《（江蘇專用）2018-2019學年高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 階段復習課學案 蘇教版選修1-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（江蘇專用）2018-2019學年高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 階段復習課學案 蘇教版選修1-1（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第二課　圓錐曲線與方程 [體系構建] [題型探究] 圓錐曲線的定義的應用 圓錐曲線的定義在解題中有著重要作用，要注意靈活運用，可以優(yōu)化解題過程，圓錐曲線的定義是相對應標準方程和幾何性質的“源”，“回歸定義”是一種重要的解題策略． 運用定義解題主要體現(xiàn)在以下幾個方面： (1)在求動點的軌跡方程時，如果動點所滿足的幾何條件符合某種圓錐曲線的定義，則可直接根據(jù)圓錐曲線的方程寫出所求的動點的軌跡方程； (2)涉及橢圓或雙曲線上的點與兩個焦點構成的三角形問題，常常運用圓錐曲線的定義并結合三角形中的正、余弦定理來解決； (3)在求有關拋物線的最值問題時，常利用定義，把拋物線上某

2、一點到焦點的距離轉化為到準線的距離，并結合圖形的幾何意義去解決． 　設F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩個焦點，P是橢圓上的一點，若·＝0，且PF1＞PF2，求的值. 【導學號：95902159】 [思路探究] 　·＝0→ 【規(guī)范解答】　由·＝0，知PF1⊥PF2，∴F1F＝PF＋PF， 由橢圓方程＋＝1，知a2＝9，b2＝4， ∴c＝＝，F(xiàn)1F2＝2.因此PF＋PF＝20. ① 又由橢圓定義，得PF1＋PF2＝6. ② 由題意知，PF1＞PF2，聯(lián)立①、②得PF1＝4，PF2＝2.從而的值

3、為2. [跟蹤訓練] 1．已知雙曲線的兩個焦點F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，P是雙曲線上一點，且· ＝0，PF1·PF2＝2，則雙曲線的標準方程為________． 【解析】　由題意可設雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)．由· ＝0，得PF1⊥PF2. 根據(jù)勾股定理得PF＋PF＝(2c)2，即PF＋PF＝20. 根據(jù)雙曲線定義有PF1－PF2＝2a.兩邊平方并代入PF1·PF2＝2得： 20－2×2＝4a2，解得a2＝4，從而b2＝5－4＝1，所以雙曲線方程為－y2＝1. 【答案】?。瓂2＝1 圓錐曲線的方程與性質的應用 1.本類問題主要有兩種考查類型： (1)已

4、知圓錐曲線的方程研究其幾何性質，其中以求橢圓、雙曲線的離心率為考查重點； (2)已知圓錐曲線的性質求其方程． 2．對于求橢圓和雙曲線的離心率，有兩種方法： (1)代入法就是代入公式e＝求離心率； (2)列方程法就是根據(jù)已知條件列出關于a，b，c的關系式，然后把這個關系式整體轉化為關于e的方程，解方程即可求出e值． 3．求曲線方程的基本方法是待定系數(shù)法，其步驟可以概括為“先定位、后定量．” 　已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p>0)的準線分別交于A，B兩點，O為坐標原點．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為，則p＝________. [思路探究

5、] 　→→ 【規(guī)范解答】　∵e＝2，∴b2＝3a2，雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±x，不妨設A＝，B，則AB＝p，又三角形的高為，則S△AOB＝××p＝，即p2＝4，又p>0，∴p＝2. 【答案】　2 [跟蹤訓練] 2．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，則C的離心率e＝________. 【導學號：95902160】 【解析】　在△ABF中，由余弦定理得，cos∠ABF＝，∴BF2－16BF＋64＝0，∴BF＝8，設右焦點為F1，因為直線過原點，∴BF1＝AF＝6，∴2

6、a＝BF＋BF1＝14，∴a＝7， ∵O為Rt△ABF斜邊AB的中點，∴OF＝AB＝5，∴c＝5，∴e＝. 【答案】　 直線與圓錐曲線的位置關系 1.判斷直線與二次曲線的位置關系，可把直線方程與二次方程聯(lián)立，消元后的一元二次方程的判別式大于零，則直線與圓錐曲線有兩個交點；等于零，則只有一個交點；小于零，則沒有交點． 2．涉及直線與圓錐曲線的兩個交點坐標問題時，一般不是求出這兩個點的坐標，而是設出這兩個點的坐標，根據(jù)直線方程和曲線方程聯(lián)立消元后的方程根的情況，使用根與系數(shù)的關系進行整體代換，這種設而不求的思想是解析幾何中處理直線和二次曲線相交問題的最基本的方法． 　設橢圓＋＝1(

7、a>b>0)的左焦點為F，離心率為，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為. (1)求橢圓的方程； (2)設A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點，若·＋·＝8，求k的值． [思路探究]　(1)利用過點F且與x軸垂直的直線方程，根據(jù)線段的長度求出交點的坐標并代入橢圓方程求出a和b，可得橢圓方程； (2)設出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立得到二次方程，利用韋達定理把向量式用點的坐標表示得到關于k的方程，解方程可得k的值． 【規(guī)范解答】 　(1)設F(－c,0)，由＝，知a＝c.過點F且與x軸垂直的直線為x＝－c， 代入橢圓方程有＋＝1，解得y＝±，于

8、是＝，解得b＝. 又a2－c2＝b2，從而a＝，c＝1，所以橢圓的方程為＋＝1. (2)設點C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直線CD的方程為y＝k(x＋1)， 由方程組消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0. 由根與系數(shù)的關系可得x1＋x2＝－，x1x2＝.因為A(－，0)，B(，0)， 所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1) ＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2 ＝6＋.由已知得6＋＝8，解得

9、k＝±. [跟蹤訓練] 3．已知拋物線C：y2＝4x，F(xiàn)是拋物線C的焦點，過點F的直線l與C相交于A，B兩點，O為坐標原點． (1)如果l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程； (2)設FA＝2BF，求直線l的方程. 【導學號：95902161】 【解】　設A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)∵y2＝4x，∴F(1,0)，又∵直線l的斜率為1，∴直線l的方程為y＝x－1，代入y2＝4x，得x2－6x＋1＝0，由根與系數(shù)的關系得，易得AB的中點，即圓心的坐標為(3,2)， 又AB＝x1＋x2＋p＝8，∴圓的半徑r＝4，∴所求的圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16.

10、 (2)∵FA＝2BF，∴＝2，而＝(x1－1，y1)，＝(1－x2，－y2)，∴ 易知直線l的斜率存在，設直線l的斜率為k，則直線l的方程為y＝k(x－1)，代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，由根與系數(shù)的關系得 ∵x1－1＝2(1－x2)， ∴或，∴k＝±2，∴直線l的方程為y＝±2(x－1). 函數(shù)與方程思想 圓錐曲線中的許多問題，若能運用函數(shù)與方程的思想去分析，則往往能較快地找到解題的突破口． 用函數(shù)思想求解圓錐曲線中的有關定值、最值問題，最值問題可以說是高中數(shù)學中永恒的話題，在圓錐曲線問題中也不例外，而函數(shù)思想是解決最值問題最有利的武器．我們通常

11、可用建立目標函數(shù)的方法解有關圓錐曲線的最值問題． 方程思想是從分析問題的數(shù)量關系入手，通過聯(lián)想與類比，將問題中的條件轉化為方程或方程組，然后通過解方程或方程組使問題獲解．方程思想是高中數(shù)學中的最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位．在求圓錐曲線方程、直線與圓錐曲線的位置關系的問題中經常利用方程或方程組來解決． 　點A、B分別是橢圓＋＝1長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF. (1)求點P的坐標； (2)設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于MB，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值. 【導學號：95902162】

12、 [思路探究]　→ →→ 【規(guī)范解答】　(1)由已知可得點A(－6,0)，F(xiàn)(4,0)．設點P(x，y)，則kAP·kPF＝－1. 由已知可得則2x2＋9x－18＝0.解得x＝，或x＝－6(舍去)． 所以x＝，由于y＞0，故y＝.所以點P的坐標是. (2)易知直線AP的方程是x－y＋6＝0.設點M(m,0)，則M到直線AP的距離是. 于是＝|m－6|.又－6≤m≤6，解得m＝2.橢圓上的點(x，y)到點M的距離的平方為：d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝＋15. 由于－6≤x≤6，所以當x＝時，d取得最小值. [跟蹤訓練] 4.如圖2-1，橢圓＋＝1

13、的左焦點為F，上頂點為A，過點A作直線AF的垂線分別交橢圓，x軸于B，C兩點． 圖2-1 (1)若＝λ，求實數(shù)λ的值； (2)設點P為三角形ACF的外接圓上的任意一點，當三角形PAB的面積最大時，求點P的坐標. 【導學號：95902163】 【解】　(1)由條件得F(－1,0)，A(0，)，kAF＝. ∵AB⊥AF，∴kAB＝－，AB：y＝－x＋. 令y＝0，得x＝3，∴C(3,0) 由得13x2－24x＝0， 解得x1＝0(舍)，x2＝， ∴B.∵＝λ， ∴λ＞0，且λ＝＝＝. (2)∵△ACF是直角三角形， ∴△ACF的外接圓的圓心為D(1,0)，半徑為

14、2， ∴圓D的方程為(x－1)2＋y2＝4. ∵AB長為定值， ∴當△PAB的面積最大時，點P到直線AC的距離最大．過D作AC的垂線m，則點P為直線m與圓D的交點． 直線m：y＝(x－1)與(x－1)2＋y2＝4聯(lián)立 解得x＝2(舍)或x＝0，∴點P的坐標為(0，－)． [鏈接高考] 1．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點，則C的方程為__________． 【解析】　由雙曲線C的一條漸近線方程為y＝x，可知＝， ① 又橢圓＋＝1的焦點坐標為(3,0)和(－3,0)， ∴a2＋b2＝9.

15、 ② 由①②聯(lián)立可解得a2＝4，b2＝5，所以雙曲線C的方程為－＝1. 【答案】?。? 2．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為F(－c,0)，右頂點為A，點E的坐標為(0，c)，△EFA的面積為，則橢圓的離心率為__________. 【導學號：95902164】 【解析】　由已知可得(c＋a)c＝，又由b2＝a2－c2，可得2e2＋e－1＝0，又因為0＜e＜1，解得e＝. 【答案】　 3．在平面直角坐標系xOy中，雙曲線－y2＝1的右準線與它的兩條漸近線分別交于點P、Q，其焦點是F1，F(xiàn)2，則四邊形F

16、1PF2Q的面積是__________． 【解析】　由雙曲線的方程得，雙曲線的右準線為x＝，兩條漸近線方程為y＝±x，右準線與兩條漸近線的交點坐標為，不妨設F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，P，Q 則四邊形F1PF2Q的面積為S四邊形F1PF2Q＝|F1F2|·|PQ|＝×4×＝2. 【答案】　2 4．若雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2，則C的離心率為__________. 【導學號：95902165】 【解析】　圓(x－2)2＋y2＝4的圓心為(2,0)，半徑r＝2. 不妨設雙曲線C的一條漸近線為y＝x，即bx－ay＝0

17、 因為該漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2 所以＝＝，兩邊平方得3a2＝b2，即＝3 從而e＝＝＝2. 【答案】　2 5.如圖2-2，在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，兩準線之間的距離為8，點P在橢圓E上，且位于第一象限，過點F1作直線PF1的垂線l1，過點F2作直線PF2的垂線l2. 圖2-2 (1)求橢圓E的標準方程； (2)若直線l1，l2的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標． 【解】　(1)設橢圓的半焦距為c. 因為橢圓E的離心率為，兩準線之間的距離為8， 所以＝，＝8， 解得a＝2，c＝

18、1，于是b＝＝， 因此橢圓E的標準方程是＋＝1. (2)由(1)知，F(xiàn)1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)． 設P(x0，y0)，因為P為第一象限內的點，故x0>0，y0>0. 當x0＝1時，l2與l1相交于F1，與題設不符． 當x0≠1時， 直線PF1的斜率為，直線PF2的斜率為. 因為l1⊥PF1，l2⊥PF2， 所以直線l1的斜率為－，直線l2的斜率為－， 從而直線l1的方程為y＝－(x＋1)， ① 直線l2的方程為y＝－(x－1)． ② 由①②，解得x＝－x0，y＝，所以Q. 因為點Q在橢圓E上，由對稱性，得＝±y0， 即x－y＝1或x＋y＝1. 又點P在橢圓E上，故＋＝1. 由解得 無解． 因此點P的坐標為. 10