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(全國(guó)版)2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第10講 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算學(xué)案

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《(全國(guó)版)2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第10講 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算學(xué)案》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(全國(guó)版)2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第10講 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算學(xué)案(12頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第10講 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 板塊一 知識(shí)梳理·自主學(xué)習(xí) [必備知識(shí)] 考點(diǎn)1 函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù) 1.定義 稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率 = 為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),記作f′(x0)或y′| x=x0, 即f′(x0)= = . 2.幾何意義 函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y=f(x)上點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率(瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)).相應(yīng)地,切線方程為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 考點(diǎn)2 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 考點(diǎn)3 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

2、   若y=f(x),y=g(x)的導(dǎo)數(shù)存在,則 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)′=(g(x)≠0). [必會(huì)結(jié)論] 1.f′(x0)與x0的值有關(guān),不同的x0,其導(dǎo)數(shù)值一般也不同. 2.f′(x0)不一定為0,但[f(x0)]′一定為0. 3.奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù),周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù). 4.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢(shì),其正負(fù)號(hào)反映了變化的方向,其大小|f′(x)|反映了變化的快慢,|f′(x)|越大,

3、曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”. [考點(diǎn)自測(cè)] 1.判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)f′(x0)與[f(x0)]′表示的意義相同.(  ) (2)f′(x0)是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x=x0處的函數(shù)值.(  ) (3)′=cos.(  ) (4)若(ln x)′=,則′=ln x.(  ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.[課本改編]f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,則a的值等于(  ) A. B. C. D. 答案 D 解析 因?yàn)閒′(x)=3ax2+6x,所以f′(-1)=3a-6=4,解得a=.故

4、選D. 3.[2018·九江模擬]已知曲線y=-3ln x的一條切線的斜率為-,則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(  ) A.3 B.2 C.1 D. 答案 B 解析 因?yàn)閥=-3ln x,所以y′=-.再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,令-=-,解得x=2或x=-3(舍去).故選B. 4.[課本改編]若曲線y=ex+ax+b在點(diǎn)(0,2)處的切線l與直線x+3y+1=0垂直,則a+b=(  ) A.3 B.-1 C.1 D.-3 答案 A 解析 因?yàn)橹本€x+3y+1=0的斜率為-,所以切線l的斜率為3,即y′|x=0=e0+a=1+a=3,所以a=2;又曲線過(guò)點(diǎn)(0,2),所以

5、e0+b=2,解得b=1.故選A. 5.[2018·秦皇島模擬]函數(shù)f(x)=exln x在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程是(  ) A.y=2e(x-1) B.y=ex-1 C.y=e(x-1) D.y=x-e 答案 C 解析 f(1)=0,∵f′(x)=ex,∴f′(1)=e,∴切線方程是y=e(x-1).故選C. 6.[2018·煙臺(tái)診斷]已知曲線y=asinx+cosx在x=0處的切線方程為x-y+1=0,則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______. 答案 1 解析 因?yàn)閥′=acosx-sinx,y′|x=0=a,根據(jù)題意知a=1. 板塊二 典例探究·考向突破 考

6、向 導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算 例 1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=; (2)y=x; (3)y=x-sincos; (4)y=ln x+. 解 (1)y′=′= =-. (2)因?yàn)閥=x3++1,所以y′=3x2-. (3)因?yàn)閥=x-sinx,所以y′=1-cosx. (4)y′=′=(ln x)′+′=-. 觸類(lèi)旁通 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算方法 (1)連乘積形式:先展開(kāi)化為多項(xiàng)式的形式,再求導(dǎo); (2)分式形式:觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù),再求導(dǎo); (3)對(duì)數(shù)形式:先化為和、差的形式,再求導(dǎo); (4)根式形式:先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,再求導(dǎo); (5

7、)三角形式:先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式,再求導(dǎo). 【變式訓(xùn)練】 已知函數(shù)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為-,則f(x)的解析式可能為(  ) A.f(x)=x2-ln x B.f(x)=xex C.f(x)=(3x2-4x)(2x+1) D.f(x)=+ 答案 D 解析 A中f′(x)=′=x-, B中f′(x)=(xex)′=ex+xex, C中f(x)=6x3-5x2-4x,所以f′(x)=18x2-10x-4, D中f′(x)=′=-+. 分別將x=1代入檢驗(yàn),知D符合. 考向 導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用                        命題角度1 

8、求切線的方程 例 2 [2017·全國(guó)卷Ⅰ]曲線y=x2+在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為_(kāi)_______. 答案 x-y+1=0 解析 ∵y′=2x-,∴y′|x=1=1, 即曲線在點(diǎn)(1,2)處的切線的斜率k=1, ∴切線方程為y-2=x-1,即x-y+1=0. 命題角度2 求切點(diǎn)的坐標(biāo) 例 3 [2018·江西模擬]若曲線y=xln x上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x-y+1=0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________. 答案 (e,e) 解析 設(shè)P(x0,y0),∵y=xln x,∴y′=ln x+x·=1+ln x.∴k=1+ln x0.又k=2,∴1+ln x0=2,∴x0=e,

9、y0=eln e=e.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(e,e). 命題角度3 求參數(shù)的值 例 4 已知f(x)=ln x,g(x)=x2+mx+(m<0),直線l與函數(shù)f(x),g(x)的圖象都相切,且與f(x)圖象的切點(diǎn)為(1,f(1)),則m的值為(  ) A.-1 B.-3 C.-4 D.-2 答案 D 解析 ∵f′(x)=, ∴直線l的斜率為k=f′(1)=1, 又f(1)=0, ∴切線l的方程為y=x-1. g′(x)=x+m,設(shè)直線l與g(x)的圖象的切點(diǎn)為(x0,y0),則有x0+m=1,y0=x0-1,y0=x+mx0+,m<0,于是解得m=-2.故選D. 觸

10、類(lèi)旁通 求解曲線切線方程應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)對(duì)于曲線的切線方程的求解,對(duì)曲線的求導(dǎo)是一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),因此求導(dǎo)公式,求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算原則要熟練掌握. (2)對(duì)于已知的點(diǎn),首先確定其是否為曲線的切點(diǎn),進(jìn)而選擇相應(yīng)的方法求解. 核心規(guī)律 1.f′(x0)代表函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)值;[f(x0)]′是函數(shù)值f(x0)的導(dǎo)數(shù),而函數(shù)值f(x0)是一個(gè)常量,其導(dǎo)數(shù)一定為0,即[f(x0)]′=0. 2.對(duì)于函數(shù)求導(dǎo),一般要遵循先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)的基本原則.求導(dǎo)時(shí),不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用,而且要特別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用,在實(shí)施化簡(jiǎn)時(shí),首先必須注意變換的等價(jià)性,避免不必要的運(yùn)算失

11、誤. 滿分策略 1.利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意不要將冪函數(shù)的求導(dǎo)公式(xn)′=nxn-1與指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式(ax)′=axln a混淆. 2.直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)特征,直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),不能說(shuō)明直線就是曲線的切線,反之,直線是曲線的切線,也不能說(shuō)明直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn). 板塊三 啟智培優(yōu)·破譯高考 易錯(cuò)警示系列3——求曲線的切線方程考慮不全面致錯(cuò) [2018·浙江杭州質(zhì)檢]若存在過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線與曲線y=x3和y=ax2+x-9都相切,則a等于(  ) A.-1或- B.-1或 C.-或- D.-或7 錯(cuò)因分析 (1)審題不仔細(xì),未

12、對(duì)(1,0)的位置進(jìn)行判斷,誤認(rèn)為(1,0)是切點(diǎn);(2)當(dāng)所給點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí),不知所措,無(wú)法與導(dǎo)數(shù)的幾何意義聯(lián)系. 解析 ∵y=x3,∴y′=3x2. 設(shè)過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線與y=x3相切于點(diǎn)(x0,x), 則在該點(diǎn)處的切線斜率為k=3x,所以切線方程為: y-x=3x(x-x0),即y=3xx-2x. 又點(diǎn)(1,0)在切線上,則x0=0或x0=. 當(dāng)x0=0時(shí),由y=0與y=ax2+x-9相切可得a=-; 當(dāng)x0=時(shí),由y=x-與y=ax2+x-9相切,得a=-1. 綜上,a=-1或a=-.故選A. 答案 A 答題啟示 (1)求曲線的切線方程,首先確定已知點(diǎn)是否為切點(diǎn)是求

13、解的關(guān)鍵,分清“過(guò)點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異. (2)求解切線問(wèn)題時(shí),無(wú)論是已知切線的斜率還是切線經(jīng)過(guò)某一點(diǎn),切點(diǎn)坐標(biāo)都是化解難點(diǎn)的關(guān)鍵所在. 跟蹤訓(xùn)練 [2018·山西師大附中質(zhì)檢]已知曲線y=x3+. (1)求曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程; (2)求曲線過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線方程. 解 (1)根據(jù)已知得點(diǎn)P(2,4)是切點(diǎn)且y′=x2,所以在點(diǎn)P(2,4)處的切線的斜率為y′=4. 所以曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. (2)設(shè)曲線y=x3+與過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線相切于點(diǎn)A,則切線的斜率為y′=x. 所以切線方

14、程為y-=x(x-x0), 即y=x·x-x+. 因?yàn)辄c(diǎn)P(2,4)在切線上,所以4=2x-x+, 即x-3x+4=0,所以x+x-4x+4=0, 所以x(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, 所以(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2, 故所求的切線方程為x-y+2=0或4x-y-4=0. 板塊四 模擬演練·提能增分 [A級(jí) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1.曲線y=3ln x+x+2在點(diǎn)P0處的切線方程為4x-y-1=0,則點(diǎn)P0的坐標(biāo)是(  ) A.(0,1) B.(1,-1) C.(1,3) D.(1,0) 答案 C 解析 由題意知y′=+1

15、=4,解得x=1,此時(shí)4×1-y-1=0,解得y=3,故點(diǎn)P0的坐標(biāo)是(1,3). 2.[2018·海南文昌中學(xué)模擬]曲線y=xex+2x-1在點(diǎn)(0,-1)處的切線方程為(  ) A.y=3x-1 B.y=-3x-1 C.y=3x+1 D.y=-2x-1 答案 A 解析 依題意得y′=(x+1)ex+2,則曲線y=xex+2x-1在點(diǎn)(0,-1)處的切線的斜率為(0+1)e0+2=3,故曲線y=xex+2x-1在點(diǎn)(0,-1)處的切線方程為y+1=3x,即y=3x-1.故選A. 3.[2018·大同模擬]已知函數(shù)f(x)=xsinx+ax,且f′=1,則a=(  ) A

16、.0 B.1 C.2 D.4 答案 A 解析 ∵f′(x)=sinx+xcosx+a,且f′=1, ∴sin+cos+a=1,即a=0. 4.[2018·陜西檢測(cè)]已知直線y=-x+m是曲線y=x2-3ln x的一條切線,則m的值為(  ) A.0 B.2 C.1 D.3 答案 B 解析 因?yàn)橹本€y=-x+m是曲線y=x2-3ln x的切線,所以令y′=2x-=-1,得x=1或x=-(舍去),即切點(diǎn)為(1,1),又切點(diǎn)(1,1)在直線y=-x+m上,所以m=2,故選B. 5.[2018·金版創(chuàng)新]已知f(x)=-x2+2xf′(2017)+2017l

17、n x,則f′(1)=(  ) A.2016 B.6045 C.2017 D.6048 答案 D 解析 因?yàn)閒′(x)=-x+2f′(2017)+,所以f′(2017)=-2017+2f′(2017)+,即f′(2017)=2017-1=2016. 故f′(x)=-x+2×2016+,f′(1)=-1+2×2016+2017=6048.故選D. 6.直線y=kx+1與曲線y=x3+ax+b相切于點(diǎn)A(1,3),則2a+b的值為(  ) A.1 B.2 C.5 D.-1 答案 A 解析 由題意可得3=k+1,3=1+a+b,則k=2.又曲線的導(dǎo)函數(shù)y′

18、=3x2+a,所以3+a=2,解得a=-1,b=3,所以2a+b=1.故選A. 7.[2018·上饒模擬]若點(diǎn)P是曲線y=x2-ln x上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線y=x-2的最小值為(  ) A.1 B. C. D. 答案 B 解析 因?yàn)槎x域?yàn)?0,+∞),所以y′=2x-=1,解得x=1,則在P(1,1)處的切線方程為x-y=0,所以?xún)善叫芯€間的距離為d==. 8.[2015·全國(guó)卷Ⅰ]已知函數(shù)f(x)=ax3+x+1的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線過(guò)點(diǎn)(2,7),則a=________. 答案 1 解析 因?yàn)閒(x)=ax3+x+1,所以f′(x)=3ax2+

19、1,所以f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為k=3a+1,又f(1)=a+2,所以切線方程為y-(a+2)=(3a+1)(x-1),因?yàn)辄c(diǎn)(2,7)在切線上,所以7-(a+2)=3a+1,解得a=1. 9.直線x-2y+m=0與曲線y=相切,則切點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______. 答案 (1,1) 解析 ∵y==x,∴y′=x,令y′=x=,則x=1,則y==1,即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1). 10.[2018·江蘇模擬]在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若曲線y=ax2+(a,b為常數(shù))過(guò)點(diǎn)P(2,-5),且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線7x+2y+3=0平行,則a+b的值是________. 答案

20、 -3 解析 由曲線y=ax2+過(guò)點(diǎn)P(2,-5),得 4a+=-5.① 又y′=2ax-,所以當(dāng)x=2時(shí),4a-=-,② 由①②得所以a+b=-3. [B級(jí) 知能提升] 1.[2018·南昌模擬]已知f(x)=2exsinx,則曲線f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為(  ) A.y=0 B.y=2x C.y=x D.y=-2x 答案 B 解析 ∵f(x)=2exsinx,∴f(0)=0,f′(x)=2ex(sinx+cosx),∴f′(0)=2,∴曲線f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=2x. 2.曲線f(x)=在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的傾

21、斜角為,則實(shí)數(shù)a=(  ) A.1 B.-1 C.7 D.-7 答案 C 解析 f′(x)==, ∵f′(1)=tan=-1,即=-1,∴a=7. 3.[2018·陜西模擬]設(shè)曲線y=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線與曲線y=(x>0)上點(diǎn)P處的切線垂直,則P的坐標(biāo)為_(kāi)_______. 答案 (1,1) 解析 y′=ex,則y=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率k=1,又曲線y=(x>0)上點(diǎn)P處的切線與y=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線垂直,所以y=(x>0)在點(diǎn)P處的切線的斜率為-1,設(shè)P(a,b),則曲線y=(x>0)上點(diǎn)P處的切線的斜率為y′|x=a=-a-2=-1,可

22、得a=1,又P(a,b)在y=上,所以b=1,故P(1,1). 4.已知函數(shù)f(x)=x-1+(a∈R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)). (1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值; (2)當(dāng)a=1時(shí),若直線l:y=kx-1與曲線y=f(x)相切,求l的直線方程. 解 (1)f′(x)=1-,因?yàn)榍€y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,所以f′(1)=1-=0,解得a=e. (2)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x-1+,f′(x)=1-. 設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0), ∵f(x0)=x0-1+=kx0-1,① f′(x0)=1-=k,② ①+②得x0=

23、kx0-1+k,即(k-1)(x0+1)=0. 若k=1,則②式無(wú)解,∴x0=-1,k=1-e. ∴l(xiāng)的直線方程為y=(1-e)x-1. 5.[2018·蘇州十校聯(lián)考]設(shè)函數(shù)f(x)=ax-,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為7x-4y-12=0. (1)求f(x)的解析式; (2)證明:曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值,并求此定值. 解 (1)方程7x-4y-12=0可化為y=x-3,當(dāng)x=2時(shí),y=.又f′(x)=a+,故解得故f(x)=x-. (2)證明:設(shè)P(x0,y0)為曲線上任一點(diǎn), 由f′(x)=1+知,曲線在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程為y-y0=(x-x0), 即y-=(x-x0). 令x=0得,y=-,從而得切線與直線x=0交點(diǎn)坐標(biāo)為. 令y=x,得y=x=2x0,從而得切線與直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0). 所以點(diǎn)P(x0,y0)處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形面積為|2x0|=6. 故曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值,此定值為6. 12

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