《（全國版）2019版高考數學一輪復習 第3章 三角函數、解三角形 第5講 簡單的三角恒等變換學案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（全國版）2019版高考數學一輪復習 第3章 三角函數、解三角形 第5講 簡單的三角恒等變換學案（16頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 第5講　簡單的三角恒等變換 板塊一　知識梳理·自主學習 [必備知識] 考點1　兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 考點2　二倍角的正弦、余弦、正切公式 公式名 公式 二倍角的正弦 sin2α＝2sinαcosα 二倍角的余弦 cos2α＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1 二倍角的正切 tan2α＝ [必會結論] 1．降冪公式：cos2α＝，sin2α＝. 2．升冪公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α. 3．公式變形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanα·tanβ)． 4．輔助角公

2、式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)， 其中sinφ＝，cosφ＝ . [考點自測] 1．判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　) (2)存在實數α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(　　) (3)在銳角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不確定．(　　) (4)二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角．(　　) (5)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2．[2018·江西九江

3、模擬]計算sin－cos的值為(　　) A．0 B．－ C．2 D. 答案　B 解析　sin－cos＝2＝2sin＝2sin＝－.故選B. 3．[2017·山東高考]已知cosx＝，則cos2x＝(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　cos2x＝2cos2x－1＝2×2－1＝.故選D. 4．[2018·山西四校聯考]已知sin＝，－＜α＜0，則cos的值是(　　) A. B. C．－ D．1 答案　C 解析　由已知得cosα＝，sinα＝－，cos＝cosα＋sinα＝－. 5．[2017·江蘇高考]若tan＝，則tanα＝______

4、__. 答案　 解析　∵tan＝ ＝＝， ∴6tanα－6＝1＋tanα(tanα≠－1)，∴tanα＝. tanα＝tan ＝＝＝. 6．[2017·全國卷Ⅱ]函數f(x)＝2cosx＋sinx的最大值為________． 答案　 解析　f(x)＝2cosx＋sinx＝， 設sinα＝，cosα＝，則f(x)＝sin(x＋α)， ∴函數f(x)＝2cosx＋sinx的最大值為. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　三角函數的化簡求值 例　1　(1)[2018·衡水中學二調]－＝(　　) A．4 B．2 C．－2 D．－4 答案　D 解析?。剑? ＝

5、＝＝＝－4. (2)4cos50°－tan40°＝(　　) A. B. C. D．2－1 答案　C 解析　4cos50°－tan40°＝ ＝＝ ＝ ＝ ＝. 觸類旁通 三角函數式化簡的常用方法 (1)異角化同角：善于發(fā)現角之間的差別與聯系，合理對角拆分，恰當選擇三角公式，能求值的求出值，減少角的個數． (2)異名化同名：統一三角函數名稱，利用誘導公式切弦互化、二倍角公式等實現名稱的統一． (3)異次化同次：統一三角函數的次數，一般利用降冪公式化高次為低次． 【變式訓練1】　(1)[2018·九江模擬]化簡等于(　　) A．－2 B．－ C．－1 D

6、．1 答案　C 解析?。剑剑剑?. (2)計算：tan20°＋4sin20°＝________. 答案　 解析　原式＝＋4sin20°＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝. 考向　三角函數的條件求值 命題角度1　給值求值問題 例　2　(1)[2016·全國卷Ⅱ]若cos＝，則sin2α＝(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　D 解析　解法一：sin2α＝cos＝cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－.故選D. 解法二：cos＝(cosα＋sinα)＝?cosα＋sinα＝?1＋sin2α＝，∴sin2α＝－.故選D. (2)[2017·全國卷Ⅰ]已知α∈，tan

7、α＝2，則cos＝________. 答案　 解析　cos＝cosαcos＋sinαsin ＝(cosα＋sinα)． 又由α∈，tanα＝2，知sinα＝，cosα＝， ∴cos＝×＝. 命題角度2　給值求角問題 例　3　(1)[2018·江蘇徐州質檢]已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β. 解　∵0<β<α<，∴0<α－β<. 又∵cos(α－β)＝， ∴sin(α－β)＝＝. ∵cosα＝，0<α<，∴sinα＝， ∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝. ∵0<β<，∴β＝. (

8、2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，求2α－β的值． 解　∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，∴0<α<. 又∵tan2α＝＝＝>0， ∴0<2α<， ∴tan(2α－β)＝＝＝1. ∵tanβ＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－. 觸類旁通 三角函數的條件求值技巧 (1)給值求值問題一般是正用公式將所求“復角”展開，看需要求相關角的哪些三角函數值，然后根據角的范圍求出相應角的三角函數值，代入展開式即可． (2)通過求所求角的某種三角函數值來求角，關鍵點在選取函數，常遵照以下原則：①已知正切函數值，選正切函數

9、；②已知正、余弦函數值，選正弦或余弦函數；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好． 考向　三角恒等變換的綜合應用 例　4　[2017·浙江高考]已知函數f(x)＝sin2x－cos2x－2sinxcosx(x∈R)． (1)求f的值； (2)求f(x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間． 解　(1)由sin＝，cos＝－， 得f＝2－2－2××， 所以f＝2. (2)由cos2x＝cos2x－sin2x與sin2x＝2sinxcosx得 f(x)＝－cos2x－sin2x＝－2sin， 所以f(x)的最小正周期是π. 由

10、正弦函數的性質得＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f(x)的單調遞增區(qū)間是(k∈Z)． 觸類旁通 三角恒等變換在三角函數圖象和性質中的應用 (1)圖象變換問題 先根據兩角和差公式、倍角公式把函數表達式變換為正弦型函數y＝Asin(ωx＋φ)＋t或余弦型函數y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式，再進行圖象變換． (2)函數性質問題 求函數周期、最值、單調區(qū)間的方法步驟： ①利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數關系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式； ②利用公式T＝(ω>0)求周期； ③根據自變量的

11、范圍確定ωx＋φ的范圍，根據相應的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值； ④根據正、余弦函數的單調區(qū)間列不等式求函數y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的單調區(qū)間． 【變式訓練2】　已知函數f(x)＝cos2x＋cos2，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在上的最大值和最小值． 解　(1)f(x)＝cos2x＋cos2 ＝＋ ＝sin2x＋cos2x＋1 ＝sin＋1， 則函數f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)函數f(x)在上單調遞增，在上單調遞減． ∵f＝，f＝＋1，f＝1＋， ∴f(x)min＝，f(x)max＝＋1.

12、 核心規(guī)律 重視三角函數的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”；變角：對角的拆分要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數名稱；變式：對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數等．在解決求值、化簡、證明問題時，一般是觀察角度、函數名、所求(或所證明)問題的整體形式中的差異，再選擇適當的三角公式恒等變形． 滿分策略 1.運用公式時要注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對性，要注意升次、降次的靈活運用，要注意“1”的各種變通． 2.三角變換的應用主要是將三角變換與三角函數的性質相結合，通過變換把函數化為最簡形式y＝Asin

13、(ωx＋φ)再研究性質，解題時注意觀察角、名、結構等特征，注意利用整體思想解決相關問題. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 規(guī)范答題系列2——逆向思維構造輔助角公式解題 [2017·北京高考]已知函數f(x)＝cos－2sinxcosx. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求證：當x∈時，f(x)≥－. 解題視點　(1)根據三角恒等變換公式將函數解析式化簡為“一角一函數”的形式，(2)證明f(x)≥－時注意x的取值范圍． 解　(1)f(x)＝cos2x＋sin2x－sin2x ＝sin2x＋cos2x ＝sin， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)證明：因為－≤

14、x≤， 所以－≤2x＋≤. 所以sin≥sin＝－， 所以當x∈時，f(x)≥－. [答題模板]　第一步：將f(x)化為asinx＋bcosx的形式； 第二步：構造f(x)＝； 第三步：和差公式逆用f(x)＝sin(x＋φ)(其中φ為輔助角)； 第四步：利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函數的性質； 第五步：反思回顧，查看關鍵點、易錯點和解題規(guī)范． ①化簡時公式的準確應用是靈魂；②研究三角函數性質時注意整體思想的應用． 跟蹤訓練 已知函數f(x)＝2sinxsin. (1)求函數f(x)的最小正周期和單調遞增區(qū)間； (2)當x∈時，求函數f(x)的值域． 解

15、　(1)f(x)＝2sinx＝×＋sin2x＝sin＋.所以函數f(x)的最小正周期為T＝π.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間是，k∈Z. (2)當x∈時，2x－∈，sin∈，f(x)∈. 故f(x)的值域為. 板塊四　模擬演練·提能增分 [A級　基礎達標] 1．[2017·全國卷Ⅲ]已知sinα－cosα＝，則sin2α＝(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　∵sinα－cosα＝，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝，∴sin2α＝－.故

16、選A. 2．[2017·山東高考]函數y＝sin2x＋cos2x的最小正周期為(　　) A. B. C．π D．2π 答案　C 解析　y＝sin2x＋cos2x＝2sin，T＝＝π.故選C. 3．[2018·武漢模擬]計算tan15°＋的值為(　　) A. B．2 C．4 D．2 答案　C 解析　tan15°＋＝＋＝＝＝4.故選C. 4．[2018·重慶質檢]計算sin20°cos110°＋cos160°sin70°的值為(　　) A．0 B．1 C．－1 D. 答案　C 解析　原式＝sin20°cos(180°－70°)＋cos(180°－20°)·

17、sin70°＝－sin20°cos70°－cos20°sin70°＝－(sin20°·cos70°＋cos20°sin70°)＝－sin90°＝－1.故選C. 5．在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanAtanB，則C等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由已知得tanA＋tanB＝－(1－tanAtanB)， ∴＝－，即tan(A＋B)＝－. 又tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝，0＜C＜π，∴C＝. 6．[2018·大連模擬]若＝，則tan2α等于________． 答案　 解析　＝，等式左邊分子、分母同除以cosα，得＝，

18、解得tanα＝－3，則tan2α＝＝. 7．已知sinα＝cos2α，α∈，則tanα＝________. 答案?。? 解析　sinα＝1－2sin2α，∴2sin2α＋sinα－1＝0. ∴(2sinα－1)(sinα＋1)＝0，∵α∈， ∴2sinα－1＝0.∴sinα＝，cosα＝－. ∴tanα＝－. 8．[2017·全國卷Ⅱ]函數f(x)＝sin2x＋cosx－的最大值是________． 答案　1 解析　f(x)＝1－cos2x＋cosx－＝－2＋1. ∵x∈，∴cosx∈[0,1]， ∴當cosx＝時，f(x)取得最大值，最大值為1. 9．已知f(x)＝2s

19、inxcosx＋2cos2x－1(x∈R)． (1)求函數f(x)的最小正周期及在上的最大值和最小值； (2)若f(x0)＝，x0∈，求cos的值． 解　(1)∵f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1 ＝sin2x＋cos2x ＝2sin， ∴函數f(x)的最小正周期為T＝π， ∵x∈，∴2x＋∈， ∴f(x)max＝f＝2， f(x)min＝f＝－1. (2)由(1)可知f(x0)＝2sin＝， 即sin＝， 又∵x0∈，∴2x0＋∈， ∴cos＜0， 即cos＝－＝－. 10．[2018·寶雞模擬]已知α為銳角，cos＝. (1)求tan的值；(2)

20、求sin的值． 解　(1)因為α∈，所以α＋∈， 所以sin＝＝， 所以tan＝＝2. (2)因為sin＝sin ＝2sincos＝， cos＝cos＝2cos2－1＝－， 所以sin＝sin ＝sincos－cossin ＝. [B級　知能提升] 1．[2018·天水模擬]若θ∈，sin2θ＝，則sinθ等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因為θ∈，所以2θ∈，cos2θ≤0，所以cos2θ＝－＝－.又因為cos2θ＝1－2sin2θ＝－，所以sin2θ＝，sinθ＝.故選D. 2．[2017·全國卷Ⅲ]函數f(x)＝sin＋cos的最大

21、值為(　　) A. B．1 C. D. 答案　A 解析　∵f(x)＝sin＋cos ＝＋cosx＋sinx ＝sinx＋cosx＋cosx＋sinx ＝sinx＋cosx＝sin， ∴當x＝＋2kπ(k∈Z)時，f(x)取得最大值.故選A. ∵＋＝， ∴f(x)＝sin＋cos ＝sin＋cos ＝sin＋sin ＝sin≤. ∴f(x)max＝.故選A. 3．[2016·全國卷Ⅰ]已知θ是第四象限角，且sin＝，則tan＝________. 答案　－ 解析　因為θ是第四象限角，且sin＝，所以θ＋為第一象限角，所以cos＝，所以tan＝＝＝－＝－. 4

22、．已知函數f(x)＝2－2sin2. (1)若f(x)＝，求sin2x的值； (2)求函數F(x)＝f(x)·f(－x)＋f2(x)的最大值與單調遞增區(qū)間． 解　(1)由題意知f(x)＝1＋sinx－(1－cosx)＝sinx＋cosx， 又∵f(x)＝，∴sinx＋cosx＝， ∴sin2x＋1＝，∴sin2x＝. (2)F(x)＝(sinx＋cosx)·[sin(－x)＋cos(－x)]＋(sinx＋cosx)2 ＝cos2x－sin2x＋1＋sin2x ＝cos2x＋sin2x＋1 ＝sin＋1， 當sin＝1時，F(x)取得最大值， 即F(x)max＝＋1. 令

23、－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)， ∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 從而函數F(x)的最大值為＋1，單調遞增區(qū)間為 (k∈Z)． 5．[2018·四川檢測]已知函數f(x)＝cosx·sin－cos2x＋，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在閉區(qū)間上的最大值和最小值． 解　(1)由已知，有 f(x)＝cosx·－cos2x＋ ＝sinx·cosx－cos2x＋ ＝sin2x－(1＋cos2x)＋ ＝sin2x－cos2x＝sin. 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)由x∈得2x－∈， 則sin∈， 即函數f(x)＝sin∈. 所以函數f(x)在閉區(qū)間上的最大值為，最小值為－. 16