《（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何學(xué)案（125頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第七章 立體幾何 第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖與直觀圖 1．簡單幾何體 (1)多面體的結(jié)構(gòu)特征 名稱 棱柱 棱錐 棱臺 圖形 底面 互相平行且相等 多邊形 互相平行 側(cè)棱 平行且相等 相交于一點(diǎn)，但不一定相等 延長線交于一點(diǎn)側(cè)面 形狀 平行四邊形 三角形 梯形 (2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 名稱 圓柱 圓錐 圓臺 球 圖形 母線 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一點(diǎn) 延長線交于一點(diǎn) 軸截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 側(cè)面展開圖 矩形 扇形 扇環(huán)

2、 2．直觀圖 (1)畫法：常用斜二測畫法． (2)規(guī)則： ①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直． ②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄? 3．三視圖 (1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線． (2)三視圖的畫法 ①基本要求：長對正，高平齊，寬相等． ②畫法規(guī)則：正側(cè)一樣高，正俯一樣長，側(cè)俯一樣寬；看不到的線

3、畫虛線． [小題體驗] 1．若一個三棱柱的三視圖如圖所示，其俯視圖為正三角形，則這個三棱柱的高和底面邊長分別為(　　) A．2,2　　　　　　　 B．2，2 C．4,2 D．2,4 解析：選D　由三視圖可知，正三棱柱的高為2，底面正三角形的高為2，故底面邊長為4，故選D. 2．(教材習(xí)題改編)如圖，長方體ABCD -A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是________，截去的幾何體是______． 答案：五棱柱　三棱柱 1．臺體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)． 2．空間幾何體不同放置時其三視

4、圖不一定相同． 3．對于簡單組合體，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，易忽視實虛線的畫法． [小題糾偏] 1.如圖，能推斷這個幾何體可能是三棱臺的是(　　) A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4 B．A1B1＝1, AB＝2，B1C1＝，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3 C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4 D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1 解析：選C　根據(jù)棱臺是由棱錐截成的，可知＝＝，故A，B不正確，C正確；D項中滿足這個條件的是一個三棱柱，不是三棱臺，故D不正確． 2．用一個平

5、行于水平面的平面去截球，得到如圖所示的幾何體，則它的俯視圖是(　　) 解析：選B　俯視圖中顯然應(yīng)有一個被遮擋的圓，所以內(nèi)圓是虛線，故選B. 3．(教材習(xí)題改編)利用斜二測畫法得到的 ①三角形的直觀圖一定是三角形； ②正方形的直觀圖一定是菱形； ③等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形； ④菱形的直觀圖一定是菱形． 以上結(jié)論正確的個數(shù)是________． 解析：由斜二測畫法的規(guī)則可知①正確；②錯誤，是一般的平行四邊形；③錯誤，等腰梯形的直觀圖不可能是平行四邊形；而菱形的直觀圖也不一定是菱形，④也錯誤． 答案：1 [題組練透] 1．用任意一個平面截一個幾何體，各個截

6、面都是圓面，則這個幾何體一定是(　　) A．圓柱　　　　　　　　　 B．圓錐 C．球體 D．圓柱、圓錐、球體的組合體 解析：選C　截面是任意的且都是圓面，則該幾何體為球體． 2．給出下列幾個命題： ①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②底面為正多邊形，且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等．其中正確命題的個數(shù)是(　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析：選B　①不一定，只有這兩點(diǎn)的連線平行于軸時才是母線；②正確；③錯誤，棱臺的上、下底面是相似且對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延

7、長線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定相等． 3．給出下列命題： ①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形； ②若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個側(cè)面也兩兩垂直； ③在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱； ④存在每個面都是直角三角形的四面體． 其中正確命題的序號是________． 解析：①不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；②正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個側(cè)面構(gòu)成的三個平面的二面角都是直二面角；③正確，因為兩個過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；④正確，如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的

8、三棱錐C1-ABC，四個面都是直角三角形． 答案：②③④ [謹(jǐn)記通法] 解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題的3個技巧 (1)把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，要多觀察實物，提高空間想象能力； (2)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型； (3)通過反例對結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析． [典例引領(lǐng)] 1．(2018·東北四市聯(lián)考)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是線段CD的中點(diǎn)，則三棱錐P-A1B1A的側(cè)視圖為(　　) 解析：選D　如圖，畫出原正方體的側(cè)視圖，顯然對于三棱錐P-A1B1A，B(C)點(diǎn)均消失了，其余各點(diǎn)均在，從而其側(cè)視圖為D.

9、 2．(2018·杭州模擬)已知三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，那么該三棱錐的側(cè)視圖可能為(　　) 解析：選B　由正視圖可看出長為2的側(cè)棱垂直于底面，側(cè)視圖為直角三角形，直角邊長為2，另一直角邊為底邊三角形的高.故側(cè)視圖可能為B. [由題悟法] 1．已知幾何體，識別三視圖的技巧 已知幾何體畫三視圖時，可先找出各個頂點(diǎn)在投影面上的投影，然后再確定線在投影面上的實虛． 2．已知三視圖，判斷幾何體的技巧 (1)對柱、錐、臺、球的三視圖要熟悉． (2)明確三視圖的形成原理，并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為直觀圖． (3)遵循“長對正、高平齊、寬相等

10、”的原則． [提醒]　對于簡單組合體的三視圖，應(yīng)注意它們的交線的位置，區(qū)分好實線和虛線的不同． [即時應(yīng)用] 1．(2018·沈陽教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測)“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體．它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合(牟合)在一起的方形傘 (方蓋)．其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線．當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時，它的俯視圖可能是(　　) 解析：選B　根據(jù)直觀圖以及圖中的輔助四邊形分析可知，當(dāng)正視圖和側(cè)視圖完全相同時，俯視圖為B，故選B. 2．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該

11、幾何體的直觀圖可以是(　　) 解析：選D　由俯視圖是圓環(huán)可排除A、B、C，進(jìn)一步將已知三視圖還原為幾何體，可得選項D. [典例引領(lǐng)] (2018·杭州模擬)在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為________． 解析：畫出等腰梯形ABCD的實際圖形及直觀圖A′B′C′D′如圖所示，因為OE＝＝1， 所以O(shè)′E′＝，E′F′＝. 所以直觀圖A′B′C′D′的面積為 S′＝×(1＋3)×＝. 答案： [由題悟法] 原圖與直觀圖中的“三變”與“三不變” (1)“

12、三變” (2)“三不變” [即時應(yīng)用] 如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，則原圖形是(　　) A．正方形　　　　　　 B．矩形 C．菱形 D．一般的平行四邊形 解析：選C　如圖，在原圖形OABC中，應(yīng)有OD＝2O′D′＝2×2＝4 cm，CD＝C′D′＝2 cm. ∴OC＝＝＝6 cm， ∴OA＝OC，故四邊形OABC是菱形． 一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快 1．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖完全相同，均如圖所示，則該幾何體的俯視圖一定不可能是(　　) 解析：選D　幾何體的正視圖和側(cè)視圖完

13、全一樣，則幾何體從正面看和側(cè)面看的長度相等，只有等邊三角形不可能． 2．下列說法正確的是(　　) A．棱柱的兩個底面是全等的正多邊形 B．平行于棱柱側(cè)棱的截面是矩形 C．{直棱柱}?{正棱柱} D．{正四面體}?{正三棱錐} 解析：選D　因為選項A中兩個底面全等，但不一定是正多邊形；選項B中一般的棱柱不能保證側(cè)棱與底面垂直，即截面是平行四邊形，但不一定是矩形；選項C中{正棱柱}?{直棱柱}，故A、B、C都錯；選項D中，正四面體是各條棱均相等的正三棱錐，故正確． 3．某幾何體的三視圖如圖所示，那么這個幾何體是(　　) A．三棱錐　　　　　　 B．四棱錐 C．四棱臺 D．三

14、棱臺 解析：選A　因為正視圖和側(cè)視圖都為三角形，可知幾何體為錐體，又因為俯視圖為三角形，故該幾何體為三棱錐． 4.在如圖所示的直觀圖中，四邊形O′A′B′C′為菱形且邊長為2 cm，則在直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCO的形狀為________，面積為________cm2. 解析：由斜二測畫法的特點(diǎn)知該平面圖形是一個長為4 cm，寬為2 cm的矩形，所以四邊形ABCO的面積為8 cm2. 答案：矩形　8 5.已知某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖和側(cè)視圖都是矩形，俯視圖是正方形，在該幾何體上任意選擇4個頂點(diǎn)，以這4個點(diǎn)為頂點(diǎn)的幾何體的形狀給出下列命題：①矩形；②有三個

15、面為直角三角形，有一個面為等腰三角形的四面體；③兩個面都是等腰直角三角形的四面體．其中正確命題的序號是________． 解析：由三視圖可知，該幾何體是正四棱柱，作出其直觀圖，ABCD-A1B1C1D1，如圖，當(dāng)選擇的4個點(diǎn)是B1，B，C，C1時，可知①正確；當(dāng)選擇的4個點(diǎn)是B，A，B1，C時，可知②正確；易知③不正確． 答案：①② 二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo) 1．(2018·臺州模擬)一個簡單幾何體的正視圖、俯視圖如圖所示，則其側(cè)視圖不可能為(　　) A．正方形 B．圓 C．等腰三角形 D．直角梯形 解析：選D　該幾何體是一個長方體時，其中一個側(cè)面為正方形，A可

16、能；該幾何體是一個橫放的圓柱時，B可能；該幾何體是橫放的三棱柱時，C可能，只有D不可能． 2．如圖所示是水平放置三角形的直觀圖，點(diǎn)D是△ABC的BC邊中點(diǎn)，AB，BC分別與y′軸、x′軸平行，則三條線段AB，AD，AC中(　　) A．最長的是AB，最短的是AC B．最長的是AC，最短的是AB C．最長的是AB，最短的是AD D．最長的是AC，最短的是AD 解析：選B　由條件知，原平面圖形中AB⊥BC，從而AB＜AD＜AC. 3．(2018·沈陽教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測)如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個凸多面體的三視圖(兩個矩形，一個直角三角形)，則這個幾何體可能為(　　

17、) A．三棱臺 B．三棱柱 C．四棱柱 D．四棱錐 解析：選B　根據(jù)三視圖的法則：長對正，高平齊，寬相等，可得幾何體如圖所示，這是一個三棱柱． 4.(2018·溫州第八高中質(zhì)檢)如圖，水平放置的三棱柱的側(cè)棱長和底邊長均為2，且側(cè)棱AA1⊥平面A1B1C1，正視圖是邊長為2的正方形，該三棱柱的側(cè)視圖面積為(　　) A．4　　　　　　　　　　 B．2 C．2 D. 解析：選B　由題可得，該幾何體的側(cè)視圖是一個長方形，其底邊長是底面正三角形的高，高為2，所以側(cè)視圖的面積為S＝2. 5．已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，則四棱錐P-ABCD的四個側(cè)面中面積最

18、大的是(　　) A．3 B．2 C．6 D．8 解析：選C　四棱錐如圖所示，取AD的中點(diǎn)N，BC的中點(diǎn)M，連接PM，PN，則PM＝3，PN＝，S△PAD＝×4×＝2， S△PAB＝S△PDC＝×2×3＝3， S△PBC＝×4×3＝6. 所以四個側(cè)面中面積最大的是6. 6.(2018·臺州模擬)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為棱BB1的中點(diǎn)，若用過點(diǎn)A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的側(cè)視圖為(　　) 解析：選C　取DD1的中點(diǎn)F，連接AF，F(xiàn)C1，則過點(diǎn)A，E，C1的平面即為面AEC1F，所以剩余幾何體的側(cè)視圖為選項C.

19、 7．設(shè)有以下四個命題： ①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體； ②底面是矩形的平行六面體是長方體； ③直四棱柱是直平行六面體； ④棱臺的相對側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)． 其中真命題的序號是________． 解析：命題①符合平行六面體的定義，故命題①是正確的；底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直，故命題②是錯誤的；因為直四棱柱的底面不一定是平行四邊形，故命題③是錯誤的；命題④由棱臺的定義知是正確的． 答案：①④ 8．一個圓臺上、下底面的半徑分別為3 cm和8 cm，若兩底面圓心的連線長為12 cm，則這個圓臺的母線長為________cm. 解析：如圖，過點(diǎn)A作

20、AC⊥OB，交OB于點(diǎn)C. 在Rt△ABC中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5 (cm)． ∴AB＝＝13(cm)． 答案：13 9．已知正三角形ABC的邊長為2，那么△ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為________． 解析：如圖，圖①、圖②所示的分別是實際圖形和直觀圖． 從圖②可知，A′B′＝AB＝2， O′C′＝OC＝， C′D′＝O′C′sin 45°＝×＝. 所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×2×＝. 答案： 10．已知正三棱錐V -ABC的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示． (1)畫出該三棱錐的直觀圖； (2)求出側(cè)視圖的面積． 解

21、：(1)直觀圖如圖所示． (2)根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得BC＝2， ∴側(cè)視圖中VA＝ ＝2， ∴S△VBC＝×2×2＝6. 三上臺階，自主選做志在沖刺名校 1．用若干塊相同的小正方體搭成一個幾何體，該幾何體的三視圖如圖所示，則搭成該幾何體需要的小正方體的塊數(shù)是(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 解析：選C　畫出直觀圖，共六塊． 2．(2018·湖南東部六校聯(lián)考)某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的四個面的面積中，最大的面積是(　　) A．4 B．8 C．4 D．8 解析：選C　設(shè)該三棱錐為P-ABC，其中PA⊥平面ABC，PA＝4，則由三視圖

22、可知△ABC是邊長為4的等邊三角形，故PB＝PC＝4，所以S△ABC＝×4×2＝4，S△PAB＝S△PAC＝×4×4＝8，S△PBC＝×4×＝4，故四個面中面積最大的為S△PBC＝4，選C. 3.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直，下圖為該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖，它們是腰長為6 cm 的全等的等腰直角三角形． (1)根據(jù)圖中所給的正視圖、側(cè)視圖，畫出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積； (2)求PA. 解：(1)該四棱錐的俯視圖為(內(nèi)含對角線)邊長為6 cm的正方形，如圖，其面積為36 cm2. (2)由側(cè)視圖可求得PD＝＝＝6. 由正視圖可知A

23、D＝6， 且AD⊥PD， 所以在Rt△APD中， PA＝＝ ＝6 cm. 第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積 1．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式 圓柱 圓錐 圓臺 側(cè)面展開圖 側(cè)面積公式 S圓柱側(cè)＝2πrl S圓錐側(cè)＝πrl S圓臺側(cè)＝π(r＋r′)l 2．空間幾何體的表面積與體積公式 名稱 幾何體　　 表面積 體積 柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側(cè)＋2S底 V＝Sh 錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側(cè)＋S底 V＝Sh 臺體(棱臺和圓臺) S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4

24、πR2 V＝πR3 [小題體驗] 1．如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) A．20π　　　 B．24π　　　　 C．28π　　　　 D．32π 解析：選C　由三視圖知該幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為r，周長為c，圓錐母線長為l，圓柱高為h.由圖得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝＝4，S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π. 2．(教材習(xí)題改編)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________． 解析：由三視圖可知，該幾何體是一個直三棱柱，其底面為側(cè)視圖，該側(cè)視圖是底邊

25、為2，高為的三角形，正視圖的長為三棱柱的高，故h＝3，所以該幾何體的體積V＝S·h＝×3＝3. 答案：3 3．若球O的表面積為4π，則該球的體積為________． 解析：由題可得，設(shè)該球的半徑為r，則其表面積為S＝4πr2＝4π，解得r＝1.所以其體積為V＝πr3＝π. 答案：π 1．求組合體的表面積時，組合體的銜接部分的面積問題易出錯． 2．由三視圖計算幾何體的表面積與體積時，由于幾何體的還原不準(zhǔn)確及幾何體的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識不準(zhǔn)易導(dǎo)致失誤． 3．易混側(cè)面積與表面積的概念． [小題糾偏] 1．(教材習(xí)題改編)圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的體積與圓柱體積之比為___

26、_____，球的表面積與圓柱的側(cè)面積之比為________． 答案：2∶3　1∶1 2．若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的表面積是________． 解析：由三視圖可知，該幾何體由一個正四棱柱和一個棱臺組成，其表面積S＝3×4×2＋2×2×2＋4×2×2＋4×6＋×(2＋6)×2×2＝72＋16. 答案：72＋16 [題組練透] 1.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于(　　) A．8＋2 B．11＋2 C．14＋2 D．15 解析：選B　由三視圖知，該幾何體是一個直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所示． 直角梯形斜腰長為＝，所以底面

27、周長為4＋，側(cè)面積為2×(4＋)＝8＋2，兩底面的面積和為2××1×(1＋2)＝3，所以該幾何體的表面積為8＋2＋3＝11＋2. 2．(2018·浙江新高考聯(lián)盟高三期初聯(lián)考)如圖是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的表面積等于(　　) A．34＋6　　　　　 B．44＋12 C．34＋6 D．32＋6 解析：選A　由三視圖知幾何體底面是一個長為6，寬為2的矩形，高為4的四棱錐，所以該幾何體的表面積為×6×2＋×6×4＋2××2×5＋6×2＝34＋6，故選A. 3．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線是一個棱錐的三視圖，則該棱錐的表面積為(　　) A．6＋4＋2 B．8＋

28、4 C．6＋6 D．6＋2＋4 解析：選A　由三視圖可知該棱錐為如圖所示的四棱錐P-ABCD，S△PAB＝S△PAD＝S△PDC＝×2×2＝2，S△PBC＝×2×2×sin 60°＝2，S四邊形ABCD＝2×2＝4，故該棱錐的表面積為6＋4＋2. [謹(jǐn)記通法] 幾何體的表面積的求法 (1)求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點(diǎn)． (2)求不規(guī)則幾何體的表面積時，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺體，先求這些柱、錐、臺體的表面積，再通過求和或作差求得幾何體的表面積．注意銜接部分的處理． [典例引領(lǐng)] 1．(2

29、018·金華高三期末考試)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A.　　　　　　　　 　 B. C. D. 解析：選D　由三視圖可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，其直觀圖如圖所示．底面ABCD的面積為2×2＝4，高PO＝，故該幾何體的體積V＝×4×＝. 2．(2018·寧波十校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于________，表面積等于________． 解析：如圖，由三視圖可知該幾何體是底面半徑為2，高為3的圓柱的一半，故該幾何體的體積為×π×22×3＝6π， 表面積為2××π×22＋4×3＋π×2×3＝10π＋

30、12. 答案：6π　12＋10π [由題悟法] 有關(guān)幾何體體積的類型及解題策略 常見類型 解題策略 球的體積問題 直接利用球的體積公式求解，在實際問題中要根據(jù)題意作出圖形，構(gòu)造直角三角形確定球的半徑 錐體、柱體的體積問題 根據(jù)題設(shè)條件求出所給幾何體的底面積和高，直接套用公式求解 以三視圖為載體的幾何體體積問題 將三視圖還原為幾何體，利用空間幾何體的體積公式求解 不規(guī)則幾何體的體積問題 常用分割或補(bǔ)形的思想，若幾何體的底不規(guī)則，也需采用同樣的方法，將不規(guī)則的幾何體或平面圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體或平面圖形，易于求解 [即時應(yīng)用] 1．(2018·西安質(zhì)檢)某幾何體的

31、三視圖如圖所示，該幾何體的體積為(　　) A. B． C. D．3 解析：選A　根據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體是下部為直三棱柱，上部為三棱錐的組合體，如圖所示．則該幾何體的體積是V幾何體＝V三棱柱＋V三棱錐＝×2×1×1＋××2×1×1＝. 2．(2018·杭州高級中學(xué)模擬)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．1 B． C. D. 解析：選C　由題可得，該幾何體是一個四棱錐，底面是上下底邊分別為1和2，高為1的直角梯形，又四棱錐的高為1.所以該幾何體的體積為V＝××(1＋2)×1×1＝. 3.(2018·溫州高三一模

32、)如圖，一個簡單幾何體的三視圖的正視圖與側(cè)視圖都是邊長為1的正三角形，其俯視圖的輪廓為正方形，則該幾何體的體積為________，表面積為________． 解析：如圖，還原三視圖為正四棱錐，易得正四棱錐的高為，底面積為1，體積V＝×1×＝；易得正四棱錐側(cè)面的高為＝1，所以表面積S＝4××1×1＋1＝3. 答案：　3 [鎖定考向] 與球相關(guān)的切、接問題是高考命題的熱點(diǎn)，也是考生的難點(diǎn)、易失分點(diǎn)，命題角度多變． 常見的命題角度有： (1)球與柱體的切、接問題； (2)球與錐體的切、接問題．　　　 　 [題點(diǎn)全練] 角度一：球與柱體的切、接問題 1．已知直三棱柱ABC-A1

33、B1C1的6個頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為(　　) A.　　　　　　 B．2 C. D．3 解析：選C　如圖，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M.又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝ ＝. 2.如圖，已知球O是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截球O的截面面積為(　　) A.π　　　　　　　 B. C. D.π 解析：選C　平面ACD1截球O的截面為△ACD1的內(nèi)切圓．因為正方體的棱長為1，所以AC＝CD1＝AD1＝，所以內(nèi)切圓的半徑r＝×tan 30°

34、＝， 所以S＝πr2＝π×＝π. 角度二：球與錐體的切、接問題 3．(2018·紹興質(zhì)檢)四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一個半徑為1的球與此四棱錐所有面都相切，則該四棱錐的高是(　　) A．6 B．5 C. D. 解析：選D　過點(diǎn)P作PH⊥平面ABCD于點(diǎn)H.由題知，四棱錐P-ABCD是正四棱錐，內(nèi)切球的球心O應(yīng)在四棱錐的高PH上．過正四棱錐的高作組合體的軸截面如圖，其中PE，PF是斜高，M為球面與側(cè)面的一個切點(diǎn)．設(shè)PH＝h，易知Rt△PMO∽Rt△PHF，所以＝，即＝，解得h＝. 4．(2017·全國卷Ⅰ)已知三棱錐S -A

35、BC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S -ABC的體積為9，則球O的表面積為________． 解析：如圖，連接AO，OB， ∵SC為球O的直徑， ∴點(diǎn)O為SC的中點(diǎn)， ∵SA＝AC，SB＝BC， ∴AO⊥SC，BO⊥SC， ∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC， ∴AO⊥平面SCB， 設(shè)球O的半徑為R， 則OA＝OB＝R，SC＝2R. ∴VS -ABC＝VA-SBC＝×S△SBC×AO ＝××AO， 即9＝××R，解得 R＝3， ∴球O的表面積為S＝4πR2＝4π×32＝36π.

36、 答案：36π [通法在握] 解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題的思維流程是： [演練沖關(guān)] 1．一個六棱柱的底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為1，頂點(diǎn)都在同一個球面上，則該球的體積為(　　) A．20π B. C．5π D. 解析：選D　由題意知六棱柱的底面正六邊形的外接圓半徑r＝1，其高h(yuǎn)＝1，∴球半徑為R＝＝＝，∴該球的體積V＝πR3＝×3π＝. 2．(2018·鎮(zhèn)海期中)一個棱長為6的正四面體紙盒內(nèi)放一個正方體，若正方體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則正方體體積的最大值為________． 解析：由

37、題可得，要使正方體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則只需該正方體在正四面體的內(nèi)接球內(nèi)即可．因為正四面體的棱長為6，所以其底面正三角形的高為3，正四面體的高為2，則該正四面體的內(nèi)球的半徑為，設(shè)該正方體的邊長為a，要滿足條件，則a≤，即a≤.所以正方體的最大體積為V＝a3≤2. 答案：2 一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快 1．(2018·浙江名校聯(lián)考)“某幾何體的三視圖完全相同”是“該幾何體為球”的(　　) A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　由題可得，球的三個視圖都是圓，所以三視圖完全相同；三視圖完全相同的幾何體除了球，還有正

38、方體，所以是必要不充分條件． 2．(2018·長興中學(xué)適應(yīng)性測試)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．64 B．72 C．80 D．112 解析：選C　由題可得，該幾何體是一個棱長為4的正方體與一個底面是邊長為4的正方形，高為3的四棱錐的組合體，所以其體積為V＝43＋×42×3＝80. 3．如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是(　　) A．17π B．18π C．20π D．28π 解析：選A　由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個球體去掉上半球的，得到的幾何體如圖．設(shè)球的

39、半徑為R，則πR3－×πR3＝π，解得R＝2.因此它的表面積為×4πR2＋πR2＝17π.故選A. 4．(2018·嘉興模擬)如圖是一個幾何體的三視圖，若它的體積是3，則a＝________，該幾何體的表面積為________． 解析：由題可得，該幾何體是一個水平放置的三棱柱，其底面是一個底邊長為2、高為a的等腰三角形，高為3.因為其體積為3，所以V＝×2a×3＝3a＝3，解得a＝.所以該幾何體的表面積為S＝2××2×＋2×3×3＝2＋18. 答案：　2＋18 5．(2018·麗水模擬)若三棱錐P-ABC的最長的棱PA＝2，且各面均為直角三角形，則此三棱錐的外接球的體積是___

40、_____，表面積是________． 解析：如圖，根據(jù)題意，可把該三棱錐補(bǔ)成長方體，則該三棱錐的外接球即該長方體的外接球，易得外接球的半徑R＝PA＝1，所以該三棱錐的外接球的體積V＝×π×13＝π，表面積S＝4πR2＝4π. 答案：π　4π 二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo) 1．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為(　　) A．7　　　　　　　　　　　 B．6 C．5 D．3 解析：選A　設(shè)圓臺較小底面半徑為r， 則另一底面半徑為3r. 由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7. 2．一個六棱錐的體積為2

41、，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為(　　) A．6 B．8 C．12 D．24 解析：選C　由題意可知該六棱錐為正六棱錐，正六棱錐的高為h，側(cè)面的斜高為h′. 由題意，得×6××22×h＝2， ∴h＝1， ∴斜高h(yuǎn)′＝＝2， ∴S側(cè)＝6××2×2＝12.故選C. 3．(2018·溫州十校聯(lián)考)已知某個幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸，可得這個幾何體的體積是(　　) A．4 B. C．8 D. 解析：選B　由題可得，該幾何體是一個底面為長方形的四棱錐，所以其體積為V＝×4×2×2＝. 4．(2018·蘭州實戰(zhàn)考試)

42、一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為1的兩個等腰直角三角形，則該幾何體外接球的體積為(　　) A.π B. C．3π D．3 解析：選A　由題意得，該幾何體為四棱錐，且該四棱錐的外接球即為棱長為1的正方體的外接球，其半徑為，故體積為π3＝π，故選A. 5．(2018·寧波十校聯(lián)考)如圖，某多面體的三視圖中正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的外輪廓分別為直角三角形、直角梯形和直角三角形，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為(　　) A．2 B. C．2 D. 解析：選C　由題可得，該幾何體是水平放置的四棱錐，其底面是一個直角梯形．所以其最長的棱的長

43、度為＝2. 6．(2018·衢州調(diào)研)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積是________；表面積是________． 解析：該幾何體是一個三棱錐，其高為2，其底面是一個等腰直角三角形，腰長為，所以其體積為V＝××()2×2＝，表面積為S＝×2×＋×()2＋×2×2＋××＝3＋＋. 答案：　3＋＋ 7．(2018·杭州模擬)已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上，且AB＝3，BC＝2，則棱錐O-ABCD的體積為________． 解析：依題意得，球心O在底面ABCD上的射影是矩形ABCD的中心，因此棱錐O-ABCD的高等于＝， 所以棱錐O-ABCD的體積等

44、于×3×2×＝. 答案： 8.已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________． 解析：由正視圖知三棱錐的形狀如圖所示，且AB＝AD＝BC＝CD＝2，BD＝2，設(shè)O為BD的中點(diǎn)，連接OA，OC，則OA⊥BD，OC⊥BD，結(jié)合正視圖可知AO⊥平面BCD. 又OC＝＝1， ∴V三棱錐A-BCD＝××1＝. 答案： 9．(2018·武漢調(diào)研)已知正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，且該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為________． 解析：如圖，正四棱錐P-ABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，設(shè)球的半徑為R，因

45、為底面邊長為2，所以AC＝4.在Rt△AOO1中，R2＝(4－R)2＋22，所以R＝，所以球的表面積S＝4πR2＝25π. 答案：25π 10.如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積． 解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圓臺側(cè)＋S圓臺下底＋S圓錐側(cè)＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2＝(60＋4)π，V＝V圓臺－V圓錐＝(π·22＋π·52＋)×4－π×22×2＝π. 三上臺階，自主選做志在沖刺名校 1．(2018·廣西質(zhì)檢)高為4的直三棱柱被削去一

46、部分后得到一個幾何體，它的直觀圖和三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積與原直三棱柱的體積的比值為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　由側(cè)視圖、俯視圖知該幾何體是高為2、底面積為×2×(2＋4)＝6的四棱錐，其體積為4.易知直三棱柱的體積為8，則該幾何體的體積與原直三棱柱的體積的比值為，故選C. 2．如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，將△ABE，△ECF，△FDA分別沿AE，EF，F(xiàn)A折起，使B，C，D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，若四面體PAEF的四個頂點(diǎn)在同一個球面上，則該球的表面積是(　　) A．6π B．12π

47、 C．18π D．9π 解析：選C　因為∠APE＝∠EPF＝∠APF＝90°，所以可將四面體補(bǔ)成一個長方體(PA，PE，PF是從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱)，則四面體和補(bǔ)全的長方體有相同的外接球，設(shè)其半徑為R，由題意知2R＝＝3，故該球的表面積S＝4πR2＝4π2＝18π. 3．已知A，B，C是球O的球面上三點(diǎn)，且AB＝AC＝3，BC＝3，D為該球面上的動點(diǎn)，球心O到平面ABC的距離為球半徑的一半，求三棱錐D -ABC體積的最大值． 解：如圖，在△ABC中， ∵AB＝AC＝3，BC＝3， ∴由余弦定理可得 cos A＝＝－， ∴sin A＝. 設(shè)△ABC外接圓O′

48、的半徑為r， 則＝2r，得r＝3. 設(shè)球的半徑為R，連接OO′，BO′，OB，則R2＝2＋32，解得R＝2. 由圖可知，當(dāng)點(diǎn)D到平面ABC的距離為R時，三棱錐D -ABC的體積最大， ∵S△ABC＝×3×3×＝， ∴三棱錐D -ABC體積的最大值為××3＝. 第三節(jié)空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系 1．平面的基本性質(zhì) (1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)． (2)公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面． (3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線． 2．空間中兩直線的位置關(guān)系 (1

49、)空間中兩直線的位置關(guān)系 (2)異面直線所成的角 ①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)． ②范圍：. (3)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行． (4)定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)． 3．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系 (1)直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況． (2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況． [小題體驗] 1．下列說法正確的是(　　) A．若a?α，b?β，則a與b是異面直線

50、 B．若a與b異面，b與c異面，則a與c異面 C．若a，b不同在平面α內(nèi)，則a與b異面 D．若a，b不同在任何一個平面內(nèi)，則a與b異面 答案：D 2．(教材習(xí)題改編)設(shè)P表示一個點(diǎn)，a，b表示兩條直線，α，β表示兩個平面，給出下列四個命題，其中正確的命題是________． ①P∈a，P∈α?a?α；②a∩b＝P，b?β?a?β；③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b. 答案：③④ 1．異面直線易誤解為“分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”，實質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個平面，因此異面直線既不平行，也不相交． 2．直線與平面的

51、位置關(guān)系在判斷時最易忽視“線在面內(nèi)”． 3．不共線的三點(diǎn)確定一個平面，一定不能丟掉“不共線”條件． [小題糾偏] 1．(2018·江西七校聯(lián)考)已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是(　　) A．相交或平行　　　　　 B．相交或異面 C．平行或異面 D．相交、平行或異面 解析：選D　依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面． 2．若直線a⊥b，且直線a∥平面α，則直線b與平面α的位置關(guān)系是(　　) A．b?α B．b∥α C．b?α或b∥α D．b與α相交或b?α或b∥α 解析：選D

52、　b與α相交或b?α或b∥α都可以． 3．(教材習(xí)題改編)下列命題： ①經(jīng)過三點(diǎn)確定一個平面；②梯形可以確定一個平面；③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；④如果兩個平面有三個公共點(diǎn)，則這兩個平面重合． 其中正確命題的個數(shù)為(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：選D　①中若三點(diǎn)在一條直線上，則不能確定一個平面；②梯形可以確定一個平面；③兩兩相交的三條直線最多可以確定四個平面；④中這三個公共點(diǎn)可以在這兩個平面的交線上．故錯誤的是①③④，正確的是②.所以正確命題的個數(shù)為1. [典例引領(lǐng)] 如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，A

53、A1的中點(diǎn)．求證： (1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面； (2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn)． 證明：(1)如圖，連接EF，A1B，CD1. ∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)， ∴EF∥A1B. 又A1B∥CD1，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面． (2)∵EF∥CD1，EF

54、平面法：先確定一個平面，再證有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)； (2)輔助平面法：先證有關(guān)點(diǎn)、線確定平面α，再證其余點(diǎn)、線確定平面β，最后證明平面α，β重合． 2．證明多線共點(diǎn)問題的2個步驟 (1)先證其中兩條直線交于一點(diǎn)； (2)再證交點(diǎn)在第三條直線上．證交點(diǎn)在第三條直線上時，第三條直線應(yīng)為前兩條直線所在平面的交線，可以利用公理3證明．如“本例”中第(2)問． [即時應(yīng)用] 　 如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點(diǎn)E，G，H，F(xiàn)，求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線． 證明：因為AB∥CD， 所以AB，CD確定一個平面β. 又因為AB∩α

55、＝E，AB?β， 所以E∈α，E∈β，即E為平面α與β的一個公共點(diǎn)． 同理可證F，G，H均為平面α與β的公共點(diǎn)， 因為兩個平面有公共點(diǎn)，它們有且只有一條通過公共點(diǎn)的公共直線，所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線． [典例引領(lǐng)] 如圖，在正方體ABCD -A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)， 有以下四個結(jié)論： ①直線AM與CC1是相交直線； ②直線AM與BN是平行直線； ③直線BN與MB1是異面直線； ④直線AM與DD1是異面直線． 其中正確的結(jié)論的序號為________． 解析：直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，所以①②錯誤

56、．點(diǎn)B，B1，N在平面BB1C1C中，點(diǎn)M在此平面外，所以BN，MB1是異面直線．同理AM，DD1也是異面直線． 答案：③④ [由題悟法] [即時應(yīng)用] 1．上面例題中正方體ABCD-A1B1C1D1的棱所在直線中與直線AB是異面直線的有________條． 解析：與AB異面的有4條：CC1，DD1，A1D1，B1C1. 答案：4 2．在圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形的是________．(填上所有正確答案的序號) 解析：圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN

57、異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面．所以在圖②④中，GH與MN異面． 答案：②④ [典例引領(lǐng)] (2017·全國卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選C　 如圖所示，將直三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，連接AD1，B1D1，則AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其補(bǔ)角為異面直線AB1與BC1所成的角．因為

58、∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AB1＝，AD1＝. 在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝1，D1C1＝2， 所以B1D1＝＝， 所以cos∠B1AD1＝＝. [由題悟法] 1．用平移法求異面直線所成的角的3步驟 (1)一作：即據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角； (2)二證：即證明作出的角是異面直線所成的角； (3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角． 2．有關(guān)平移的3種技巧 求異面直線所成的角的方法為平移法，平移的方法一般有3種類型： (1)利用圖

59、形中已有的平行線平移； (2)利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移； (3)補(bǔ)形平移．計算異面直線所成的角通常放在三角形中進(jìn)行． [即時應(yīng)用] 如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中， (1)求AC與A1D所成角的大小； (2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大?。? 解：(1)連接B1C，AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方體，易知A1D∥B1C，從而B1C與AC所成的角就是AC與A1D所成的角． ∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°. 即A1D與AC所成的角為60°. (2)連接BD，在正方體ABCD-A1B1C

60、1D1中， AC⊥BD，AC∥A1C1， ∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)， ∴EF∥BD，∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1. 即A1C1與EF所成的角為90°. 一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快 1．“點(diǎn)P在直線m上，m在平面α內(nèi)”可表示為(　　) A．P∈m，m∈α　　　　　　 B．P∈m，m?α C．P?m，m∈α D．P?m，m?α 解析：選B　點(diǎn)在直線上用“∈”，直線在平面上用“?”，故選B. 2．(2018·平陽期末)已知a，b是異面直線，直線c∥直線a，那么c與b(　　) A．一定是異面直線 B．一定是相交直線 C．不可能是平行直線 D．不可能是

61、相交直線 解析：選C　由平行直線公理可知，若c∥b，則a∥b，與a，b是異面直線矛盾．所以c與b不可能是平行直線． 3．空間四邊形兩對角線的長分別為6和8，所成的角為45°，連接各邊中點(diǎn)所得四邊形的面積是(　　) A．6 B．12 C．12 D．24 解析：選A　如圖，已知空間四邊形ABCD，設(shè)對角線AC＝6，BD＝8，易證四邊形EFGH為平行四邊形，∠EFG或∠FGH為AC與BD所成的45°角，故S四邊形EFGH＝3×4·sin 45°＝6，故選A. 4.如圖所示，平行六面體ABCD -A1B1C1D1中，既與AB共面又與CC1共面的棱有________條；

62、與AB異面的棱有________條． 解析：依題意，與AB和CC1都相交的棱有BC；與AB相交且與CC1平行有棱AA1，BB1；與AB平行且與CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合條件的有5條．與AB異面的棱有CC1，DD1，B1C1，A1D1，共4條． 答案：5　4 5.如圖，在三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點(diǎn)M，N分別為AD，BC的中點(diǎn)，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是________． 解析：如圖所示，連接DN，取線段DN的中點(diǎn)K，連接MK，CK. ∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)， ∴MK∥AN， ∴∠KMC為異面直線AN，CM所成的角． ∵

63、AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N為BC的中點(diǎn)， 由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝2， ∴MK＝. 在Rt△CKN中，CK＝ ＝. 在△CKM中，由余弦定理，得 cos∠KMC＝＝. 答案： 二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo) 1．已知A，B，C，D是空間四點(diǎn)，命題甲：A，B，C，D四點(diǎn)不共面，命題乙：直線AC和BD不相交，則甲是乙成立的(　　) A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則直線AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直線AC和BD不相交，若直線AC和BD平

64、行時，A，B，C，D四點(diǎn)共面，所以甲是乙成立的充分不必要條件． 2．(2018·寧波模擬)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，則下列說法錯誤的是(　　) A．MN與CC1垂直 B．MN與AC垂直 C．MN與BD平行 D．MN與A1B1平行 解析：選D　如圖，連接C1D，在△C1DB中，MN∥BD，故C正確；因為CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD， 所以MN與CC1垂直，故A正確； 因為AC⊥BD，MN∥BD， 所以MN與AC垂直，故B正確； 因為A1B1與BD異面，MN∥BD， 所以MN與A1B1不可能平行，故D錯誤．

65、3．下列命題中，真命題的個數(shù)為(　　) ①如果兩個平面有三個不在一條直線上的公共點(diǎn)，那么這兩個平面重合； ②兩條直線可以確定一個平面； ③空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)； ④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈l. A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選B　根據(jù)公理2，可判斷①是真命題；兩條異面直線不能確定一個平面，故②是假命題；在空間，相交于同一點(diǎn)的三條直線不一定共面(如墻角)，故③是假命題；根據(jù)平面的性質(zhì)可知④是真命題．綜上，真命題的個數(shù)為2. 4.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為棱D1C1的中點(diǎn)．設(shè)AM與平面BB1D1D的交點(diǎn)為O，則(　

66、　) A．三點(diǎn)D1，O，B共線，且OB＝2OD1 B．三點(diǎn)D1，O，B不共線，且OB＝2OD1 C．三點(diǎn)D1，O，B共線，且OB＝OD1 D．三點(diǎn)D1，O，B不共線，且OB＝OD1 解析：選A　連接A1M與B1D1交于點(diǎn)H，連接OH.因為△MD1H與△A1B1H相似，所以＝＝＝.因為OH∥A1A，所以＝＝，所以O(shè)H＝AA1，所以O(shè)H＝B1B，且OH∥BB1，所以由三角形相似可知，D1，O，B三點(diǎn)共線，且OB＝2OD1. 5．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是A1D1，A1C1的中點(diǎn)，則異面直線AE和CF所成的角的余弦值為(　　) A. B． C. D. 解析：選C　如圖，設(shè)正方體的棱長為a，取線段AB的中點(diǎn)M，連接CM，MF，EF.則MF綊AE，所以∠CFM即為所求角或所求角的補(bǔ)角．在△CFM中，MF＝CM＝a，CF＝a，根據(jù)余弦定理可得cos∠CFM＝，所以可得異面直線AE與CF所成的角的余弦值為.故選C. 6．如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的對數(shù)為________