《（江蘇專用版 ）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 4.1.2 極坐標(biāo)系學(xué)案 蘇教版選修4-4》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用版 ）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 4.1.2 極坐標(biāo)系學(xué)案 蘇教版選修4-4（8頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 4.1.2　極坐標(biāo)系 1．了解極坐標(biāo)系． 2．會(huì)在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫(huà)點(diǎn)的位置． 3．體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫(huà)點(diǎn)的位置的區(qū)別． [基礎(chǔ)·初探] 1．極坐標(biāo)系 (1)在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O，自點(diǎn)O引一條射線Ox，同時(shí)確定一個(gè)長(zhǎng)度單位和計(jì)算角度的正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系．其中，點(diǎn)O稱為極點(diǎn)，射線Ox稱為極軸． (2)設(shè)M是平面上任一點(diǎn)，ρ表示OM的長(zhǎng)度，θ表示以射線Ox為始邊，射線OM為終邊所成的角．那么，每一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(ρ，θ)確定一個(gè)點(diǎn)的位置． ρ稱為點(diǎn)M的極徑，θ稱為點(diǎn)M的極角．有序?qū)崝?shù)對(duì)(ρ，θ)稱為點(diǎn)M的極

2、坐標(biāo)．約定ρ＝0時(shí)，極角θ可取任意角． (3)如果(ρ，θ)是點(diǎn)M的極坐標(biāo)，那么(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)都可以看成點(diǎn)M的極坐標(biāo)． 2．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位(如圖4-1-3所示)，平面內(nèi)任一點(diǎn)M的直角坐標(biāo)(x，y)與極坐標(biāo)(ρ，θ)可以互化，公式是：或 圖4-1-3 通常情況下，將點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)，取ρ≥0,0≤θ＜2π. [思考·探究] 1．建立極坐標(biāo)系需要哪幾個(gè)要素？ 【提示】　建立極坐標(biāo)系的要素是：(1)極點(diǎn)；(2)極軸；(3)長(zhǎng)度單位；(4

3、)角度單位和它的正方向，四者缺一不可． 2．為什么點(diǎn)的極坐標(biāo)不惟一？ 【提示】　根據(jù)我們學(xué)過(guò)的任意角的概念：一是終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們相差2π的整數(shù)倍，所以點(diǎn)(ρ，θ)還可以寫(xiě)成(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)；二是終邊在一條直線上且互為反向延長(zhǎng)線的兩角的關(guān)系，所以點(diǎn)(ρ，θ)的坐標(biāo)還可以寫(xiě)成(－ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z)． 3．將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)如何確定ρ和θ的值？ 【提示】　由ρ2＝x2＋y2求ρ時(shí)，ρ不取負(fù)值；由tan θ＝(x≠0)確定θ時(shí)，根據(jù)點(diǎn)(x，y)所在的象限取得最小正角．當(dāng)x≠0時(shí)，θ角才能由tan θ＝按上述方法確定．當(dāng)x＝0時(shí)，tan θ沒(méi)有意義，這時(shí)又分

4、三種情況：(1)當(dāng)x＝0，y＝0時(shí)，θ可取任何值；(2)當(dāng) x＝0，y＞0時(shí)，可取θ＝；(3)當(dāng)x＝0，y＜0時(shí)，可取θ＝. [質(zhì)疑·手記](méi) 預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問(wèn)1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑問(wèn)2：_____________________________________________________ 解惑：__________________

5、___________________________________ 疑問(wèn)3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 極坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo) 　寫(xiě)出圖4-1-4中A、B、C、D、E、F、G各點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ＞0,0≤θ＜2π)． 圖4-1-4 【自主解答】　對(duì)每個(gè)點(diǎn)我們先看它的極徑的長(zhǎng)，再確定它的極角，因此這些點(diǎn)的極坐標(biāo)為A，B，C，D，E，F(xiàn)(3，π)，G. [再練一題] 1．已知邊長(zhǎng)

6、為a的正六邊形ABCDEF，建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)的極坐標(biāo)． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：98990003】 【解】　以正六邊形中心O為極點(diǎn)，OC所在直線為極軸建立如圖所示的極坐標(biāo)系．由正六邊形性質(zhì)得： C(a,0)，D(a，)，E(a，)，F(xiàn)(a，π)，A(a，π)，B(a，π) 或C(a,0)，D(a，)， E(a，)，F(xiàn)(a，π)，A(a，－)，B(a，－). 極坐標(biāo)的對(duì)稱性 　在極坐標(biāo)系中，求與點(diǎn)M(3，－)關(guān)于極軸所在的直線對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)． 【自主解答】　極坐標(biāo)系中點(diǎn)M(ρ，θ)關(guān)于極軸對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)為M′(ρ，2kπ－θ)(k∈Z)，利用這個(gè)規(guī)律可得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(

7、3,2kπ＋)(k∈Z)． [再練一題] 2．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)． (1)點(diǎn)A關(guān)于極軸對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)是________； (2)點(diǎn)A關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)是________． (3)點(diǎn)A關(guān)于直線θ＝對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)是________． 【解析】　通過(guò)作圖如圖可求解為 【答案】　(1)(3，)　(2)(3，)　(3)(3，) 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 　(1)把點(diǎn)M的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)； (2)把點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(，－)化成極坐標(biāo)(ρ＞0，0≤θ＜2π)． 【自主解答】　(1)x＝8cos＝－4，y＝8sin＝4，因此，點(diǎn)M的直

8、角坐標(biāo)是(－4,4)． (2)ρ＝＝2， tan θ＝＝－， 又因?yàn)辄c(diǎn)P在第四象限且0≤θ≤2π，得θ＝.因此，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2，)． [再練一題] 3．(1)把點(diǎn)A的極坐標(biāo)(2，)化成直角坐標(biāo)； (2)把點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(1，－)化成極坐標(biāo)(ρ＞0,0≤θ＜2π)． 【解】　(1)x＝2cos ＝－， y＝2sin ＝－1， 故點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(－，－1)． (2)ρ＝＝2，tan θ＝＝－. 又因?yàn)辄c(diǎn)P在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝. 因此點(diǎn)P的極坐標(biāo)是(2，)． 極坐標(biāo)系的應(yīng)用 　在極坐標(biāo)系中，已知A，B，求A、B兩點(diǎn)之間的距離． 【思路探究】　將

9、點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，在用兩點(diǎn)間距離公式求解． 【自主解答】　對(duì)于A(3，－)， x＝3cos(－)＝；y＝3sin(－)＝－， ∴A(，－)． 對(duì)于B(1，)，x＝1×cos ＝－，y＝1×sin ＝，∴B(－，)． ∵AB＝＝＝4， ∴A、B兩點(diǎn)之間的距離為4. 有些問(wèn)題在用極坐標(biāo)表示時(shí)沒(méi)有現(xiàn)成的解法，但在直角坐標(biāo)系中卻是一個(gè)常見(jiàn)的問(wèn)題．因此，換一個(gè)坐標(biāo)系，把極坐標(biāo)系中的元素?fù)Q成直角坐標(biāo)系中的元素，問(wèn)題就可以迎刃而解了．如果題目要求用極坐標(biāo)作答，那么解完再用極坐標(biāo)表示就行了． [再練一題] 4．在極坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)：A(4,0)、B、C. (1)求直線AB與

10、極軸所成的角； (2)若A、B、C三點(diǎn)在一條直線上，求ρ的值． 【解】　(1)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(4,0)，點(diǎn)B的直角坐標(biāo)為(0，－4)，直線AB在直角坐標(biāo)系中的方程為x－y＝4.故直線AB與x軸所成角為. (2)點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為， 代入直線方程得 ρ－ρ＝4， 解得ρ＝＝4(＋1)． [真題鏈接賞析] 　(教材第17頁(yè)習(xí)題4.1第6題)將下列各點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)： ，，，(5，π)，， . 　已知下列各點(diǎn)的直角坐標(biāo)，求它們的極坐標(biāo)． (1)A(3，)；(2)B(－2，－2)； (3)C(0，－2)；(4)D(3,0)． 【命題意圖】　本題主要考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)

11、的互化，屬基礎(chǔ)題． 【解】　(1)由題意可知：ρ＝＝2，tan θ＝，所以θ＝， 所以點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2，)． (2)ρ＝＝4，tan θ＝＝，又由于θ為第三象限角，故θ＝π，所以B點(diǎn)的極坐標(biāo)為(4，π)． (3)ρ＝＝2.θ為π，θ在y軸負(fù)半軸上，所以點(diǎn)C的極坐標(biāo)為(2，π)． (4)ρ＝＝3，tan θ＝＝0，故θ＝0. 所以D點(diǎn)的極坐標(biāo)為(3,0)． 1．點(diǎn)P(－2,2)的極坐標(biāo)(θ∈[0,2π))為_(kāi)_______． 【解析】　由ρ＝＝＝2， tan θ＝＝－1， ∵P點(diǎn)在第二象限內(nèi)， ∴θ＝， ∴ρ的極坐標(biāo)為(2，)． 【答案】　(2，) 2．在極坐標(biāo)

12、系中，與(ρ，θ)關(guān)于極軸對(duì)稱的點(diǎn)是________． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：98990004】 【解析】　極徑為ρ，極角為θ，θ關(guān)于極軸對(duì)稱的角為負(fù)角－θ，故所求的點(diǎn)為(ρ，－θ)． 【答案】　(ρ，－θ) 3．將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為_(kāi)_______． 【解析】　x＝ρcos θ＝2cosπ＝0，y＝ρsin θ＝2sinπ＝－2， 故直角坐標(biāo)為(0，－2)． 【答案】　(0，－2) 4．已知A，B的極坐標(biāo)分別是和，則A和B之間的距離等于________． 【解析】　由余弦定理得 AB＝ ＝ ＝＝ ＝. 【答案】　 我還有這些不足： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的課下提升方案： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 8