z，且b－a＝1)上有一根，則a的值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選B　方程ln x＋x－4＝0的根為函數(shù)f(x)＝ln x＋x－4的零點(diǎn)．f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f(x)在定義域

22、上單調(diào)遞增．因?yàn)閒(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3－1＞0，所以f(x)在區(qū)間(2,3)有一個(gè)零點(diǎn)，則方程ln x＋x－4＝0在區(qū)間(2,3)有一根，所以a＝2，b＝3.故選B. 7．(2019·哈爾濱檢測(cè))若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的兩個(gè)零點(diǎn)是－1和2，則不等式af(－2x)＞0的解集是________． 解析：函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的兩個(gè)零點(diǎn)是－1和2，即－1,2是方程x2＋ax＋b＝0的兩根，可得－1＋2＝－a，－1×2＝b，解得a＝－1，b＝－2.f(x)＝x2－x－2，af(－2x)＞0，即4x2＋2x－2＜0，解得－1＜x＜. 答案： 8．已知函數(shù)f(

23、x)＝g(x)＝則函數(shù)f(g(x))的所有零點(diǎn)之和是________． 解析：由f(x)＝0，得x＝2或x＝－2，由g(x)＝2，得x＝1＋，由g(x)＝－2，得x＝－，所以函數(shù)f(g(x))的所有零點(diǎn)之和是－＋1＋＝＋. 答案：＋ 9．已知y＝f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)＝x2－2x. (1)寫出函數(shù)y＝f(x)的解析式； (2)若方程f(x)＝a恰有3個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：(1)設(shè)x＜0，則－x＞0， 所以f(－x)＝x2＋2x.又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)， 所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x. 所以f(x)＝ (2)方

24、程f(x)＝a恰有3個(gè)不同的解， 即y＝f(x)與y＝a的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)． 作出y＝f(x)與y＝a的圖象如圖所示，故若方程f(x)＝a恰有3個(gè)不同的解，只需－1＜a＜1， 故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－1,1)． 10．(2019·濟(jì)南月考)已知二次函數(shù)f(x)的最小值為－4，且關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)求函數(shù)g(x)＝－4ln x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)． 解：(1)因?yàn)閒(x)是二次函數(shù)，且關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}， 所以f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2a

25、x－3a，且a＞0. 所以f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1. 故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x2－2x－3. (2)因?yàn)間(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2(x＞0)， 所以g′(x)＝1＋－＝. 令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3. 當(dāng)x變化時(shí)，g′(x)，g(x)的取值變化情況如下. x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞) g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x)  極大值  極小值  當(dāng)0＜x≤3時(shí)，g(x)≤g(1)＝－4＜0. 又因?yàn)間(x)在(3，＋∞)上單調(diào)遞增，因而g(x)在(

26、3，＋∞)上只有1個(gè)零點(diǎn)．故g(x)在(0，＋∞)上只有1個(gè)零點(diǎn)． 二、專項(xiàng)培優(yōu)練 (一)易錯(cuò)專練——不丟怨枉分 1．(2018·德州期末)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝ex＋x－3，則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即0是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝ex＋x－3為增函數(shù)．因?yàn)閒(1)＝e1＋1－3＝e－2＞0，f＝e＋－3＝e－＜0，所以當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)有一個(gè)零點(diǎn)．根據(jù)對(duì)稱性知，當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f(x)也有一個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，

27、f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3. 2．(2019·六安模擬)已知函數(shù)f(x)＝2mx2－x－1在區(qū)間(－2,2)上恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A.∪ B. C. D. 解析：選D　當(dāng)m＝0時(shí)，函數(shù)f(x)＝－x－1有一個(gè)零點(diǎn)x＝－1，滿足條件．當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)f(x)＝2mx2－x－1在區(qū)間(－2,2)上恰有一個(gè)零點(diǎn)，需滿足①f(－2)·f(2)＜0或②或③解①得－＜m＜0或0＜m＜；②無(wú)解；解③得m＝.綜上可知－＜m≤，故選D. 3．(2019·滄州質(zhì)檢)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：①f(x)＋f(2－x)＝0；②f(x－2)＝f(－x)；③當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)

28、，f(x)＝則函數(shù)y＝f(x)－|x|在區(qū)間[－3,3]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：選A　由①f(x)＋f(2－x)＝0可得f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱；由②f(x－2)＝f(－x)可得f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱．如圖，作出f(x)在[－1,1]上的圖象，再由對(duì)稱性，作出f(x)在[－3,3]上的圖象，作出函數(shù)y＝|x|在[－3,3]上的圖象，由圖象觀察可得它們共有5個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)y＝f(x)－|x|在區(qū)間[－3,3]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.故選A. 4．函數(shù)f(x)＝|x－1|＋2cos πx(－4≤x≤6)的所有零點(diǎn)之和為_____

29、___． 解析：可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)y＝|x－1|與y＝－2cos πx在[－4,6]上的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和，因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)均關(guān)于x＝1對(duì)稱，所以兩個(gè)函數(shù)在x＝1兩側(cè)的交點(diǎn)對(duì)稱，則每對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和為2，分別畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象易知兩個(gè)函數(shù)在x＝1兩側(cè)分別有5個(gè)交點(diǎn)，所以5×2＝10. 答案：10 (二)難點(diǎn)專練——適情自主選 5．已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝kx－恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選D　若關(guān)于x的方程f(x)＝kx－恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則y＝f(x)的圖象和直線y＝kx－有4個(gè)交點(diǎn)．作出函數(shù)y

30、＝f(x)的圖象，如圖，故點(diǎn)(1,0)在直線y＝kx－的下方． ∴k×1－＞0，解得k＞. 當(dāng)直線y＝kx－和y＝ln x相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則k＝＝，∴m＝.此時(shí)，k＝＝，f(x)的圖象和直線y＝kx－有3個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件，故所求k的取值范圍是，故選D. 6．(2018·蘭州一模)已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)對(duì)任意的x都滿足f(x＋2)＝f(x)，當(dāng)－1≤x＜1時(shí)，f(x)＝sinx，若函數(shù)g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是(　　) A.∪(5，＋∞) B.∪[5，＋∞) C.∪(5,7) D.∪[5,7) 解析：選A　當(dāng)a＞1時(shí)，作出函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝loga|x|的圖象，如圖所示． 結(jié)合圖象可知故a＞5； 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，作出函數(shù)f(x)與函數(shù)y＝loga|x|的圖象，如圖所示． 結(jié)合圖象可知故0＜a≤.故選A. 14