5、－2＝(3x＋2)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1，
當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
極大值
↘
極小值
↗
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，(1，＋∞)；單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)由(1)知，f(x)＝x3－x2－2x＋c，x∈[－1,2]，
當(dāng)x＝－時(shí)，f?＝＋c為極大值，
因?yàn)閒(2)＝2＋c，所以f(2)＝2＋c為最大值．
要使f(x)f(2)＝2＋c，
解得c<－1或c>2.
6、故實(shí)數(shù)c的取值范圍為(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
引申探究
若本例中條件不變，“把(2)中對(duì)x∈[－1,2]，不等式f(x)c－，
所以f(1)＝c－為最小值．
因?yàn)榇嬖趚∈[－1,2]，不等式f(x)f(1)＝c－，即2c2－2c＋3>0，
解得c∈R.故實(shí)數(shù)c的取值范圍為R.
反思與感悟 分離參數(shù)求解不等式恒成立問(wèn)題的步驟
跟蹤訓(xùn)練2 (1)已知函數(shù)f(x)＝2xln x，g(x
7、)＝－x2＋ax－3對(duì)一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，則a的取值范圍是________．
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求恒成立中參數(shù)的取值范圍
答案 (－∞，4]
解析 由2xln x≥－x2＋ax－3，
得a≤2ln x＋x＋.
設(shè)h(x)＝2ln x＋＋x(x>0)．
則h′(x)＝，
當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增．
∴h(x)min＝h(1)＝4.
∴a≤4.
(2)設(shè)L為曲線C：y＝在點(diǎn)(1,0)處的切線．
①求L的方程；
②證明：除切點(diǎn)
8、(1,0)之外，曲線C在直線L的下方．
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
題點(diǎn) 恒成立中的證明問(wèn)題
①解 設(shè)f(x)＝，
則f′(x)＝，
所以f′(1)＝1，所以L的方程為y＝x－1.
②證明 設(shè)g(x)＝x－1－f(x)，除切點(diǎn)外，曲線C在直線L的下方等價(jià)于?x>0且x≠1，g(x)>0.
g(x)滿足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.
當(dāng)01時(shí)，x2－1>0，ln x>0，
所以g′(x)>0，
故g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增；
所以，
9、?x>0且x≠1，g(x)>g(1)＝0.
所以除切點(diǎn)外，曲線C在直線L的下方.
1．函數(shù)f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是( )
A．0 B. C. D.
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值
答案 B
解析 f′(x)＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)，
∴當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f′(x)≥0，f(x)單調(diào)遞增，
當(dāng)1≤x≤4時(shí)，f′(x)≤0，f(x)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)max＝f(1)＝.故選B.
2．函數(shù)f(x)＝xln x的最小值為( )
A．e2 B．－e
C．－e－1 D．－
考點(diǎn)
10、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值
答案 C
解析 ∵f(x)＝xln x，定義域是(0，＋∞)，
∴f′(x)＝1＋ln x，
令f′(x)>0，解得x>，
令f′(x)<0，解得00恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1]
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求恒成立中參數(shù)的取值范圍
答案 A
解析 f′(x)
11、＝ex－1，
令f′(x)>0，解得x>0，
令f′(x)<0，解得x<0，
故f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
故f(x)min＝f(0)＝1＋a，
若f(x)>0恒成立，
則1＋a>0，解得a>－1，故選A.
4．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋2，x1，x2是區(qū)間[－1,1]上任意兩個(gè)值，M≥|f(x1)－f(x2)|恒成立，則M的最小值是________．
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求恒成立中參數(shù)的取值范圍
答案 4
解析 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
當(dāng)－1≤x<0時(shí)，f′(x)>0，f(x)
12、單調(diào)遞增，
當(dāng)00)在x＝1處取得極值－3－c，其中a，b，c為常數(shù)．
(1)試確定a，b的值；
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(3)若對(duì)任意x>0，不等式f(x)
13、≥－2c2恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求恒成立中參數(shù)的取值范圍
解 (1)由f(x)在x＝1處取得極值－3－c知f(1)＝b－c＝－3－c，得b＝－3.
又f′(x)＝4ax3ln x＋ax4·＋4bx3
＝x3(4aln x＋a＋4b)，
由f′(1)＝0，得a＋4b＝0，a＝－4b＝12.
(2)由(1)知f′(x)＝48x3ln x(x>0)．
令f′(x)＝0，得x＝1.
當(dāng)01時(shí)，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)．
因此，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)
14、，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)．
(3)由(2)知f(1)＝－3－c既是極小值，也是(0，＋∞)內(nèi)的最小值，要使f(x)≥－2c2(x>0)恒成立，只需－3－c≥－2c2，即2c2－c－3≥0.
從而(2c－3)(c＋1)≥0，解得c≥或c≤－1.
故實(shí)數(shù)c的取值范圍為(－∞，－1]∪.
1．若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)存在最值，則極值點(diǎn)必落在已知區(qū)間內(nèi)．
2．已知不等式在某一區(qū)間上恒成立，求參數(shù)的取值范圍：一般先分離參數(shù)，再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題求解；若不能分離，則構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求最值.
一、選擇題
1．已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸切于(1,
15、0)點(diǎn)，則f(x)在[－1,1]上的最大值、最小值分別為( )
A．0，－4 B.，－4
C.，0 D．2,0
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值
答案 B
解析 由題意得
即得
則f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1，
令f′(x)＝0得x＝1或x＝，
由f?＝，f(－1)＝－4，f(1)＝0，
∴f(x)max＝，f(x)min＝－4.
2．已知a，b為正實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax3＋bx＋2在[0,1]上的最大值為4，則f(x)在[－1,0]上的最小值為( )
A．0 B.
C．－2 D．2
16、考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求含參數(shù)函數(shù)的最值
答案 A
解析 因?yàn)閍，b為正實(shí)數(shù)，
所以f(x)＝ax3＋bx＋2是增函數(shù)，
函數(shù)f(x)＝ax3＋bx＋2在[0,1]上的最大值f(1)＝a＋b＋2＝4，a＋b＝2.
在[－1,0]上的最小值為f(－1)＝－(a＋b)＋2＝0.
3．若關(guān)于x的不等式x3－3x＋3＋a≤0恒成立，其中－2≤x≤3，則實(shí)數(shù)a的最大值為( )
A．1 B．－1
C．－5 D．－21
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求恒成立問(wèn)題中參數(shù)的取值范圍
答案 D
解析 若關(guān)于x的不等式x3－3x＋3＋a≤
17、0恒成立，
則a≤－x3＋3x－3在[－2,3]上恒成立，
令f(x)＝－x3＋3x－3，x∈[－2,3]，
則f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)，
令f′(x)>0，解得－11或x<－1，
故f(x)在[－2，－1)上單調(diào)遞減，在(－1,1)上單調(diào)遞增，在(1,3]上單調(diào)遞減，
而f(－2)＝－1，f(－1)＝－5，f(1)＝－1，f(3)＝－21，
故a≤－21，故a的最大值是－21.
4．當(dāng)x∈(0,3)時(shí)，關(guān)于x的不等式ex－x－2mx>0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A. B.
C．(－∞，e＋1)
18、 D．(e＋1，＋∞)
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求恒成立問(wèn)題中參數(shù)的取值范圍
答案 A
解析 當(dāng)x∈(0,3)時(shí)，關(guān)于x的不等式ex－x－2mx>0恒成立，
即為2m＋1<在(0,3)上的最小值，
令f(x)＝，則f′(x)＝，
當(dāng)00，f(x)單調(diào)遞增．
可得f(x)在x＝1處取得最小值e，
即有2m＋1
19、．(－3,0) D．[－3,0]
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)在最值問(wèn)題中的應(yīng)用
題點(diǎn) 已知最值求參數(shù)
答案 D
解析 ∵f(x)＝－x3－3x2＋1，
∴f′(x)＝－3x2－6x，
令f′(x)＝－3x2－6x＝0，解得x＝0或x＝－2，
當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
極小值
↗
極大值
↘
由f(x)＝1，得－x3－3x2＋1＝1，
解得x＝0或x＝－3.
當(dāng)x>0時(shí)，f(x)
20、>f(－3)＝1，
又f(x)＝－x3－3x2＋1在[a，＋∞)上的最大值為1，
∴a的取值范圍為[－3,0]．
6．關(guān)于函數(shù)f(x)＝(2x－x2)ex的命題：
①f(x)>0的解集是{x|00，所以f(x)>0，
即需2x－x2>0解得{x|0
21、
f′(x)＝(2－2x)ex＋(2x－x2)ex＝(2－x2)ex，
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝.
當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
極小值
↗
極大值
↘
所以f(－)是極小值，f()是極大值，②正確．
③由圖象(圖略)知f()為最大值，無(wú)最小值，③錯(cuò)誤．
7．若函數(shù)f(x)＝x3－3x在(a,6－a2)上有最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－，－1) B．(－，－1]
C．(－，－2) D．(－，－2
22、]
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
題點(diǎn) 最值存在性問(wèn)題
答案 D
解析 由題意知f(x)＝x3－3x，
所以f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
當(dāng)x<－1或x>1時(shí)，f′(x)>0；
當(dāng)－1
23、案 [－4，－2]
解析 f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.
由題意得∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．
9．已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若函數(shù)f(x)＝ex的圖象始終在函數(shù)g(x)＝x－a圖象的上方，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求恒成立問(wèn)題中參數(shù)的取值范圍
答案 (－1，＋∞)
解析 由題意知f(x)－g(x)＝ex－x＋a>0，對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，
令h(x)＝ex－x＋a，則h(x)min>0，
∵h(yuǎn)′(x)＝ex－1，
令h′(x)＝0得x＝0，
當(dāng)x<0時(shí)，h′(x)<0，則h(x)
24、在(－∞，0)上單調(diào)遞減，
當(dāng)x>0時(shí)，h′(x)>0，則h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x＝0時(shí)，h(x)取得極小值，即最小值為h(0)＝1＋a，
∴1＋a>0，即a>－1.
10．已知函數(shù)f(x)＝ax3－3x＋1，且對(duì)任意x∈(0,1]，f(x)≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求恒成立問(wèn)題中參數(shù)的取值范圍
答案 [4，＋∞)
解析 當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，不等式ax3－3x＋1≥0可化為a≥.
設(shè)g(x)＝，x∈(0,1]，
則g′(x)＝＝－.
令g′(x)＝0，得x＝.
當(dāng)x變化時(shí)，g
25、′(x)，g(x)的變化情況如下表：
x
g′(x)
＋
0
－
g(x)
↗
極大值
↘
因此g(x)的最大值等于極大值g＝4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[4，＋∞)．
11．已知函數(shù)f(x)＝ax－ln x，g(x)＝ex－ax，其中a為正實(shí)數(shù)，若f(x)在(1，＋∞)上無(wú)最小值，且g(x)在(1，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
題點(diǎn) 最值存在性問(wèn)題
答案 [1，e]
解析 ∵f(x)＝ax－ln x(x>0)，
∴f′(x)＝a－＝，
若f(x)在(1，＋∞)上無(wú)最小值，
26、則f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)，
∴f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，
或f′(x)≤0在(1，＋∞)上恒成立，
∴a≥或a≤，而函數(shù)y＝在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y取得最大值1，
∴a≥1或a≤0，而a為正實(shí)數(shù)，故a≥1，①
又∵g(x)＝ex－ax，∴g′(x)＝ex－a，
∵函數(shù)g(x)＝ex－ax在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴g′(x)＝ex－a≥0在區(qū)間(1，＋∞)上恒成立，
∴a≤(ex)min在區(qū)間(1，＋∞)上恒成立．
而ex>e，∴a≤e.②
綜合①②，a∈[1，e]．
三、解答題
12．已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋b
27、x＋c(a，b，c∈R)．
(1)若函數(shù)f(x)在x＝－1和x＝3處取得極值，試求a，b的值；
(2)在(1)的條件下，當(dāng)x∈[－2,6]時(shí)，f(x)<2|c|恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求恒成立問(wèn)題中參數(shù)的取值范圍
解 (1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，
∵函數(shù)f(x)在x＝－1和x＝3處取得極值，
∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的兩根．
∴∴
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，
令f′(x)＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.
當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
28、
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
極大值
↘
極小值
↗
而f(－1)＝c＋5，f(3)＝c－27，f(－2)＝c－2，
f(6)＝c＋54，
∴當(dāng)x∈[－2,6]時(shí)，f(x)的最大值為c＋54，
要使f(x)<2|c|恒成立，只需c＋54<2|c|.
當(dāng)c≥0時(shí)，c＋54<2c，∴c>54；
當(dāng)c<0時(shí)，c＋54<－2c，∴c<－18.
故實(shí)數(shù)c的取值范圍是(－∞，－18)∪(54，＋∞)．
13．已知函數(shù)f(x)＝，若當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)≥恒成立，求a的取值
29、范圍．
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求恒成立問(wèn)題中參數(shù)的取值范圍
解 f′(x)＝
＝.
當(dāng)a＝0時(shí)，令f′(x)＝0，得x＝1.
在(0,1)上，有f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；在(1,2)上，有f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．
又f(0)＝0，f(2)＝，故函數(shù)f(x)的最小值為f(0)＝0，結(jié)論不成立．
當(dāng)a≠0時(shí)，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝1－.
若a<0，則f(0)＝a<0，結(jié)論不成立．
若00，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；在(1,2)上，有f′(x)<0，函數(shù)f(x
30、)單調(diào)遞減．
只需得到
所以≤a≤1.
若a>1，則0<1－<1，函數(shù)在x＝1－處有極小值，
只需得到
因?yàn)?a－1>1，<1，所以a>1.
綜上所述，a的取值范圍是a≥.
四、探究與拓展
14．設(shè)直線x＝t與函數(shù)f(x)＝x2，g(x)＝ln x的圖象分別交于點(diǎn)M，N，則當(dāng)|MN|達(dá)到最小時(shí)t的值為( )
A．1 B. C. D.
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值
答案 D
解析 由題意畫出函數(shù)圖象如圖所示，
由圖可以看出|MN|＝y(tǒng)＝t2－ln t(t>0)．
y′＝2t－＝＝.
當(dāng)0
31、調(diào)遞減；
當(dāng)t>時(shí)，y′>0，可知y在上單調(diào)遞增．
故當(dāng)t＝時(shí)，|MN|有極小值也是最小值．
15．已知函數(shù)f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a－2時(shí)，求a的取值范圍．
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
題點(diǎn) 已知最值求參數(shù)
解 (1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝－a.
若a≤0，則f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
若a>0，則當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)>0；
當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0.
所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減．
(2)由(1)知，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上無(wú)最大值；
當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在x＝處取得極大值且為最大值，最大值為f?＝ln＋a＝－ln a＋a－1.
因此f?>2a－2等價(jià)于ln a＋a－1<0.
令g(a)＝ln a＋a－1，則g(a)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，g(1)＝0.
于是，當(dāng)01時(shí)，g(a)>0.
因此，a的取值范圍是(0,1)．
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（全國(guó)通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 1.3.3 函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)（二）學(xué)案 新人教A版選修2-2
