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1、2022年高考數(shù)學(xué) 25個(gè)必考點(diǎn) 專題11 等差、等比數(shù)列檢測 一、基礎(chǔ)過關(guān)題 1.（2018北京高考）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于． 若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為：． 故選：D． 利用等比數(shù)列的通項(xiàng)

2、公式，轉(zhuǎn)化求解即可． 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查計(jì)算能力． 2．(2016·重慶一診)在數(shù)列{an}中，an＋1－an＝2，a2＝5，則{an}的前4項(xiàng)和為( ) A．9 B．22 C．24 D．32 【答案】 C 3．(2017·佛山調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，則n的值為( ) A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】 C 【解析】 由Sn－Sn－3＝51，得an－2＋an－1＋an＝51， 所以an－1＝17，又a2＝3， Sn＝2(n(a2＋an－1))＝100，解

3、得n＝10. 4．(2016·珠海模擬)在等比數(shù)列{an}中，若a1<0，a2＝18，a4＝8，則公比q等于( ) A.2(3) B.3(2) C．－3(2) D.3(2)或－3(2) 【答案】 C 【解析】 由a1q3＝8(a1q＝18，)解得3(2)或.(2) 又a1<0，因此q＝－3(2). 5．在等差數(shù)列{an}中，a9＝2(1)a12＋6，則數(shù)列{an}的前11項(xiàng)和S11等于( ) A．24 B．48 C．66 D．132 【答案】 D 6．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an－7(5)，且a1＝5，設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，則使得Sn

4、取得最大值的序號n的值為( ) A．7 B．8 C．7或8 D．8或9 【答案】 C 【解析】 由題意可知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為5，公差為－7(5)的等差數(shù)列， 所以an＝5－7(5)(n－1)＝7(40－5n)，該數(shù)列前7項(xiàng)是正數(shù)項(xiàng)，第8項(xiàng)是0，從第9項(xiàng)開始是負(fù)數(shù)項(xiàng)， 所以Sn取得最大值時(shí)，n＝7或n＝8，故選C. 7．已知數(shù)列{an}中，a1＝1且an＋1(1)＝an(1)＋3(1)(n∈N*)，則a10＝________. 【答案】 4(1) 【解析】 由已知得a10(1)＝a1(1)＋(10－1)×3(1)＝1＋3＝4， 故a10＝4(1). 8．設(shè)數(shù)列{

5、an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－10(n∈N*)，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________. 【答案】 130 9．設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對任意自然數(shù)n都有Tn(Sn)＝4n－3(2n－3)，則b5＋b7(a9)＋b8＋b4(a3)的值為________． 【答案】 41(19) 【解析】 ∵{an}，{bn}為等差數(shù)列， ∴b5＋b7(a9)＋b8＋b4(a3)＝2b6(a9)＋2b6(a3)＝2b6(a9＋a3)＝b6(a6). ∵T11(S11)＝b1＋b11(a1＋a11)＝2b6(2a6)＝4×11－3(2×11－3)

6、＝41(19)， ∴b5＋b7(a9)＋b8＋b4(a3)＝41(19). 10．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，則a3(2)＋2a2a6＋a3a7等于( ) A．4 B．6 C．8 D．8－4 【答案】 C 【解析】 在等比數(shù)列中，a3a7＝a5(2)，a2a6＝a3a5，所以a3(2)＋2a2a6＋a3a7＝a3(2)＋2a3a5＋a5(2)＝(a3＋a5)2＝(－1＋＋1)2＝(2)2＝8. 11．(2016·銅仁質(zhì)檢)在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，若a3a4a5＝3π，則sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值

7、為( ) A.2(1) B.2(3) C．1 D．－2(3) 【答案】 B 【解析】 因?yàn)閍3a4a5＝3π＝a4(3)，所以a4＝. log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7)＝log3a4(7)＝7log3＝3(7π)， 所以sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝2(3). 12．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，則公比q＝________. 【答案】 4 【解析】 因?yàn)?S2＝a3－2， ②(3S3＝a4－2，　　　　　　　　　　　?、? 由①－②，得3a3＝a4－a3

8、，即4a3＝a4， 則q＝a3(a4)＝4. 13．設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}，Sn為前n項(xiàng)和且S10＝10，S30＝70，那么S40＝________. 【答案】 150 14．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋Sn＝1(n∈N*)，則通項(xiàng)an＝________. 【答案】 2n(1) 【解析】 ∵an＋Sn＝1，① ∴a1＝2(1)，an－1＋Sn－1＝1(n≥2)，② 由①－②，得an－an－1＋an＝0，即an－1(an)＝2(1)(n≥2)， ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2(1)，公比為2(1)的等比數(shù)列， 則an＝2(1)×(2(1))n－1＝

9、2n(1). 15．在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和Sk＝－35，求k的值． 【答案】：(1) an＝3－2n. (2) k＝7. 16．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝2(1). (1)求證：數(shù)列Sn(1)是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 【答案】：(1) 見解析 (2) an＝，n≥2.(1) (1)證明 當(dāng)n≥2時(shí)，由an＋2SnSn－1＝0， 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以Sn(1)－Sn－1(1)＝2

10、， 又S1(1)＝a1(1)＝2， 故Sn(1)是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列． (2)解 由(1)可得Sn(1)＝2n，∴Sn＝2n(1). 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n(1)－2(n－1)(1)＝n－1(n－1－n)＝－n－1(1). 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2(1)不適合上式． 故an＝，n≥2.(1) 17．已知{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，Sn表示{an}的前n項(xiàng)和． (1)求an及Sn； (2)設(shè){bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，公比q滿足q2－(a4＋1)q＋S4＝0，求{bn}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Tn. 【答案】：(1) an＝2n－1. Sn＝

11、n2. (2) bn＝22n－1. Tn＝3(2)(4n－1)． 18．(2016·全國丙卷)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，an(2)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通項(xiàng)公式． 【答案】：(1) a2＝2(1)，a3＝4(1). (2) an＝2n－1(1). 【解析】(1)由題意，得a2＝2(1)，a3＝4(1). (2)由an(2)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得 2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)． 因?yàn)閧an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以an(an＋1)＝2(1). 故{an}是

12、首項(xiàng)為1，公比為2(1)的等比數(shù)列， 因此an＝2n－1(1). 19（2018全國高考II卷17）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，． （1）求的通項(xiàng)公式； （2）求，并求的最小值． 【解析】（1）設(shè)的公差為d，由題意得. 由得d=2. 所以的通項(xiàng)公式為. （2）由（1）得. 所以當(dāng)n=4時(shí),取得最小值,最小值為?16. 二、能力提高題 1.設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a1＝1，an>0(n∈N*)，其前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{}也為等差數(shù)列，則n(2)的最大值是( ) A．310 B．212 C．180 D．121 【答案】 D 2.(2015·福建)若

13、a，b是函數(shù)f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且a，b，－2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p＋q的值等于( ) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】 D 【解析】 由題意知：a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b，－2這三個(gè)數(shù)的6種排序中，成等差數(shù)列的情況有a，b，－2；b，a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比數(shù)列的情況有a，－2，b；b，－2，a. ∴2b＝a－2(ab＝4，)或2a＝b－2，(ab＝4，)解得b＝1(a＝4，)或b＝4.(a＝1，) ∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝

14、9，故選D. 3．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝2(1)n，記T2n為{an}的前2n項(xiàng)的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*. (1)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并求出bn； (2)求T2n. 【答案】：(1) bn＝2n(3). (2) T2n＝3－2n(3). (2)由(1)可知，an＋2＝2(1)an， ∴a1，a3，a5，…是以a1＝1為首項(xiàng)，以2(1)為公比的等比數(shù)列； a2，a4，a6，…是以a2＝2(1)為首項(xiàng)，以2(1)為公比的等比數(shù)列， ∴T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝2(1)＋2(1)＝

15、3－2n(3). 4.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2Sn＝an(2)＋n－4(n∈N*)． (1)求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 【答案】：(1)見解析 (2) an＝n＋2. (2)解 由(1)知a1＝3，d＝1， 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝3＋(n－1)×1＝n＋2， 即an＝n＋2. 5．（2018·江蘇高考20）設(shè)是首項(xiàng)為，公差為d的等差數(shù)列，是首項(xiàng)為，公比為q的等比數(shù)列． （1）設(shè)，若對均成立，求d的取值范圍； （2）若，證明：存在，使得對均成立，并求的取值范圍（用表示）． 【解析】（1）由條件知：． 因?yàn)閷=1，2，3，4均成立， 即對n=1，2，3，4均成立， 即11，1d3，32d5，73d9，得． 因此，d的取值范圍為． ①當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，有，從而． 因此，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增， 故數(shù)列的最大值為． ②設(shè)，當(dāng)x>0時(shí)，， 所以單調(diào)遞減，從而