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1、2022年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)分析與突破性講練 專題31 橢圓及其性質(zhì) 理 一、考綱要求： 1.了解橢圓的實(shí)際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用. 2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率). 3.理解數(shù)形結(jié)合思想. 4.了解橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用． 二、概念掌握和解題上注意點(diǎn)： 1.橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：一是判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為橢圓；二是利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)、面積、弦長(zhǎng)、最值和離心率等. 2.橢圓的定義式必須滿足2a＞|F1F2|. 3.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法有定義法與待定系數(shù)法，但基本方法是待定系數(shù)法，具體過(guò)程是先

2、定位，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在的位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組，若焦點(diǎn)位置不確定，可把橢圓方程設(shè)為Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)的形式. 4.求橢圓離心率的方法 ①直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解. ②列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解. 5.利用橢圓幾何性質(zhì)求值或范圍的思路 求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題時(shí)，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系.建立關(guān)于a、b、c的方程或不等式. 6.直線與橢圓的位置關(guān)系的解題策略 (

3、1)解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問(wèn)題.涉及弦中點(diǎn)的問(wèn)題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單. (2)設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則|AB|＝＝(k為直線斜率）. 三、高考考題題例分析 例1.（2018課標(biāo)卷I）設(shè)橢圓C：+y2=1的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）． （1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程； （2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB． 【答案】（1）y=﹣x+，y=x﹣， （

4、2）見(jiàn)解析 證明：（2）當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA=∠OMB=0°， 當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，∴∠OMA=∠OMB， 當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y=k（x﹣1），k≠0， A（x1，y1），B（x2，y2），則x1＜，x2＜， 直線MA，MB的斜率之和為kMA，kMB之和為kMA+kMB=+， 由y1=kx1﹣k，y2=kx2﹣k得kMA+kMB=， 將y=k（x﹣1）代入+y2=1可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0， ∴x1+x2=，x1x2=， ∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k=（4k2﹣4k﹣12k2+8k2+4

5、k）=0 從而kMA+kMB=0， 故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)， ∴∠OMA=∠OMB， 綜上∠OMA=∠OMB． 例7.(2017·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)A，B是橢圓C：＋＝1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)．若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是(　　) A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞) C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞) 【答案】A　 【解析】法一：設(shè)焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)M(x，y)． 過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)N， 則N(x,0)． 故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN) ＝＝. 又tan∠AMB＝tan 120°＝

6、－， 且由＋＝1可得x2＝3－， 則＝＝－. 解得|y|＝. 又0<|y|≤，即0＜≤，結(jié)合0＜m＜3解得0＜m≤1. 對(duì)于焦點(diǎn)在y軸上的情況，同理亦可得m≥9. 則m的取值范圍是(0,1]∪[9，＋∞)． 故選A． 例8.(2017課標(biāo)卷I)已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上. （1）求C的方程； （2）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過(guò)定點(diǎn). 【答案】（1） （2）見(jiàn)解析 試題解析：（1）由于，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題

7、設(shè)知C經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn). 又由知，C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上. 因此，解得. 故C的方程為. 由題設(shè)可知. 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=. 而 . 由題設(shè)，故. 即. 解得. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，欲使l：，即， 所以l過(guò)定點(diǎn)（2，） 例9.(2017·課標(biāo)卷Ⅲ)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(　　) A． B． C． D． 【答案】A 例10.(2017課標(biāo)卷II)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，過(guò)M作

8、x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足。 (1) 求點(diǎn)P的軌跡方程； (2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上，且。證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F。 【答案】(1) 。 (2)證明略。 試題解析：（1）設(shè),設(shè),。 由得。 因?yàn)樵贑上，所以。 因此點(diǎn)P的軌跡方程為。 （2）由題意知。設(shè),則 ， 。 由得，又由（1）知，故 。 所以，即。又過(guò)點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過(guò)C的左焦點(diǎn)F。 橢圓及其性質(zhì)練習(xí)題 一、選擇題 1．已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1

9、 C．＋＝1 D．＋＝1 【答案】D 【解析】橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，c＝1. 又離心率為＝， 故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3， 故橢圓的方程為＋＝1. 2．橢圓C：＋＝1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，則△F1AB的周長(zhǎng)為 (　　) A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】C 3．直線l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的，則該橢圓的離心率為

10、 (　　) A．　　　 B. C． D． 【答案】B　 【解析】如圖，|OB|為橢圓中心到l的距離，則|OA|·|OF|＝|AF|·|OB|，即bc＝a·，所以e＝＝. 19.已知橢圓E的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0，－1)，焦點(diǎn)在x軸上，若橢圓右焦點(diǎn)到橢圓E的中心的距離是. (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)直線l：y＝kx＋1(k≠0)與該橢圓交于不同的兩點(diǎn)B，C，若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求△BOC的面積． 【答案】(1) ＋y2＝1. (2) . (2)設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y

11、2)，將直線方程與橢圓聯(lián)立整理得(3k2＋1)x2＋6kx＝0， 由原點(diǎn)O到直線l的距離為＝，得k2＝， 又|BC|＝ ＝＝2， ∴S△BOC＝×|BC|×＝， ∴△BOC的面積為. 20.已知曲線C的方程是mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，且曲線過(guò)A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)求曲線C的方程； (2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲線C上兩點(diǎn)，向量p＝(x1，y1)，q＝(x2，y2)，且p·q＝0，若直線MN過(guò)點(diǎn)，求直線MN的斜率． 【答案】(1) y2＋4x2＝1. (2) ±. 21．已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓E的中心是原點(diǎn)O，離心率等于

12、，以橢圓E的長(zhǎng)軸和短軸為對(duì)角線的四邊形的周長(zhǎng)為4.直線l：y＝kx＋m與y軸交于點(diǎn)P，與橢圓E相交于A，B兩個(gè)點(diǎn)． (1)求橢圓E的方程； (2)若＝3，求m2的取值范圍． 【答案】(1) x2＋＝1 (2) (1,4)． (2)根據(jù)已知得P(0，m)，設(shè)A(x1，kx1＋m)，B(x2，kx2＋m)，由得， (k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0. 由已知得Δ＝4m2k2－4(k2＋4)(m2－4)＞0，即k2－m2＋4＞0， 且x1＋x2＝，x1x2＝. 由＝3得x1＝－3x2. ∴3(x1＋x2)2＋4x1x2＝12x－12x＝0. ∴＋＝0，即m2k2＋m2

13、－k2－4＝0. 當(dāng)m2＝1時(shí)，m2k2＋m2－k2－4＝0不成立， ∴k2＝. ∵k2－m2＋4＞0，∴－m2＋4＞0， 即＞0.∴1＜m2＜4. ∴m2的取值范圍是(1,4)． 22．對(duì)于橢圓，有如下性質(zhì)：若點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，則橢圓在該點(diǎn)處的切線方程為．利用此結(jié)論解答下列問(wèn)題．點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，并且橢圓在點(diǎn)處的切線斜率為． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若動(dòng)點(diǎn)在直線上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線，與橢圓相切，切點(diǎn)分別為，．求證：直線必經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)． 【答案】（1） （2）直線必經(jīng)過(guò)一定點(diǎn) （2）設(shè)，，， 則切線，切線．· ∵都經(jīng)過(guò)點(diǎn)， ∴，． 即直線的方程為． 又， ∴直線必經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)．