5、三角形的三邊長,則稱函數f(x)為“三角形函數”.已知函數f(x)=xln x+m在區(qū)間上是“三角形函數”,則實數m的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 課時規(guī)范練15　導數與函數的小綜合 1.D　函數f(x)=(x-3)ex的導數為f'(x)=[(x-3)ex]'=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由導數與函數單調性的關系,得當f'(x)>0時,函數f(x)單調遞增,此時由不等式f'(x)=(x-2)·ex>0,解得x>2. 2.C　由題圖可知f(0)=d>0,排除選項A,B;∵f'(x)=3ax2+2bx+c, 且由題圖知(-∞,x1), (x2,+∞)是函數的

6、遞減區(qū)間,可知a<0,排除D.故選C. 3.C　由題意可知f'(x)=-(x-2)+≤0在x∈(1,+∞)上恒成立, 即b≤x(x-2)在x∈(1,+∞)上恒成立. 由于φ(x)=x(x-2)=x2-2x在(1,+∞)上的值域是(-1,+∞),故只要b≤-1即可. 4.D　∵f(x)=,∴f'(x)=. 令f'(x)=0,解得x=e. 當x≥e時,f'(x)<0,此時f(x)是減少的;當00,此時f(x)是增加的. ∵b>a>3>e,∴ab>b>>a>e, ∴f(a)>f()>f>f(b)>f(ab).故選D. 5.A　當x<0時,f(x)=2x-ln

7、(-x),f'(x)=2-·(-1)=2->0, ∴f(x)在(-∞,0)內遞增,則B、D錯誤;當x>0時,f(x)=2x-ln x, f'(x)=2-,則f(x)在內遞減,在內遞增,故選A. 6.A　f'(x)=x-,且x>0.令f'(x)>0,得x>1;令f'(x)<0,得0

8、(1,+∞)內遞減. ∵當x→0時,g(x)→-∞,當x→+∞時,g(x)→0,而g(x)max=g(1)=1,∴只需0<2a<1,即00,即1-2x>0,解得00時,令F(x)=, 則F'(x)=<0, ∴當x>0時,F(x)=是減少的. ∵f(x)為奇函數,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0. 在區(qū)間(0,1)內,F(x)>0; 在 (1,+∞)內,F(x)<0,即當00;

9、 當x>1時,f(x)<0. 又f(x)為奇函數,∴當x∈(-∞,-1)時,f(x)>0; 當x∈(-1,0)時,f(x)<0. 綜上可知,f(x)>0的解集為(-∞,-1)∪(0,1). 10.解 ∵f(x)=-a2ln x+x2-ax, ∴函數f(x)的定義域為(0,+∞), f'(x)=-+2x-a=. ①若a>0,則當x∈(0,a)時,f'(x)<0,函數f(x)遞減, 當x∈(a,+∞)時,f'(x)>0,函數f(x)遞增; ②若a=0,則當f'(x)=2x>0在x∈(0,+∞)內恒成立,函數f(x)遞增; ③若a<0,則當x∈時,f'(x)<0,函數f(x)遞減

10、,當x∈時,f'(x)>0,函數f(x)遞增. 11.D　由題意知,f'(x)=1-, ∵函數f(x)=x+(b∈R)的導函數在區(qū)間(1,2)上有零點, ∴當1-=0時,b=x2. 又x∈(1,2),∴b∈(1,4),令f'(x)>0,解得x<-或x>, 即f(x)的遞增區(qū)間為(-∞,-),(,+∞). ∵b∈(1, 4),∴(-∞,-2)符合題意,故選D. 12.　對任意x1,x2∈(0,+∞),不等式恒成立等價于, ∵x>0,∴f(x)==x+≥2,當且僅當x=1時取等號, ∴f(x)min=f(1)=2, 即, g'(x)=,當00,當x>1

11、時,g'(x)<0,∴函數g(x)在區(qū)間(0,1)上遞增,在區(qū)間(1,+∞)上遞減,∴g(x)max=g(1)=,∴, ∴,解得k≥. 13.A　設g(x)=ex[f(x)-1]=exf(x)-ex,則g'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)-1]. ∵f(x)+f'(x)>1,∴g'(x)>0,即函數g(x)是R上的增函數,則g(2)f(x)max時,函數f(x)就是“三角形函數”, ∴2>e+m,解得m>e+,故選D.