《（浙江專版）2019版高考數(shù)學大一輪復習 第八章 立體幾何初步 第2節(jié) 空間幾何體的表面積與體積學案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（浙江專版）2019版高考數(shù)學大一輪復習 第八章 立體幾何初步 第2節(jié) 空間幾何體的表面積與體積學案 理（21頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第2節(jié)　空間幾何體的表面積與體積 最新考綱　了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式． 知 識 梳 理 1．多面體的表(側)面積 多面體的各個面都是平面，則多面體的側面積就是所有側面的面積之和，表面積是側面積與底面面積之和． 2．圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式 圓柱 圓錐 圓臺 側面 展開 圖 側面 積公 式 S圓柱側＝2πrl S圓錐側＝πrl S圓臺側＝π(r1＋r2)l 3.柱、錐、臺和球的表面積和體積 表面積 體積 柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側＋2S底 V＝Sh 錐體(棱錐和圓錐)

2、S表面積＝S側＋S底 V＝Sh 臺體(棱臺和圓臺) S表面積＝S側＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 [常用結論與微點提醒] 1．長方體的外接球 (1)球心：體對角線的交點； (2)半徑：r＝(a，b，c為長方體的長、寬、高)． 2．正方體的外接球、內(nèi)切球及與各條棱相切的球 (1)外接球：球心是正方體中心；半徑r＝a(a為正方體的棱長)； (2)內(nèi)切球：球心是正方體中心；半徑r＝(a為正方體的棱長)； (3)與各條棱都相切的球：球心是正方體中心；半徑r＝a(a為正方體的棱長)． 3．正四面體的外接球與內(nèi)切球(正四面體可以看作是正方

3、體的一部分) (1)外接球：球心是正四面體的中心；半徑r＝a(a為正四面體的棱長)； (2)內(nèi)切球：球心是正四面體的中心；半徑r＝a(a為正四面體的棱長)． 診 斷 自 測 1．思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)錐體的體積等于底面面積與高之積．(　　) (2)球的體積之比等于半徑比的平方．(　　) (3)臺體的體積可轉化為兩個錐體的體積之差．(　　) (4)已知球O的半徑為R，其內(nèi)接正方體的邊長為a，則R＝a.(　　) 解析　(1)錐體的體積等于底面面積與高之積的三分之一，故不正確． (2)球的體積之比等于半徑比的立方，故不正確． 答案　(1)×　(2)×　(3

4、)√　(4)√ 2．已知圓錐的表面積等于12π cm2，其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為(　　) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D. cm 解析　S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm)． 答案　B 3．(2017·浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　) A.＋1 B.＋3 C.＋1 D.＋3 解析　由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個底面半徑為1，高為3的圓錐的一半與一個底面為直角邊長是的等腰直角三角形，高為3的三棱錐的組合體，所以

5、該幾何體的體積V＝×π×12×3＋××××3＝＋1. 答案　A 4．(2016·全國Ⅱ卷)體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為(　　) A．12π B.π C．8π D．4π 解析　設正方體的棱長為a，則a3＝8，解得a＝2.設球的半徑為R，則2R＝a，即R＝.所以球的表面積S＝4πR2＝12π. 答案　A 5．(2017·江蘇卷)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________． 解析　設球半徑為R，則圓柱底面圓半徑為R，母線長為2R， 又V1＝πR2·

6、2R＝2πR3， V2＝πR3，所以＝＝. 答案　 6．(2016·浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是______cm2，體積是______cm3. 解析　由三視圖可知，該幾何體為兩個相同長方體組合，長方體的長、寬、高分別為4 cm、2 cm、2 cm，其直觀圖如下： 其體積V＝2×2×2×4＝32(cm3)，由于兩個長方體重疊部分為一個邊長為2的正方形，所以表面積為S＝2(2×2×2＋2×4×4)－2×2×2＝2×(8＋32)－8＝72(cm2)． 答案　72　32 考點一　空間幾何體的表面積 【例1】 (1)某幾何體的三視圖如圖

7、所示，則該幾何體的表面積等于(　　) A．8＋2 B．11＋2 C．14＋2 D．15 (2)(2016·全國Ⅰ卷)如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是(　　) A．17π B．18π C．20π D．28π 解析　(1)由三視圖知，該幾何體是一個直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所示． 直角梯形斜腰長為＝，所以底面周長為4＋，側面積為2×(4＋)＝8＋2，兩底面的面積和為2××1×(1＋2)＝3. 所以該幾何體的表面積為8＋2＋3＝11＋2. (2)由題知，該幾何體的直觀圖如

8、圖所示，它是一個球(被過球心O且互相垂直的三個平面) 切掉左上角的后得到的組合體，其表面積是球面面積的和三個圓面積之和，易得球的半徑為2，則得S＝×4π×22＋3×π×22＝17π. 答案　(1)B　(2)A 規(guī)律方法　空間幾何體表面積的求法． (1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關系及數(shù)量． (2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理． (3)旋轉體的表面積問題注意其側面展開圖的應用． 【訓練1】 (1)(2016·全國Ⅲ卷)如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，

9、則該多面體的表面積為(　　) A．18＋36 B．54＋18 C．90 D．81 (2)(2017·全國Ⅰ卷)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為(　　) A．10 B．12 C．14 D．16 解析　(1)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是底面為正方形的斜平行六面體． 由題意可知該幾何體底面邊長為3，高為6，所以側棱長為＝3.故該幾何體的 表面積S＝32×2＋(3×6)×2＋(3×3)×2＝54＋18.

10、 (2)由三視圖可畫出直觀圖，該直觀圖各面內(nèi)只有兩個相同的梯形的面，S梯＝×(2＋4)×2＝6，S全梯＝6×2＝12. 答案　(1)B　(2)B 考點二　空間幾何體的體積 【例2】 (1)(一題多解)(2017·全國Ⅱ卷)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(　　) A．90π 　　B．63π C．42π 　　D．36π (2)(2016·浙江卷)如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD＝DA，PB＝BA，則四面體PBCD的

11、體積的最大值是________． 解析　(1)法一　(割補法)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個圓柱被截去上面虛線部分所得，如圖所示． 將圓柱補全，并將圓柱體從點A處水平分成上下兩部分．由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的，所以該幾何體的體積V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π. 法二　(估值法)由題意知，V圓柱

12、∠ACB＝(180°－120°)＝30°， ∴S△BCD＝BC·DC×sin∠ACB＝×2×(2－x)×＝(2－x)． 要使四面體體積最大，當且僅當點P到平面BCD的距離最大，而P到平面BCD的最大距離為x. 則V四面體PBCD＝×(2－x)x＝[－(x－)2＋3]，由于0＜x＜2，故當x＝時，V四面體PBCD的最大值為×3＝. 答案　(1)B　(2) 規(guī)律方法　空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略 (1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解． (2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉換法、分割法、補形法等方法進行求解

13、． (3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解． 【訓練2】 (1)已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(　　) A. B. C．2π D．4π (2)(2015·浙江卷改編)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是________cm3. 解析　(1)繞等腰直角三角形的斜邊所在的直線旋轉一周形成的曲面圍成的幾何體為兩個底面重合，等體積的圓錐的組合體，如圖所示．每一個圓錐的底面半徑和高都為，故所求幾何體的體積V＝2××2π×＝. (

14、2)由三視圖可知該幾何體是由棱長為2 cm的正方體與底面邊長為2 cm正方形、高為2 cm的正四棱錐組成． 又正方體的體積V1＝23＝8(cm3)， 正四棱錐的體積V2＝×22×2＝(cm3)． 所以該幾何體的體積V＝V1＋V2＝(cm3)． 答案　(1)B　(2) 考點三　多面體與球的切、接問題(變式遷移) 【例3】 (經(jīng)典母題)(2016·全國Ⅲ卷)在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　) A．4π B. C．6π D. 解析　由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.

15、 要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個側面相切，設底面△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r. 則×6×8＝×(6＋8＋10)·r，所以r＝2. 2r＝4＞3，不合題意． 球與三棱柱的上、下底面相切時，球的半徑R最大． 由2R＝3，即R＝. 故球的最大體積V＝πR3＝π. 答案　B 【變式遷移1】 若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BC－A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面積． 解　將直三棱柱補形為長方體ABEC－A1B1E1C1， 則球O是長方體ABEC－A1B1E1C1的外接球． ∴體對角線BC1的

16、長為球O的直徑． 因此2R＝＝13. 故S球＝4πR2＝169π. 【變式遷移2】 若本例中的條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點都在球O的球面上”，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，求該球的體積． 解　如圖，設球心為O，半徑為r， 則在Rt△AOF中，(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝， 則球O的體積V球＝πr3＝π×＝. 規(guī)律方法　空間幾何體與球接、切問題的求解方法 (1)與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．球與旋轉體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側棱和球心，或“切點”、“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題． (2)若球面上四

17、點P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側棱兩兩垂直，可構造長方體或正方體確定直徑解決外接問題． 【訓練3】 (1)(2017·全國Ⅲ卷)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為(　　) A．π B. C. D. (2)(2017·全國Ⅰ卷)已知三棱錐S－ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S－ABC的體積為9，則球O的表面積為________． 解析　(1)如圖畫出圓柱的軸截面ABCD，O為球心．球半徑R＝OA＝1，球心到底面圓的距離為OM＝.

18、 ∴底面圓半徑r＝＝， 故圓柱體積V＝π·r2·h＝π·×1＝. (2)如圖， 取SC的中點O，連接OA，OB， 因為SA＝AC，SB＝BC，所以OA⊥SC，OB⊥SC. 因為平面SAC⊥平面SBC，平面SAC∩平面SBC＝SC且OA?平面SAC，所以OA⊥平面SBC. 設球O的半徑為r，則OA＝OB＝r，SC＝2r， 所以VA－SBC＝×S△SBC×OA＝××2r×r×r＝r3， 所以r3＝9?r＝3，所以球O的表面積為4πr2＝36π. 答案　(1)B　(2)36π 基礎鞏固題組 一、選擇題 1.《九章算術》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下

19、問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有(　　) A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 解析　設米堆的底面半徑為r尺，則r＝8，所以r＝. 所以米堆的體積為V＝×π·r2·5＝··5≈(立方尺)． 故堆放的米約有÷1.62≈22(斛)． 答案　B 2．某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是(　　)

20、A．2 B. C. D．3 解析　由三視圖知，該幾何體是四棱錐，底面是直角梯形，且S底＝(1＋2)×2＝3.∴V＝x·3＝3，解得x＝3. 答案　D 3．(2017·寧波十校聯(lián)考)一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是(　　) A．1＋ B．2＋ C．1＋2 D．2 解析　四面體的直觀圖如圖所示． 側面SAC⊥底面ABC，且△SAC與△ABC均為腰長是的等腰直角三角形，SA＝SC＝AB＝BC＝，AC＝2. 設AC的中點為O，連接SO，BO，則SO⊥AC，又SO?平面SAC，平面SAC∩平面ABC＝AC， ∴SO⊥平面ABC，又BO?平

21、面ABC，∴SO⊥BO. 又OS＝OB＝1，∴SB＝， 故△SAB與△SBC均是邊長為的正三角形，故該四面體的表面積為2×××＋2××()2＝2＋. 答案　B 4．(2017·北京卷)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為(　　) A．60 B．30 C．20 D．10 解析　由三視圖知可把三棱錐放在一個長方體內(nèi)部，即三棱錐A1－BCD，VA1－BCD＝××3×5×4＝10，故選D. 答案　D 5．已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB＝90°，C為該球面上的動點．若三棱錐O－ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(　　) A．36π B．6

22、4π C．144π D．256π 解析　因為△AOB的面積為定值，所以當OC垂直于平面AOB時，三棱錐O－ABC的體積取得最大值．由×R2×R＝36，得R＝6.從而球O的表面積S＝4πR2＝144π. 答案　C 6.如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為平行四邊形，NB＝2PN，則三棱錐N－PAC與三棱錐D－PAC的體積比為(　　) A．1∶2 B．1∶8 C．1∶6 D．1∶3 解析　設點P，N在平面ABCD內(nèi)的投影分別為點P′，N′，則PP′⊥平面ABCD，NN′⊥平面ABCD，所以PP′∥NN′，則在△BPP′中，由BN＝2PN得＝. V三棱錐N－PAC

23、＝V三棱錐P－ABC－V三棱錐N－ABC＝S△ABC·PP′－ S△ABC·NN′＝S△ABC·(PP′－NN′)＝S△ABC· PP′＝S△ABC·PP′，V三棱錐D－PAC＝V三棱錐P－ACD＝S△ACD·PP′，又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴S△ABC＝S△ACD，∴＝.故選D. 答案　D 二、填空題 7．(2016·浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是______cm2，體積是______cm3. 解析　由三視圖可知該幾何體由一個正方體和一個長方體組合而成，上面正方體的邊長為2 cm，下面長方體是底面邊長為4 cm，高為2 cm，其直

24、觀圖如右圖：其表面積S＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80(cm2)．體積V＝2×2×2＋4×4×2＝40(cm3)． 答案　80　40 8．已知底面邊長為1，側棱長為的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為________． 解析　依題意可知正四棱柱體對角線的長度等于球的直徑，可設球半徑為R，則2R＝＝2， 解得R＝1，所以V＝R3＝. 答案　π 9．(2017·湖州質檢)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________；表面積為________． 解析　由三視圖可知，該幾何體是一個底面半徑為1，高為2的圓柱和底面半徑為1，高為1的半圓

25、錐拼成的組合體．∴體積V＝π×12×2＋×π×12×1＝π；半圓錐母線l＝，S表＝π×12＋2π×1×2＋π×12＋π×1×＋×2×1＝π＋1. 答案　π　π＋1 10．(2018·浙東北教聯(lián)一模)已知等腰直角△ABC中，AB＝AC＝2，D，E分別為AB，AC的中點，沿DE將△ABC折成直二面角(如圖)，則四棱錐A－DECB的外接球的表面積為__________． 解析　因為△ADE為等腰直角三角形，所以△ADE的外接圓的圓心在DE上，即平面ADE截四棱錐A－DECB的外接球所得的截面圓的圓心在DE上，即在平面DECB內(nèi)，所以等腰梯形DECB的外接圓的半徑即為四棱錐A－DECB的

26、外接球的半徑．以BC的中點為原點，BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，則易得C(，0)，E，因為四邊形DECB為等腰梯形，所以其外接圓的圓心在線段BC的垂直平分線上，設其坐標為P(0，y)，則由|PC|＝|PE|得＝，解得y＝－，所以等腰梯形DECB的外接圓的半徑r＝|PC|＝＝，所以四棱錐A－DECB的外接球的表面積為4πr2＝10π. 答案　10π 三、解答題 11．已知一個幾何體的三視圖如圖所示. (1)求此幾何體的表面積； (2)如果點P，Q在正視圖中所示位置，P為所在線段中點，Q為頂點，求在幾何體表面上，從P點到Q點的最短路徑

27、的長． 解　(1)由三視圖知該幾何體是由一個圓錐與一個圓柱組成的組合體，其表面積是圓錐的側面積、圓柱的側面積和圓柱的一個底面積之和． S圓錐側＝(2πa)·(a)＝πa2， S圓柱側＝(2πa)·(2a)＝4πa2， S圓柱底＝πa2， 所以S表＝πa2＋4πa2＋πa2＝(＋5)πa2. (2)沿P點與Q點所在母線剪開圓柱側面，如圖． 則PQ＝＝＝a， 所以從P點到Q點在側面上的最短路徑的長為 a. 12.如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.過點E，F(xiàn)的平面α與此長方體的

28、面相交，交線圍成一個正方形． (1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)； (2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值． 解　(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示． (2)如圖，作EM⊥AB，垂足為M，則AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8. 因為四邊形EHGF為正方形，所以EH＝EF＝BC＝10. 于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6. 故S四邊形A1EHA＝×(4＋10)×8＝56， S四邊形EB1BH＝×(12＋6)×8＝72. 因為長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱， 所以其體積的比值為. 能力提升題組 13．(2017·衢州

29、質量檢測)如圖，有一個底面是正方形的直棱柱型容器(無蓋)，底面棱長為1 dm(dm為分米)，高為5 dm，兩個小孔在其相對的兩條側棱上，且到下底面距離分別為3 dm和4 dm，則(水不外漏情況下)此容器可裝的水最多為(　　) A. dm3 B．4 dm3 C. dm3 D．3 dm3 解析　由題意得當容器內(nèi)的水的上表面過兩孔連線所在的平面時，容器內(nèi)裝的水最多，又因為容器的底面為正方形，則由長方體的對稱性易得當容器內(nèi)的水的上表面平分以兩孔連線所得的線段為體對角線的長方體時，容器內(nèi)裝的水最多，此時容器內(nèi)裝的水的體積為3×1×1＋×1×1×1＝，故選C. 答案　C 14．(2

30、018·麗水月考)一個空間幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則側視圖的面積為________cm2，該幾何體的體積為________cm3. 解析　根據(jù)幾何體的三視圖，得：該幾何體的左邊是半圓錐，右邊是直三棱錐的組合體，如圖所示；且該幾何體側視圖是底邊長為2，高為1的等腰三角形，面積為×2×1＝1 cm2，該幾何體的體積為V半圓錐＋V三棱錐＝××π×12×1＋××2×1×1＝ cm3. 答案　1?。? 15．(2017·全國Ⅰ卷)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA

31、，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為________． 解析　由題意，連接OD，交BC于點G，由題意，OD⊥BC，設OG＝x，則OB＝2x，BC＝2x，DG＝5－x，三棱錐的高 h＝ ＝ ＝，S△ABC＝·(2x)2·sin 60°＝3x2，則V＝S△ABC·h＝x2·＝·，令f(x)＝25x4－10x5，x∈，f′(x)＝100x3－50x4，令f′(x)>0，即x4－2x3<0，x<2，則f(x)≤f(2)＝80，

32、則V≤×＝4，∴體積最大值為4 cm3. 答案　4 16．四面體ABCD及其三視圖如圖所示，平行于棱AD，BC的平面分別交四面體的棱AB，BD，DC，CA于點E，F(xiàn)，G，H. (1)求四面體ABCD的體積； (2)證明：四邊形EFGH是矩形． (1)解　由該四面體的三視圖可知， BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1， 又BD∩DC＝D， ∴AD⊥平面BDC， ∴四面體ABCD的體積V＝××2×2×1＝. (2)證明　∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG， 平面EFGH∩平面ABC＝EH， ∴BC∥FG，BC∥EH， ∴FG∥

33、EH. 同理，EF∥AD，HG∥AD， ∴EF∥HG， ∴四邊形EFGH是平行四邊形． 又∵AD⊥平面BDC，BC?平面BDC， ∴AD⊥BC， ∴EF⊥FG， ∴四邊形EFGH是矩形． 17.如圖所示，A1A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑，C是底面圓周上異于A，B的任意一點，AA1＝AB＝2. (1)求證：BC⊥平面A1AC； (2)(一題多解)求三棱錐A1－ABC的體積的最大值． (1)證明　因為C是底面圓周上異于A，B的一點，且AB為底面圓的直徑，所以BC⊥AC. 因為AA1⊥平面ABC，BC?平面ABC， 所以AA1⊥BC. 因為AA1∩AC＝A，

34、AA1?平面A1AC，AC?平面A1AC，所以BC⊥平面A1AC. (2)解　法一　設AC＝x，在Rt△ABC中，BC＝ ＝(0