9、根，
則Δ＝b2－4c≥0，即b≥2.
∵b，c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，
∴當(dāng)先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5時，
若b＝5，則c＝1,2,3,4,5,6；
若c＝5，則b＝5,6.b＝5，c＝5只能算一種情況，從而P(MN)＝.
∴在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程x2＋bx＋c＝0有實(shí)根的概率為P(N|M)＝＝.
反思與感悟 條件概率是學(xué)習(xí)相互獨(dú)立事件的前提和基礎(chǔ)，計(jì)算條件概率時，必須搞清要求的條件概率是在什么條件下發(fā)生的概率．一般地，計(jì)算條件概率常有兩種方法
(1)P(B|A)＝.
(2)P(B|A)＝.在古典概型下，n(AB)指事件A與事件B同時發(fā)生的基本事件
10、個數(shù)；n(A)是指事件A發(fā)生的基本事件個數(shù)．
跟蹤訓(xùn)練1 已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，從100個男人和100個女人中任選一人．
(1)求此人患色盲的概率；
(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．(以上各問結(jié)果寫成最簡分式形式)
考點(diǎn) 條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用
題點(diǎn) 條件概率的性質(zhì)的簡單應(yīng)用
解 設(shè)“任選一人是男人”為事件A，“任選一人是女人”為事件B，“任選一人是色盲”為事件C.
(1)此人患色盲的概率
P(C)＝P(AC)＋P(BC)
＝P(A)P(C|A)＋P(B)·P(C|B)
＝×＋×＝.
(2)由(1)得P(AC)＝，又因?yàn)镻(C)＝，
11、所以P(A|C)＝＝＝.
類型二 相互獨(dú)立事件的概率與二項(xiàng)分布
例2 天氣預(yù)報(bào)，在元旦期間甲、乙兩地都降雨的概率為，至少有一個地方降雨的概率為，已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在這段時間甲、乙兩地降雨互不影響．
(1)分別求甲、乙兩地降雨的概率；
(2)在甲、乙兩地3天假期中，僅有一地降雨的天數(shù)為X，求X的分布列、均值與方差．
考點(diǎn) 二項(xiàng)分布的計(jì)算及應(yīng)用
題點(diǎn) 求二項(xiàng)分布的分布列
解 (1)設(shè)甲、乙兩地降雨的事件分別為A，B，且P(A)＝x，P(B)＝y(tǒng).
由題意得解得
所以甲地降雨的概率為，乙地降雨的概率為.
(2)在甲、乙兩地中，僅有一地降雨的概率為P＝P(A
12、)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×＋×＝.
X的可能取值為0,1,2,3.
P(X＝0)＝C3＝，
P(X＝1)＝C12＝，
P(X＝2)＝C2＝，
P(X＝3)＝C3＝，
所以X的分布列為
X
0
1
2
3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
方差D(X)＝×2＋×2＋×2＋×2＝.
反思與感悟 (1)求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率需注意的三個問題
①“P(AB)＝P(A)P(B)”是判斷事件是否相互獨(dú)立的充要條件，也是解答相互獨(dú)立事件概率問題的唯一工具．
②涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率問題，務(wù)必分
13、清事件間的相互關(guān)系．
③公式“P(A∪B)＝1－P( )”常應(yīng)用于相互獨(dú)立事件至少有一個發(fā)生的概率．
(2)二項(xiàng)分布的判定
與二項(xiàng)分布有關(guān)的問題關(guān)鍵是二項(xiàng)分布的判定，可從以下幾個方面判定：
①每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的．
②各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的．
③每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．
④隨機(jī)變量是這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù)．
跟蹤訓(xùn)練2 在一次抗洪搶險中，準(zhǔn)備用射擊的辦法引爆從上游漂流而下的一個巨大汽油罐，已知只有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射擊是相互獨(dú)立的，且命中的概率都是.
(1)求油灌被引爆的概率；
14、
(2)如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為ξ，求ξ不小于4的概率．
考點(diǎn) 互斥、對立、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題
題點(diǎn) 互斥事件、對立事件、獨(dú)立事件的概率問題
解 (1)油罐引爆的對立事件為油罐沒有引爆，沒有引爆的可能情況是：射擊5次只擊中一次或一次也沒有擊中，故該事件的概率為
P＝C××4＋5，
所以所求的概率為
1－P＝1－＝.
(2)當(dāng)ξ＝4時，記事件為A，
則P(A)＝C××2×＝，
當(dāng)ξ＝5時，意味著前4次射擊只擊中一次或一次也未擊中，記為事件B.
則P(B)＝C××3＋4＝，
所以所求概率為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
類型三 離散型隨機(jī)變
15、量的均值與方差
例3 為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1 000位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額．
(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元，其余3個均為10元，求：
①顧客所獲的獎勵額為60元的概率；
②顧客所獲的獎勵額的分布列及均值；
(2)商場對獎勵總額的預(yù)算是60 000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成．為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給
16、出一個合適的設(shè)計(jì)，并說明理由．
考點(diǎn) 均值與方差的應(yīng)用
題點(diǎn) 均值與方差的綜合應(yīng)用
解 (1)設(shè)顧客所獲的獎勵額為X，
①依題意，得P(X＝60)＝＝，
即顧客所獲的獎勵額為60元的概率為.
②依題意得X的所有可能取值為20,60，
P(X＝20)＝＝，P(X＝60)＝，
即X的分布列為
X
20
60
P
所以這位顧客所獲獎勵額的均值為E(X)＝20×＋60×＝40.
(2)根據(jù)商場的預(yù)算，每位顧客的平均獎勵額為60元，所以先尋找均值為60元的可能方案．
對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10,10,10,50)的方案，因?yàn)?0元是面值之
17、和的最大值，所以均值不可能為60元．
如果選擇(50,50,50,10)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最小值，所以均值也不可能為60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)記為方案1，對于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，
記為方案2，
以下是對這兩個方案的分析：
對于方案1，即方案(10,10,50,50)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為X1，則X1的分布列為
X1
20
60
100
P
X1的均值E(X1)＝20×＋60×＋100×＝60.
18、X1的方差D(X1)＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝，
對于方案2，即方案(20,20,40,40)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為X2，則X2的分布列為
X2
40
60
80
P
X2的均值E(X2)＝40×＋60×＋80×＝60，
X2的方差D(X2)＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×＝.
由于兩種方案的獎勵額的均值都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1小，所以應(yīng)該選擇方案2.
反思與感悟 求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟
(1)理解X的意義，寫出X可能的全部取值；
(2)求X取每個值的概率或求
19、出函數(shù)P(X＝k)；
(3)寫出X的分布列；
(4)由分布列和均值的定義求出E(X)；
(5)由方差的定義，求D(X)，若X～B(n，p)，則可直接利用公式求，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
跟蹤訓(xùn)練3 某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，…，8，其中X≥5為標(biāo)準(zhǔn)A，X≥3為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)．
(1)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的分布列如下表：
X1
5
6
7
8
P
0.4
a
b
0.1
20、
且X1的均值E(X1)＝6，求a，b的值；
(2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用該樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的均值；
(3)在(1)(2)的條件下，若以“性價比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個工廠的產(chǎn)品更具有可購買性？說明理由．
注：①產(chǎn)品的“性價比”＝；
②“性價比”高的產(chǎn)品更具有可購買性．
考點(diǎn) 均值與方差的應(yīng)用
題點(diǎn) 均值與方差的綜合應(yīng)用
解 (
21、1)∵E(X1)＝6，
∴5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，
即6a＋7b＝3.2，
又由X1的分布列得0.4＋a＋b＋0.1＝1，
即a＋b＝0.5.
由解得
(2)由已知得，樣本的頻率分布表如下：
X2
3
4
5
6
7
8
f
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
用該樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的分布列如下：
X2
3
4
5
6
7
8
P
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
∴E(X2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0
22、.1＋8×0.1＝4.8，即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的均值為4.8.
(3)乙廠的產(chǎn)品更具有可購買性，理由如下：
甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的均值為6，價格為6元/件，
其性價比為＝1，
乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的均值等于4.8，價格為4元/件，
其性價比為＝1.2.
∴乙廠的產(chǎn)品更具有可購買性．
類型四 正態(tài)分布的應(yīng)用
例4 為了評估某大米包裝生產(chǎn)設(shè)備的性能，從該設(shè)備包裝的大米中隨機(jī)抽取100袋作為樣本，稱其重量為
重量kg
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
10.0
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
合計(jì)
包
23、數(shù)
1
1
3
5
6
19
34
18
3
4
2
1
2
1
100
經(jīng)計(jì)算：樣本的平均值μ＝10.10，標(biāo)準(zhǔn)差σ＝0.21.
(1)為評判該生產(chǎn)線的性能，從該生產(chǎn)線中任抽取一袋，設(shè)其重量為X(kg)，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評判．
①P(μ－σ
24、大于μ＋2σ的包裝認(rèn)為是不合格的包裝，從設(shè)備的生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取5袋大米，求其中不合格包裝袋數(shù)Y的均值E(Y)．
考點(diǎn) 正態(tài)分布的應(yīng)用
題點(diǎn) 正態(tài)分布的綜合應(yīng)用
解 (1)由題意得
P(μ－σ0.682 6，
P(μ－2σ
25、，即Y～B，
所以E(Y)＝5×＝0.3.
反思與感悟 正態(tài)曲線的應(yīng)用及求解策略
解答此類題目的關(guān)鍵在于將待求的問題向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]這三個區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用上述區(qū)間的概率求出相應(yīng)概率，在此過程中依然會用到化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想．
跟蹤訓(xùn)練4 某市去年高考考生成績X服從正態(tài)分布N(500,502)，現(xiàn)有25 000名考生，試確定考生成績在550分～600分的人數(shù)．
考點(diǎn) 正態(tài)分布的應(yīng)用
題點(diǎn) 正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用
解 ∵考生成績X～N(500,502)，∴μ＝500，σ＝50，
∴P＝(550
26、2×50
27、的概率分別是，，.假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為( )
A. B. C. D.
考點(diǎn) 相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及應(yīng)用
題點(diǎn) 獨(dú)立事件與互斥事件的綜合應(yīng)用
答案 B
解析 設(shè)“國慶節(jié)放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分別為事件A，B，C，則A，B，C相互獨(dú)立且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，∴至少有1人去北京旅游的概率為1－P( )＝1－P()·P()·P()＝1－××＝1－＝，故選B.
3．某班有50名學(xué)生，一次考試后的數(shù)學(xué)成績ξ～N(110,102)，若P(100≤ξ≤110)＝0.34，則估計(jì)該班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績在120分以上(含
28、120分)的人數(shù)為( )
A．10 B．9 C．8 D．7
考點(diǎn) 正態(tài)分布的應(yīng)用
題點(diǎn) 正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用
答案 C
解析 ∵數(shù)學(xué)成績ξ服從正態(tài)分布N(110,102)，
且P(100≤ξ≤110)＝0.34，
∴P(ξ≥120)＝P(ξ<100)＝×(1－0.34×2)＝0.16，
∴該班數(shù)學(xué)成績在120分以上的人數(shù)為0.16×50＝8.
4．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝m·k，k＝1,2,3，則m的值為 ．
考點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用
題點(diǎn) 根據(jù)分布列的性質(zhì)求參數(shù)
答案
解析 因?yàn)镻(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)
29、＝1，
即m＝1，所以m＝.
5．某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷．假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的．記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù)，若P(X＝0)＝，則隨機(jī)變量X的均值E(X)＝ .
考點(diǎn) 相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及應(yīng)用
題點(diǎn) 獨(dú)立事件與分布列
答案
解析 隨機(jī)變量X的可能取值是0,1,2,3.
由題意知P(X＝0)＝(1－p)2＝，所以p＝，于是P(X＝1)＝××＋××＋××＝，P(X＝3)＝××＝，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝1－
30、－－＝，所以均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
1．條件概率的兩個求解策略
(1)定義法：計(jì)算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)＝求解．
(2)縮小樣本空間法：利用P(B|A)＝求解．
其中(2)常用于古典概型的概率計(jì)算問題．
2．求解實(shí)際問題的均值與方差的解題思路：先要將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，然后求出隨機(jī)變量的分布列，同時要注意運(yùn)用兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值與方差的線性性質(zhì)．
一、選擇題
1．已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，則a的值為( )
X
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A.5
31、 B．6 C．7 D．8
考點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量的可能取值
題點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量的結(jié)果
答案 C
解析 由題意和分布列的性質(zhì)得0.5＋0.1＋b＝1，
且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，
解得b＝0.4，a＝7.
2．某工程施工在很大程度上受當(dāng)?shù)啬杲邓康挠绊?，施工期間的年降水量X(單位：mm)對工期延誤天數(shù)Y的影響及相應(yīng)的概率P如下表所示：
年降水量X
X<100
100≤X<200
200≤X<300
X≥300
工期延誤天數(shù)Y
0
5
15
30
概率P
0.4
0.2
0.1
0.3
在年降水量X至少是100的條件下，
32、工期延誤小于30天的概率為( )
A．0.7 B．0.5
C．0.3 D．0.2
考點(diǎn) 條件概率的定義及計(jì)算公式
題點(diǎn) 直接利用公式求條件概率
答案 B
解析 設(shè)事件A為“年降水量X至少是100”，事件B為“工期延誤小于30天”，則P(B|A)＝＝＝0.5，故選B.
3．從應(yīng)屆高中畢業(yè)生中選拔飛行員，已知這批學(xué)生體型合格的概率為，視力合格的概率為，其他幾項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)合格的概率為，從中任選一名學(xué)生，則該生均合格的概率為(假設(shè)各項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)互不影響)( )
A. B.
C. D.
考點(diǎn) 相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率計(jì)算
題點(diǎn) 求多個相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率
答案 D
33、
解析 該生各項(xiàng)均合格的概率為××＝.
4．設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,4)，則P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)成立的一個必要不充分條件是( )
A．a(chǎn)＝1或2 B．a(chǎn)＝±1或2
C．a(chǎn)＝2 D．a(chǎn)＝
考點(diǎn) 正態(tài)分布密度函數(shù)的概念
題點(diǎn) 正態(tài)曲線性質(zhì)的應(yīng)用
答案 B
解析 ∵X～N(3,4)，P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)，
∴(1－3a)＋(a2＋7)＝2×3，∴a＝1或2.故選B.
5．(2017·福建莆田二十四中高二期中)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該
34、同學(xué)通過測試的概率為( )
A．0.648 B．0.432
C．0.36 D．0.312
考點(diǎn) 互斥、對立、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題
題點(diǎn) 互斥事件、對立事件、獨(dú)立事件的概率問題
答案 A
解析 根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得，該同學(xué)通過測試的概率為C0.62×0.4＋C0.63＝0.648.
6．命題r：隨機(jī)變量ξ～N(3，σ2)，若P(ξ≤2)＝0.4，則P(ξ≤4)＝0.6.命題q：隨機(jī)變量η～B(n，p)，且E(η)＝200，D(η)＝100，則p＝0.5.則( )
A．r正確，q錯誤
B．r錯誤，q正確
C．r錯誤，q也錯誤
D．r正確，q也正確
考點(diǎn) 正態(tài)
35、分布的應(yīng)用
題點(diǎn) 正態(tài)分布的綜合應(yīng)用
答案 D
解析 因?yàn)殡S機(jī)變量ξ～N(3，σ2)，所以正態(tài)曲線關(guān)于x＝3對稱，又P(ξ≤2)＝0.4，則P(ξ>4)＝P(ξ≤2)＝0.4，所以P(ξ≤4)＝0.6，所以r是正確的；隨機(jī)變量η～B(n，p)，且E(η)＝np＝200，D(η)＝np(1－p)＝100，所以200(1－p)＝100，解得p＝0.5，所以q是正確的．故選D.
7．節(jié)日期間，某種鮮花進(jìn)貨價是每束2.5元，銷售價是每束5元；節(jié)日賣不出去的鮮花以每束1.6元價格處理．根據(jù)前五年銷售情況預(yù)測，節(jié)日期間這種鮮花的需求量X服從如表所示的分布列
X
200
300
400
5
36、00
P
0.20
0.35
0.30
0.15
若進(jìn)這種鮮花500束，則利潤的均值為( )
A．706元 B．690元
C．754元 D．720元
考點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量均值的概率與計(jì)算
題點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量均值的計(jì)算
答案 A
解析 因?yàn)镋(X)＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝340，
所以利潤的均值為340×(5－2.5)－(500－340)×(2.5－1.6)＝706元，故選A.
8．某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[7
37、0,80)，[80,90)，[90,100]．從樣本成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，這2人中成績在90分以上(含90分)的人數(shù)為ξ，則ξ的均值為( )
A. B.
C. D.
考點(diǎn) 常見的幾種均值
題點(diǎn) 與排列、組合有關(guān)的隨機(jī)變量的均值
答案 B
解析 由頻率分布直方圖知，3×0.006×10＋0.01×10＋0.054×10＋10x＝1，解得x＝0.018，∴成績不低于80分的學(xué)生人數(shù)為(0.018＋0.006)×10×50＝12，成績在90分以上(含90分)的學(xué)生人數(shù)為0.006×10×50＝3，
∴ξ的可能取值為0,1,2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝
38、＝，P(ξ＝2)＝＝，∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
二、填空題
9．盒中有10支螺絲釘，其中3支是壞的，現(xiàn)在從盒中不放回地依次抽取兩支，那么在第一支抽取為好的條件下，第二支是壞的概率為 ．
考點(diǎn) 條件概率的定義及計(jì)算公式
題點(diǎn) 直接利用公式求條件概率
答案
解析 記事件A為“第一支抽取為好的”，事件B為“第二支是壞的”，則
P(A)＝，
P(AB)＝×＝，
∴P(B|A)＝＝.
10．甲、乙兩人進(jìn)行跳繩比賽，規(guī)定：若甲贏一局，比賽結(jié)束，甲勝出；若乙贏兩局，比賽結(jié)束，乙勝出．已知每一局甲、乙二人獲勝的概率分別為，，則甲勝出的概率為 ．
考點(diǎn)
39、 互斥、對立、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題
題點(diǎn) 互斥事件、對立事件、獨(dú)立事件的概率問題
答案
解析 方法一 甲勝的情況為：①舉行一局比賽，甲勝出，比賽結(jié)束，②舉行兩局比賽，第一局乙勝，第二局甲勝，其概率分別為，×，且這兩個事件是互斥的，所以甲勝出的概率為＋×＝.
方法二 因?yàn)楸荣惤Y(jié)果只有甲勝出和乙勝出兩個結(jié)果，而乙勝出的情況只有一種，舉行兩局比賽都是乙勝出，其概率為×＝，所以甲勝出的概率為1－＝.
11．一臺機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)一件甲等品可獲得50元，生產(chǎn)一件乙等品可獲得30元，生產(chǎn)一件次品，要賠20元，已知這臺機(jī)器生產(chǎn)出甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6,0.3和0.1，則
40、這臺機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預(yù)期獲利 元．
考點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量的均值的概念與計(jì)算
題點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量均值的計(jì)算
答案 37
解析 設(shè)生產(chǎn)一件該產(chǎn)品可獲利錢數(shù)為X，則隨機(jī)變量X的取值可以是－20,30,50.依題意，X的分布列為
X
－20
30
50
P
0.1
0.3
0.6
故E(X)＝－20×0.1＋30×0.3＋50×0.6＝37(元)．
12．一批玉米種子的發(fā)芽率是0.8，每穴只要有一粒發(fā)芽，就不需補(bǔ)種，否則需要補(bǔ)種．則每穴至少種 粒，才能保證每穴不需補(bǔ)種的概率大于98%.(lg 2＝0.301 0)
考點(diǎn) 互斥、對立、
41、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題
題點(diǎn) 互斥事件、對立事件、獨(dú)立事件的概率問題
答案 3
解析 記事件A為“種一粒種子，發(fā)芽”，
則P(A)＝0.8，P()＝1－0.8＝0.2.
因?yàn)槊垦ǚNn粒相當(dāng)于做了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，記事件B為“每穴至少有一粒種子發(fā)芽”，
則P()＝C0.80(1－0.8)n＝0.2n，
所以P(B)＝1－P()＝1－0.2n.
根據(jù)題意，得P(B)>98%，即0.2n<0.02.
兩邊同時取以10為底的對數(shù)，得
nlg 0.2＝≈2.43.
因?yàn)閚∈N*，
所以n的最小正整數(shù)值為3.
三、
42、解答題
13．一盒中裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片．
(1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；
(2)用X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列與均值．
(注：若三個數(shù)a，b，c滿足a≤b≤c，則稱b為這三個數(shù)的中位數(shù))
考點(diǎn) 常見的幾種均值
題點(diǎn) 與排列、組合有關(guān)的隨機(jī)變量的均值
解 (1)由古典概型的概率計(jì)算公式知所求概率P＝＝.
(2)X的所有可能取值為1,2,3，
則P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
故X的分布列為
X
1
2
3
43、
P
從而E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
四、探究與拓展
14．某公司在迎新年晚會上舉行抽獎活動，有甲、乙兩個抽獎方案供員工選擇．
方案甲：員工最多有兩次抽獎機(jī)會，每次抽獎的中獎率均為.第一次抽獎，若未中獎，則抽獎結(jié)束．若中獎，則通過拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，決定是否繼續(xù)進(jìn)行第二次抽獎．規(guī)定：若拋出硬幣，反面朝上，員工則獲得500元獎金，不進(jìn)行第二次抽獎；若正面朝上，員工則須進(jìn)行第二次抽獎且在第二次抽獎中，若中獎，則獲得獎金1 000元；若未中獎，則所獲得的獎金為0元．
方案乙：員工連續(xù)三次抽獎，每次中獎率均為，每次中獎均可獲得獎金400元．
(1)求某員工選擇方
44、案甲進(jìn)行抽獎所獲獎金X(元)的分布列；
(2)試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進(jìn)行抽獎．哪個方案更劃算？
考點(diǎn) 均值、方差的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 均值與方差在實(shí)際中的應(yīng)用
解 (1)由題意得，X的所有可能取值為0,500,1 000，則P(X＝0)＝＋××＝，
P(X＝500)＝×＝，
P(X＝1 000)＝××＝，
所以某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎所獲獎金X(元)的分布列為
X
0
500
1 000
P
(2)由(1)可知，選擇方案甲進(jìn)行抽獎所獲獎金X的均值E(X)＝500×＋1 000×＝520，
若選擇方案乙進(jìn)行抽獎，中獎次數(shù)ξ～B，
則E(ξ)＝
45、3×＝，抽獎所獲獎金Y的均值E(Y)＝E(400ξ)＝400E(ξ)＝480，故選擇方案甲較劃算．
15．某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售．如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理．
(1)若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，n∈N)的函數(shù)解析式；
(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
頻數(shù)
10
20
16
16
15
13
10
以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求
46、量發(fā)生的概率．
①若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，求X的分布列、均值及方差；
②若花店計(jì)劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝？請說明理由．
考點(diǎn) 均值、方差的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 均值與方差在實(shí)際中的應(yīng)用
解 (1)當(dāng)日需求量n≥16時，利潤y＝80.
當(dāng)日需求量n<16時，利潤y＝10n－80.
所以當(dāng)天的利潤y關(guān)于當(dāng)天需求量n的函數(shù)解析式為
y＝(n∈N)
(2)①X可能的取值為60,70,80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.
故X的分布列為
X
60
70
80
P
47、0.1
0.2
0.7
E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76，
D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.
②方法一：花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花．
理由如下：
若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4，
D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.
48、16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.
由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，D(X)
2022-2023版高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布章末復(fù)習(xí)學(xué)案 新人教A版選修2-3
